Abstand Punkt–Gerade und Punkt–Ebene berechnen

Der Abstand im Raum ist immer die kürzeste Verbindung, und die steht senkrecht. Du berechnest ihn mit der Hesseschen Normalform, mit dem Lotfusspunkt oder mit dem Kreuzprodukt, für Punkte, Geraden und Ebenen.

Jetzt üben Zum Ausdrucken

3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche spannen im Schulzimmer eine Schnur von einer Kugel senkrecht zu einer schräg gehaltenen Platte; draussen liegen Berge.

Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

Der Abstand zweier Objekte im Raum ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung. Diese steht senkrecht auf der Geraden oder Ebene, sie ist das Lot. Du findest sie über den Lotfusspunkt oder mit einer Formel mit dem .

Abstand zweier Punkte

Der Abstand von A und B ist die Länge des $A B = B - A$ :

d (A, B) = ∣ A B ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}

Beispiel: A(1|2|3) und B(3|5|9) geben $A B = 236$ und $d (A, B) = 4 + 9 + 36 = 49 = 7$ . Auf diese Formel laufen am Ende alle anderen Abstände hinaus.

MerkeAbstand zweier Punkte: Verbindungsvektor bilden, Länge mit Pythagoras im Raum.

Abstand Punkt–Ebene mit der Hesseschen Normalform

Teilst du die ax+by+cz=d durch die Länge des Normalenvektors, erhältst du die Hessesche Normalform. Setzt du dann einen Punkt $P (p_{1} ∣ p_{2} ∣ p_{3})$ ein, liefert der Betrag direkt seinen Abstand zur Ebene:

d (P, E) = \frac{∣ a p _{1} + b p _{2} + c p _{3} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Beispiel: P(5|5|−1) und E:2x+2y−z=3. Oben steht |10+10+1−3|=18, unten $4 + 4 + 1 = 3$ , also d(P,E)=6. Achtung: Das d in der Ebenengleichung ist eine Zahl der Gleichung, nicht der Abstand.

MerkePunkt in die Koordinatenform einsetzen, Betrag nehmen, durch die Länge des Normalenvektors teilen.

Seitenansicht, in der die Ebene E als Linie durch A und B erscheint: Die Höhe von P ist das Lot auf E. Ihre Länge ist der Abstand d(P,E).

Der Lotfusspunkt auf einer Ebene

Willst du auch wissen, wo das Lot die Ebene trifft, nimm die Lotgerade durch P mit dem Normalenvektor als Richtung:

ℓ : x = p + t n

Schneide sie mit der Ebene. Der Schnittpunkt ist der Lotfusspunkt F, und $d (P, E) = ∣ P F ∣$ .

Im Beispiel oben: $ℓ : x = 55 - 1 + t 22 - 1$ . Eingesetzt in E: 2(5+2t)+2(5+2t)−(−1−t)=3, also 21+9t=3 und t=−2. Damit ist F(1|1|1) und $∣ P F ∣ = ∣ - 2∣ \cdot ∣ n ∣ = 2 \cdot 3 = 6$ .

Abstand Punkt–Gerade

Gegeben sind $g : x = a + t r$ und ein Punkt P. Der Lotfusspunkt F auf g hat die Form $f = a + t r$ , und $P F$ steht senkrecht auf $r$ :

P F \cdot r = 0

Diese Gleichung liefert t, damit F und den Abstand $d (P, g) = ∣ P F ∣$ .

Ohne Lotfusspunkt geht es mit dem : $d (P, g) = \frac{∣ A P \times r ∣}{∣ r ∣}$ . Für A(1|0|2), $r = 122$ und P(4|3|2) ist $A P \times r = 330 \times 122 = 6 - 6 3$ mit Länge 9, also d(P,g)=9:3=3.

MerkePunkt–Gerade: Lotfusspunkt aus = 0, dann die Länge von PF.

P liegt neben der Geraden g durch A. Das Lot von P auf g ist die Höhe des Dreiecks; es trifft g im Lotfusspunkt F, seine Länge ist der Abstand d(P,g).

Parallele Objekte: auf einen Punkt zurückführen

Bei parallelen Objekten haben alle Punkte denselben Abstand. Nimm einen Punkt und rechne wie oben:

Gerade parallel zu Gerade: ein Punkt von h zur Geraden g.
Gerade parallel zu Ebene: der Stützpunkt der Geraden zur Ebene.
Ebene parallel zu Ebene: bei gleichem Normalenvektor $d = \frac{∣ d _{2} - d _{1} ∣}{∣ n ∣}$ .

Schneiden sich die Objekte, ist ihr Abstand 0.

Abstand windschiefer Geraden

Zwei Geraden heissen windschief, wenn sie weder parallel sind noch sich schneiden. Ihre kürzeste Verbindung steht auf beiden senkrecht, hat also die Richtung $n = r_{1} \times r_{2}$ . Mit den Stützpunkten A von g und B von h gilt:

d (g, h) = \frac{∣ A B \cdot n ∣}{∣ n ∣}

Beispiel: g durch A(1|1|0) mit $r_{1} = 20 - 1$ , h durch B(2|0|5) mit $r_{2} = 01 - 1$ . Dann ist $n = 122$ , $∣ n ∣ = 3$ und $A B \cdot n = 1 - 2 + 10 = 9$ , also d(g,h)=3. Kommt 0 heraus, schneiden sich die Geraden.

MerkeWindschief: Kreuzprodukt der Richtungen als Normalenvektor, dann wie Punkt–Ebene rechnen.

Abstände im Raum (abstand punkt gerade): Merkblatt mit Formel und Beispiel. : x = p + t n. PF · r = 0. Abstand zweier Punkte: Verbindungsvektor bilden, Länge mit Pythagoras im Raum. Beispiel: d(P,E) = 3. — Merkblatt Abstände im Raum: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕d(P,E)=|2·5+2·5−(−1)−3|=18 für P(5|5|−1) und E:2x+2y−z=3.
✓Das ist erst der Zähler. Du musst noch durch $∣ n ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$ teilen: d(P,E)=18:3=6.
✕Der Abstand ist 1−2−83=−3.
✓Ein Abstand ist nie negativ. Der Betrag gehört in die Formel: |1−2−8|3=3. Das Vorzeichen zeigt nur, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.
✕Der Abstand von P zur Geraden g ist der Abstand von P zum Stützpunkt A.
✓A ist irgendein Punkt der Geraden. Der kürzeste Weg führt zum Lotfusspunkt F, wo $P F$ senkrecht auf $r$ steht. $∣ P A ∣$ ist meist grösser.
✕Bei windschiefen Geraden ist der Abstand $∣ A B ∣$ , die Strecke zwischen den Stützpunkten.
✓Die Stützpunkte sind beliebig gewählt. Gesucht ist die senkrechte Verbindung: $d = \frac{∣ A B \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ mit $n = r_{1} \times r_{2}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Lotfusspunkt: Der Punkt, in dem das Lot von einem Punkt auf eine Gerade oder Ebene trifft. Er ist der nächste Punkt der Geraden oder Ebene.
Hessesche Normalform: Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor die Länge 1 hat. Setzt du einen Punkt ein, ist der Betrag des Ergebnisses sein Abstand zur Ebene.
windschief: Zwei Geraden im Raum, die weder parallel sind noch sich schneiden.
Normalenvektor: Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht. In ax+by+cz=d ist es (a,b,c).
Kreuzprodukt: Produkt zweier Vektoren, das einen Vektor senkrecht zu beiden ergibt. Bei windschiefen Geraden liefert es die Richtung der kürzesten Verbindung.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Vektoren: Grundlagen und Rechnen Skalarprodukt und Winkel Geraden im Raum Ebenen im Raum Kreuzprodukt und Spatprodukt

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Abstand Punkt–Ebene mit der Formel

Berechne den Abstand des Punkts P(5|2|−1) von der Ebene E:2x+y−2z=5.

Lösung Schritt für Schritt

Länge des Normalenvektors $n = 21 - 2$ : $∣ n ∣ = 4 + 1 + 4 = 3$
P in die linke Seite einsetzen und 5 abziehen:2·5+2−2·(−1)−5=9
Betrag durch $∣ n ∣$ teilen:d(P,E)=|9|3=3

d(P,E)=3

Beispiel 2Abstand Punkt–Gerade über den Lotfusspunkt

Gegeben sind $g : x = 3 - 1 0 + t 21 - 2$ und P(11|−3|−2). Bestimme den Lotfusspunkt F und den Abstand d(P,g).

Das Lot von P auf g trifft g im Lotfusspunkt F(7|1|−4), 6 von A entfernt. Die Höhe des Dreiecks ist das Lot, ihre Länge 6 ist der Abstand.

Lösung Schritt für Schritt

Allgemeiner Punkt der Geraden und Vektor von P zu ihm: $f = 3 + 2 t - 1 + t - 2 t P F = 2 t - 8 t + 2 2 - 2 t$
$P F$ steht senkrecht auf $r$ :2(2t−8)+(t+2)−2(2−2t)=9t−18=0
Also t=2 und damit F(7|1|−4).
Länge des Lots: $P F = - 4 4 - 2 ∣ P F ∣ = 16 + 16 + 4 = 36 = 6$

Lotfusspunkt F(7|1|−4), Abstand $d (P, g) = 36 = 6$ .

Beispiel 3Die Drohne über der Skipiste

Eine kleine Drohne schwebt über einer steilen, verschneiten Skipiste, auf der jemand talwärts fährt.

Eine Drohne filmt ein Rennen auf einer Skipiste bei Laax. Im Rennabschnitt liegt die Piste in der Ebene E:2x+3y+6z=42 (Koordinaten in Metern). Die Drohne steht in P(10|15|37). Wie weit ist sie von der Piste entfernt, und welcher Punkt der Piste ist ihr am nächsten?

Lösung Schritt für Schritt

Länge des Normalenvektors $n = 236$ : $∣ n ∣ = 4 + 9 + 36 = 7$
Hessesche Normalform, P eingesetzt:d(P,E)=|2·10+3·15+6·37−42|7=2457=35
Lotgerade durch P mit Richtung $n$ , eingesetzt in E:2(10+2t)+3(15+3t)+6(37+6t)=42 ⇒ 287+49t=42
Also t=−5 und $F = P - 5 n$ :F=(10−10 | 15−15 | 37−30)=(0|0|7)
Probe: 2·0+3·0+6·7=42, F liegt auf der Piste.

Die Drohne ist 35 m von der Piste entfernt. Am nächsten ist ihr der Lotfusspunkt F(0|0|7).

Beispiel 4Seilbahn über der Stromleitung

Eine rote Gondel fährt an einem Seil schräg den Berg hinauf, darunter quert eine Stromleitung zwischen zwei Masten das Tal.

Im Bündnerland kreuzt das Tragseil einer Seilbahn eine Stromleitung. Beide verlaufen geradlinig (in Metern): das Seil $g : x = 0020 + s 403$ , die Leitung $h : x = 40 - 30 35 + t 010$ . Wie nahe kommen sich Seil und Leitung?

Lösung Schritt für Schritt

Die Richtungen $403$ und $010$ sind nicht parallel. Kreuzprodukt, mit −1 multipliziert: $403 \times 010 = - 3 04 \Rightarrow n = 30 - 4, ∣ n ∣ = 5$
Vektor zwischen den Stützpunkten: $A B = 40 - 30 15$
In die Formel für windschiefe Geraden:d(g,h)=|40·3+(−30)·0+15·(−4)|5=605=12
Der Abstand ist nicht 0: Seil und Leitung berühren sich nicht, sie sind windschief.

Seil und Leitung kommen sich bis auf 12 m nahe.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Zum Aufwärmen in der Ebene: Wie weit sind A(1|1) und B(7|9) voneinander entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $d (A, B) = 100 = 10$
A(1|1) und B(7|9) im Koordinatensystem: von A aus 6 nach rechts und 8 nach oben, die Strecke AB ist 10 lang.
1. $A B = (7 - 1, 9 - 1) = (6, 8)$
2. $d (A, B) = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$
2
Berechne den Abstand der Punkte A(2|−1|3) und B(5|3|15).
Lösung zeigen
Ergebnis: $d (A, B) = 169 = 13$
1. $A B = 3412$
2. $d (A, B) = 9 + 16 + 144 = 169 = 13$
3
Berechne den Abstand von P(3|2|4) zur Ebene E:2x+y+2z=4.
Lösung zeigen
Ergebnis: d(P,E)=4
Seitenansicht, in der die Ebene E als Linie AB erscheint: Die Höhe von P ist das Lot auf E, ihre Länge 4 ist der Abstand.
1. $∣ n ∣ = 4 + 1 + 4 = 3$
2. Einsetzen: 2·3+2+2·4−4=12
3. d(P,E)=12:3=4
4
Bringe E:4x−4y+2z=18 in die Hessesche Normalform. Wie weit ist der Ursprung von E entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: E:4x−4y+2z−186=0, Abstand des Ursprungs 3.
1. $∣ n ∣ = 16 + 16 + 4 = 36 = 6$
2. Hessesche Normalform: 4x−4y+2z−186=0
3. Ursprung einsetzen: |0−18|6=3
5
Wie weit ist P(5|3|4) von der x-Achse entfernt? Gib auch den Lotfusspunkt an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Lotfusspunkt F(5|0|0), Abstand $25 = 5$ .
Schnitt durch P und die x-Achse OQ: Das Lot von P trifft die Achse im Lotfusspunkt F(5|0|0). Die Höhe des Dreiecks ist 5 lang, das ist der Abstand.
1. Der nächste Punkt der x-Achse hat dieselbe x-Koordinate: F(5|0|0).
2. $F P = 034$ steht senkrecht auf $100$ .
3. $∣ F P ∣ = 9 + 16 = 25 = 5$

6
Bestimme den Lotfusspunkt von P(6|6|−2) auf $g : x = 210 + t 212$ und den Abstand d(P,g).
Lösung zeigen
Ergebnis: F(4|2|2), $d (P, g) = 36 = 6$
1. $P F = 2 t - 4 t - 5 2 t + 2$
2. $P F \cdot 212 = 9 t - 9 = 0$ , also t=1 und F(4|2|2).
3. $P F = - 2 - 4 4$ , Länge $4 + 16 + 16 = 36 = 6$ .
7
Bestimme den Abstand von P(3|5|4) zur Ebene E:x+2y+2z=3 und den Lotfusspunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: d(P,E)=6, Lotfusspunkt F(1|1|0).
1. d(P,E)=|3+10+8−3|3=183=6
2. Lotgerade $x = 354 + t 122$ in E: 21+9t=3, also t=−2.
3. F=(3−2 | 5−4 | 4−4)=(1|1|0)
8
Wie weit sind die parallelen Ebenen $E_{1} : 2 x - y + 2 z = 1$ und $E_{2} : 2 x - y + 2 z = 13$ voneinander entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: d=4
1. Gleicher Normalenvektor $2 - 1 2$ mit Länge 3.
2. d=|13−1|3=123=4
9
Zeige, dass $g : x = 123 + t 20 - 1$ parallel zu E:x+2y+2z=2 ist, und berechne ihren Abstand.
Lösung zeigen
Ergebnis: $r \cdot n = 0$ , also parallel; Abstand 3.
1. $20 - 1 \cdot 122 = 2 + 0 - 2 = 0$ : Die Gerade ist parallel zu E.
2. Stützpunkt einsetzen: 1+4+6−2=9.
3. d=9:3=3
10
Berechne mit dem Kreuzprodukt den Abstand von P(3|3|0) zur Geraden $g : x = t 212$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $d (P, g) = \frac{81}{3} = \frac{9}{3} = 3$
1. $A P = 330$ mit A im Ursprung.
2. $A P \times r = 6 - 6 - 3$ , Länge $36 + 36 + 9 = 81 = 9$
3. $∣ r ∣ = 3$ , also d(P,g)=9:3=3.

11
Zeige, dass $g : x = 111 + s 30 - 1$ und $h : x = 232 + t 02 - 1$ windschief sind, und berechne ihren Abstand.
Lösung zeigen
Ergebnis: d(g,h)=2, also schneiden sie sich nicht; parallel sind sie auch nicht.
1. Die Richtungen sind keine Vielfachen, also nicht parallel.
2. $n = 30 - 1 \times 02 - 1 = 236$ , $∣ n ∣ = 7$
3. $A B = 121$ , $A B \cdot n = 2 + 6 + 6 = 14$
4. d=14:7=2≠0: windschief.
12
Die Geraden $g : x = 011 + t 221$ und $h : x = 31 a + s - 4 - 4 - 2$ sind parallel. Für welche Werte von a haben sie den Abstand 3?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=4 oder a=−12
1. Die Richtungen sind Vielfache, also parallel. Abstand von P(3|1|a) zu g: $A P = 30 a - 1$ mit A(0|1|1), $∣ r ∣ = 3$ .
2. $A P \times r = 2 - 2 a 2 a - 5 6$
3. Abstand 3 heisst $∣ A P \times r ∣ = 9$ : (2−2a)²+(2a−5)²+36=81, also 2a²−7a−4=0.
4. a=7±94, also a=4 oder a=−12. Probe a=4: $36 + 9 + 36 = 9$ und 9:3=3.
13
Welche Punkte der Geraden $g : x = 2 - 1 0 + t 110$ haben von der Ebene E:x+2y+2z=0 den Abstand 2?
Lösung zeigen
Ergebnis: $Q_{1} (4∣1∣0)$ und $Q_{2} (0∣ - 3∣0)$ , beide mit Abstand 2.
1. Allgemeiner Punkt eingesetzt: (2+t)+2(−1+t)+0=3t.
2. |3t|3=|t|=2, also t=2 oder t=−2.
3. t=2 gibt $Q_{1} (4∣1∣0)$ , t=−2 gibt $Q_{2} (0∣ - 3∣0)$ .
4. Probe $Q_{1}$ : |4+2+0|3=2.
14
Spiegle P(5|0|4) an der Ebene E:2x−y+2z=0. Wie weit ist P von E entfernt, und wo liegt der Spiegelpunkt $P^{'}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Abstand 6, Lotfusspunkt F(1|2|0), Spiegelpunkt $P^{'} (- 3∣4∣ - 4)$ .
1. d(P,E)=|10−0+8|3=6
2. Lotgerade $x = 504 + t 2 - 1 2$ in E: 18+9t=0, also t=−2 und F(1|2|0).
3. Spiegelpunkt mit t=−4: $P^{'} = (5 - 8 ∣ 0 + 4 ∣ 4 - 8) = (- 3∣4∣ - 4)$ .

Steht die Matur an und sitzen Lotfusspunkt oder Hessesche Normalform noch nicht? Eine Lehrperson rechnet Abstandsaufgaben mit dir durch, bis du jeden Fall sicher löst. Nachhilfe in Mathematik am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Abstände im Raum

So funktioniert der Trainer

Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt die Methoden ab, Stufe 2 übt Abstände zwischen Punkten und zur Ebene, Stufe 3 Lotfusspunkte, parallele und windschiefe Lagen.

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene. Wie berechnest du ihren Abstand?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit LösungsblattLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle LösungenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDFTheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige FehlerBeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnetÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum RechnenArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss

PDF herunterladenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium zum Abschluss der Vektorgeometrie, meist im 3. oder 4. Jahr, nach Geraden, Ebenen und dem Kreuzprodukt. Abstandsaufgaben sind fester Teil vieler Maturprüfungen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie berechne ich den Abstand eines Punkts zu einer Geraden?

Setz den allgemeinen Geradenpunkt F an und verlange, dass der Vektor PF senkrecht auf dem Richtungsvektor steht (Skalarprodukt 0). Das gibt den Lotfusspunkt F, und die Länge von PF ist der Abstand. Schneller, aber ohne Lotfusspunkt: Länge des Kreuzprodukts von AP und r durch die Länge von r.

Was ist die Hessesche Normalform?

Es ist die Koordinatenform einer Ebene, geteilt durch die Länge des Normalenvektors. Setzt du einen Punkt ein, ist der Betrag des Ergebnisses sein Abstand zur Ebene, das Vorzeichen zeigt die Seite.

Woran erkenne ich windschiefe Geraden?

Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen, und das Gleichungssystem für einen Schnittpunkt hat keine Lösung. Schneller: Ist der Abstand mit der Formel für windschiefe Geraden nicht 0 und sind die Geraden nicht parallel, sind sie windschief.

In welcher Klasse kommen Abstände im Raum?

Am Gymnasium am Ende der Vektorgeometrie, meist im 3. oder 4. Jahr. Abstandsaufgaben gehören in vielen Kantonen zum Maturstoff, in der Sekundarschule kommen sie nicht vor.