Vektorgeometrie

In der Vektorgeometrie rechnest du mit Pfeilen im Raum. Hier findest du die Themen des Gymnasiums: Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt, Geraden- und Ebenengleichungen und Abstände im Raum.

2. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium

Themen

Vektoren: Grundlagen und Rechnen2. Jahr Gymnasium

Skalarprodukt und Winkel2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

Geraden im Raum3. Jahr Gymnasium

Ebenen im Raum3. Jahr Gymnasium

Kreuzprodukt und Spatprodukt3. Jahr Gymnasium

Abstände im Raum3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium

Das Wichtigste in Kürze

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Länge und Richtung, im Raum geschrieben mit drei Koordinaten wie $2 - 1 3$ . Mit Vektoren beschreibst du Punkte, Geraden und Ebenen und berechnest Winkel, Flächen und Abstände, ohne zu zeichnen. Vektorgeometrie kommt am Gymnasium meist im 3. oder 4. Jahr, oft parallel zur Analysis.

Rechnen mit Vektoren

Vektoren addierst du komponentenweise, und eine Zahl mal ein Vektor streckt den Pfeil. Die Länge (der Betrag) folgt aus dem Satz des Pythagoras: $∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$ . Der Vektor von A nach B ist $A B = B - A$ , also Spitze minus Fuss.

Zwei Produkte

Das Skalarprodukt $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ ergibt eine Zahl. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander; sonst liefert es den Winkel dazwischen.
Das Kreuzprodukt $a \times b$ ergibt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Sein Betrag ist die Fläche des Parallelogramms aus $a$ und $b$ .

Geraden und Ebenen

Eine Gerade im Raum beschreibst du mit einem Punkt und einer Richtung: $x = p + t r$ . Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei Richtungen oder einen Normalenvektor, der senkrecht auf ihr steht. Damit prüfst du, ob sich Geraden schneiden, und berechnest Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.