Ebene im Raum: Ebenengleichung in Parameterform und Koordinatenform

Eine Ebene im Raum beschreibst du mit einem Punkt und zwei Richtungen (Parameterform) oder mit einer Gleichung ax + by + cz = d (Koordinatenform). Damit prüfst du, ob Punkte in der Ebene liegen, findest Spurpunkte und schneidest Ebenen.

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3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche halten im Schulzimmer eine schräge, durchsichtige Platte, durch die einige Holzstäbe ragen; draussen liegen ein See und Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Ebene ist eine flache Fläche im Raum ohne Rand. Du beschreibst sie mit einem Punkt und zwei Richtungen (Parameterform) oder mit einer Gleichung ax+by+cz=d (Koordinatenform). Damit prüfst du Punkte, berechnest Spurpunkte und schneidest Ebenen.

Die Parameterform

Eine Ebene ist durch einen Punkt P und zwei Richtungen festgelegt:

E : x = p + s u + t v

Der Stützvektor $p$ ist der von P. Die Spannvektoren $u$ und $v$ dürfen nicht parallel sein. Jedes Zahlenpaar s,t liefert einen Punkt der Ebene.

MerkeParameterform: ein Punkt und zwei nicht parallele Richtungen, dazu zwei Parameter s und t.

Das Parallelogramm aus dem Punkt P und den Spannvektoren u und v ist ein Stück der Ebene. Die Ebene setzt es ohne Rand in alle Richtungen fort.

Ebene durch drei Punkte

Durch drei Punkte A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau eine Ebene. Nimm A als Stützpunkt und die zu den anderen Punkten als Spannvektoren:

E : x = a + s A B + t A C

Sind $A B$ und $A C$ , liegen die drei Punkte auf einer Geraden. Dann gibt es unendlich viele Ebenen durch sie.

Das Dreieck ABC liegt in der Ebene. Seine Seiten AB und AC zeigen die Richtungen der beiden Spannvektoren.

Die Koordinatenform

Jede Ebene lässt sich auch als eine einzige Gleichung schreiben:

E:ax+by+cz=d

Die Zahlen vor x, y, z bilden einen Normalenvektor $n = a b c$ . Er steht senkrecht auf der Ebene.

Ein Punkt liegt genau dann in E, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen (Punktprobe). P(1|2|3) liegt in 2x−y+z=3, denn 2−2+3=3.

MerkeKoordinatenform: Normalenvektor ablesen, Punkt einsetzen. Stimmt die Gleichung, liegt der Punkt in der Ebene.

Von der Parameterform zur Koordinatenform

Normalenvektor mit dem : $n = u \times v$ .
Stützpunkt einsetzen: $d = n \cdot p$ .

Dazwischen steht die Normalenform $n \cdot (x - p) = 0$ . Ausmultipliziert gibt sie die Koordinatenform.

Beispiel: $p = 102$ , $u = 120$ , $v = 011$ ergibt $n = 2 - 1 1$ und d=2+0+2=4, also E:2x−y+z=4.

MerkeKreuzprodukt der Spannvektoren gibt den Normalenvektor, der Stützpunkt eingesetzt gibt d.

Spurpunkte

Die Spurpunkte sind die Punkte, in denen die Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Für den Spurpunkt auf der x-Achse setzt du y=0 und z=0, für die anderen Achsen entsprechend.

Bei E:2x+3y+6z=12 sind das $S_{1} (6∣0∣0)$ , $S_{2} (0∣4∣0)$ und $S_{3} (0∣0∣2)$ .

Fehlt zum Beispiel z in der Gleichung und ist d≠0, ist die Ebene parallel zur z-Achse und hat dort keinen Spurpunkt.

Spurdreieck von 2x + 3y + 6z = 12 im Schrägbild, die Achsen sind weggelassen: S₁ liegt auf der x-Achse (schräg nach vorn), S₂ auf der y-Achse (nach rechts), S₃ auf der z-Achse (nach oben).

Zwei Ebenen: parallel oder Schnittgerade

Sind die Normalenvektoren zweier Ebenen Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel. Ist auch die ganze Gleichung ein Vielfaches der anderen, sind sie identisch.

Sonst schneiden sie sich in einer Schnittgeraden. Du löst das aus beiden Gleichungen: Eine Variable wird zum Parameter t, die anderen drückst du durch t aus.

MerkeNormalenvektoren parallel: Ebenen parallel oder identisch. Sonst schneiden sie sich in einer Geraden.

Ebenen im Raum: Merkblatt mit Formel und Beispiel. E: x = p + s u + t v. Beispiel: E: x + 2y - 2z = 4, in Parameterform x = 2 ; 1 ; 0 + s 2 ; 0 ; 1 + t 0 ; 2 ; 2. — Merkblatt Ebenen im Raum: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Bei $E : x = 102 + s 120 + t 011$ ist $102$ der Normalenvektor.
✓Der erste Vektor ist der Stützvektor, ein Punkt der Ebene. Den Normalenvektor liefert das Kreuzprodukt der Spannvektoren: $120 \times 011 = 2 - 1 1$ .
✕E:2x−y+z=4 hat den Normalenvektor $211$ .
✓Das Minus gehört dazu: $n = 2 - 1 1$ . Steht keine Zahl vor einer Variablen, ist sie 1 bzw. −1.
✕Für den Spurpunkt auf der x-Achse setzt du x=0.
✓Auf der x-Achse sind y=0 und z=0. Bei 2x+3y+6z=12 bleibt 2x=12, also $S_{1} (6∣0∣0)$ .
✕Durch drei verschiedene Punkte geht immer genau eine Ebene.
✓Nur wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Prüfe, dass $A B$ und $A C$ nicht kollinear sind.

Begriffe zum Nachschlagen

Parameterform: Gleichung $x = p + s u + t v$ einer Ebene mit Stützvektor, zwei Spannvektoren und den Parametern s und t.
Stützvektor: Ortsvektor eines festen Punkts der Ebene. Bei ihm startet die Parameterform.
Spannvektor: Einer der zwei Richtungsvektoren, die eine Ebene aufspannen. Die beiden dürfen nicht parallel sein.
Koordinatenform: Gleichung ax+by+cz=d einer Ebene, ohne Parameter. Die Zahlen a, b, c bilden einen Normalenvektor.
Normalenvektor: Ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, also auf jeder Richtung, die in der Ebene liegt.
Spurpunkt: Punkt, in dem die Ebene eine Koordinatenachse schneidet. Die zwei anderen Koordinaten sind dort 0.
Schnittgerade: Die Gerade, in der sich zwei nicht parallele Ebenen schneiden.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Vektoren: Grundlagen und Rechnen Geraden im Raum Skalarprodukt und Winkel Kreuzprodukt und Spatprodukt

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ebene durch drei Punkte aufstellen

Stelle die Ebene durch A(2|1|0), B(4|1|1) und C(2|3|2) in Parameterform und in Koordinatenform auf.

Lösung Schritt für Schritt

Spannvektoren von A aus: $A B = 201 A C = 022$
Sie sind nicht kollinear, also gibt es genau eine Ebene. Parameterform: $E : x = 210 + s 201 + t 022$
Kreuzprodukt der Spannvektoren, danach mit −12 vereinfacht: $201 \times 022 = - 2 - 4 4 \Rightarrow n = 12 - 2$
A einsetzen gibt d:d=1·2+2·1+(−2)·0=4
Probe mit B: 4+2−2=4. Stimmt.

E:x+2y−2z=4, in Parameterform $x = 210 + s 201 + t 022$ .

Beispiel 2Punktprobe und Spurpunkte

Gegeben ist E:3x+2y+4z=12. Liegt P(2|1|1) in E? Berechne die Spurpunkte.

Spurdreieck von 3x + 2y + 4z = 12 im Schrägbild, die Achsen sind weggelassen: S₁ liegt auf der x-Achse (schräg nach vorn), S₂ auf der y-Achse (nach rechts), S₃ auf der z-Achse (nach oben).

Lösung Schritt für Schritt

Punktprobe: P einsetzen.3·2+2·1+4·1=12
Die Gleichung stimmt, P liegt in E.
x-Achse: y=z=0, also 3x=12.x=12:3=4
y-Achse: 2y=12, also y=6. z-Achse: 4z=12, also z=3.

P liegt in E. Spurpunkte: $S_{1} (4∣0∣0)$ , $S_{2} (0∣6∣0)$ , $S_{3} (0∣0∣3)$ .

Beispiel 3Das Dach des Velounterstands

Ein Velounterstand mit schrägem Pultdach neben einem Schulhaus am See; zwei Jugendliche zeigen zum Dach hinauf.

Ein Velounterstand in Thun hat ein schräges Pultdach. Drei Ecken des Dachs liegen bei A(0|0|3), B(4|0|3) und C(0|3|2), in Metern; der Boden ist die Ebene z=0. Stelle die Koordinatenform der Dachebene auf. Liegt die vierte Ecke D(4|3|2) in derselben Ebene? Wo träfe die verlängerte Dachfläche den Boden?

Lösung Schritt für Schritt

Spannvektoren: $A B = 400 A C = 03 - 1$
Kreuzprodukt, durch 4 geteilt: $400 \times 03 - 1 = 0412 \Rightarrow n = 013$
A einsetzen: d=0+0+3·3=9. Die Dachebene ist y+3z=9.
Punktprobe mit D:3+3·2=9
Boden: z=0 einsetzen gibt y=9.

Dachebene E:y+3z=9. D liegt darin, denn 3+3·2=9; das Dach ist eben. Verlängert träfe die Dachfläche den Boden entlang der Linie y=9, also 9 m hinter der Kante AB.

Beispiel 4Schnittgerade zweier Ebenen

Bestimme die Schnittgerade von $E_{1} : x + y + z = 6$ und $E_{2} : x - y + 2 z = 4$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die Normalenvektoren $111$ und $1 - 1 2$ sind keine Vielfachen, also gibt es eine Schnittgerade.
Setze z=2t, damit keine Brüche entstehen:x+y=6−2t x−y=4−4t
Addieren gibt 2x=10−6t, also x=5−3t. Dann ist y=6−2t−x=1+t.
Als Gerade geschrieben: $g : x = 510 + t - 3 12$

$g : x = 510 + t - 3 12$ . Probe für t=0: in $E_{1}$ ist 5+1+0=6, in $E_{2}$ ist 5−1+0=4.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Liegt P(1|0|2) in der Ebene E:3x−2y+z=5? Gib auch einen Normalenvektor an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, denn 3·1−2·0+2=5. Normalenvektor $3 - 2 1$ .
1. Koordinaten einsetzen: 3·1−2·0+2=5.
2. Die Gleichung stimmt, also liegt P in E.
3. Normalenvektor: die Zahlen vor x, y, z, mit Vorzeichen.
2
Liegt Q(2|1|−1) in E:x+4y−2z=7?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein: 2+4−2·(−1)=8, nicht 7.
1. Einsetzen: 2+4·1−2·(−1)=2+4+2=8.
2. 8≠7, also liegt Q nicht in E.
3
Berechne die Spurpunkte von E:2x+4y+z=8.
Lösung zeigen
Ergebnis: $S_{1} (4∣0∣0)$ , $S_{2} (0∣2∣0)$ , $S_{3} (0∣0∣8)$
Spurdreieck von 2x + 4y + z = 8 im Schrägbild, die Achsen sind weggelassen: S₁ liegt auf der x-Achse (schräg nach vorn), S₂ auf der y-Achse (nach rechts), S₃ auf der z-Achse (nach oben).
1. x-Achse: y=z=0, also 2x=8 und x=4.
2. y-Achse: 4y=8, also y=2.
3. z-Achse: z=8.
4
Stelle die Ebene durch A(1|2|0), B(3|2|1) und C(0|4|2) in Parameterform auf.
Lösung zeigen
Ergebnis: $E : x = 120 + s 201 + t - 1 22$
Das Dreieck ABC liegt in der gesuchten Ebene; von A aus zeigen die Seiten AB und AC die zwei Spannvektoren.
1. $A B = B - A = 201$
2. $A C = C - A = - 1 22$
3. Die beiden sind nicht kollinear. A als Stützpunkt, die beiden Vektoren als Spannvektoren.
5
Welchen Punkt liefert $E : x = 100 + s 110 + t 011$ für s=2 und t=3?
Lösung zeigen
Ergebnis: (3|5|3)
Von P(1|0|0) aus zweimal u und dreimal v gehen: Die vierte Ecke des Parallelogramms ist der gesuchte Punkt (3|5|3).
1. $100 + 2 \cdot 110 + 3 \cdot 011$
2. $= 1 + 2 0 + 2 + 3 0 + 3 = 353$

6
Wandle $E : x = 201 + s 110 + t 012$ in die Koordinatenform um.
Lösung zeigen
Ergebnis: E:2x−2y+z=5
1. $n = 110 \times 012 = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2 - 2 1$
2. d=2·2−2·0+1·1=5
3. Probe mit (3|1|1): 6−2+1=5.
7
Bestimme die Koordinatenform der Ebene durch A(1|0|0), B(0|2|0) und C(0|0|3).
Lösung zeigen
Ergebnis: E:6x+3y+2z=6
1. $A B = - 1 20$ , $A C = - 1 03$
2. $n = A B \times A C = 632$
3. A einsetzen: d=6·1+0+0=6.
4. Probe: B gibt 3·2=6, C gibt 2·3=6.
8
Eine Ebene geht durch P(1|−2|3) und hat den Normalenvektor $n = 21 - 1$ . Gib die Koordinatenform an.
Lösung zeigen
Ergebnis: E:2x+y−z=−3
1. Ansatz: 2x+y−z=d.
2. P einsetzen: d=2·1+(−2)−3=−3.
9
Liegt P(5|1|5) in $E : x = 102 + s 110 + t 101$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, mit s=1 und t=3: 1+1+3=5.
1. Gleichungssystem: 1+s+t=5, s=1, 2+t=5.
2. Aus der zweiten und dritten Zeile: s=1, t=3.
3. Erste Zeile prüfen: 1+1+3=5. Stimmt, also liegt P in E.
10
Bestimme die Spurpunkte von E:3x+2z=6. Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
Ergebnis: $S_{1} (2∣0∣0)$ und $S_{3} (0∣0∣3)$ . Einen Spurpunkt auf der y-Achse gibt es nicht: Die Ebene ist parallel zur y-Achse.
1. x-Achse: 3x=6, also x=2.
2. z-Achse: 2z=6, also z=3.
3. y-Achse: x=z=0 gibt 0=6, ein Widerspruch. Die Ebene schneidet die y-Achse nicht.

11
Bestimme die Schnittgerade von $E_{1} : x + y + z = 3$ und $E_{2} : x - y + z = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $g : x = 210 + t - 1 01$ , auf ihr ist immer y=1.
1. Subtrahieren: 2y=2, also y=1.
2. Addieren: 2x+2z=4, also x=2−z.
3. z=t setzen: x=2−t, y=1, z=t.
12
Wie liegen $E_{1} : 2 x - y + 3 z = 4$ und $E_{2} : - 4 x + 2 y - 6 z = 5$ zueinander?
Lösung zeigen
Ergebnis: Echt parallel: $n_{2} = - 2 n_{1}$ , aber −2·4=−8≠5.
1. $- 4 2 - 6 = - 2 \cdot 2 - 1 3$ : Die Normalenvektoren sind parallel.
2. $E_{1}$ mal −2: −4x+2y−6z=−8.
3. Rechts steht −8 statt 5: parallel, aber nicht identisch.
13
Bestimme a und b so, dass die Gerade $g : x = 211 + t 2 a - 1$ ganz in der Ebene E:3x−2y+4z=b liegt.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=1 und b=8
1. Der Richtungsvektor muss senkrecht auf $n = 3 - 2 4$ stehen: 3·2−2a+4·(−1)=0, also 2−2a=0 und a=1.
2. Der Stützpunkt (2|1|1) muss in E liegen: b=3·2−2·1+4·1=8.
3. Probe mit t=1: Der Punkt (4|2|0) gibt 12−4+0=8. Stimmt.
14
Eine Ebene enthält die Gerade $g : x = 110 + t 201$ und den Punkt P(0|3|1). Bestimme ihre Koordinatenform.
Lösung zeigen
Ergebnis: E:2x+3y−4z=5
1. Spannvektoren: der Richtungsvektor $201$ von g und $P - 110 = - 1 21$ .
2. $n = 201 \times - 1 21 = - 2 - 3 4$ , mal −1: $23 - 4$ .
3. Stützpunkt (1|1|0) einsetzen: d=2+3−0=5.
4. Probe mit P: 0+9−4=5.

Hängst du bei Spurpunkten oder Schnittgeraden fest, oder steht eine Prüfung in Vektorgeometrie an? Eine Lehrperson rechnet die Aufgaben mit dir durch, bis du die Ebenengleichung sicher aufstellst. Nachhilfe in Vektorgeometrie und Mathematik am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Ebenen im Raum

So funktioniert der Trainer

Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt die Begriffe ab, Stufe 2 übt Punktprobe und Ablesen, Stufe 3 Spurpunkte, Umrechnen und die Lage zweier Ebenen.

In der Koordinatenform ax + by + cz = d: Was ist der Vektor (a, b, c)?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaAbstände im RaumDer Abstand im Raum ist immer die kürzeste Verbindung, und die steht senkrecht. Du berechnest ihn mit der Hesseschen Normalform, mit dem Lotfusspunkt oder mit dem Kreuzprodukt, für Punkte, Geraden und Ebenen.3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium in der Vektorgeometrie, meist im 3. Jahr, nach den Geraden im Raum und dem Kreuzprodukt. Danach folgen Abstände und Winkel zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Parameterform und Koordinatenform?

Die Parameterform beschreibt die Ebene mit einem Punkt und zwei Richtungen; damit erzeugst du leicht Punkte der Ebene. Die Koordinatenform ist eine einzige Gleichung ax + by + cz = d; damit prüfst du Punkte schnell und liest den Normalenvektor ab. Beide beschreiben dieselbe Ebene.

Wie viele Punkte braucht man für eine Ebene?

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Gleichwertig sind ein Punkt mit zwei nicht parallelen Richtungen oder ein Punkt mit einem Normalenvektor.

Was ist die Normalenform einer Ebene?

Die Normalenform heisst n · (x − p) = 0: Der Vektor von einem festen Punkt P zu jedem Punkt der Ebene steht senkrecht auf dem Normalenvektor n. Rechnest du das Skalarprodukt aus, erhältst du die Koordinatenform.

In welcher Klasse kommt die Ebenengleichung?

Am Gymnasium in der Vektorgeometrie, meist im 3. Jahr, an manchen Schulen im 4. Jahr. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor.