Integralrechner
Gib eine Funktion ein: Der Rechner findet die Stammfunktion oder das bestimmte Integral von a bis b und zeigt die Fläche dazu.
So gibst du ein
- Wähle Bestimmtes Integral, wenn du Grenzen a und b hast, sonst Stammfunktion.
- Mal mit * oder ·, hoch mit ^, Wurzeln als sqrt(x): 3x^2 + sqrt(x).
- Integriert werden Potenzen, 1/x, e^x, sin, cos und ln, auch mit innerer Funktion wie (2x + 1)^3.
Integral∫₀² f(x) dx=23≈0.6667
StammfunktionF(x)=x³3−x+C
Rechenweg
Summen- und Faktorregel: Integriere jeden Summanden einzeln. Ein konstanter Faktor bleibt stehen.
∫ f(x) dx=∫ x² dx − ∫ 1 dx
Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ : (n + 1) für n ≠ −1. Eine Konstante c wird zu c · x.
∫ x² dx=x³3,∫ (−1) dx=−x
Zähle zusammen und vergiss die Integrationskonstante C nicht: Jede Konstante fällt beim Ableiten weg.
F(x)=x³3−x+C
Hauptsatz: Das bestimmte Integral ist F(b) − F(a). Das C fällt dabei weg, du kannst C = 0 nehmen.
∫₀² f(x) dx=F(2) − F(0)
Setze b = 2 in F ein.
F(2)=2³3−2=23≈0.6667
Setze a = 0 in F ein.
F(0)=0³3−0=0
Ziehe ab.
F(2) − F(0)=2/3 − 0=23≈0.6667
Achtung: Das Integral zählt Flächen unter der x-Achse negativ. Hier liegt ein Teil des Graphen unter der Achse, darum ist das Integral kleiner als die ganze Fläche.
Fläche über der Achse ≈ 1.3333,unter der Achse ≈ 0.6667,ganze Fläche ≈ 2
So rechnest du es selbst
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Gut zu wissen
Häufige Fragen
Warum steht bei der Stammfunktion + C?
Jede Konstante fällt beim Ableiten weg. Darum sind x² + 1 und x² − 7 beide Stammfunktionen von 2x. Das C steht für alle diese Möglichkeiten.
Warum ist mein Integral negativ?
Liegt der Graph unter der x-Achse, zählt das Integral diese Fläche negativ. Für die Fläche selbst rechnest du die Stücke zwischen den Nullstellen einzeln und nimmst jeweils den Betrag.
Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?
Das unbestimmte Integral ist die Stammfunktion F(x) + C, also eine Funktion. Das bestimmte Integral von a bis b ist eine Zahl: F(b) − F(a).