Stammfunktion und Integrationsregeln

Eine Stammfunktion $F$ von $f$ ist eine Funktion mit $F'(x) = f(x)$, du kehrst also das Ableiten um. Mit wenigen Integrationsregeln findest du sie für Potenzen, Wurzeln, e-Funktion, Sinus und Kosinus.

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3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Gymnasiast steht im frischen Schnee und schaut einer Spur von Fussabdrücken nach, die zu einem Chalet am Hang zurückführt.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren wieder f gibt: $F^{'} (x) = f (x)$ . Du findest sie mit den Integrationsregeln, vor allem der Potenzregel $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ . Am Schluss prüfst du dein Ergebnis, indem du es ableitest.

Ableiten rückwärts

Beim Ableiten fragst du: Was ist die Steigung von F? Beim Integrieren fragst du umgekehrt: Von welcher Funktion ist f die Ableitung?

Zu f(x)=2x passt F(x)=x², denn $(x^{2})^{'} = 2 x$ . Zu f(x)=3x² passt F(x)=x³.

MerkeOb eine Stammfunktion stimmt, prüfst du durch Ableiten: $F^{'}$ muss wieder f geben.

Graph von f(x) = 2x und der Stammfunktion F(x) = x²: Wo f negativ ist, fällt F; wo f positiv ist, steigt F.

Die Konstante C und das unbestimmte Integral

x², x²+3 und x²−1 haben alle die Ableitung 2x, denn eine Konstante fällt beim Ableiten weg.

Zu jeder Funktion gibt es darum unendlich viele Stammfunktionen. Sie unterscheiden sich nur um eine Zahl C, die .

Alle Stammfunktionen zusammen schreibst du als unbestimmtes Integral:

\int 2 x d x = x^{2} + C

Das dx sagt, dass x die Variable ist.

MerkeBeim unbestimmten Integral gehört immer +C dazu.

Drei Stammfunktionen von f(x) = 2x: x² − 1, x² und x² + 2. Die Graphen sind nur nach oben oder unten verschoben und haben an jeder Stelle dieselbe Steigung.

Potenz-, Faktor- und Summenregel

Potenzregel: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ für n≠−1
Konstante: $\int k d x = k x + C$
Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt stehen, $\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x$ .
Summenregel: Eine Summe integrierst du Glied für Glied.

Beispiel: $\int (4 x^{3} + 6 x) d x = x^{4} + 3 x^{2} + C$ .

MerkeHochzahl um 1 erhöhen, dann durch die neue Hochzahl teilen.

Wurzeln und Brüche als Potenzen

Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Hochzahlen. Schreib dafür zuerst um:

$x = x^{\frac{1}{2}}$ , also $\int x d x = \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ , also $\int \frac{1}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C = - \frac{1}{x} + C$

Die einzige Ausnahme ist n=−1, denn dort müsstest du durch 0 teilen. Für 1x gilt:

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C (x \neq = 0)

Der Betrag sorgt dafür, dass die Formel auch für negative x stimmt.

Grundintegrale: e-Funktion, Sinus und Kosinus

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , denn die ist ihre eigene Ableitung.
$\int cos x d x = sin x + C$
$\int sin x d x = - cos x + C$

Das Minus beim kommt daher, dass $(cos x)^{'} = - sin x$ ist. Darum brauchst du $- cos x$ , damit die Ableitung $+ sin x$ gibt.

MerkeAbleiten geht im Kreis: $sin \to cos \to - sin \to - cos \to sin$ . Integrieren geht diesen Kreis rückwärts.

Lineare Verkettung: f(ax + b)

Steht innen ein linearer Term ax+b mit a≠0, integrierst du aussen wie gewohnt und teilst durch a:

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C

Grund: Leitest du F(ax+b) ab, liefert die den Faktor a. Das 1a hebt ihn wieder auf.

$\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$
$\int (2 x + 1)^{3} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{4} + C = \frac{1}{8} (2 x + 1)^{4} + C$

Das klappt nur, wenn der innere Term linear ist. Für $e^{x^{2}}$ gilt es nicht.

Stammfunktion und Integrationsregeln: Merkblatt mit Formel und Beispiel. 2x dx = x² + C. Ob eine Stammfunktion stimmt, prüfst du durch Ableiten: F' muss wieder f geben. Beispiel: ≤ft(6x² - 4x + 5)dx = 2x³ - 2x² + 5x + C. — Merkblatt Stammfunktion und Integrationsregeln: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $\int x^{3} d x = x^{4} + C$ , also nur die Hochzahl erhöht.
✓Danach durch die neue Hochzahl teilen: $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$ . Probe: $(\frac{x ^{4}}{4})^{'} = x^{3}$ .
✕ $\int sin x d x = cos x + C$
✓ $\int sin x d x = - cos x + C$ , denn $(- cos x)^{'} = sin x$ .
✕ $\int e^{2 x} d x = e^{2 x} + C$
✓Die innere Ableitung 2 musst du ausgleichen: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .
✕Ein Produkt Faktor für Faktor integrieren: $\int x \cdot x^{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C$ .
✓Für Produkte gibt es keine solche Regel. Zuerst vereinfachen: x·x²=x³, also $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Stammfunktion: Eine Funktion F mit $F^{'} (x) = f (x)$ . Zu f(x)=3x² gehört zum Beispiel F(x)=x³.
Integrationskonstante: Die beliebige Zahl C, um die sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden. Beim Ableiten fällt sie weg.
unbestimmtes Integral: Die Menge aller Stammfunktionen von f, geschrieben $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Es hat keine Grenzen und ergibt keine Zahl, sondern Funktionen.
Integrand: Die Funktion, die integriert wird, also f(x) in $\int f (x) d x$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln Potenzen und Potenzgesetze Kettenregel

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein Polynom integrieren

Bestimme $\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Summenregel: Jedes Glied einzeln integrieren. $\int 6 x^{2} d x - \int 4 x d x + \int 5 d x$
Potenzregel und Faktorregel auf jedes Glied anwenden:6·x³3−4·x²2+5x=2x³−2x²+5x
Die Integrationskonstante anhängen:2x³−2x²+5x+C
Probe durch Ableiten: $(2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C)^{'} = 6 x^{2} - 4 x + 5$

$\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$

Beispiel 2Wurzel und Bruch umschreiben

Bestimme $\int (x + \frac{1}{x ^{2}}) d x$ für x>0.

Lösung Schritt für Schritt

Als Potenzen schreiben: $\int (x^{\frac{1}{2}} + x^{- 2}) d x$
Potenzregel für $x^{\frac{1}{2}}$ : Die neue Hochzahl ist 32, durch 32 teilen heisst mal 23. $\frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
Potenzregel für $x^{- 2}$ : Die neue Hochzahl ist −1. $\frac{x ^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x}$
Zusammensetzen und C anhängen: $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{x} + C$

$\int (x + \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{x} + C = \frac{2}{3} x x - \frac{1}{x} + C$

Beispiel 3e-Funktion und Kosinus mit innerem Faktor

Bestimme $\int (e^{2 x} + cos (3 x)) d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Glied für Glied. Innen steht jeweils ein linearer Term, also durch seinen Faktor teilen. $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}$
Beim : Stammfunktion ist der Sinus, durch 3 teilen. $\int cos (3 x) d x = \frac{1}{3} sin (3 x)$
Zusammensetzen: $\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{3} sin (3 x) + C$
Probe: Die Kettenregel liefert die Faktoren 2 und 3 zurück. $\frac{1}{2} \cdot 2 e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 3 cos (3 x) = e^{2 x} + cos (3 x)$

$\int (e^{2 x} + cos (3 x)) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{3} sin (3 x) + C$

Beispiel 4Neuschnee in Arosa

Zwei Jugendliche schauen aus dem Fenster eines Chalets in einem Bündner Bergdorf, draussen fällt dichter Schnee auf Dächer und Tannen.

In Arosa liegen am Morgen 30 cm Schnee. Danach schneit es 8 Stunden lang, immer schwächer: Die Schneehöhe wächst mit r(t)=4−0.5t Zentimetern pro Stunde, t in Stunden. Wie hoch liegt der Schnee nach 6 Stunden?

Graph der Schneehöhe h(t) = 4t − 0.25t² + 30: Sie beginnt bei 30 cm und erreicht nach 6 Stunden 45 cm. Gegen Ende wird die Kurve flach, weil es kaum noch schneit.

Lösung Schritt für Schritt

Die Schneehöhe h(t) ist eine Stammfunktion der Wachstumsrate r(t):h(t)=4t−0.25t²+C
C aus dem Anfangswert bestimmen: Bei t=0 liegen 30 cm.h(0)=0−0+C=30 ⇒ C=30
Die Funktion für die Schneehöhe:h(t)=4t−0.25t²+30
Für t=6 einsetzen:h(6)=24−9+30=45

Nach 6 Stunden liegen 45 cm Schnee.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Bestimme $\int x^{4} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 15x⁵+C
Graph von f(x) = x⁴ und der Stammfunktion F(x) = x⁵/5: f ist nie negativ, darum steigt F überall.
1. Potenzregel: Hochzahl 4+1=5.
2. Durch die neue Hochzahl teilen: x⁵5.
3. C anhängen: 15x⁵+C
2
Bestimme $\int 7 d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 7x+C
Graph von f(x) = 7 und der Stammfunktion F(x) = 7x: Die Gerade F hat überall die Steigung 7, das ist der Wert von f.
1. Eine Konstante k hat die Stammfunktion kx.
2. Also $\int 7 d x = 7 x + C$ .
3. Probe: $(7 x)^{'} = 7$
3
Bestimme $\int (12 x^{3} + 6 x) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 3x⁴+3x²+C
Graph von f(x) = 12x³ + 6x und der Stammfunktion F(x) = 3x⁴ + 3x²: Bei x = 0 ist f null, dort hat F seinen Tiefpunkt.
1. Glied für Glied: 12·x⁴4=3x⁴
2. 6·x²2=3x²
3. Zusammen: 3x⁴+3x²+C
4
Ist F(x)=x²+5 oder G(x)=2x² eine Stammfunktion von f(x)=2x? Prüfe durch Ableiten.
Lösung zeigen
Ergebnis: F ist eine Stammfunktion, G nicht, denn $G^{'} (x) = 4 x$ .
1. $F^{'} (x) = 2 x + 0 = 2 x = f (x)$ , also ja.
2. $G^{'} (x) = 4 x \neq = 2 x$ , also nein.
5
Bestimme $\int 5 cos x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $5 sin x + C$
1. Faktorregel: Die 5 bleibt stehen.
2. Stammfunktion von $cos x$ ist $sin x$ .
3. Also $5 sin x + C$ . Probe: $(5 sin x)^{'} = 5 cos x$

6
Bestimme $\int \frac{1}{x ^{3}} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C = - \frac{1}{2 x ^{2}} + C$
1. Umschreiben: $\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}$
2. Neue Hochzahl −3+1=−2, durch −2 teilen: $\frac{x ^{- 2}}{- 2}$
3. =−12x²+C
7
Bestimme $\int 6 x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $4 x^{\frac{3}{2}} + C = 4 x x + C$
1. $6 x = 6 x^{\frac{1}{2}}$
2. Potenzregel: $6 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
3. $= 4 x^{\frac{3}{2}} + C$
8
Bestimme $\int (\frac{3}{x} + e^{x}) d x$ für x≠0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $3 ln ∣ x ∣ + e^{x} + C$
1. 3x=3·1x, Stammfunktion $3 ln ∣ x ∣$
2. $e^{x}$ bleibt $e^{x}$ .
3. Zusammen: $3 ln ∣ x ∣ + e^{x} + C$
9
Bestimme $\int e^{4 x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{4} e^{4 x} + C$
1. Innen steht der lineare Term 4x.
2. Aussen integrieren gibt $e^{4 x}$ , dann durch 4 teilen.
3. Probe: $(\frac{1}{4} e^{4 x})^{'} = \frac{1}{4} \cdot 4 e^{4 x} = e^{4 x}$
10
Bestimme $\int (2 x - 1)^{3} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 18(2x−1)⁴+C
1. Aussen: u³ hat die Stammfunktion u⁴4.
2. Innen steht 2x−1, also durch 2 teilen: 12·(2x−1)⁴4
3. =18(2x−1)⁴+C

11
Bestimme die Stammfunktion F von f(x)=3x²−4x, deren Graph durch den Punkt P(1|4) geht.
Lösung zeigen
Ergebnis: F(x)=x³−2x²+5
1. Alle Stammfunktionen: F(x)=x³−2x²+C
2. Punkt einsetzen: F(1)=1−2+C=4
3. C=4−(1−2)=5, also F(x)=x³−2x²+5
12
Bestimme $\int sin (3 x) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $- \frac{1}{3} cos (3 x) + C$
1. Aussen: $sin u$ hat die Stammfunktion $- cos u$ .
2. Innen steht 3x, also durch 3 teilen.
3. $- \frac{1}{3} cos (3 x) + C$ . Probe: $(- \frac{1}{3} cos (3 x))^{'} = - \frac{1}{3} \cdot (- 3 sin (3 x)) = sin (3 x)$
13
Bestimme $\int \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2}} d x$ für x≠0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $x - 4 x^{- 1} + C = x - \frac{4}{x} + C$
1. Bruch aufteilen: $\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{4}{x ^{2}} = 1 + 4 x^{- 2}$
2. Glied für Glied: $\int 1 d x = x$ und $\int 4 x^{- 2} d x = 4 \cdot \frac{x ^{- 1}}{- 1} = - 4 x^{- 1}$
3. Zusammen: x−4x+C
14
Ein Velofahrer rollt vom Gotthardpass talwärts. Seine Geschwindigkeit ist v(t)=2+0.4t Meter pro Sekunde, t in Sekunden. Bei t=0 ist er schon 100 m von der Passhöhe entfernt. Wie weit ist er nach 20 Sekunden von der Passhöhe entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: 220 m
1. Der Abstand s(t) ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeit: s(t)=2t+0.2t²+C
2. Aus s(0)=100 folgt C=100.
3. s(20)=40+0.2·400+100=220, also 220 m.

Bringst du die Integrationsregeln noch durcheinander oder steht bald eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson übt mit dir, bis jede Stammfunktion sitzt. Mathematik-Nachhilfe am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Stammfunktion und Integrationsregeln

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Stammfunktion, von der Potenzregel bis zur linearen Verkettung. Jede Runde mischt neue Aufgaben, die Erklärung zeigt dir die Probe durch Ableiten.

Warum schreibt man beim unbestimmten Integral + C?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaIntegral und IntegralrechnungEin bestimmtes Integral misst die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unter der Achse negativ zählen. Du berechnest es mit einer Stammfunktion: obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, die Differenz bilden.3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 3. Jahr, nach den Ableitungsregeln, zusammen mit dem bestimmten Integral und der Flächenberechnung.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Stammfunktion und Integral?

Eine Stammfunktion ist eine Funktion F mit $F^{'} (x) = f (x)$ . Das unbestimmte Integral $\int f (x) d x = F (x) + C$ steht für alle Stammfunktionen zusammen. Das bestimmte Integral mit Grenzen ist dagegen eine Zahl, die du mit einer Stammfunktion ausrechnest: F(b)−F(a).

Wie kontrolliere ich, ob meine Stammfunktion stimmt?

Leite sie ab. Kommt wieder genau die Funktion heraus, die du integrieren solltest, stimmt sie. Diese Probe dauert meist nur ein paar Sekunden und findet die häufigsten Fehler, etwa ein vergessenes Teilen durch die Hochzahl oder ein falsches Vorzeichen.

Gibt es für jede Funktion eine Stammfunktion?

Jede stetige Funktion, also jede, deren Graph keine Sprünge hat, hat eine Stammfunktion. Nicht jede lässt sich aber mit den bekannten Funktionen hinschreiben: Für $e^{x^{2}}$ gibt es keine solche Formel. In Aufgaben zum Integrieren kommen meist nur Funktionen vor, bei denen das klappt.

Gibt es eine Produktregel fürs Integrieren?

Nicht so einfach wie beim Ableiten. Oft hilft es, das Produkt zuerst auszumultiplizieren oder zu vereinfachen. Sonst gibt es Methoden wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution.