Proportionalität und Funktionen
Hängt eine Grösse von einer anderen ab, spricht man von einer Zuordnung oder Funktion. Hier lernst du den Dreisatz, proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen, lineare Funktionen, Zins und Wachstum.
Themen
3.–6. Klasse
Das Wichtigste in Kürze
Eine Zuordnung verbindet zwei Grössen: Zu jeder Menge Äpfel gehört ein Preis, zu jeder Fahrzeit eine Strecke. Wächst die zweite Grösse im gleichen Verhältnis mit, ist die Zuordnung proportional, und du rechnest mit dem Dreisatz. In der Sek beschreibst du solche Zusammenhänge als Funktion, mit Wertetabelle, Graph und Gleichung.
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Proportional: doppelt so viel, doppelt so teuer
Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten das Doppelte und zum Dreifachen das Dreifache. Kosten 3 kg Äpfel 7.50 Fr., rechnest du mit dem Dreisatz zuerst auf 1 kg zurück, 7.50:3=2.50, und dann auf die gesuchte Menge: 5 kg kosten 2.50·5=12.50 Fr. Im Koordinatensystem liegen alle Wertepaare auf einer Geraden durch den Nullpunkt.
Umgekehrt proportional: mehr Hilfe, weniger Zeit
Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten die Hälfte. Brauchen 4 Malerinnen 6 Stunden für eine Fassade, brauchen 8 Malerinnen nur halb so lange. Das Produkt der beiden Grössen bleibt immer gleich: 4·6=24 Arbeitsstunden. Für 3 Malerinnen rechnest du 24:3=8 Stunden.
Lineare Funktionen: y = mx + q
Eine lineare Funktion hat die Gleichung y=mx+q. Die Steigung m sagt, um wie viel y wächst, wenn x um 1 grösser wird. Der y-Achsenabschnitt q ist der Wert von y bei x=0. Bei y=3x−2 gehört zu x=4 der Wert y=3·4−2=10. Der Graph ist eine Gerade; ist q=0, ist die Funktion proportional.
Zins, Rabatt und Wachstum
Im Alltag stecken Zuordnungen oft in Prozenten. Der Zins ist ein Prozentsatz vom Kapital: Bei 2 % bringen 5'000 Fr. in einem Jahr 100 Fr. Zins. Ein Rabatt macht den Bruttopreis kleiner, was du bezahlst, ist der Nettopreis. Lässt du den Zins auf dem Konto, wird das Guthaben jedes Jahr mit demselben Faktor multipliziert: Das ist exponentielles Wachstum.
Für die Aufnahmeprüfung ins Gymnasium: Gymiprüfungen der letzten Jahre mit Lösungen
Dreisatz-Rechner
Proportional und umgekehrt proportional
Zu 5 gehört20
Rechenweg
Je mehr, desto mehr, im gleichen Verhältnis: proportional. Schreib auf, was du weisst.
3→12
Rechne auf 1 zurück: Teile beide Seiten durch 3.
1→12:3=4
Jetzt auf 5: Multipliziere beide Seiten mit 5.
5→12:3·5=20