Vektoren: Grundlagen und Rechnen

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Länge und Richtung, geschrieben als Spalte mit Komponenten. Du rechnest Komponente für Komponente: addieren, subtrahieren, mit einer Zahl multiplizieren und die Länge mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche auf einem Wanderweg in den Alpen schauen auf eine Karte mit Kompass, unten liegt ein See.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Vektor ist ein Pfeil mit einer Länge und einer Richtung. Du schreibst ihn als Spalte mit Komponenten, im Raum zum Beispiel $v = 3 - 1 2$ , und rechnest Komponente für Komponente. Damit bestimmst du Verschiebungen, neue Punkte, Längen und Abstände.

Pfeil mit Länge und Richtung

Ein Vektor sagt, wie weit und in welche Richtung du verschiebst. Alle Pfeile, die gleich lang und parallel sind und in dieselbe Richtung zeigen, stellen denselben Vektor dar. Wo der Pfeil anfängt, spielt keine Rolle.

In der Ebene hat ein Vektor zwei Komponenten, im Raum drei. $v = (32)$ heisst: 3 in x-Richtung und 2 in y-Richtung. Kurz als Zeile: (3,2).

MerkeEin Vektor hat eine Länge und eine Richtung, aber keinen festen Anfangspunkt.

Vom Punkt zum Vektor

Den Vektor von A nach B erhältst du, wenn du die Koordinaten von A von denen von B abziehst:

A B = B - A

Für A(1|1) und B(4|3) ist $A B = (4 - 1 3 - 1) = (32)$ .

Der Ortsvektor $O P$ führt vom Ursprung O zum Punkt P. Er hat dieselben Zahlen wie die Koordinaten von P.

MerkeSpitze minus Fuss: Endpunkt minus Anfangspunkt.

Die Punkte A(1|1) und B(4|3) im Koordinatensystem: Von A nach B geht es 3 nach rechts und 2 nach oben, also ist der Vektor AB = (3, 2).

Addieren und Subtrahieren

Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise:

(31) + (13) = (44)

Zeichnerisch hängst du den Fuss von $b$ an die Spitze von $a$ . Der Summenvektor geht vom Fuss von $a$ zur Spitze von $b$ . Er ist die Diagonale im Parallelogramm aus $a$ und $b$ .

Subtrahieren heisst: den Gegenvektor addieren, $a - b = a + (- b)$ .

MerkeSpitze an Fuss hängen: Die Summe geht vom ersten Fuss zur letzten Spitze.

Parallelogramm aus a = (3, 1) und b = (1, 3). Die Diagonale vom Ursprung O zur Ecke a + b ist der Summenvektor (4, 4).

Vielfache, Gegenvektor und kollinear

Eine Zahl r mal ein Vektor: Jede Komponente wird mit r multipliziert, zum Beispiel $3 \cdot 1 - 2 3 = 3 - 6 9$ .

Ist r>1, wird der Pfeil länger; ist 0<r<1, wird er kürzer.
Ist r negativ, dreht die Richtung um. $- a$ heisst Gegenvektor, und $a + (- a)$ ist der Nullvektor $0$ .

Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist; ihre Pfeile sind parallel. Beispiel: $2 - 4 6 = 2 \cdot 1 - 2 3$ .

MerkeKollinear heisst: Es gibt eine Zahl r mit b = r · a.

Betrag: die Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors heisst Betrag. Du berechnest sie mit dem :

∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

links in der Ebene, rechts im Raum. Zum Beispiel ist $(43) = 16 + 9 = 5$ .

Der Abstand zweier Punkte A und B ist der Betrag von $A B$ . Teilst du einen Vektor durch seinen Betrag, erhältst du einen Einheitsvektor mit der Länge 1: $v_{0} = \frac{1}{∣ v ∣} \cdot v$ .

MerkeBetrag = Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten.

Der Vektor von O nach P = (4, 3) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 4 und 3. Seine Länge ist die Wurzel aus 16 + 9, also 5.

Linearkombination und Mittelpunkt

Eine Linearkombination von $a$ und $b$ ist eine Summe von Vielfachen: $r \cdot a + s \cdot b$ . Ob sich ein Vektor so schreiben lässt, findest du mit einem heraus: eine Gleichung pro Komponente.

Eine wichtige Linearkombination ist der Mittelpunkt M der Strecke AB:

O M = \frac{1}{2} \cdot (O A + O B)

Für A(2|0|4) und B(6|2|0) ist M(4|1|2).

MerkeMittelpunkt: Koordinaten der Endpunkte addieren und halbieren.

Vektoren: Grundlagen und Rechnen: Merkblatt mit Formel und Beispiel. AB = B - A. Ein Vektor hat eine Länge und eine Richtung, aber keinen festen Anfangspunkt. Beispiel: AB = 2 ; 4 ; -4 und |AB| = √36 = 6. Die Punkte sind 6 Längeneinheiten voneinander entfernt. — Merkblatt Vektoren: Grundlagen und Rechnen: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $A B = A - B$ , also Fuss minus Spitze.
✓ $A B = B - A$ : Spitze minus Fuss. A−B ist der Gegenvektor $B A$ .
✕ $(34) = 3 + 4 = 7$ .
✓Die Länge kommt aus dem Satz des Pythagoras: $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .
✕Beim Betrag von $- 2 12$ rechnen: −4+1+4=1.
✓(−2)²=4, Quadrate sind nie negativ: $4 + 1 + 4 = 9 = 3$ .
✕Der Vektor $(32)$ beginnt immer im Ursprung.
✓Ein Vektor kann überall beginnen: Jeder Pfeil mit 3 nach rechts und 2 nach oben ist derselbe Vektor. Nur der Ortsvektor beginnt im Ursprung.

Begriffe zum Nachschlagen

Vektor: Ein Pfeil mit Länge und Richtung. Alle gleich langen, parallelen und gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar.
Komponente: Eine der Zahlen in der Spalte eines Vektors. Bei $3 - 1 2$ ist 3 die x-Komponente.
Ortsvektor: Der Vektor vom Ursprung O zu einem Punkt P. Er hat dieselben Zahlen wie die Koordinaten von P.
Betrag: Die Länge eines Vektors, geschrieben $∣ v ∣$ . Du berechnest sie mit dem Satz des Pythagoras.
Gegenvektor: Der Vektor $- a$ : gleich lang wie $a$ , aber in die umgekehrte Richtung.
Nullvektor: Der Vektor $0$ , bei dem alle Komponenten 0 sind. Er hat die Länge 0 und keine Richtung.
Einheitsvektor: Ein Vektor mit der Länge 1.
kollinear: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Ihre Pfeile sind parallel.
Linearkombination: Eine Summe von Vielfachen von Vektoren, zum Beispiel $2 a - 3 b$ .
Skalar: Eine gewöhnliche Zahl, im Gegensatz zu einem Vektor. Mit ihr streckst oder stauchst du einen Vektor.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Satz des Pythagoras Koordinatensystem

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Vektor zwischen zwei Punkten und seine Länge

Gegeben sind A(2|−1|3) und B(4|3|−1). Berechne $A B$ und den Abstand der beiden Punkte.

Lösung Schritt für Schritt

Spitze minus Fuss, also B minus A: $A B = 4 - 2 3 - (- 1) - 1 - 3 = 24 - 4$
Komponenten quadrieren und addieren:2²+4²+(−4)²=4+16+16=36
Wurzel ziehen, das ist der Betrag und damit der Abstand: $∣ A B ∣ = 36 = 6$

$A B = 24 - 4$ und $∣ A B ∣ = 36 = 6$ . Die Punkte sind 6 Längeneinheiten voneinander entfernt.

Beispiel 2Linearkombination berechnen

Berechne $2 a - b$ für $a = 12 - 1$ und $b = 302$ .

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst das Vielfache: jede Komponente von $a$ mal 2. $2 a = 24 - 2$
Dann komponentenweise $b$ abziehen: $24 - 2 - 302 = 2 - 3 4 - 0 - 2 - 2 = - 1 4 - 4$

$2 a - b = - 1 4 - 4$

Beispiel 3Vierte Ecke eines Parallelogramms

Die Punkte A(1|0|2), B(4|1|2) und C(5|3|0) sind drei Ecken des Parallelogramms ABCD. Berechne die Ecke D.

Lösung Schritt für Schritt

Im Parallelogramm ABCD sind die Seiten AD und BC parallel und gleich lang, also $A D = B C$ . $B C = C - B = 12 - 2$
Den Ortsvektor von A um diesen Vektor verschieben: $O D = O A + B C = 102 + 12 - 2 = 220$
Probe: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich. Die Mittelpunkte von AC und BD müssen gleich sein. $M_{A C} = (3∣1.5∣1) M_{B D} = (3∣1.5∣1)$

Die vierte Ecke ist D(2|2|0).

Beispiel 4Drohne über dem Schwingfest

Eine kleine Drohne fliegt über einem Schwingfest; im Sägemehlring ringen zwei Schwinger, ringsum sitzen Zuschauer.

Eine Drohne filmt ein Schwingfest im Emmental. Sie startet bei S(10|20|0) und fliegt geradlinig zum Punkt P(130|60|30) (Angaben in Metern, die z-Achse zeigt nach oben). Wie weit fliegt sie, und wie lange braucht sie bei 5 m/s?

Lösung Schritt für Schritt

Flugvektor: Ziel minus Start. $S P = 130 - 10 60 - 20 30 - 0 = 1204030$
Länge mit dem Satz des Pythagoras im Raum: $∣ S P ∣ = 12 0^{2} + 4 0^{2} + 3 0^{2} = 1 4^{'} 400 + 1^{'} 600 + 900 = 1 6^{'} 900 = 130$
Zeit = Weg durch Geschwindigkeit:130:5=26

Die Drohne fliegt 130 m weit und braucht dafür 26 Sekunden.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Gegeben sind A(1|2) und B(5|5). Berechne $A B$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A B = (43)$
Die Punkte A(1|2) und B(5|5): Von A nach B geht es 4 nach rechts und 3 nach oben, also AB = (4, 3).
1. Spitze minus Fuss: $A B = B - A$
2. $(5 - 1 5 - 2) = (43)$
2
Berechne $2 - 1 3 + 14 - 5$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $33 - 2$
1. Komponentenweise addieren: $2 + 1 - 1 + 4 3 + (- 5)$
2. Ergebnis: $33 - 2$
3
Wie lang ist der Vektor $v = (68)$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $∣ v ∣ = 100 = 10$
Der Vektor von O nach P = (6, 8) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 6 und 8. Seine Länge ist 10.
1. Quadrieren und addieren: 6²+8²=36+64=100
2. Wurzel ziehen: $100 = 10$
4
Berechne $3 \cdot 2 - 1 4$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $6 - 3 12$
1. Jede Komponente mal 3: $3 \cdot 2 3 \cdot (- 1) 3 \cdot 4$
2. Ergebnis: $6 - 3 12$
5
Gegeben sind $a = (41)$ und $b = (12)$ . Berechne $a + b$ und beschreibe, wo der Summenvektor im Parallelogramm liegt.
Lösung zeigen
Ergebnis: $a + b = (53)$ , die Diagonale des Parallelogramms
Parallelogramm aus a = (4, 1) und b = (1, 2). Die Diagonale vom Ursprung O zur Ecke a + b ist der Summenvektor (5, 3).
1. Komponentenweise: $(4 + 1 1 + 2) = (53)$
2. Im Parallelogramm aus $a$ und $b$ ist der Summenvektor die Diagonale ab dem gemeinsamen Fuss.

6
Gegeben sind A(3|−2|1) und B(−1|2|3). Berechne $A B$ und den Abstand der Punkte.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A B = - 4 42$ , Abstand $36 = 6$
1. $A B = - 1 - 3 2 - (- 2) 3 - 1 = - 4 42$
2. (−4)²+4²+2²=16+16+4=36
3. Abstand: $36 = 6$
7
Berechne $3 a - 2 b$ für $a = 20 - 1$ und $b = 132$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $4 - 6 - 7$
1. $3 a = 60 - 3$ und $2 b = 264$
2. $6 - 2 0 - 6 - 3 - 4 = 4 - 6 - 7$
8
Berechne den Mittelpunkt M der Strecke mit A(−2|5|1) und B(4|1|7).
Lösung zeigen
Ergebnis: M(1|3|4)
1. Koordinaten addieren: (−2+4 | 5+1 | 1+7)=(2|6|8)
2. Halbieren: M(1|3|4)
9
Sind $a = 2 - 3 1$ und $b = - 6 9 - 3$ kollinear?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, $b = - 3 \cdot a$
1. Aus der ersten Komponente: r=(−6):2=−3
2. Prüfen: −3·(−3)=9 und −3·1=−3, beides stimmt.
3. Also $b = - 3 \cdot a$ : Die Vektoren sind kollinear und zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
10
Beim OL im Jura läuft Lena vom Start 500 m nach Osten und 100 m nach Norden, danach 400 m nach Osten und 1'100 m nach Norden. Wie weit ist sie jetzt in Luftlinie vom Start entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $2^{'} 25 0^{'} 000 = 1^{'} 500$ m
1. Die zwei Wegstücke als Vektoren (Osten, Norden) addieren: $(500100) + (4001100) = (9001200)$
2. Betrag: $90 0^{2} + 1^{'} 20 0^{2} = 81 0^{'} 000 + 1^{'} 44 0^{'} 000 = 2^{'} 25 0^{'} 000$
3. $2^{'} 25 0^{'} 000 = 1^{'} 500$ , also 1'500 m

11
Bestimme den Einheitsvektor zu $v = 2 - 1 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $v_{0} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \frac{2}{3}$
1. Betrag: $4 + 1 + 4 = 9 = 3$
2. Jede Komponente durch 3: $v_{0} = \frac{1}{3} \cdot 2 - 1 2$
3. Probe: 49+19+49=1, die Länge ist 1.
12
Für welches t sind $a = t 26$ und $b = 313$ kollinear?
Lösung zeigen
Ergebnis: t=6
1. Aus der zweiten Komponente: 2=r·1, also r=2
2. Dritte Komponente prüfen: 6=2·3 stimmt.
3. Erste Komponente: t=2·3=6
13
Liegen A(1|2|3), B(3|3|1) und C(7|5|−3) auf einer Geraden?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, $A C = 3 \cdot A B$
1. $A B = 21 - 2$ und $A C = 63 - 6$
2. 6:2=3, 3:1=3, (−6):(−2)=3
3. Die Vektoren sind kollinear und haben den Punkt A gemeinsam, also liegen die drei Punkte auf einer Geraden.
14
Schreibe $c = 417$ als Linearkombination von $a = 102$ und $b = 213$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $c = 2 a + b$ , also r=2 und s=1
1. Ansatz $r \cdot a + s \cdot b = c$ , eine Gleichung pro Komponente: r+2s=4, s=1, 2r+3s=7
2. Aus der zweiten Gleichung s=1, dann aus der ersten r=4−2=2
3. Probe in der dritten: 2·2+3·1=7 stimmt.
15
Für welche Werte von k hat $v = 2 k 4$ die Länge 6?
Lösung zeigen
Ergebnis: k²=16, also k=4 oder k=−4
1. Betrag gleich 6 setzen und quadrieren: 4+k²+16=36
2. k²=36−20=16
3. Zwei Lösungen: k=4 oder k=−4

Hängt es bei Vektoren schon bei «Spitze minus Fuss» oder beim Betrag? Eine Lehrperson übt mit dir die Grundlagen, bevor Skalarprodukt und Geraden kommen. Nachhilfe in Mathematik fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Vektoren

So funktioniert der Trainer

Unbegrenzt Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt Begriffe und Regeln ab, Stufe 2 rechnet mit Vektoren, Stufe 3 Längen, Mittelpunkte und kollineare Vektoren. Vektoren stehen hier als Zeile: (3, 2) meint dieselbe Spalte wie in der Theorie.

Welche Länge hat ein Einheitsvektor?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaSkalarprodukt und WinkelDas Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl: Komponenten paarweise multiplizieren und addieren. Ist es 0 (und keiner der Nullvektor), stehen die Vektoren senkrecht aufeinander; sonst liefert es den Winkel zwischen ihnen.2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium im 2. oder 3. Jahr als Einstieg in die Vektorgeometrie, zuerst in der Ebene, dann im Raum. Darauf bauen Skalarprodukt, Geraden und Ebenen auf.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor?

Ein Punkt ist ein fester Ort, zum Beispiel P(4|1|3). Ein Vektor ist eine Verschiebung mit Länge und Richtung und kann überall beginnen. Verbunden sind beide über den Ortsvektor, der vom Ursprung zum Punkt führt und dieselben Zahlen hat.

Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

Mit dem Satz des Pythagoras: Komponenten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen. Für (2,3,6) gibt das $4 + 9 + 36 = 49 = 7$ .

In welcher Klasse lernt man Vektoren?

Am Gymnasium, im 2. oder 3. Jahr als Einstieg in die Vektorgeometrie, je nach Kanton und Schule. Darauf folgen Skalarprodukt, Geraden und Ebenen.

Wozu braucht man Vektoren?

In der Physik für alles, was eine Richtung hat, etwa Kräfte, Geschwindigkeiten und Verschiebungen. In der Mathematik beschreibst du mit ihnen Geraden und Ebenen im Raum, und Computergrafik und Navigation rechnen ebenfalls mit Vektoren.