Fokus Nachhilfe

Lineare Funktionen und Steigung berechnen

Eine lineare Funktion hat die Gleichung y = mx + q, ihr Graph ist eine Gerade. Die Steigung m sagt, wie steil die Gerade ist, und q, wo sie die y-Achse schneidet.

2. Sek - 3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.3.A.3.k

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine lineare Funktion hat die y=mx+q. Ihr ist eine Gerade. Die Steigung m sagt, wie steil sie ist, der y-Achsenabschnitt q, wo sie die y-Achse schneidet. Mit diesen zwei Zahlen berechnest du jeden Punkt.

1 von 6

Die Gleichung y = mx + q

Zu jedem x gehört genau ein y. Du setzt x in die Gleichung ein und rechnest Punkt vor Strich.

y=2x+1: x=3 ⇒ y=2·3+1=7

Der Punkt P(3|7) liegt also auf der Geraden.

MerkeEine setzt du in ein: 2·(−4)+1=−7.

Die Gerade y = 2x + 1 mit dem Punkt P(3 | 7): Für x = 3 ist y = 7.

2 von 6

Die Steigung m

Gehst du auf der Geraden 1 nach rechts, gehst du m nach oben. Ist m negativ, geht es nach unten: Die Gerade fällt.

Aus zwei Punkten rechnest du den Unterschied in y geteilt durch den Unterschied in x. Das ist das Steigungsdreieck.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

MerkeSteigung = y-Unterschied durch x-Unterschied, oben und unten in derselben Reihenfolge.

Von P(1 | 1) nach Q(4 | 7) geht es 3 nach rechts und 6 nach oben. Die Steigung ist 6 : 3 = 2.

3 von 6

Der y-Achsenabschnitt q

q ist der y-Wert bei x=0. Dort schneidet die Gerade die y-Achse.

Kennst du m und einen Punkt, setzt du den Punkt ein und löst nach q auf. Gerade mit m=3 durch P(2|5):

5=3·2+q ⇒ q=5−6=−1

MerkeIst q=0, geht die Gerade durch den Nullpunkt. Dann ist die .

Die Gerade mit Steigung 3 durch P(2 | 5) schneidet die y-Achse bei −1, also ist q = −1.

4 von 6

Die Nullstelle

Die Nullstelle ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet. Dort ist y=0.

Setze y=0 und löse nach x auf:

0=2x−6 ⇒ 2x=6 ⇒ x=3

MerkeNullstelle: y=0 setzen. y-Achsenabschnitt: x=0 setzen.

Die Gerade y = 2x − 6 schneidet die x-Achse im Punkt N(3 | 0). Die Nullstelle ist x = 3.

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Der Schnittpunkt zweier Geraden

Im haben beide Geraden dasselbe y. Darum setzt du die beiden gleich und löst nach x auf.

2x+1=−x+7 ⇒ 3x=6 ⇒ x=2

Das y bekommst du durch Einsetzen: y=2·2+1=5. Der Schnittpunkt ist S(2|5).

MerkeTerme gleichsetzen gibt x, Einsetzen gibt y.

Die Geraden y = 2x + 1 und y = −x + 7 kreuzen sich im Punkt S(2 | 5).

6 von 6

m und q im Alltag

In Sachaufgaben ist m meist ein Betrag pro Einheit: Franken pro Stunde, , Zentimeter pro Tag. q ist der feste Startwert, zum Beispiel eine Grundgebühr.

Kletterpark: 12 Franken Eintritt plus 4 Franken pro Stunde gibt y=4x+12.

Merkem ist, was pro Einheit dazukommt. q ist, womit es anfängt.

Lineare Funktionen und Steigung (steigung berechnen): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Eine negative Zahl setzt du in Klammern ein: 2 · (-4) + 1 = -7. Steigung = y-Unterschied durch x-Unterschied, oben und unten in derselben Reihenfolge. — Merkblatt Lineare Funktionen und Steigung: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $m = \frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ , also x-Unterschied durch y-Unterschied.
✓Umgekehrt: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Oben steht immer der Unterschied in y.
✕Bei P(2|1) und Q(4|9) rechnen: 9−12−4=−4.
✓Oben und unten dieselbe Reihenfolge, beide Male Q minus P: 9−14−2=82=4.
✕Bei y=−2x+4 ist die Steigung 2.
✓Das gehört dazu: m=−2. Die Gerade fällt.
✕Für die Nullstelle x=0 setzen.
✓Bei der Nullstelle ist y=0. Setzt du x=0, bekommst du den y-Achsenabschnitt q.

Begriffe zum Nachschlagen

Lineare Funktion: Eine Funktion mit der Gleichung y=mx+q. Ihr Graph ist eine Gerade.
Steigung: Die Zahl m. Sie sagt, um wie viel y wächst, wenn x um 1 grösser wird.
y-Achsenabschnitt: Die Zahl q. Dort schneidet die Gerade die y-Achse.
Steigungsdreieck: Ein Dreieck an der Geraden: so weit nach rechts, so weit nach oben oder unten. Daraus liest du die Steigung ab.
Nullstelle: Das x, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet. Dort ist y=0.
Schnittpunkt: Der Punkt, in dem sich zwei Geraden kreuzen. Er liegt auf beiden Geraden.
Graph: Das Bild einer Funktion im Koordinatensystem.
Proportional: Eine lineare Funktion mit q=0. Ihre Gerade geht durch den Nullpunkt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Funktionen, Wertetabellen und Graphen Koordinatensystem Lineare Gleichungen lösen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Steigung aus zwei Punkten

Eine Gerade geht durch P(1|4) und Q(4|10). Berechne die Steigung m.

Von P(1 | 4) nach Q(4 | 10): 3 nach rechts, 6 nach oben. Die Steigung ist 2.

Unterschied in y, Q minus P:10−4=6
Unterschied in x, ebenfalls Q minus P:4−1=3
Teile den y-Unterschied durch den x-Unterschied:m=63=2

m=2. Die Gerade steigt: Pro Schritt nach rechts geht sie 2 nach oben.

Beispiel 2Gleichung aus zwei Punkten

Eine Gerade geht durch A(−2|7) und B(4|−2). Bestimme die Gleichung y=mx+q.

Die Gerade durch A(−2 | 7) und B(4 | −2) fällt mit der Steigung −1.5 und schneidet die y-Achse bei 4.

Zuerst die Steigung, B minus A. Negative Zahlen in Klammern:m=−2−74−(−2)=−96=−1.5
Setze m und den Punkt A in y=mx+q ein:7=−1.5·(−2)+q
−1.5·(−2)=3. Löse nach q auf:7=3+q ⇒ q=4
Probe mit B: −1.5·4+4=−6+4=−2. Stimmt.

y=−1.5x+4

Beispiel 3Velo mieten am See

Zwei Jugendliche holen bei einem Veloverleih an der Seepromenade ihre Velos ab, im Hintergrund See und Berge.

Ein Veloverleih in Luzern verlangt 8 Franken Grundgebühr und 4.50 Franken pro Stunde. Stell die Gleichung auf. Wie lange kannst du für 35 Franken fahren?

Pro Stunde kommen 4.50 Franken dazu, das ist die Steigung. Die Grundgebühr ist der Startwert:m=4.5 q=8
x sind die Stunden, y der Preis in Franken:y=4.5x+8
Setze y=35 ein und rechne die Grundgebühr weg:35=4.5x+8 ⇒ 4.5x=27
Teile durch 4.5:x=27:4.5=6

Die Gleichung ist y=4.5x+8. Für 35 Franken kannst du 6 Stunden fahren.

Beispiel 4Schnittpunkt zweier Geraden

Die Geraden y=3x−4 und y=−2x+6 schneiden sich. Berechne den Schnittpunkt.

Die steigende Gerade y = 3x − 4 und die fallende Gerade y = −2x + 6 kreuzen sich in S(2 | 2).

Im Schnittpunkt ist y bei beiden gleich. Setze die Terme gleich:3x−4=−2x+6
Bring alle x nach links und alle Zahlen nach rechts:3x+2x=6+4 ⇒ 5x=10 ⇒ x=2
Setze x=2 in eine der Gleichungen ein:y=3·2−4=2
Kontrolle mit der anderen Gleichung: −2·2+6=2. Stimmt.

Der Schnittpunkt ist S(2|2).

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse5

1
Die Funktion heisst y=3x+2. Berechne y für x=4.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=14
Auf der Geraden y = 3x + 2 liegt bei x = 4 der Punkt mit y = 14.
1. Einsetzen: y=3·4+2
2. Punkt vor Strich: 12+2=14
3. Der Punkt (4|14) liegt auf der Geraden.
2
Eine Gerade geht durch P(1|2) und Q(3|8). Berechne die Steigung m.
Lösung zeigen
Ergebnis: m=3
Von P(1 | 2) nach Q(3 | 8): 2 nach rechts, 6 nach oben. Die Steigung ist 3.
1. Unterschied in y: 8−2=6
2. Unterschied in x: 3−1=2
3. m=6:2=3
3
Berechne die Nullstelle von y=2x−8.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=4, die Gerade schneidet die x-Achse in N(4|0).
Die Gerade y = 2x − 8 schneidet die x-Achse bei x = 4.
1. Setze y=0: 0=2x−8
2. Rechne +8: 8=2x
3. Teile durch 2: x=4
4
Eine Gerade hat die Steigung m=2 und geht durch P(3|10). Berechne den y-Achsenabschnitt q.
Lösung zeigen
Ergebnis: q=4, die Gleichung ist y=2x+4.
Die Gerade mit Steigung 2 durch P(3 | 10) schneidet die y-Achse bei 4.
1. Einsetzen: 10=2·3+q
2. 10=6+q
3. q=10−6=4

5
Die Funktion heisst y=−3x+5. Berechne y für x=−2.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=11
1. Einsetzen mit Klammer: y=−3·(−2)+5
2. Minus mal minus gibt plus: −3·(−2)=6
3. y=6+5=11
6
Eine Gerade geht durch P(−1|4) und Q(3|−4). Berechne die Steigung m.
Lösung zeigen
Ergebnis: m=−2
1. Unterschied in y: −4−4=−8
2. Unterschied in x: 3−(−1)=4
3. m=−8:4=−2, die Gerade fällt.
7
Berechne die Nullstelle von y=4x+20.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−5, also N(−5|0).
1. Setze y=0: 0=4x+20
2. Rechne −20: −20=4x
3. Teile durch 4: x=−5
8
Eine Gerade hat die Steigung m=−2 und geht durch P(−3|1). Berechne q.
Lösung zeigen
Ergebnis: q=−5, die Gleichung ist y=−2x−5.
1. Einsetzen: 1=−2·(−3)+q
2. −2·(−3)=6, also 1=6+q
3. q=1−6=−5
9
Ein Elektriker aus Chur verrechnet 60 Franken für die Anfahrt und 85 Franken pro Stunde. Stell die Gleichung auf und berechne den Preis für 3 Stunden Arbeit.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=85x+60, für 3 Stunden 315 Franken.
1. Pro Stunde kommen 85 Franken dazu: m=85. Die Anfahrt ist fest: q=60.
2. y=85x+60
3. y=85·3+60=255+60=315

10
Eine Gerade geht durch A(−2|−1) und B(2|5). Bestimme die Gleichung y=mx+q.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=1.5x+2
1. Steigung: m=5−(−1)2−(−2)=64=1.5
2. Punkt A einsetzen: −1=1.5·(−2)+q=−3+q
3. q=−1+3=2
11
Berechne die Nullstelle von y=4x−6.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=1.5, also N(1.5|0).
1. Setze y=0: 0=4x−6
2. Rechne +6: 6=4x
3. Teile durch 4: x=6:4=1.5
12
Die Geraden y=2x+1 und y=−x+10 schneiden sich. Berechne den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: S(3|7)
1. Gleichsetzen: 2x+1=−x+10
2. 3x=9, also x=3
3. Einsetzen: y=2·3+1=7
13
Im Hallenbad Winterthur kostet ein Eintritt 7 Franken. Mit einer Rabattkarte für 60 Franken kostet jeder Eintritt nur noch 2 Franken. Ab wie vielen Eintritten lohnt sich die Karte?
Lösung zeigen
Ergebnis: Bei 12 Eintritten kosten beide gleich viel, nämlich 84 Franken. Ab 13 Eintritten ist die Karte günstiger.
1. Ohne Karte: y=7x. Mit Karte: y=2x+60.
2. Gleichsetzen: 7x=2x+60, also 5x=60 und x=12.
3. Bei 12 Eintritten zahlst du beide Male 7·12=84 Franken. Ab dem 13. Eintritt ist die Karte günstiger.
14
Eine Gerade geht durch P(2|1) und hat die Nullstelle x=6. Bestimme m und q.
Lösung zeigen
Ergebnis: m=−0.25 und q=1.5, also y=−0.25x+1.5.
1. Die Nullstelle ist der Punkt N(6|0).
2. Steigung: m=0−16−2=−14=−0.25
3. P einsetzen: 1=−0.25·2+q, also q=1+0.5=1.5

Vertauscht dein Kind beim Steigungsdreieck noch x und y oder findet es den Schnittpunkt nicht, übt eine Lehrperson mit ihm Gleichung und Graph an eigenen Beispielen. Nachhilfe in Mathematik für die 2. und 3. Sek

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Üben ohne Ende

Trainer: Lineare Funktionen und Steigung

Unbegrenzt neue Aufgaben zu Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Schnittpunkt, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt Einsetzen und positive Steigungen, Stufe 2 negative Zahlen, Stufe 3 Geraden durch zwei Punkte, Dezimalzahlen und Schnittpunkte.

Die Funktion heisst y = 3x + 2. Berechne y für x = 6.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Steigungsrechner

Steigung aus zwei Punkten, in % und Grad

Steigungm=0.5

In Prozent50 %

Steigungswinkelα≈26.5651°

Geradey=0.5·x+1.5

Rechenweg

Die Steigung ist der Unterschied in y geteilt durch den Unterschied in x. Rechne oben und unten in derselben Reihenfolge: Q minus P.
m=4 − 25 − 1=2 : 4
Teile. Die Steigung ist positiv: Die Gerade steigt.
m=0.5
In Prozent: mal 100. So viele Meter geht es auf 100 Meter waagrecht hinauf oder hinunter.
0.5·100=50 %
Den Steigungswinkel gibt der Tangens: tan α = m.
tan α = 0.5→α≈26.5651°
Für die Geradengleichung y = m · x + q setzt du P ein und löst nach q auf.
q=2−0.5·1=1.5

Beispiele

Zum Steigungsrechner mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 2. Sek: Wertetabelle, Gerade und die Gleichung y = mx + q. In der 3. Sek kommen Geraden durch zwei Punkte, Nullstellen und der Schnittpunkt zweier Geraden dazu, oft auch als Vorbereitung auf Gymi und Lehre.

MA.3.A.3.kEine Gerade y = mx + q zeichnen und herausfinden, wie steil sie ist, wo sie die y-Achse kreuzt und wo die x-Achse.
MA.3.A.3.iZu einem x den passenden y-Wert finden: in der Tabelle, am Graphen oder durch Einsetzen in die Gleichung, und Punkte ins Koordinatensystem eintragen.
MA.3.A.3.jDen Punkt, in dem sich zwei Geraden kreuzen, ausrechnen und im Koordinatensystem zeigen.
MA.3.A.1.mDas Wort «lineare Funktion» kennen und wissen, wofür es steht.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Steigung einer Geraden?

Du nimmst zwei Punkte der Geraden und teilst den Unterschied der y-Werte durch den Unterschied der x-Werte. Wichtig ist, dass du oben und unten in derselben Reihenfolge rechnest. Bei P(1 | 2) und Q(3 | 8) ist die Steigung 6 : 2 = 3.

In welcher Klasse lernt man lineare Funktionen?

Nach Lehrplan 21 gehören lineare Funktionen in den Zyklus 3, meist in die 2. und 3. Sek. Zuerst kommen Wertetabelle, Gerade und Steigung, danach Nullstellen und Schnittpunkte. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kann sich das etwas verschieben.

Was ist der Unterschied zwischen proportional und linear?

Jede proportionale Funktion ist linear, aber nicht umgekehrt. Proportional heisst y=mx, die Gerade geht durch den Nullpunkt. Bei einer linearen Funktion y=mx+q kommt noch ein fester Wert q dazu, zum Beispiel eine Grundgebühr.

Was bedeutet eine negative Steigung?

Die Gerade fällt von links nach rechts. Wird x um 1 grösser, wird y kleiner, bei m=−2 zum Beispiel um 2. Bei einer Kerze, die abbrennt, ist die Steigung zum Beispiel negativ.