Parameterform einer Geraden: Geradengleichung im Raum

Eine Gerade im Raum beschreibst du in der Parameterform mit einem Punkt und einem Richtungsvektor. Damit berechnest du Punkte, machst die Punktprobe und bestimmst, ob zwei Geraden sich schneiden, parallel oder windschief sind.

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3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche spannen im Schulzimmer eine lange rote Schnur schräg durch den Raum und schauen ihr entlang.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Gerade im Raum legst du mit einem Punkt und einer Richtung fest. In der $x = p + t r$ gibt jeder Wert des Parameters t einen Punkt der Geraden. Damit prüfst du Punkte und bestimmst, wie zwei Geraden liegen.

Die Parameterform einer Geraden

Eine Gerade ist durch einen Punkt P und eine Richtung festgelegt:

g : x = p + t r

Der $p$ ist der von P. Der Richtungsvektor $r$ gibt die Richtung an; er darf nicht der Nullvektor sein.

Für t setzt du eine beliebige ein. Jeder Wert von t gibt genau einen Punkt der Geraden. Bei $g : x = 120 + t 2 - 1 4$ gibt t=1 den Punkt (3|1|4).

MerkeParameterform: Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor. Jedes t gibt einen Punkt der Geraden.

Die Gerade g mit Stützpunkt (1|1) und Richtungsvektor (2, 1) in der Ebene. Jeder Wert von t gibt einen Punkt; von Punkt zu Punkt geht es um den Richtungsvektor weiter.

Gerade durch zwei Punkte

Kennst du zwei Punkte A und B, nimmst du A als Stützpunkt und $A B$ als Richtung:

g : x = a + t A B A B = B - A

Dann gibt t=0 den Punkt A, t=1 den Punkt B, und Werte dazwischen geben die Strecke AB.

Jede Gerade hat viele Parameterformen: Jeder ihrer Punkte kann Stützpunkt sein, jedes Vielfache des Richtungsvektors (ausser dem Nullvektor) Richtungsvektor.

MerkeRichtungsvektor = Spitze minus Fuss: B − A.

Gerade durch A(1|1) und B(4|3) in der Ebene: t = 0 gibt A, t = 1 gibt B, t = 0.5 den Mittelpunkt der Strecke AB.

Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Setze den Punkt für $x$ ein. Du erhältst eine Gleichung pro Koordinate, im Raum also drei. Löse jede nach t auf.

Geben alle drei Gleichungen dasselbe t, liegt der Punkt auf der Geraden.
Gibt eine Gleichung ein anderes t, liegt er nicht darauf.

Bei $g : x = 120 + t 2 - 1 4$ und P(5|0|8): 1+2t=5, 2−t=0 und 4t=8 geben je t=2. Also liegt P auf g.

MerkeEin Punkt liegt auf der Geraden, wenn alle Koordinaten-Gleichungen dasselbe t liefern.

In der Ebene: Parameterform und y = mx + q

Auch in der Ebene gibt es die Parameterform, mit zwei Koordinaten. Die Gerade y=mx+q geht durch (0|q) und steigt pro Schritt nach rechts um m:

x = (0 q) + t (1 m)

Senkrechte Geraden haben keine Form y=mx+q, eine Parameterform aber schon.

Im Raum beschreibt eine Gleichung wie ax+by+cz=d eine Ebene, keine Gerade. Darum nimmst du dort die Parameterform.

Die Gerade y = 2x − 1 in Parameterform: Stützpunkt (0|−1), Richtungsvektor (1, 2). Jeder Schritt geht eins nach rechts und zwei nach oben.

Lage zweier Geraden: vier Fälle

In der Ebene schneiden sich zwei Geraden, sind parallel oder identisch (dieselbe Gerade). Echt parallel heisst: parallel, aber nicht identisch.

Im Raum kommt ein vierter Fall dazu: . Die Geraden sind nicht parallel und haben doch keinen gemeinsamen Punkt.

Beispiel im Zimmer: eine Bodenkante und eine senkrechte Kante der Wand gegenüber.

MerkeIm Raum heisst «nicht parallel» noch nicht «schneidend».

In der Ebene schneiden sich zwei nicht parallele Geraden immer, hier g und h im Punkt S(2|2). Im Raum können zwei Geraden auch aneinander vorbeigehen.

So bestimmst du die Lage

Richtungsvektoren ? Dann sind die Geraden parallel oder identisch. Liegt ein Stützpunkt auf der anderen Geraden, sind sie identisch, sonst echt parallel.
Sonst setzt du die Gleichungen gleich, mit Parametern s und t, und löst zwei der drei Gleichungen.
Stimmt die dritte Gleichung, gibt es einen Schnittpunkt. Sonst sind sie windschief.

MerkeKollinear: parallel oder identisch. Nicht kollinear: Schnittpunkt oder windschief, das Gleichsetzen entscheidet.

Geraden im Raum (parameterform): Merkblatt mit Formel und Beispiel. g: x = p + t r. Parameterform: Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor. Jedes t gibt einen Punkt der Geraden. Beispiel: g: x = 2 ; -1 ; 3 + t 2 ; 2 ; -1. Für t = 3 erhältst du den Punkt (8|5|0). — Merkblatt Geraden im Raum: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Die Gerade durch A(1|2|3) und B(4|0|5) hat den Richtungsvektor $405$ .
✓Der Richtungsvektor ist $A B = B - A = 3 - 2 2$ . Der Ortsvektor von B zeigt vom Ursprung zu B, nicht von A zu B.
✕P(3|1|7) liegt auf $g : x = 101 + t 213$ , denn die x- und die y-Koordinate geben beide t=1.
✓Alle drei Koordinaten prüfen: 1+3·1=4, nicht 7. P liegt nicht auf g.
✕Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, also schneiden sich die Geraden.
✓In der Ebene stimmt das, im Raum nicht: Die Geraden können windschief sein. Erst das Gleichsetzen zeigt, ob es einen Schnittpunkt gibt.
✕Zum Schneiden von $g : x = p + t r$ und $h : x = a + t u$ setze ich $p + t r = a + t u$ .
✓Nimm zwei verschiedene Parameter, etwa s und t. Der Schnittpunkt gehört auf den beiden Geraden meist zu verschiedenen Parameterwerten.

Begriffe zum Nachschlagen

Parameterform: Gleichung $x = p + t r$ einer Geraden mit Stützvektor, Richtungsvektor und dem Parameter t.
Stützvektor: Ortsvektor eines festen Punkts der Geraden. Bei ihm startet die Parameterform.
Richtungsvektor: Vektor, der die Richtung der Geraden angibt. Jedes Vielfache ausser dem Nullvektor ist auch ein Richtungsvektor.
windschief: Zwei Geraden im Raum sind windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich nicht schneiden.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Vektoren: Grundlagen und Rechnen Lineare Gleichungssysteme

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Gerade durch zwei Punkte aufstellen

Stelle die Gerade durch A(2|−1|3) und B(4|1|2) in Parameterform auf. Welchen Punkt liefert t=3?

Lösung Schritt für Schritt

Richtungsvektor: Spitze minus Fuss. $A B = 412 - 2 - 1 3 = 22 - 1$
A ist der Stützpunkt. Parameterform: $g : x = 2 - 1 3 + t 22 - 1$
Kontrolle: t=1 gibt (2+2|−1+2|3−1)=(4|1|2), also B.
t=3 einsetzen: $2 - 1 3 + 3 \cdot 22 - 1 = 850$

$g : x = 2 - 1 3 + t 22 - 1$ . Für t=3 erhältst du den Punkt (8|5|0).

Beispiel 2Punktprobe

Gegeben ist $g : x = 14 - 2 + t 3 - 1 2$ . Liegen P(7|2|2) und Q(−2|5|−3) auf g?

Lösung Schritt für Schritt

P einsetzen, eine Gleichung pro Koordinate:1+3t=7 4−t=2 −2+2t=2
Alle drei Gleichungen geben t=2. Also liegt P auf g.t=(7−1):3=2
Q einsetzen:1+3t=−2 4−t=5 −2+2t=−3
Die ersten beiden geben t=−1, die dritte t=−12. Das passt nicht zusammen.

P liegt auf g (für t=2), Q liegt nicht auf g.

Beispiel 3Schnittpunkt zweier Geraden

Untersuche die Lage von $g : x = 101 + s 210$ und $h : x = 13 - 1 + t 1 - 1 1$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear: Die dritte Komponente ist beim ersten 0, beim zweiten 1, die erste aber bei beiden nicht 0. Die Geraden sind also nicht parallel.
Gleichsetzen, mit zwei Parametern:1+2s=1+t s=3−t 1=−1+t
Aus der dritten Gleichung folgt t=2, aus der zweiten s=3−2=1.
Probe in der ersten Gleichung: 1+2·1=3 und 1+2=3. Sie stimmt, die Geraden schneiden sich.
s=1 in g einsetzen: $101 + 1 \cdot 210 = 311$

Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3|1|1). Kontrolle mit t=2 in h: (1+2|3−2|−1+2)=(3|1|1).

Beispiel 4Zwei Drohnen über dem Zugersee

Zwei Jugendliche stehen am Ufer des Zugersees und steuern zwei kleine Drohnen, die in verschiedenen Höhen über das Wasser fliegen.

Zwei Drohnen filmen über dem Zugersee, Koordinaten in Metern. Drohne A fliegt auf der Geraden $g : x = 0030 + s 210$ , Drohne B auf $h : x = 10020 + t 011$ . Haben ihre Flugbahnen einen gemeinsamen Punkt?

Lösung Schritt für Schritt

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear: Beim ersten ist die dritte Komponente 0, beim zweiten die erste. Die Bahnen sind also nicht parallel.
Gleichsetzen:2s=10 s=t 30=20+t
Aus der ersten Gleichung folgt s=10:2=5, aus der zweiten t=5.
In die dritte eingesetzt: 20+5=25, nicht 30. Das ist ein Widerspruch.
Nicht parallel und kein Schnittpunkt: Die Bahnen sind windschief.

Die Flugbahnen haben keinen gemeinsamen Punkt, sie sind windschief. Wo Drohne B über den Punkt mit x=10 und y=5 fliegt (t=5), ist sie auf 25 m Höhe; die Bahn von A liegt dort auf 30 m, also 5 m darüber.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
In der Ebene ist $g : x = (12) + t (21)$ gegeben. Berechne die Punkte für t=0, t=1 und t=2.
Lösung zeigen
Ergebnis: (1|2), (3|3) und (5|4)
Die drei Punkte für t = 0, 1 und 2 liegen auf der Geraden g, jeweils um den Richtungsvektor (2, 1) versetzt.
1. t=0: der Stützpunkt (1|2).
2. t=1: (1+2|2+1)=(3|3).
3. t=2: (1+2·2|2+2·1)=(5|4).
2
Lies bei $g : x = 3 - 1 2 + t 14 - 2$ den Stützvektor und den Richtungsvektor ab. Welchen Punkt gibt t=2?
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Ergebnis: Stützvektor $3 - 1 2$ , Richtungsvektor $14 - 2$ , Punkt (5|7|−2)
1. Der Vektor ohne Parameter ist der Stützvektor, der Vektor mit t der Richtungsvektor.
2. t=2: (3+2|−1+8|2−4)=(5|7|−2).
3
Stelle die Gerade durch A(2|0|1) und B(5|2|−1) in Parameterform auf.
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Ergebnis: $g : x = 201 + t 32 - 2$
1. $A B = B - A = 32 - 2$ .
2. A als Stützpunkt nehmen.
4
Stelle die Gerade durch A(0|1) und B(2|5) in der Ebene in Parameterform auf.
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Ergebnis: $g : x = (01) + t (24)$
Die Gerade durch A(0|1) und B(2|5): t = 0 gibt A, t = 1 gibt B.
1. $A B = (25) - (01) = (24)$ .
2. A als Stützpunkt nehmen. Auch $(12)$ wäre als Richtungsvektor richtig.
5
Schreibe die Gerade y=3x−2 in Parameterform.
Lösung zeigen
Ergebnis: $g : x = (0 - 2) + t (13)$
Die Gerade y = 3x − 2 mit Stützpunkt (0|−2) und dem Punkt (1|1) für t = 1.
1. Stützpunkt ist der Punkt auf der y-Achse: (0|−2).
2. Richtungsvektor $(13)$ : eins nach rechts, drei nach oben.
3. Kontrolle: t=1 gibt (1|1), und 3·1−2=1.

6
Liegt P(4|5|−1) auf $g : x = 1 - 1 2 + t 12 - 1$ ?
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Ergebnis: Ja, alle drei Gleichungen geben t=3.
1. 1+t=4 gibt t=3.
2. −1+2t=5 gibt t=3.
3. 2−t=−1 gibt t=3. Gleiches t, also liegt P auf g.
7
Liegt Q(3|4|0) auf $g : x = 103 + t 12 - 1$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein: x und y geben t=2, z gibt t=3.
1. 1+t=3 gibt t=2, 2t=4 gibt t=2.
2. 3−t=0 gibt t=3.
3. Verschiedene Werte, also liegt Q nicht auf g.
8
Wie liegen $g : x = 102 + s 2 - 1 3$ und $h : x = 5 - 2 8 + t - 4 2 - 6$ zueinander?
Lösung zeigen
Ergebnis: Identisch: Die Richtungsvektoren sind kollinear, und (5|−2|8) liegt für s=2 auf g.
1. $- 4 2 - 6 = - 2 \cdot 2 - 1 3$ : kollinear, also parallel oder identisch.
2. Punktprobe mit (5|−2|8) auf g: 1+2s=5, −s=−2, 2+3s=8 geben je s=2.
3. Der Punkt liegt auf g, die Geraden sind identisch.
9
Wie liegen $g : x = 011 + s 12 - 1$ und $h : x = 203 + t 24 - 2$ zueinander?
Lösung zeigen
Ergebnis: Echt parallel: kollineare Richtungsvektoren, (2|0|3) liegt nicht auf g.
1. $24 - 2 = 2 \cdot 12 - 1$ : kollinear.
2. Punktprobe mit (2|0|3) auf g: Die x-Koordinate gibt s=2, die y-Koordinate 1+2s=0, also s=−12.
3. Widerspruch, der Punkt liegt nicht auf g. Die Geraden sind parallel, aber nicht identisch.
10
Berechne den Schnittpunkt von $g : x = 210 + s 111$ und $h : x = 051 + t 1 - 1 0$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: S(3|2|1)
1. Gleichsetzen: 2+s=t, 1+s=5−t, s=1.
2. Aus der dritten Gleichung s=1, aus der ersten t=3.
3. Probe in der zweiten: 1+1=2 und 5−3=2. Stimmt.
4. s=1 in g: (2+1|1+1|0+1)=(3|2|1).

11
Zeige, dass $g : x = 100 + s 110$ und $h : x = 002 + t 011$ windschief sind.
Lösung zeigen
Ergebnis: Nicht kollinear, und das Gleichsetzen gibt t=−1 und t=−2: windschief.
1. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear: Der erste hat die dritte Komponente 0, der zweite die erste.
2. Gleichsetzen: 1+s=0, s=t, 0=2+t.
3. Aus den ersten beiden: s=−1 und t=−1. Die dritte verlangt t=−2.
4. Widerspruch: kein Schnittpunkt, nicht parallel, also windschief.
12
Gegeben sind $g : x = 120 + s 101$ und $h : x = 20 a + t 011$ . Für welches a schneiden sich die Geraden? Wie liegen sie für alle anderen Werte von a?
Lösung zeigen
Ergebnis: Für a=−1 schneiden sie sich in S(2|2|1). Für jedes andere a sind sie windschief.
1. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear (Nullen an verschiedenen Stellen). Parallel sind die Geraden also für kein a.
2. Gleichsetzen: 1+s=2, 2=t, s=a+t.
3. Aus den ersten beiden: s=1 und t=2. Die dritte verlangt 1=a+2, also a=1−2=−1.
4. s=1 in g: (1+1|2|0+1)=(2|2|1). Kontrolle mit t=2 in h: (2|0+2|−1+2)=(2|2|1).
5. Für a≠−1 ist die dritte Gleichung falsch: kein Schnittpunkt, nicht parallel, also windschief.
13
Wo durchstösst $g : x = 126 + t 1 - 1 - 3$ die xy-Ebene?
Lösung zeigen
Ergebnis: Im Spurpunkt (3|0|0), für t=2. Der Spurpunkt ist der Punkt, in dem die Gerade die xy-Ebene durchstösst.
1. In der xy-Ebene ist z=0: 6−3t=0, also t=2.
2. t=2 einsetzen: (1+2|2−2|6−6)=(3|0|0).
14
Eine Seilbahn führt von der Talstation T(0|0|500) zur Bergstation B(1200|900|1300), Koordinaten in Metern; das Seil gilt hier vereinfacht als gerade. Stelle die Gerade durch T und B auf. Wo ist die Kabine, wenn sie auf 900 m Höhe ist? Wie lang ist die Strecke TB?
Lösung zeigen
Ergebnis: $g : x = 00500 + t 1200900800$ ; auf 900 m Höhe bei (600|450|900); Länge 1700 m.
1. $T B = 1200900800$ , T als Stützpunkt.
2. Höhe 900: 500+800t=900, also t=12.
3. t=12 einsetzen: (600|450|900).
4. Länge: $120 0^{2} + 90 0^{2} + 80 0^{2} = 2890000 = 1700$ .

Kommst du bei windschiefen Geraden oder beim Schnittpunkt nicht weiter? Eine Lehrperson rechnet die Aufgaben mit dir durch, bis du die Lage zweier Geraden sicher bestimmst. Nachhilfe in Mathematik am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Geraden im Raum

So funktioniert der Trainer

Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt die Begriffe ab, Stufe 2 übt Punkte berechnen und die Punktprobe, Stufe 3 die Lage zweier Geraden.

Zwei Geraden im Raum sind nicht parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Wie heissen sie?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaEbenen im RaumEine Ebene im Raum beschreibst du mit einem Punkt und zwei Richtungen (Parameterform) oder mit einer Gleichung ax + by + cz = d (Koordinatenform). Damit prüfst du, ob Punkte in der Ebene liegen, findest Spurpunkte und schneidest Ebenen.3. Jahr Gymnasium

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Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium in der Vektorgeometrie, meist im 3. Jahr, nach den Grundlagen der Vektoren. Danach folgen Ebenen im Raum sowie Abstände und Winkel.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist die Parameterform einer Geraden?

Die Parameterform x = p + t · r beschreibt eine Gerade mit einem Stützvektor p und einem Richtungsvektor r. Für jeden Wert des Parameters t erhältst du einen Punkt der Geraden.

Was bedeutet windschief?

Zwei Geraden sind windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich trotzdem nicht schneiden. Das gibt es nur im Raum, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer.

Wie prüfe ich, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

Setze den Punkt in die Parameterform ein und löse jede Koordinaten-Gleichung nach t auf. Kommt überall dasselbe t heraus, liegt der Punkt auf der Geraden.

In welcher Klasse kommt die Geradengleichung im Raum?

Am Gymnasium in der Vektorgeometrie, meist im 3. Jahr. Die Gerade y = mx + q in der Ebene kennst du schon aus der Sek.