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Fokus Nachhilfe

Exponentielles Wachstum

Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt gleich viel dazu, beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Du lernst, die beiden zu unterscheiden und Werte nach mehreren Schritten zu berechnen.

  • 3. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.3.A.1.n
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Zwei Jugendliche pflanzen im Schulgarten Setzlinge, daneben stehen schon grosse Sonnenblumen.

Das musst du wissen

Erklärung

Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt gleich viel dazu. Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Du erkennst die Art an der Tabelle und rechnest dann den Wert nach mehreren Schritten aus.

1 von 6

Linear: immer gleich viel dazu

In einem Kässeli liegen 50 Fr. Jede Woche legst du 10 Fr. dazu. Nach 1, 2 und 3 Wochen sind es 60, 70 und 80 Fr.

Der Unterschied von Woche zu Woche ist immer 10 Fr. Nach n Wochen hast du 50+n·10 Franken.

MerkeLinear: gleiche Unterschiede. Du rechnest plus.

Start50Woche 160Woche 270Woche 380
Lineares Wachstum: Jede Woche wird der Balken um gleich viel höher, von 50 auf 60, 70 und 80 Franken.

2 von 6

Exponentiell: immer mit demselben Faktor

In einer Schale leben 100 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich ihre Zahl: 100, 200, 400, 800.

Der Quotient von Stunde zu Stunde ist immer 2. Das ist der Wachstumsfaktor. Nach n Stunden sind es Bakterien.

MerkeExponentiell: gleiche Quotienten. Du rechnest mal.

Start1001 Stunde2002 Stunden4003 Stunden800
Exponentielles Wachstum: Jede Stunde verdoppelt sich der Balken, von 100 auf 200, 400 und 800 Bakterien.

3 von 6

Linear oder exponentiell? Die Tabelle verrät es

Rechne bei einer Tabelle die Unterschiede (neuer Wert minus alter) und die Quotienten (neuer Wert durch alten).

Sind die Unterschiede gleich, ist es linear. Sind die Quotienten gleich, ist es exponentiell. Ist beides nicht gleich, ist es weder noch, zum Beispiel bei den Quadratzahlen 1, 4, 9, 16.

MerkeErst die Unterschiede prüfen, dann die Quotienten.

4 von 6

Prozent in einen Faktor verwandeln

Wächst ein Wert um 5 %, bleiben die 100 % und es kommen 5 % dazu. Der Faktor ist 1+0.05=1.05.

Nimmt ein Wert um 15 % ab, bleiben 85 %. Der Faktor ist 1−0.15=0.85. Ein Faktor grösser als 1 heisst Wachstum, ein Faktor zwischen 0 und 1 heisst Abnahme.

MerkeWachstum um p %: Faktor 1 plus p Hundertstel. Abnahme um p %: Faktor 1 minus p Hundertstel.

5 von 6

Der Wert nach n Schritten

Bei exponentiellem Wachstum multiplizierst du den n-mal mit dem Faktor q:

1'000 Fr. wachsen jedes Jahr um 10 %. Nach 3 Jahren sind es 1000·1.13=1331 Fr. Zwei Jahre mit je 10 % ergeben den Gesamtfaktor 1.1·1.1=1.21, also 21 % und nicht 20 %.

02468500100015002000xyy = 1000 · 1.1^x(0 | 1000)(3 | 1331)
Graph von y = 1000 · 1.1^x: Er startet bei 1000 und steigt immer steiler. Nach 3 Jahren liegt er bei 1331.

6 von 6

Exponentiell überholt linear

Am Anfang liegt das lineare Wachstum oft vorne. Beim exponentiellen Wachstum wird aber auch der Zuwachs jedes Mal grösser. Darum überholt es jedes lineare Wachstum irgendwann.

Vergleiche y=10x+10 und : Bei x=6 liegt linear noch vorne (70 gegen 64), bei x=7 schon exponentiell (80 gegen 128).

024650100150xylinear: y = 10x + 10exponentiell: y = 2^xx = 6: 70 gegen 64(7 | 128)
Die Gerade y = 10x + 10 und die Kurve y = 2^x: Bis x = 6 liegt die Gerade höher, ab x = 7 ist die Kurve weit darüber.
Lineares und exponentielles Wachstum: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Linear: gleiche Unterschiede. Du rechnest plus. Exponentiell: gleiche Quotienten. Du rechnest mal. Beispiel: Exponentielles Wachstum mit dem Faktor 1.5. Nach 4 Jahren ist der Wert 2'025.
Merkblatt Lineares und exponentielles Wachstum: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕1'000 Fr. wachsen 3 Jahre um je 10 %, also 1000+3·100=1300 Fr.

    ✓Auch der Zuwachs wächst mit. Rechne mit dem Faktor: 1000·1.1·1.1·1.1=1331 Fr.

  • ✕Eine Abnahme um 15 % hat den Faktor 0.15.

    ✓Es bleiben 85 %. Der Faktor ist 1−0.15=0.85.

  • ✕Ein Wachstum um 5 % hat den Faktor 5 oder 0.05.

    ✓Die 100 % bleiben, 5 % kommen dazu. Der Faktor ist 1.05.

  • ✕Zwei Jahre mit je 10 % Wachstum sind zusammen 20 %.

    ✓Multipliziere die Faktoren: 1.1·1.1=1.21. Das sind 21 %.

Begriffe zum Nachschlagen
Lineares Wachstum
In jedem Schritt kommt derselbe Betrag dazu oder weg. Der Graph ist eine Gerade.
Exponentielles Wachstum
In jedem Schritt wird mit demselben Faktor grösser als 1 multipliziert. Der Graph wird immer steiler.
Exponentielle Abnahme
In jedem Schritt wird mit demselben Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert, zum Beispiel 0.85. Man sagt auch Zerfall.
Wachstumsfaktor
Die Zahl, mit der du in jedem Schritt multiplizierst. Bei 5 % Wachstum ist sie 1.05.
Quotient
Das Ergebnis einer Division. Neuer Wert durch alten Wert zeigt den Faktor.
Startwert
Der Wert am Anfang, also nach 0 Schritten.

Noch unsicher? Zuerst lernen:ProzentrechnungPotenzen und PotenzgesetzeLineare Funktionen und Steigung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Linear oder exponentiell?

Eine Grösse hat nach 0, 1, 2 und 3 Jahren die Werte 400, 600, 900 und 1'350. Wächst sie linear oder exponentiell? Wie gross ist der Wert nach 4 Jahren?

Jahr 0400Jahr 1600Jahr 2900Jahr 31350Jahr 42025
Die Werte 400, 600, 900, 1350 und 2025 als Balken: Jeder Balken ist anderthalbmal so hoch wie der vorherige.
  1. Unterschiede rechnen: Sie sind nicht gleich, also nicht linear.600−400=200  900−600=300  1350−900=450
  2. Quotienten rechnen: Sie sind alle gleich.600:400=1.5  900:600=1.5  1350:900=1.5
  3. Die Grösse wächst exponentiell mit dem Faktor 1.5. Für das nächste Jahr multiplizierst du noch einmal:1350·1.5=2025

Exponentielles Wachstum mit dem Faktor 1.5. Nach 4 Jahren ist der Wert 2'025.

Beispiel 2Eine Gemeinde wächst

Eine kleine Schweizer Gemeinde am See mit neuen Wohnhäusern, ein Kran baut weitere, Familien ziehen mit Kisten ein.

Eine Gemeinde im Kanton Zug hat 8'000 Einwohnerinnen und Einwohner. Die Zahl wächst jedes Jahr um 5 %. Wie viele sind es nach 3 Jahren?

  1. 5 % mehr heisst: Faktor 1 plus 0.05.q=1+0.05=1.05
  2. Jahr für Jahr mit 1.05 multiplizieren:8000·1.05=8400  8400·1.05=8820  8820·1.05=9261
  3. Kürzer in einer Rechnung mit der :8000·1.053=9261
  4. Kontrolle: Linear wären es nur 8000+3·400=9200. Exponentiell ist es mehr, weil der Zuwachs jedes Jahr grösser wird.

Nach 3 Jahren hat die Gemeinde 9'261 Einwohnerinnen und Einwohner.

Beispiel 3Ein E-Bike verliert an Wert

Eine Jugendliche schiebt ein E-Bike aus einem Velogeschäft, der Verkäufer winkt ihr nach.

Ein neues E-Bike kostet 4'000 Fr. Sein Wert sinkt jedes Jahr um 15 %. Wie viel ist es nach 2 Jahren noch wert?

01234561000200030004000xyy = 4000 · 0.85^x(0 | 4000)(1 | 3400)(2 | 2890)
Graph von y = 4000 · 0.85^x: Der Wert sinkt von 4000 auf 3400 und 2890, die Kurve wird flacher.
  1. 15 % weniger heisst: Es bleiben 85 %. Der Faktor ist kleiner als 1.q=1−0.15=0.85
  2. Nach dem ersten Jahr:4000·0.85=3400
  3. Nach dem zweiten Jahr rechnest du mit dem neuen Wert weiter, nicht mit 4'000:3400·0.85=2890

Nach 2 Jahren ist das E-Bike noch 2'890 Fr. wert.

Beispiel 4Gesamtfaktor über zwei Jahre

Ein Wert wächst zwei Jahre hintereinander um je 10 %. Um wie viel ist er insgesamt gewachsen?

  1. Der Faktor für ein Jahr:q=1+0.1=1.1
  2. Für zwei Jahre multiplizierst du die Faktoren:1.1·1.1=1.21
  3. Der Faktor 1.21 heisst: Der neue Wert ist 121 % vom alten. Vergleiche mit 100 %:121 %−100 %=21 %
  4. Im zweiten Jahr gibt es 10 % auf einen schon grösseren Wert. Darum sind es mehr als 20 %.

Der Wert ist insgesamt um 21 % gewachsen.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Linear oder exponentiell? 5, 10, 20, 40. Wie heisst der nächste Wert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Exponentiell mit dem Faktor 2. Der nächste Wert ist 80.

    551010202040408080
    Die Werte 5, 10, 20, 40 und 80 als Balken: Jeder Balken ist doppelt so hoch wie der vorherige.
    1. Unterschiede: 5, 10, 20. Sie sind nicht gleich.
    2. Quotienten: 10:5=2, 20:10=2, 40:20=2. Immer 2, also exponentiell.
    3. Nächster Wert: 40·2=80
  2. 2

    Linear oder exponentiell? 12, 19, 26, 33. Wie heisst der nächste Wert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Linear, jedes Mal plus 7. Der nächste Wert ist 40.

    12121919262633334040
    Die Werte 12, 19, 26, 33 und 40 als Balken: Jeder Balken ist um gleich viel höher als der vorherige.
    1. Unterschiede: 19−12=7, 26−19=7, 33−26=7. Immer 7, also linear.
    2. Nächster Wert: 33+7=40
  3. 3

    Ein Wert wächst um 8 %. Wie gross ist der Wachstumsfaktor?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Der Faktor ist 1.08.

    1. 8 % als Dezimalzahl: 0.08
    2. Die 100 % bleiben, 8 % kommen dazu: 1+0.08=1.08
  4. 4

    In einer Schale leben 300 Bakterien. Ihre Zahl verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 3 Stunden?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 2'400 Bakterien

    Start3001 Stunde6002 Stunden12003 Stunden2400
    300, 600, 1200 und 2400 Bakterien: Jede Stunde verdoppelt sich der Balken.
    1. Verdoppeln heisst: Faktor 2.
    2. ​300·2=600, 600·2=1200, 1200·2=2400
    3. Kurz: 300·23=300·8=2400
  5. 5

    In einem Kässeli liegen 40 Fr. Jede Woche kommen 15 Fr. dazu. Wie viel liegt nach 6 Wochen drin?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 130 Fr.

    1. Jede Woche gleich viel dazu: Das ist linear.
    2. ​40+6·15=40+90=130
  1. 6

    Ein Wert nimmt jedes Jahr um 12 % ab. Mit welchem Faktor wird er jedes Jahr multipliziert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Mit dem Faktor 0.88.

    1. 12 % als Dezimalzahl: 0.12
    2. Von 100 % gehen 12 % weg, es bleiben 88 %: 1−0.12=0.88
  2. 7

    Auf einem Sparkonto liegen 2'000 Fr. zu 1.5 % . Der Zins bleibt jedes Jahr auf dem Konto. Wie viel Geld ist nach 2 Jahren auf dem Konto?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 2'060.45 Fr.

    1. Faktor: 1+0.015=1.015
    2. Nach 1 Jahr: 2000·1.015=2030
    3. Nach 2 Jahren: 2030·1.015=2060.45, also 2'060.45 Fr.
  3. 8

    Eine Stadt hat 25'000 Einwohnerinnen und Einwohner. Die Zahl sinkt jedes Jahr um 2 %. Wie viele sind es nach 3 Jahren? Runde auf Ganze.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​23529.8, also rund 23'530 Personen

    1. Faktor: 1−0.02=0.98
    2. ​25000·0.98=24500, 24500·0.98=24010, 24010·0.98=23529.8
    3. Gerundet: 23'530 Personen.
  4. 9

    Ein Velo-Kanal hat 4'000 Follower. Die Zahl wächst jeden Monat um 2.5 %. Wie viele Follower sind es nach 2 Monaten? Runde auf Ganze.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​4202.5, also rund 4'203 Follower

    1. Faktor: 1+0.025=1.025
    2. ​4000·1.025=4100, 4100·1.025=4202.5
    3. Gerundet: 4'203 Follower.
  5. 10

    Linear oder exponentiell? 2'000, 1'800, 1'620, 1'458. Wie heisst der nächste Wert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Exponentielle Abnahme mit dem Faktor 0.9. Der nächste Wert ist 1312.2.

    1. Unterschiede: 200, 180, 162. Nicht gleich, also nicht linear.
    2. Quotienten: 1800:2000=0.9, 1620:1800=0.9, 1458:1620=0.9. Immer 0.9.
    3. Nächster Wert: 1458·0.9=1312.2
  1. 11

    Ein Wert wird jedes Jahr mit 0.92 multipliziert. Um wie viel Prozent nimmt er pro Jahr ab?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Um 8 % pro Jahr.

    1. Der Faktor 0.92 heisst: Der neue Wert ist 92 % vom alten.
    2. Bis 100 % fehlen 8 %: (1−0.92)·100=8
  2. 12

    Ein Wert sinkt zwei Jahre hintereinander um je 20 %. Um wie viel Prozent ist er insgesamt gesunken?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Um 36 %, nicht um 40 %.

    1. Faktor für ein Jahr: 0.8
    2. Gesamtfaktor: 0.8·0.8=0.64, es bleiben also 64 %.
    3. Abnahme: 100 %−64 %=36 %
  3. 13

    Linear, exponentiell oder weder noch? 3, 12, 27, 48. Wie heisst der nächste Wert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Weder noch. Die Werte sind 3 mal die Quadratzahlen, der nächste ist 75.

    1. Unterschiede: 9, 15, 21. Nicht gleich, also nicht linear.
    2. Quotienten: 12:3=4, 27:12=2.25. Nicht gleich, also nicht exponentiell.
    3. Muster: 3·1, 3·4, 3·9, 3·16. Als Nächstes 3·25=75.
  4. 14

    Im Blut sind 800 mg eines Wirkstoffs. Jede Stunde werden 25 % davon abgebaut. Wie viel ist nach 4 Stunden noch da?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​253.125 mg, also rund 253 mg

    1. Es bleiben jede Stunde 75 %, der Faktor ist 0.75.
    2. ​800·0.75=600, dann 450, dann 337.5, dann 253.125
    3. Gerundet: rund 253 mg.
  5. 15

    Linear oder exponentiell? 1'000, 1'100, 1'210, 1'331. Wie heisst der nächste Wert?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Exponentiell mit dem Faktor 1.1. Der nächste Wert ist 1464.1.

    1. Unterschiede: 100, 110, 121. Fast gleich, aber nicht gleich: also nicht linear.
    2. Quotienten: 1100:1000=1.1, 1210:1100=1.1, 1331:1210=1.1. Immer 1.1.
    3. Nächster Wert: 1331·1.1=1464.1

Rechnet dein Kind beim Wachstum in Prozent noch plus statt mal, übt eine Lehrperson mit ihm, Prozente in einen Faktor zu verwandeln. Mathematik-Nachhilfe für die Oberstufe

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Trainer: Lineares und exponentielles Wachstum

Unbegrenzt neue Aufgaben zu Wachstum und Abnahme, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt das Erkennen an Tabellen und den Wachstumsfaktor, Stufe 2 Werte nach mehreren Schritten mit Runden, Stufe 3 Abnahme, Gesamtfaktoren und knappe Tabellen.

Eine Grösse hat nach 0, 1, 2 und 3 Jahren die Werte 18, 29, 40, 51. Wie verändert sie sich: linear oder exponentiell?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaZins, Rabatt, Brutto und NettoZins und Rabatt sind Prozentrechnen mit Franken: Der Zins ist ein Teil vom Kapital in Franken, wie viel Prozent, sagt der Zinssatz. Der Rabatt ist ein Teil vom alten Preis, der abgezogen wird. Brutto heisst vor dem Abzug, netto nach dem Abzug.2. Sek - 3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

Meist in der 3. Sek, nach dem Prozentrechnen, den Potenzen und den linearen Funktionen. Es kommt oft zusammen mit dem Zinseszins und ist wichtig für die Berufsschule und das Gymnasium.

  • MA.3.A.1.nWissen, was exponentielles Wachstum ist, und es an Beispielen wie Zinseszins, Bevölkerung oder Bakterien erklären.
  • MA.1.C.2.kAn Tabellen, Termen und Graphen erkennen, ob etwas linear, quadratisch oder exponentiell wächst, und den Unterschied beschreiben.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum?

Beim linearen Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu, zum Beispiel jede Woche 10 Fr. Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert, zum Beispiel jedes Jahr mal 1.05. Darum wird der Zuwachs beim exponentiellen Wachstum immer grösser.

In welcher Klasse lernt man exponentielles Wachstum?

Nach Lehrplan 21 gehört das Thema in den Zyklus 3, meist in die 3. Sek. Dafür brauchst du Prozentrechnen und Potenzen. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kommt es auch etwas früher oder erst im Gymnasium.

Wie berechne ich den Wachstumsfaktor aus Prozent?

Schreib die Prozent als Dezimalzahl und zähle sie zu 1 dazu: 5 % Wachstum gibt den Faktor 1.05. Bei einer Abnahme ziehst du ab: 15 % weniger gibt den Faktor 0.85.

Woran erkenne ich exponentielles Wachstum in einer Tabelle?

Teile jeden Wert durch den vorherigen. Kommt immer dieselbe Zahl heraus, ist das Wachstum exponentiell, und diese Zahl ist der Wachstumsfaktor. Sind dagegen die Unterschiede gleich, ist es linear.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?