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Fokus Nachhilfe

Umgekehrt proportional

Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten die Hälfte: Doppelt so viele Pumpen brauchen halb so lange. Das Produkt der beiden Grössen bleibt immer gleich, darüber rechnest du jeden fehlenden Wert aus.

  • 1. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.3.A.3.g
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Das musst du wissen

Erklärung

Umgekehrt proportional heisst: je mehr, desto weniger, und zwar im gleichen Verhältnis. Zum Doppelten gehört die Hälfte, zum Dreifachen ein Drittel. Du rechnest über das Produkt der beiden Grössen, denn es bleibt immer gleich.

1 von 5

Je mehr, desto weniger

Eine Pumpe leert ein Becken in 12 Stunden. Zwei gleiche Pumpen schaffen es in der Hälfte der Zeit, also in 6 Stunden. Drei Pumpen brauchen einen Drittel der Zeit, 4 Stunden.

Die eine Grösse wird so oft grösser, wie die andere kleiner wird. Das ist umgekehrt proportional.

1 Pumpe122 Pumpen63 Pumpen44 Pumpen36 Pumpen2
Stunden zum Leeren des Beckens mit 1, 2, 3, 4 und 6 Pumpen: Doppelt so viele Pumpen, halb so hohe Säule.

2 von 5

Das Produkt bleibt gleich

Multipliziere in jedem die beiden Zahlen. Es kommt immer dasselbe heraus:

1·12=2·6=3·4=4·3=12

Die 12 hat eine Bedeutung: Es braucht 12 Pumpenstunden, egal wie viele Pumpen arbeiten.

MerkeBei einer umgekehrt ist das Produkt in jedem Wertepaar gleich.

3 von 5

Rechnen über das Produkt

3 Pumpen brauchen 10 Stunden. Wie lange brauchen 5 Pumpen?

Rechne zuerst das Produkt aus: 3·10=30 Pumpenstunden. Teile es dann durch die neue Anzahl:

30:5=6 Stunden

Das ist derselbe Weg wie beim umgekehrten über 1: Eine Pumpe allein bräuchte 30 Stunden.

MerkeErst die zwei bekannten Zahlen multiplizieren, dann durch die neue Zahl teilen.

1 Pumpe303 Pumpen105 Pumpen6
Stunden mit 1, 3 und 5 Pumpen: 30, 10 und 6. Jedes Mal ist Anzahl Pumpen mal Stunden gleich 30.

4 von 5

Proportional oder umgekehrt?

Frag dich zuerst: Wird die gesuchte Grösse mehr oder weniger? Mehr Äpfel kosten mehr, das ist proportional. Mehr Helfer brauchen weniger Zeit, das ist umgekehrt proportional.

Nicht jedes «je mehr, desto weniger» ist umgekehrt proportional. Prüfe: Gehört zum Doppelten wirklich die Hälfte?

MerkeProportional: Der bleibt gleich. Umgekehrt proportional: Das Produkt bleibt gleich.

5 von 5

Der Graph ist eine Kurve

Trägst du die Wertepaare in ein ein, liegen sie nicht auf einer Geraden. Sie liegen auf einer Kurve, die man Hyperbel nennt.

Die Kurve kommt den Achsen immer näher, berührt sie aber nie: Auch mit sehr vielen Pumpen dauert es noch ein bisschen.

0510510xyStunden = 12 : Pumpen(1; 12)(2; 6)(3; 4)(6; 2)(12; 1)
Nach rechts die Anzahl Pumpen, nach oben die Stunden: Die Punkte liegen auf einer Kurve, die immer flacher wird.
Umgekehrte Proportionalität (umgekehrt proportional): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung ist das Produkt in jedem Wertepaar gleich. Erst die zwei bekannten Zahlen multiplizieren, dann durch die neue Zahl teilen.
Merkblatt Umgekehrte Proportionalität: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕6 Malerinnen brauchen 9 Stunden. Also brauchen 3 Malerinnen die Hälfte, 4.5 Stunden.

    ✓Weniger Malerinnen brauchen mehr Zeit. Halb so viele brauchen doppelt so lange: 6·9=54, 54:3=18 Stunden.

  • ✕3 Pumpen brauchen 10 Stunden. 5 Pumpen sind 2 mehr, also brauchen sie 2 Stunden weniger: 8 Stunden.

    ✓Es geht nicht um den Unterschied, sondern um das Produkt: 3·10=30, 30:5=6 Stunden.

  • ✕Ein Buch hat 200 Seiten. Je mehr du gelesen hast, desto weniger bleibt. Also ist das umgekehrt proportional.

    ✓Nach 50 Seiten bleiben 150, nach 100 Seiten bleiben 100. Das Doppelte gibt nicht die Hälfte, und 50·150≠100·100. Die Zuordnung ist weder proportional noch umgekehrt proportional.

  • ✕Beim umgekehrten Dreisatz zuerst durch die Anzahl teilen, wie beim gewöhnlichen Dreisatz.

    ✓Für eine Pumpe dauert es länger, also multiplizierst du zuerst. Danach teilst du durch die neue Anzahl.

Begriffe zum Nachschlagen
Zuordnung
Zu jedem Wert der einen Grösse gehört ein Wert der anderen, zum Beispiel zu jeder Anzahl Pumpen eine Zeit.
Umgekehrt proportional
Zum Doppelten gehört die Hälfte, zum Dreifachen ein Drittel. Man sagt auch antiproportional oder indirekt proportional.
Proportional
Zum Doppelten gehört das Doppelte. Mehr Äpfel kosten im gleichen Verhältnis mehr.
Produkt
Das Ergebnis einer Multiplikation. Bei umgekehrter Proportionalität bleibt es in jedem Wertepaar gleich.
Wertetabelle
Eine Tabelle mit zusammengehörenden Werten, zum Beispiel Anzahl Pumpen und Stunden.
Hyperbel
Die Kurve, auf der die Punkte einer umgekehrt proportionalen Zuordnung liegen.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Proportionalität und DreisatzSchriftlich dividieren

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Doppelt so viele, halb so lange

Ein Bauer und ein Mädchen geben in einem Holzstall im Emmental einer Reihe Kühe Heu.

Der Heuvorrat auf einem Bauernhof im Emmental reicht für 6 Kühe 40 Tage. Wie lange reicht er für 12 Kühe?

  1. Mehr Kühe fressen das Heu schneller. Je mehr Kühe, desto weniger Tage: Das ist umgekehrt proportional.
  2. 12 Kühe sind doppelt so viele wie 6 Kühe.12:6=2
  3. Doppelt so viele Kühe, also reicht das Heu halb so lange:40:2=20
  4. Kontrolle über das Produkt: 6·40=240 und 12·20=240. Es stimmt.

Das Heu reicht für 12 Kühe 20 Tage.

Beispiel 2Eine Wertetabelle ergänzen

Die Zuordnung ist umgekehrt proportional. Zu 4 gehört 9. Ergänze die Werte für 1, 2, 3, 6 und 12.

051010203040xyy = 36 : x(1; 36)(2; 18)(3; 12)(4; 9)(6; 6)(12; 3)
Alle sechs Wertepaare liegen auf derselben Kurve. Bei jedem Punkt ergibt x mal y genau 36.
  1. Rechne das Produkt aus, es bleibt in jedem Paar gleich:4·9=36
  2. Teile 36 durch jede Zahl der ersten Zeile:36:1=36  36:2=18  36:3=12
  3. Genauso für die grossen Zahlen:36:6=6  36:12=3
  4. Kontrolle: Von 6 zu 12 verdoppelt sich die erste Zahl, also halbiert sich die zweite, von 6 auf 3.

1 → 36, 2 → 18, 3 → 12, 4 → 9, 6 → 6, 12 → 3

Beispiel 3Tempo und Fahrzeit

Ein Junge mit Helm fährt mit dem Velo auf einem Uferweg an einem See, im Hintergrund Berge.

Gian fährt mit dem Velo von Luzern nach Sursee. Mit 16 braucht er 1.5 Stunden. Wie lange braucht er mit 20 km/h?

  1. Je schneller Gian fährt, desto weniger Zeit braucht er. Das ist umgekehrt proportional.
  2. Das Produkt aus Tempo und Zeit ist die Strecke:16·1.5=24 km
  3. Teile die Strecke durch das neue Tempo:24:20=1.2 h
  4. In Minuten umrechnen: 0.2 Stunden sind 0.2·60=12 Minuten.1.2 h=1 h 12 min

Mit 20 km/h braucht Gian 1.2 Stunden, also 1 Stunde und 12 Minuten.

Beispiel 4Wenn mitten in der Arbeit Hilfe kommt

Malerinnen in weissen Überkleidern streichen auf einem Gerüst eine Hausfassade, zwei weitere kommen mit einer Leiter dazu.

4 Malerinnen sollen eine Hausfassade in Thun streichen und bräuchten dafür 12 Stunden. Nach 3 Stunden kommen 2 Malerinnen dazu. Wie viele Stunden dauert die Arbeit insgesamt?

  1. Die ganze Arbeit sind so viele Arbeitsstunden:4·12=48
  2. In den ersten 3 Stunden schaffen 4 Malerinnen:4·3=12
  3. Es bleiben 36 Arbeitsstunden. Jetzt arbeiten 6 Malerinnen:36:6=6
  4. Zusammenzählen: 3 Stunden zu viert und 6 Stunden zu sechst.3+6=9

Die Arbeit dauert insgesamt 9 Stunden.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    3 Kinder teilen eine Packung Guetzli gerecht, jedes bekommt 8 Stück. Wie viele bekommt jedes, wenn 6 Kinder teilen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 4 Guetzli

    Keks + +
    24 Guetzli, dreimal 8 Stück. Teilen sich 6 Kinder die 24 Guetzli, bekommt jedes 4.
    1. Die Packung hat 3·8=24 Guetzli.
    2. 6 Kinder sind doppelt so viele, also bekommt jedes die Hälfte.
    3. ​24:6=4 Guetzli.
  2. 2

    Eine Pumpe leert ein Planschbecken in 6 Stunden. Wie lange brauchen 2 gleiche Pumpen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 3 Stunden

    1 Pumpe62 Pumpen3
    Stunden mit 1 und mit 2 Pumpen: 6 und 3. Die Säule ist halb so hoch.
    1. Mehr Pumpen brauchen weniger Zeit.
    2. Doppelt so viele Pumpen, halb so lange: 6:2=3 Stunden.
  3. 3

    Mit 60 km/h dauert eine Fahrt 2 Stunden. Wie lange dauert sie mit 120 km/h?

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    Ergebnis: 1 Stunde

    60 km/h2120 km/h1
    Fahrzeit in Stunden: 2 Stunden mit 60 km/h, 1 Stunde mit 120 km/h.
    1. 120 km/h ist doppelt so schnell wie 60 km/h.
    2. Doppelt so schnell, halb so lange: 2:2=1 Stunde.
    3. Kontrolle: 60·2=120 km und 120·1=120 km.
  4. 4

    Ist die Zuordnung umgekehrt proportional? 2 → 12, 3 → 8, 4 → 6, 6 → 4

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Ja, das Produkt ist immer 24.

    02468510xy(2; 12)(3; 8)(4; 6)(6; 4)
    Die vier Wertepaare als Punkte: Je weiter rechts, desto tiefer, und das immer flacher.
    1. Multipliziere in jedem Paar: 2·12=24, 3·8=24.
    2. Auch 4·6=24 und 6·4=24.
    3. Das Produkt ist überall gleich, also ist die Zuordnung umgekehrt proportional.
  5. 5

    Ein Heuvorrat reicht für 4 Pferde 30 Tage. Wie lange reicht er für 2 Pferde?

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    Ergebnis: 60 Tage

    1. Weniger Pferde fressen weniger, also reicht das Heu länger.
    2. Halb so viele Pferde, doppelt so lange: 30·2=60 Tage.
  1. 6

    5 Malerinnen streichen ein Schulzimmer in 6 Stunden. Wie lange brauchen 3 Malerinnen?

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    Ergebnis: 10 Stunden

    1. Produkt: 5·6=30 Arbeitsstunden.
    2. Durch die neue Anzahl teilen: 30:3=10 Stunden.
  2. 7

    Die Zuordnung ist umgekehrt proportional: 3 → 20. Ergänze 4 → ?, 5 → ? und 10 → ?

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    Ergebnis: 4 → 15, 5 → 12, 10 → 6

    1. Produkt: 3·20=60
    2. ​60:4=15 und 60:5=12
    3. ​60:10=6
  3. 8

    Kommen 24 Kinder mit, zahlt jedes 35 Fr. für den Car. Wie viel zahlt jedes Kind, wenn 28 Kinder mitkommen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 30 Fr.

    1. ​24·35=840 Fr. kostet der Car.
    2. ​840:28=30 Fr.
  4. 9

    Für eine Reihe am Gartenweg braucht Noah 36 Platten, wenn jede 25 cm breit ist. Wie viele Platten braucht er, wenn jede 30 cm breit ist?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 30 Platten

    1. Breitere Platten, also braucht es weniger.
    2. Die Reihe ist 36·25=900 cm lang.
    3. ​900:30=30 Platten.
  5. 10

    Die Zuordnung ist umgekehrt proportional: 6 → 15. Welche Zahl gehört zu 10?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 9

    1. Produkt: 6·15=90
    2. ​90:10=9
    3. Kontrolle: 10·9=90
  1. 11

    3 Helferinnen bauen die Bühne fürs Schulfest in 7.5 Stunden auf. Wie lange brauchen 5 Helferinnen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 4.5 Stunden, also 4 Stunden und 30 Minuten

    1. Produkt: 3·7.5=22.5 Arbeitsstunden.
    2. ​22.5:5=4.5 Stunden.
    3. 0.5 Stunden sind 30 Minuten.
  2. 12

    Ein Heuvorrat reicht für 12 Kühe 50 Tage. Nach 10 Tagen verkauft der Bauer 4 Kühe. Wie viele Tage reicht der Rest noch?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Noch 60 Tage

    1. Der ganze Vorrat: 12·50=600 Futtertage für eine Kuh.
    2. In 10 Tagen fressen 12 Kühe 12·10=120 davon, es bleiben 480.
    3. Jetzt sind es 8 Kühe: 480:8=60 Tage.
  3. 13

    Familie Keller fährt von Luzern ins Tessin. Mit 75 km/h braucht sie 2 Stunden und 24 Minuten. Wie lange braucht sie mit 90 km/h?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 2 Stunden

    1. 24 Minuten sind 24:60=0.4 Stunden, also 2.4 Stunden.
    2. Die Strecke: 75·2.4=180 km.
    3. ​180:90=2 Stunden.
  4. 14

    6 Malerinnen streichen eine Fassade in 10 Stunden. Die Fassade soll aber in 4 Stunden fertig sein. Wie viele Malerinnen braucht es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 15 Malerinnen

    1. Produkt: 6·10=60 Arbeitsstunden.
    2. Diesmal ist die Zeit gegeben: 60:4=15 Malerinnen.
  5. 15

    Eine Kerze ist 24 cm lang und brennt jede Stunde um 3 cm ab. Ist die Zuordnung «Brenndauer → Restlänge» umgekehrt proportional? Wie lang ist die Kerze nach 4 Stunden?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Nein. Nach 4 Stunden ist sie noch 12 cm lang.

    1. Nach 4 Stunden: 24−4·3=12 cm.
    2. Nach 2 Stunden: 24−2·3=18 cm.
    3. ​2·18=36, aber 4·12=48. Das Produkt ändert sich, also ist sie nicht umgekehrt proportional.

Rechnet dein Kind bei «mehr Helfer, weniger Zeit» noch wie beim gewöhnlichen Dreisatz, übt eine Lehrperson mit ihm, zuerst die Richtung zu prüfen und dann über das Produkt zu rechnen. Nachhilfe in Mathematik für die 1. Sek

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Trainer: Umgekehrte Proportionalität

Unbegrenzt neue Aufgaben aus dem Alltag, mit Rückmeldung und Rechenweg über das Produkt. Stufe 1 rechnet mit doppelt und halb, dreifach und einem Drittel, Stufe 2 mit beliebigen Zahlen, und in Stufe 3 entscheidest du zuerst, ob die Aufgabe proportional oder umgekehrt proportional ist.

8 Pumpen leeren ein Schwimmbecken in 11 Stunden. Wie viele Stunden brauchen 4 gleiche Pumpen?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaFunktionen, Wertetabellen und GraphenEine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu. Mit der Funktionsgleichung füllst du eine Wertetabelle aus, zeichnest die Wertepaare als Graph ins Koordinatensystem und liest dort Werte ab.1. Sek - 2. Sek

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Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
1. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

Meist in der 1. Sek, direkt nach dem gewöhnlichen Dreisatz. Die Idee «doppelt so viele, halb so lange» kennen viele schon aus der Primarschule. Den Graphen als Kurve zeichnest du in der Sek.

  • MA.3.A.3.gMit Zuordnungen rechnen, bei denen die eine Grösse kleiner wird, wenn die andere wächst, etwa Anzahl Helfer und Arbeitszeit.
  • MA.3.C.2.fIn einer Sachaufgabe erkennen, ob eine Zuordnung proportional, umgekehrt proportional oder keines von beiden ist.
  • MA.3.C.2.gEine Zuordnung als Graph zeichnen und den Verlauf deuten, hier die Kurve einer umgekehrt proportionalen Zuordnung.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was heisst umgekehrt proportional?

Zwei Grössen sind umgekehrt proportional, wenn zum Doppelten der einen die Hälfte der anderen gehört. Doppelt so viele Helfer brauchen zum Beispiel halb so lange. Das Produkt der beiden Grössen bleibt dabei immer gleich.

Was ist der Unterschied zwischen proportional und umgekehrt proportional?

Proportional heisst «je mehr, desto mehr»: Zum Doppelten gehört das Doppelte, der Quotient bleibt gleich. Umgekehrt proportional heisst «je mehr, desto weniger»: Zum Doppelten gehört die Hälfte, das Produkt bleibt gleich.

In welcher Klasse lernt man umgekehrte Proportionalität?

Nach Lehrplan 21 gehört das Thema in den Zyklus 3, meist in die 1. Sek nach dem gewöhnlichen Dreisatz. Je nach Kanton und Lehrmittel kommen einfache Aufgaben wie «doppelt so viele, halb so lange» schon in der 6. Klasse.

Wie erkennt man in einer Tabelle, ob eine Zuordnung umgekehrt proportional ist?

Multipliziere in jedem Wertepaar die beiden Zahlen. Kommt überall dasselbe heraus, ist die Zuordnung umgekehrt proportional. Weicht ein Produkt ab, ist sie es nicht.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?