Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl: Komponenten paarweise multiplizieren und addieren. Ist es 0 (und keiner der Nullvektor), stehen die Vektoren senkrecht aufeinander; sonst liefert es den Winkel zwischen ihnen.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Schülerin hält im Schulzimmer zwei farbige Holzstäbe, die zusammen einen Winkel bilden; draussen liegen ein See und Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Das Skalarprodukt $a \cdot b$ zweier ist eine Zahl, kein Vektor. Du multiplizierst die Komponenten paarweise und addierst. Ist es 0 (kein Nullvektor dabei), stehen die Vektoren senkrecht aufeinander; sonst berechnest du mit ihm den Winkel zwischen ihnen.

Die Formel

Für $a = a_{1} a_{2} a_{3}$ und $b = b_{1} b_{2} b_{3}$ gilt:

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

In der Ebene fällt der dritte Summand weg: $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Zum Beispiel ist $213 \cdot 4 - 1 0 = 8 - 1 + 0 = 7$ .

MerkeOben mal oben, Mitte mal Mitte, unten mal unten, dann alles addieren. Das Ergebnis ist eine Zahl.

Was das Skalarprodukt bedeutet

Lass beide Vektoren im selben Punkt starten. Der Winkel $φ$ zwischen ihnen liegt zwischen 0° und 180°, und es gilt:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ

Dabei ist $∣ a ∣$ die Länge (der Betrag) von $a$ . Weil die Längen positiv sind, verrät das Vorzeichen den Winkel:

$a \cdot b > 0$ : spitzer Winkel
$a \cdot b = 0$ : rechter Winkel
$a \cdot b < 0$ : stumpfer Winkel

MerkePositiv heisst spitz, null heisst senkrecht, negativ heisst stumpf.

Die Pfeile a = (5, 0) und b = (2, 3) starten beide in O. Der Winkel φ liegt bei O; er ist spitz, denn a · b = 5 · 2 + 0 · 3 = 10 ist positiv.

Senkrecht prüfen

Zwei Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, stehen genau dann senkrecht aufeinander (sie sind orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Denn $cos 9 0^{\circ} = 0$ .

Beispiel: $3 - 2 1 \cdot 242 = 6 - 8 + 2 = 0$ . Die beiden Vektoren sind orthogonal, ohne dass du etwas zeichnen musst.

MerkeSkalarprodukt 0 heisst: Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander, sofern keiner der Nullvektor ist.

Die Pfeile a = (4, 2) und b = (−1, 2) ab O bilden einen rechten Winkel, denn a · b = 4 · (−1) + 2 · 2 = 0.

Den Winkel berechnen

Löst du die Formel nach $cos φ$ auf, bekommst du den Winkel zwischen zwei Vektoren:

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

Die Längen rechnest du mit Pythagoras: $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ . Den Winkel liefert am Schluss die Taste $cos^{- 1}$ (auch arccos) im Grad-Modus.

Beispiel: $a = (34)$ , $b = (43)$ . Dann ist $a \cdot b = 24$ , beide Längen sind 5, also $cos φ = \frac{24}{25} = 0.96$ und $φ \approx 16. 3^{\circ}$ .

MerkeWinkel: Skalarprodukt durch das Produkt der Längen, dann cos⁻¹ im Grad-Modus.

Länge und senkrechte Projektion

Ein Vektor mit sich selbst gibt das Quadrat seiner Länge: $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ .

Fällst du von der Spitze von $b$ das Lot auf $a$ , entsteht die senkrechte Projektion von $b$ auf $a$ , sozusagen der Schatten von $b$ . Ist der Winkel spitz, hat sie die Länge

\frac{a \cdot b}{∣ a ∣}

Im Bild: $a \cdot b = 5 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 15$ und $∣ a ∣ = 5$ , der Schatten ist also 3 lang.

Von der Spitze von b = (3, 4) fällt das Lot auf a = (5, 0). Der Schatten von b auf a ist 3 lang, denn a · b : |a| = 15 : 5 = 3.

Rechenregeln

Vertauschen ändert nichts: $a \cdot b = b \cdot a$ .
Ausmultiplizieren geht: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .
Eine Zahl darfst du vorziehen: $(r a) \cdot b = r \cdot (a \cdot b)$ .
Durch einen Vektor teilen kannst du nicht. Aus $a \cdot b = a \cdot c$ folgt nicht $b = c$ .

Skalarprodukt und Winkel: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Oben mal oben, Mitte mal Mitte, unten mal unten, dann alles addieren. Das Ergebnis ist eine Zahl. Beispiel: a · b = -2. Der Winkel zwischen den Vektoren ist stumpf. — Merkblatt Skalarprodukt und Winkel: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $123 \cdot 456 = 41018$
✓Das Skalarprodukt ist eine Zahl. Die Produkte werden addiert: 4+10+18=32.
✕ $cos φ = a \cdot b$
✓Erst durch beide Längen teilen: $cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ . Ohne das kommt oft eine Zahl über 1 heraus, und der Taschenrechner meldet einen Fehler.
✕ $cos^{- 1} (0.5) = 1.047$ , also ist der Winkel 1.047°.
✓Der Taschenrechner stand im (RAD). Im Grad-Modus (DEG) gibt $cos^{- 1} (0.5) = 6 0^{\circ}$ .
✕Den Winkel β bei B im Dreieck ABC mit $A B$ und $B C$ rechnen.
✓Beide Vektoren müssen bei B starten: $B A$ und $B C$ . Mit $A B$ bekommst du den Nebenwinkel 180°−β.

Begriffe zum Nachschlagen

Skalarprodukt: Produkt zweier Vektoren, das eine Zahl ergibt: Komponenten paarweise multiplizieren und addieren. Auch inneres Produkt genannt.
orthogonal: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Dann ist ihr Skalarprodukt 0. Umgekehrt heisst Skalarprodukt 0 senkrecht, sofern keiner der Nullvektor ist.
senkrechte Projektion: Der «Schatten» von $b$ auf $a$ , wenn man von der Spitze von $b$ das Lot auf $a$ fällt. Bei spitzem Winkel ist seine Länge $\frac{a \cdot b}{∣ a ∣}$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Vektoren: Grundlagen und Rechnen Sinus, Kosinus und Tangens

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Skalarprodukt berechnen

Berechne $a \cdot b$ für $a = 2 - 1 3$ und $b = 140$ . Ist der Winkel zwischen den Vektoren spitz, recht oder stumpf?

Lösung Schritt für Schritt

Komponenten paarweise multiplizieren:2·1=2 (−1)·4=−4 3·0=0
Die drei Produkte addieren: $a \cdot b = 2 - 4 + 0 = - 2$
Das Skalarprodukt ist negativ, also ist der Winkel stumpf.

$a \cdot b = - 2$ . Der Winkel zwischen den Vektoren ist stumpf.

Beispiel 2Winkel zwischen zwei Vektoren

Berechne den Winkel zwischen $a = 101$ und $b = 011$ .

Lösung Schritt für Schritt

Skalarprodukt: $a \cdot b = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$
Beide Längen mit Pythagoras: $∣ a ∣ = 1 + 0 + 1 = 2 ∣ b ∣ = 0 + 1 + 1 = 2$
In die Winkelformel einsetzen: $cos φ = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$
Mit $cos^{- 1}$ im Grad-Modus: $φ = 6 0^{\circ}$

$cos φ = \frac{1}{2}$ , also $φ = 6 0^{\circ}$ .

Beispiel 3Schlitten ziehen in Arosa

Ein Mädchen zieht seinen kleinen Bruder auf einem Holzschlitten über einen verschneiten Weg in einem Bergdorf; das Seil ist schräg nach oben gespannt.

Lena zieht ihren kleinen Bruder auf dem Schlitten 50 m weit über einen flachen Weg in Arosa. Die Kraft im Seil ist $F = (8060)$ Newton (80 N nach vorne, 60 N nach oben), der Weg $s = (500)$ Meter. In der Physik ist die Arbeit das Skalarprodukt $W = F \cdot s$ (in Joule, 1 J = 1 N·m). Wie viel Arbeit verrichtet Lena, und unter welchem Winkel zum Weg zieht das Seil?

Lösung Schritt für Schritt

Arbeit als Skalarprodukt:W=80·50+60·0=4000
Für den Winkel braucht es beide Längen: $∣ F ∣ = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 10000 = 100 ∣ s ∣ = 50$
In die Winkelformel einsetzen: $cos φ = \frac{4000}{100 \cdot 50} = 0.8$
Mit $cos^{- 1}$ im Grad-Modus: $φ \approx 36. 9^{\circ}$

Lena verrichtet 4'000 J Arbeit. Das Seil zieht unter etwa 36.9° zum Weg.

Beispiel 4Winkel in einem Dreieck im Raum

Berechne die Winkel des Dreiecks mit A(2|1|1), B(4|3|2) und C(3|−1|3).

Lösung Schritt für Schritt

Winkel α bei A: beide Vektoren starten bei A, Spitze minus Fuss. $A B = 221 A C = 1 - 2 2$
Ihr Skalarprodukt ist 0, also liegt bei A ein rechter Winkel. $A B \cdot A C = 2 - 4 + 2 = 0 \Rightarrow α = 9 0^{\circ}$
Winkel β bei B: Vektoren ab B. $B A = - 2 - 2 - 1 B C = - 1 - 4 1$
Skalarprodukt und Längen: $B A \cdot B C = 2 + 8 - 1 = 9 ∣ B A ∣ = 3 ∣ B C ∣ = 18$
Winkelformel: $cos β = \frac{9}{3 \cdot 18} = \frac{1}{2} \approx 0.707 \Rightarrow β = 4 5^{\circ}$
Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme:γ=180°−90°−45°=45°

Mit $A B \cdot A C = 0$ und $B A \cdot B C = 9$ : α=90°, β=45°, γ=45°. Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Berechne $(25) \cdot (41)$ .
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Ergebnis: 13
Die Pfeile a = (2, 5) und b = (4, 1) ab O schliessen einen spitzen Winkel ein, passend zum positiven Skalarprodukt 13.
1. 2·4=8 und 5·1=5
2. Addieren: 8+5=13
2
Berechne $1 - 2 4 \cdot 30 - 1$ .
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Ergebnis: −1
1. 1·3+(−2)·0+4·(−1)
2. =3+0−4=−1
3
Stehen $a = (31)$ und $b = (- 1 3)$ senkrecht aufeinander?
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Ergebnis: Ja, denn $a \cdot b = 0$ .
Die Pfeile a = (3, 1) und b = (−1, 3) ab O bilden einen rechten Winkel.
1. $a \cdot b = 3 \cdot (- 1) + 1 \cdot 3 = - 3 + 3 = 0$
2. Skalarprodukt 0 heisst: Die Vektoren sind orthogonal.
4
Berechne $a \cdot a$ für $a = 236$ und daraus die Länge von $a$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $a \cdot a = 49$ , also $∣ a ∣ = 7$
1. $a \cdot a = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 4 + 9 + 36 = 49$
2. $∣ a ∣ = 49 = 7$
5
Berechne den Winkel zwischen $a = (40)$ und $b = (33)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $a \cdot b = 12$ , $φ = 4 5^{\circ}$
Der Pfeil a = (4, 0) liegt auf der x-Achse, b = (3, 3) zeigt schräg nach oben. Zwischen ihnen liegt bei O ein Winkel von 45°.
1. $a \cdot b = 4 \cdot 3 + 0 \cdot 3 = 12$
2. $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 18 = 32$
3. $cos φ = \frac{12}{4 \cdot 3 2} = \frac{1}{2} \approx 0.707$ , also $φ = 4 5^{\circ}$

6
Bestimme t so, dass $2 t - 1$ und $314$ orthogonal sind.
Lösung zeigen
Ergebnis: t=−2
1. Skalarprodukt: 2·3+t·1+(−1)·4=t+2
2. Gleich 0 setzen: t+2=0, also t=−2
7
Berechne den Winkel zwischen $a = 122$ und $b = 2 - 1 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos φ = \frac{4}{9}$ , $φ \approx 63. 6^{\circ}$
1. $a \cdot b = 2 - 2 + 4 = 4$
2. $∣ a ∣ = 9 = 3$ , $∣ b ∣ = 9 = 3$
3. $cos φ = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$ , mit $cos^{- 1}$ : $φ \approx 63. 6^{\circ}$
8
Ist der Winkel zwischen $13 - 2$ und $4 - 2 1$ spitz, recht oder stumpf?
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Ergebnis: Stumpf, denn das Skalarprodukt ist −4.
1. 1·4+3·(−2)+(−2)·1=4−6−2=−4
2. Negatives Skalarprodukt heisst stumpfer Winkel.
9
Wie lang ist die senkrechte Projektion von $b = 513$ auf $a = 212$ ?
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Ergebnis: 173≈5.67
1. $a \cdot b = 10 + 1 + 6 = 17$
2. $∣ a ∣ = 4 + 1 + 4 = 3$
3. Länge: 173≈5.67
10
Es gilt $a \cdot b = 5$ und $a \cdot c = - 2$ . Berechne $a \cdot (3 b + c)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 13
1. Ausmultiplizieren: $a \cdot (3 b + c) = 3 \cdot (a \cdot b) + a \cdot c$
2. =3·5+(−2)=13

11
Berechne den Winkel α bei A im Dreieck mit A(1|0|0), B(0|1|0) und C(0|0|1). Was fällt dir auf?
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Ergebnis: $cos α = \frac{1}{2}$ , α=60°. Das Dreieck ist gleichseitig.
1. $A B = (- 1, 1, 0)$ , $A C = (- 1, 0, 1)$
2. Skalarprodukt 1, beide Längen $2$
3. $cos α = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , also α=60°
4. Alle drei Seiten sind $2$ lang, also sind alle Winkel 60°.
12
Bestimme einen Vektor $n$ mit erster Komponente 6, der senkrecht auf $a = 120$ und auf $b = 013$ steht.
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Ergebnis: $n = 6 - 3 1$
1. Ansatz $n = (6, y, z)$ mit $n \cdot a = 0$ und $n \cdot b = 0$
2. 6+2y=0, also y=−3
3. y+3z=0, also −3+3z=0 und z=1
4. Probe: 6−6+0=0 und 0−3+3=0
13
Welchen Winkel bildet die eines Würfels mit einer Kante? Leg den Würfel mit Kantenlänge 1 in den Ursprung.
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Ergebnis: $cos φ = \frac{1}{3}$ , $φ \approx 54. 7^{\circ}$
1. Kante $a = (1, 0, 0)$ , Raumdiagonale $d = (1, 1, 1)$
2. $a \cdot d = 1$ , $∣ a ∣ = 1$ , $∣ d ∣ = 3$
3. $cos φ = \frac{1}{3} \approx 0.577$ , also $φ \approx 54. 7^{\circ}$
14
Die Vektoren $a = 430$ und $b = 034$ spannen eine Raute auf. Zeige mit dem Skalarprodukt, dass ihre Diagonalen $a + b$ und $a - b$ senkrecht aufeinander stehen.
Lösung zeigen
Ergebnis: $(a + b) \cdot (a - b) = 0$ , also senkrecht.
1. $a + b = (4, 6, 4)$ , $a - b = (4, 0, - 4)$
2. Skalarprodukt: 16+0−16=0
3. Allgemein: $(a + b) \cdot (a - b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}$ , und das ist 0, weil in der Raute $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 5$ .

Klemmt es beim Winkel zwischen Vektoren oder steht eine Prüfung in Vektorgeometrie an? Eine Lehrperson geht die Aufgaben mit dir durch, bis die Formeln sitzen. Nachhilfe in Mathematik fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Skalarprodukt und Winkel

So funktioniert der Trainer

Unbegrenzt Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt Bedeutung und Regeln ab, Stufe 2 rechnet Skalarprodukte, Stufe 3 Winkel, Orthogonalität und Projektionen.

Was ergibt a · a?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaKreuzprodukt und SpatproduktDas Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht; seine Länge ist die Fläche ihres Parallelogramms. Das Spatprodukt dreier Vektoren gibt das Volumen des Spats, den sie aufspannen.3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr, je nach Schule auch später, direkt nach den Grundlagen der Vektoren. Danach braucht man es für Geraden, Ebenen, das Kreuzprodukt und Abstände im Raum.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Warum heisst es Skalarprodukt?

Skalar ist das Fachwort für eine gewöhnliche Zahl, im Gegensatz zu einem Vektor. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine Zahl, daher der Name. Man sagt auch inneres Produkt.

Kann das Skalarprodukt negativ sein?

Ja. Es ist negativ, wenn der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist, also zwischen 90° und 180° liegt. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, sofern keiner der Nullvektor ist.

Wozu braucht man das Skalarprodukt?

Damit prüfst du, ob Vektoren senkrecht stehen, und berechnest Winkel und Längen. Später steckt es in der Normalenform der Ebene und in Abstandsformeln. In der Physik ist die Arbeit das Skalarprodukt aus Kraft und Weg.

In welcher Klasse kommt das Skalarprodukt?

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr in der Vektorgeometrie, an manchen Schulen erst im 4. Jahr. In der Sekundarschule kommt es nicht vor.