Integral und Integralrechnung

Ein bestimmtes Integral misst die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unter der Achse negativ zählen. Du berechnest es mit einer Stammfunktion: obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, die Differenz bilden.

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3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Gymnasiastin zeichnet an einem Fenster eine geschwungene Kurve, draussen liegen sanfte Hügel mit einem Dorf.

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Das musst du wissen

Erklärung

Das bestimmte Integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$ misst die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse von a bis b. Du rechnest es mit einer F aus: F(b)−F(a). Liegt der Graph unter der x-Achse, zählt die Fläche negativ.

Die Idee: schmale Rechtecke aufsummieren

Teile den Bereich von a bis b in schmale Streifen. Jeder Streifen ist fast ein Rechteck: Breite $Δ x$ , Höhe f(x).

Die Summe aller Rechtecke ist eine Näherung für die Fläche. Je schmaler die Streifen, desto genauer. Der dieser Summen ist das Integral.

MerkeDas Zeichen $\int$ ist ein langgezogenes S, es steht für «Summe».

Graph von f(x) = x² mit den Grenzen x = 0 und x = 2. Das Integral ist die Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse.

So liest du die Schreibweise

\int_{a}^{b} f (x) d x

a ist die untere Grenze, b die obere Grenze. Die Funktion f(x) heisst Integrand. Das dx sagt, dass nach x integriert wird.

Gelesen: «Integral von a bis b über f von x dx».

Der Hauptsatz: so rechnest du

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt: Ist F eine Stammfunktion von f, also $F^{'} (x) = f (x)$ , dann gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Für f(x)=x² von 0 bis 2: F(x)=x³3, also 83−0=83.

MerkeStammfunktion bilden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, subtrahieren.

Die Stammfunktionen, die du brauchst

Potenzregel: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ für n≠−1
Konstante: $\int k d x = k x + C$
Faktor bleibt stehen, Summen integrierst du Glied für Glied.

C ist eine beliebige Konstante, denn ihre ist 0. Beim bestimmten Integral fällt sie weg, weil sie bei F(b)−F(a) verschwindet.

Integral ist nicht immer Fläche

Unter der x-Achse liefert das Integral einen negativen Wert. Bei f(x)=x³ von −1 bis 1 heben sich die beiden Teile auf: $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ .

Die Fläche ist aber 14+14=12.

Dieselbe Idee gibt die Fläche zwischen zwei Graphen f und g: Schnittstellen suchen, dann obere minus untere Funktion integrieren, $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ , wenn f zwischen a und b oben liegt.

MerkeFür eine Fläche zuerst die Nullstellen suchen, jedes Stück einzeln integrieren und die Beträge addieren.

Graph von f(x) = x³ von −1 bis 1: Links liegt er unter, rechts über der x-Achse. Beide Teilflächen sind gleich gross.

Rechenregeln

$\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
$\int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$
$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ und $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$
$\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$

Integral und Integralrechnung: Merkblatt mit Formel und Beispiel. _a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a). Beispiel: 1³ 2x dx = 8. — Merkblatt Integral und Integralrechnung: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕F(a)−F(b) rechnen, also untere minus obere Grenze.
✓Immer obere minus untere Grenze: F(b)−F(a).
✕ $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ , also ist die Fläche 0.
✓Das Integral zählt Flächen unter der x-Achse negativ. Die Fläche ist 14+14=12.
✕Bei $\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4) d x$ mit F(x)=x³−4x die Klammer um F(1) vergessen: (8−8)−1−4=−5.
✓F(1)=1−4 als Ganzes abziehen: (8−8)−(1−4)=0+3=3.
✕ $\int x^{2} d x = 2 x$ , also abgeleitet statt integriert.
✓Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens: Hochzahl plus 1, dann durch die neue Hochzahl teilen, x³3.

Begriffe zum Nachschlagen

Integral: Das bestimmte Integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse von a bis b: oberhalb positiv, unterhalb negativ.
Stammfunktion: Eine Funktion F, deren Ableitung f ist: $F^{'} (x) = f (x)$ . Zu f(x)=2x gehört zum Beispiel F(x)=x².
Integrand: Die Funktion, die integriert wird, also f(x) in $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Integrationsgrenze: Die Zahlen a (untere Grenze) und b (obere Grenze) beim bestimmten Integral. Sie legen fest, von wo bis wo integriert wird.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Grenzwerte und Stetigkeit Stammfunktion und Integrationsregeln Ableitung und Ableitungsregeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein erstes Integral

Berechne $\int_{1}^{3} 2 x d x$ .

Graph von f(x) = 2x: Zwischen x = 1 und x = 3 liegt unter der Geraden ein Trapez mit der Fläche 8.

Lösung Schritt für Schritt

Stammfunktion von 2x bilden:F(x)=x²
Obere und untere Grenze einsetzen:F(3)=9 F(1)=1
Obere minus untere: $\int_{1}^{3} 2 x d x = 9 - 1 = 8$
Kontrolle mit Geometrie: Unter der Geraden liegt ein Trapez mit den Höhen 2 und 6 und der Breite 2, also 2+62·2=8.

$\int_{1}^{3} 2 x d x = 8$

Beispiel 2Ein Polynom integrieren

Berechne $\int_{- 1}^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Glied für Glied integrieren:F(x)=x³−x²+x
Obere Grenze einsetzen:F(2)=8−4+2=6
Untere Grenze einsetzen, Vorzeichen genau beachten:F(−1)=−1−1−1=−3
Subtrahieren, mit Klammer:6−(−3)=9

$\int_{- 1}^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = 9$

Beispiel 3Fläche, wenn der Graph die Achse schneidet

Wie gross ist die Fläche zwischen dem Graphen von f(x)=x²−1 und der x-Achse von x=0 bis x=2?

Graph von f(x) = x² − 1: Von 0 bis 1 liegt er unter der x-Achse, von 1 bis 2 darüber. Die Nullstelle bei x = 1 trennt die beiden Teilflächen.

Lösung Schritt für Schritt

Nullstellen im Bereich suchen: Dort wechselt der Graph die Seite.x²−1=0 ⇒ x=1
Stammfunktion bilden:F(x)=x³3−x
Erstes Stück von 0 bis 1, es liegt unter der Achse:F(1)−F(0)=13−1−0=−23
Zweites Stück von 1 bis 2: $F (2) - F (1) = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{4}{3}$
Beträge addieren:23+43=2

Die Fläche ist 2. Das Integral von 0 bis 2 wäre nur 23, weil sich die Teile teilweise aufheben.

Beispiel 4Wasser im Speichersee

Ein Bergsee in den Bündner Alpen wird über ein Rohr gefüllt, daneben stehen zwei Schneekanonen auf einer grünen Skipiste.

Ein Speichersee für die Beschneiung in Davos wird gefüllt. Der Zufluss beträgt r(t)=1200t−100t² Kubikmeter pro Stunde, t in Stunden ab Beginn. Wie viel Wasser fliesst in den ersten 6 Stunden zu?

Lösung Schritt für Schritt

Die zugeflossene Menge ist das Integral des Zuflusses über die Zeit: $\int_{0}^{6} (1200 t - 100 t^{2}) d t$
Stammfunktion bilden:F(t)=600t²−100t³3
Grenzen einsetzen:F(6)−F(0)=600·36−100·2163−0=21600−7200=14400
Einheit: Kubikmeter pro Stunde mal Stunden gibt Kubikmeter.

In den ersten 6 Stunden fliessen 14'400 m³ Wasser zu, so viel wie in etwa sechs Schwimmbecken von 50 m Länge.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse5

1
Berechne $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
Graph von f(x) = x² von 0 bis 3: Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist 9.
1. Stammfunktion: F(x)=x³3
2. F(3)=273=9, F(0)=0
3. 9−0=9
2
Berechne $\int_{2}^{5} 4 d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 12
Graph von f(x) = 4: Von x = 2 bis x = 5 liegt darunter ein Rechteck mit Breite 3 und Höhe 4, also der Fläche 12.
1. Stammfunktion: F(x)=4x
2. F(5)=20, F(2)=8
3. 20−8=12
3
Berechne $\int_{0}^{4} x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 8
Graph von f(x) = x von 0 bis 4: Darunter liegt ein Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 4, also der Fläche 8.
1. Stammfunktion: F(x)=x²2
2. F(4)=162=8, F(0)=0
3. 8−0=8
4
Berechne $\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 15
1. Stammfunktion: F(x)=x⁴
2. F(2)=16, F(1)=1
3. 16−1=15

5
Berechne $\int_{- 1}^{2} (2 x + 1) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 6
1. Stammfunktion: F(x)=x²+x
2. F(2)=4+2=6, F(−1)=1−1=0
3. 6−0=6
6
Berechne $\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 23
1. Stammfunktion: F(x)=x³3−x²
2. F(3)=9−9=0, F(1)=13−1=−23
3. $0 - (- \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$
7
Berechne $\int_{- 2}^{0} x^{3} d x$ .
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Ergebnis: −4
1. Stammfunktion: F(x)=x⁴4
2. F(0)=0, F(−2)=164=4
3. 0−4=−4. Negativ, weil der Graph hier unter der x-Achse liegt.
8
Berechne $\int_{1}^{4} (6 x^{2} - 4 x + 2) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 102
1. Stammfunktion: F(x)=2x³−2x²+2x
2. F(4)=128−32+8=104, F(1)=2−2+2=2
3. 104−2=102
9
Berechne $\int_{3}^{1} x^{2} d x$ . Achte auf die Reihenfolge der Grenzen.
Lösung zeigen
Ergebnis: −263
1. Die obere Grenze ist hier 1, die untere 3.
2. F(x)=x³3: F(1)−F(3)=13−9
3. =−263, also das Negative von $\int_{1}^{3} x^{2} d x$ .

10
Wie gross ist die Fläche zwischen dem Graphen von f(x)=4−x² und der x-Achse?
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Ergebnis: 323≈10.67
1. Nullstellen: 4−x²=0 gibt x=−2 und x=2. Dazwischen liegt der Graph über der Achse.
2. F(x)=4x−x³3
3. $F (2) - F (- 2) = (8 - \frac{8}{3}) - (- 8 + \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$
11
Wie gross ist die Fläche zwischen dem Graphen von f(x)=x³−x und der x-Achse von −1 bis 1?
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Ergebnis: Die Fläche ist 12. Das Integral selbst wäre 0.
1. Nullstellen: x³−x=x(x−1)(x+1), also −1, 0 und 1.
2. F(x)=x⁴4−x²2: von −1 bis 0 gibt 14, von 0 bis 1 gibt −14.
3. Beträge addieren: 14+14=12
12
Für welche Zahl k gilt $\int_{0}^{3} k \cdot x^{2} d x = 18$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: k=2
1. $\int_{0}^{3} k \cdot x^{2} d x = k \cdot \frac{27}{3} = 9 k$
2. 9k=18
3. k=18:9=2
13
Berechne die Fläche zwischen den Graphen von f(x)=x² und g(x)=x+2.
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Ergebnis: 92=4.5
1. Schnittstellen: x²=x+2 gibt x=−1 und x=2. Dazwischen liegt die Gerade oben.
2. Obere minus untere Funktion integrieren: $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x$
3. F(x)=x²2+2x−x³3: $F (2) - F (- 1) = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{9}{2}$
14
Ein Zug fährt im Bahnhof Olten an. Seine Geschwindigkeit ist v(t)=0.5t in Metern pro Sekunde, t in Sekunden. Wie viele Meter legt er in den ersten 40 Sekunden zurück?
Lösung zeigen
Ergebnis: 400 m
1. Der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit: $\int_{0}^{40} 0.5 t d t$
2. Stammfunktion: F(t)=0.25t²
3. F(40)−F(0)=0.25·1600=400, also 400 m.

Hängst du beim Integrieren fest oder steht bald eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson geht die Aufgaben mit dir Schritt für Schritt durch. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

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Bilde Stammfunktionen, berechne bestimmte Integrale und Flächen. Jede Runde mischt neue Aufgaben, die Erklärung zeigt dir den Weg.

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 3. Jahr, je nach Schule auch erst im 4., direkt nach dem Ableiten und den Stammfunktionen. Danach folgen Flächen zwischen Kurven und die Integrationsmethoden.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist ein Integral, einfach erklärt?

Ein bestimmtes Integral misst die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Bereich. Flächen unter der Achse zählen dabei negativ. Ausgerechnet wird es mit einer Stammfunktion: F(b)−F(a).

Was ist der Unterschied zwischen Integral und Fläche?

Das Integral rechnet Teile unter der x-Achse negativ, die Fläche ist immer positiv. Schneidet der Graph die Achse, rechnest du die Teilstücke zwischen den Nullstellen einzeln und addierst ihre Beträge.

Wann lernt man Integralrechnung?

Am Gymnasium nach dem Ableiten, meist im 3. Jahr, je nach Schule auch erst im 4. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor. An Hochschulen gehört sie in den ersten Semestern zu Mathematik, Naturwissenschaften und Wirtschaft.

Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?

Das unbestimmte Integral $\int f (x) d x = F (x) + C$ ist die Menge aller Stammfunktionen, also eine ganze Schar von Funktionen. Das bestimmte Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl.