Kreuzprodukt und Spatprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht; seine Länge ist die Fläche ihres Parallelogramms. Das Spatprodukt dreier Vektoren gibt das Volumen des Spats, den sie aufspannen.

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3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Gymnasiast baut an seinem Pult aus Holzstäben einen schiefen Quader; durch das Fenster sieht man Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Das Kreuzprodukt $a \times b$ zweier im Raum ist wieder ein Vektor. Er steht senkrecht auf $a$ und $b$ , und seine Länge ist die Fläche des Parallelogramms aus beiden. Das Spatprodukt $(a \times b) \cdot c$ ist eine Zahl und gibt das Volumen des Spats aus drei Vektoren.

Die Formel

Für $a = a_{1} a_{2} a_{3}$ und $b = b_{1} b_{2} b_{3}$ gilt:

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

So merkst du es dir: Für die erste Komponente deckst du die erste Zeile ab und rechnest mit den zwei anderen Zeilen über Kreuz. Genauso für die dritte. Bei der mittleren Komponente drehst du das Vorzeichen um.

MerkeZeile abdecken, über Kreuz rechnen; bei der mittleren Komponente das Vorzeichen wechseln.

Die Richtung

$a \times b$ steht senkrecht auf $a$ und auf $b$ . Prüfen kannst du das mit dem : $(a \times b) \cdot a = 0$ und $(a \times b) \cdot b = 0$ .

Die Orientierung gibt die Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung $a$ , Zeigefinger in Richtung $b$ , dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung $a \times b$ .

MerkeDaumen a, Zeigefinger b, Mittelfinger a × b, immer mit der rechten Hand.

Die Länge: Fläche des Parallelogramms

Die Länge des Kreuzprodukts ist die Fläche des Parallelogramms, das $a$ und $b$ aufspannen. Mit dem Winkel $φ$ zwischen den Vektoren gilt:

A = ∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin φ

Im Bild: $a = (4, 0, 0)$ und $b = (1, 3, 0)$ geben $a \times b = (0, 0, 12)$ , also die Fläche 12.

Parallelogramm aus a = (4, 0, 0) und b = (1, 3, 0) in der xy-Ebene. Das Kreuzprodukt ist (0, 0, 12), die Fläche also 12.

Fläche eines Dreiecks

Ein Dreieck ABC ist ein halbes Parallelogramm. Bilde zwei Seitenvektoren ab derselben Ecke und halbiere die Länge ihres Kreuzprodukts:

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B \times A C ∣

Im Bild: $A B = (5, 0, 0)$ , $A C = (1, 4, 0)$ , Kreuzprodukt (0,0,20), Fläche 10.

MerkeDreiecksfläche = die Hälfte vom Betrag des Kreuzprodukts.

Dreieck mit A = (0, 0, 0), B = (5, 0, 0) und C = (1, 4, 0). Das Kreuzprodukt der Seitenvektoren ist (0, 0, 20), die Dreiecksfläche 10.

Rechenregeln

Vertauschen dreht das Vorzeichen: $b \times a = - (a \times b)$ .
Sind $a$ und $b$ parallel, ist $a \times b$ der Nullvektor. Insbesondere gilt $a \times a = 0$ .
Ausmultiplizieren geht: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ .
Klammern versetzen geht nicht: $(a \times b) \times c$ ist meist nicht $a \times (b \times c)$ .

Das Spatprodukt

Drei Vektoren spannen einen Spat auf, einen schiefen Quader. Sein Volumen ist der Betrag des Spatprodukts:

V = ∣ (a \times b) \cdot c ∣

Ist das Spatprodukt 0, liegen die drei Vektoren in einer Ebene. Eine dreiseitige Pyramide (Tetraeder) aus denselben drei Kanten hat einen Sechstel des Spatvolumens.

MerkeSpat: V = |(a × b) · c|. Tetraeder: ein Sechstel davon.

Kreuzprodukt und Spatprodukt: Merkblatt mit Formel und Beispiel. V = |(a × b) · c|. Beispiel: a × b = 5 ; -5 ; 5. — Merkblatt Kreuzprodukt und Spatprodukt: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Mittlere Komponente als $a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}$ rechnen.
✓Die mittlere Komponente ist $a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}$ . Beim Abdecken der mittleren Zeile kommt ein Minus davor.
✕ $a \times b = b \times a$ , wie beim Skalarprodukt.
✓Das Kreuzprodukt ist nicht vertauschbar: $b \times a = - (a \times b)$ .
✕Dreiecksfläche $= ∣ A B \times A C ∣$ .
✓Das ist die Fläche des Parallelogramms. Das Dreieck ist die Hälfte davon: $\frac{1}{2} \cdot ∣ A B \times A C ∣$ .
✕Komponentenweise multiplizieren: (2,1,3)×(1,4,2)=(2,4,6).
✓Jede Komponente kommt aus den zwei anderen Zeilen über Kreuz: (1·2−3·4, 3·1−2·2, 2·4−1·1)=(−10,−1,7).

Begriffe zum Nachschlagen

Kreuzprodukt: Produkt zweier Vektoren im Raum, das wieder einen Vektor ergibt. Er steht senkrecht auf beiden, seine Länge ist die Fläche ihres Parallelogramms. Auch Vektorprodukt genannt.
Spatprodukt: Die Zahl $(a \times b) \cdot c$ . Ihr Betrag ist das Volumen des Spats aus den drei Vektoren.
Spat: Ein schiefer Quader: ein Körper mit sechs Parallelogrammen als Seitenflächen, aufgespannt von drei Vektoren. Auch Parallelepiped genannt.
Rechte-Hand-Regel: Daumen zeigt in Richtung $a$ , Zeigefinger in Richtung $b$ , der Mittelfinger dann in Richtung $a \times b$ .
Nullvektor: Der Vektor $0 = (0, 0, 0)$ ohne Länge und ohne Richtung.
Normalenvektor: Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht. Das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren der Ebene ist ein Normalenvektor.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Vektoren: Grundlagen und Rechnen Skalarprodukt und Winkel

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Kreuzprodukt berechnen

Berechne $a \times b$ für $a = 21 - 1$ und $b = 132$ .

Lösung Schritt für Schritt

Erste Komponente: erste Zeile abdecken, über Kreuz rechnen. $a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} = 1 \cdot 2 - (- 1) \cdot 3 = 5$
Zweite Komponente, mit umgedrehtem Vorzeichen: $a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} = (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 2 = - 5$
Dritte Komponente: $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$
Probe mit dem Skalarprodukt: Das Ergebnis muss auf beiden Vektoren senkrecht stehen.2·5+1·(−5)+(−1)·5=0 1·5+3·(−5)+2·5=0

$a \times b = 5 - 5 5$

Beispiel 2Fläche eines Dreiecks im Raum

Berechne die Fläche des Dreiecks mit A(1|0|2), B(3|2|2) und C(1|1|4).

Lösung Schritt für Schritt

Seitenvektoren ab der Ecke A, jeweils Spitze minus Fuss: $A B = 220 A C = 012$
Kreuzprodukt: $A B \times A C = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 4 - 4 2$
Betrag, das ist die Fläche des Parallelogramms: $4^{2} + (- 4)^{2} + 2^{2} = 36 = 6$
Das Dreieck ist die Hälfte davon:A=12·6=3

Das Dreieck hat die Fläche 3 (Flächeneinheiten).

Beispiel 3Sonnensegel im Garten

Ein dreieckiges Sonnensegel ist zwischen Hauswand und einem Pfosten gespannt, darunter sitzt eine Familie am Gartentisch.

Familie Huber in Winterthur spannt ein dreieckiges Sonnensegel. Zwei Ecken hängen an der Hauswand bei A(0|0|5) und C(0|6|5), die dritte an einem Pfosten bei B(4|0|2) (Angaben in Metern). Der Stoff kostet 18 Franken pro m². Wie gross ist das Segel und was kostet der Stoff?

Lösung Schritt für Schritt

Seitenvektoren ab A: $A B = 40 - 3 A C = 060$
Kreuzprodukt: $0 \cdot 0 - (- 3) \cdot 6 (- 3) \cdot 0 - 4 \cdot 0 4 \cdot 6 - 0 \cdot 0 = 18024$
Betrag und Hälfte: $1 8^{2} + 0^{2} + 2 4^{2} = 900 = 30 A = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$
Das Segel misst 15 m². Stoffpreis:15·18=270

Das Segel hat 15 m², der Stoff kostet 270 Franken.

Beispiel 4Volumen mit dem Spatprodukt

Berechne das Volumen des Spats aus $a = 120$ , $b = 013$ und $c = 201$ und das Volumen des Tetraeders aus denselben Kanten.

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst das Kreuzprodukt von $a$ und $b$ : $a \times b = 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 6 - 3 1$
Dann das Skalarprodukt mit $c$ : $(a \times b) \cdot c = 6 \cdot 2 + (- 3) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 13$
Der Betrag ist das Spatvolumen. Das Tetraeder hat einen Sechstel davon: $V_{Spat} = 13 V_{Tetraeder} = \frac{13}{6}$

Der Spat hat das Volumen 13, das Tetraeder 136≈2.17 (Volumeneinheiten).

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Berechne $100 \times 010$ .
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Ergebnis: $001$
Die beiden Vektoren spannen ein Quadrat mit Seitenlänge 1 auf. Seine Fläche 1 ist die Länge des Kreuzprodukts (0, 0, 1).
1. Erste Komponente: 0·0−0·1=0
2. Zweite Komponente: 0·0−1·0=0
3. Dritte Komponente: 1·1−0·0=1. Die x-Achse mal die y-Achse gibt die z-Achse.
2
Berechne $231 \times 104$ .
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Ergebnis: $12 - 7 - 3$
1. Erste Komponente: 3·4−1·0=12
2. Zweite Komponente: 1·1−2·4=−7
3. Dritte Komponente: 2·0−3·1=−3
4. Probe: 2·12+3·(−7)+1·(−3)=0
3
Wie gross ist das Parallelogramm aus $a = 300$ und $b = 120$ ?
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Ergebnis: Fläche 6
Parallelogramm aus a = (3, 0, 0) und b = (1, 2, 0): Grundseite 3, Höhe 2, Fläche 6.
1. $a \times b = 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 = 006$
2. Betrag: $∣ a \times b ∣ = 6$
3. Kontrolle: Grundseite 3 mal Höhe 2 gibt ebenfalls 6.
4
Berechne $123 \times 246$ . Was fällt dir auf?
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Ergebnis: $000$ , der Nullvektor
1. Erste Komponente: 2·6−3·4=0
2. Zweite Komponente: 3·2−1·6=0, dritte: 1·4−2·2=0
3. Der zweite Vektor ist das Doppelte des ersten. Parallele Vektoren spannen keine Fläche auf.
5
Berechne die Fläche des Dreiecks mit A(0|0|0), B(6|0|0) und C(2|3|0).
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Ergebnis: Fläche 9
Dreieck ABC in der xy-Ebene: Grundseite 6, Höhe 3, Fläche 9, also die Hälfte von 18.
1. $A B = (6, 0, 0)$ , $A C = (2, 3, 0)$
2. $A B \times A C = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, 0 \cdot 2 - 6 \cdot 0, 6 \cdot 3 - 0 \cdot 2) = (0, 0, 18)$ , Betrag 18
3. Halbieren: A=12·18=9

6
Es gilt $a \times b = 2 - 1 4$ . Wie lautet $b \times a$ ?
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Ergebnis: $- 2 1 - 4$
1. Vertauschen dreht das Vorzeichen: $b \times a = - (a \times b)$
2. Jede Komponente mal −1.
7
Berechne die Fläche des Parallelogramms aus $a = 1 - 3 0$ und $b = 232$ .
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Ergebnis: $121 = 11$
1. $a \times b = (- 3) \cdot 2 - 0 \cdot 3 0 \cdot 2 - 1 \cdot 2 1 \cdot 3 - (- 3) \cdot 2 = - 6 - 2 9$
2. Betrag: $36 + 4 + 81 = 121 = 11$
8
Berechne die Fläche des Dreiecks mit A(2|0|1), B(3|2|3) und C(5|0|4).
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Ergebnis: 92=4.5
1. $A B = (1, 2, 2)$ , $A C = (3, 0, 3)$
2. $A B \times A C = (2 \cdot 3 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3) = (6, 3, - 6)$
3. Betrag: $36 + 9 + 36 = 9$
4. Fläche: 12·9=92
9
Berechne das Volumen des Spats aus $a = 200$ , $b = 030$ und $c = 114$ .
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Ergebnis: V=24
1. $a \times b = (0, 0, 6)$
2. $(a \times b) \cdot c = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 24$
3. Kontrolle: Grundfläche 2·3=6 mal Höhe 4 gibt 24.
10
Liegen $a = 123$ , $b = 011$ und $c = 257$ in einer Ebene?
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Ergebnis: Ja, das Spatprodukt ist 0.
1. $a \times b = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1, 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (- 1, - 1, 1)$
2. $(a \times b) \cdot c = - 2 - 5 + 7 = 0$
3. Spatprodukt 0 heisst: kein Volumen, die drei Vektoren liegen in einer Ebene.

11
Eine Ebene geht durch P(1|0|0), Q(0|2|0) und R(0|0|3). Bestimme einen Normalenvektor und die Fläche des Dreiecks PQR.
Lösung zeigen
Ergebnis: $n = (6, 3, 2)$ , Fläche 72=3.5
1. $P Q = (- 1, 2, 0)$ , $P R = (- 1, 0, 3)$
2. $P Q \times P R = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (6, 3, 2)$
3. Betrag: $36 + 9 + 4 = 7$ , Fläche 12·7=72
12
Berechne das Volumen des Tetraeders mit den Ecken A(1|0|0), B(3|1|0), C(1|2|1) und D(2|1|4).
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Ergebnis: V=52
1. Kanten ab A: $A B = (2, 1, 0)$ , $A C = (0, 2, 1)$ , $A D = (1, 1, 4)$
2. $A B \times A C = (1, - 2, 4)$
3. Spatprodukt: 1·1+(−2)·1+4·4=15
4. Tetraeder: 16·15=52
13
Für welches t liegen $a = 102$ , $b = 011$ und $c = 23 t$ in einer Ebene?
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Ergebnis: t=7
1. $a \times b = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 2, - 1, 1)$
2. Spatprodukt: −2·2−1·3+1·t=t−7
3. In einer Ebene heisst Spatprodukt 0: t−7=0, also t=7.
14
Bestimme einen Vektor der Länge 1, der senkrecht auf $a = 1 - 1 0$ und $b = 10 - 2$ steht. Gib die erste Komponente an.
Lösung zeigen
Ergebnis: $e = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ , erste Komponente 23
1. $a \times b = ((- 1) \cdot (- 2) - 0 \cdot 0, 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1) = (2, 2, 1)$ steht senkrecht auf beiden.
2. Länge: $4 + 4 + 1 = 3$
3. Durch die Länge teilen: $\frac{1}{3} \cdot (2, 2, 1) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ . Auch der Gegenvektor ist eine Lösung.

Verwechselst du beim Kreuzprodukt noch die Vorzeichen oder steht bald eine Prüfung in Vektorgeometrie an? Eine Lehrperson rechnet mit dir, bis das Schema sitzt. Mathematik-Nachhilfe fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Kreuzprodukt und Spatprodukt

So funktioniert der Trainer

27 Fragen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 fragt Eigenschaften und Regeln ab, Stufe 2 rechnet Kreuzprodukte, Stufe 3 Flächen, Volumen und Spatprodukte.

Wie berechnest du die Fläche des Dreiecks ABC?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 3. Jahr, direkt nach dem Skalarprodukt. Gebraucht wird es danach für Normalenvektoren von Ebenen, für Flächen und Volumen und für Abstände im Raum.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?

Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl und sagt etwas über den Winkel: Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht. Das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht, und seine Länge ist die Fläche ihres Parallelogramms.

Gibt es das Kreuzprodukt auch für Vektoren in der Ebene?

Das Kreuzprodukt ist für Vektoren im Raum mit drei Komponenten definiert. Für zwei Vektoren der Ebene ergänzt du als dritte Komponente eine 0; dann ist $a \times b = (0, 0, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ , und der Betrag der dritten Komponente ist die Fläche des Parallelogramms.

Wozu braucht man das Kreuzprodukt?

In der Vektorgeometrie für Normalenvektoren von Ebenen, für Flächen von Dreiecken und Parallelogrammen und mit dem Spatprodukt für Volumen. In der Physik beschreibt es zum Beispiel das Drehmoment und die Lorentzkraft.

In welcher Klasse kommt das Kreuzprodukt?

Am Gymnasium, meist im 3. Jahr in der Vektorgeometrie, nach dem Skalarprodukt. In der Sekundarschule kommt es nicht vor.