Aufgabe 10: Planeten auf Kreisbahnen

Die Planeten $A$ und $B$ umkreisen den Stern $S$ im Uhrzeigersinn. Mittelpunkt beider Bahnen ist der Stern $S$.

Für eine Umkreisung benötigt der Planet $A$ 360 Tage, der Planet $B$ 900 Tage.

Abbildung 1 zeigt die Ausgangslage der drei Himmelskörper. Abbildung 2 zeigt die Lage der drei Himmelskörper 45 Tage später.

(Die Abbildungen sind nicht massstabsgetreu.)

Berechne den Winkel $\alpha$ aus Abbildung 2.

Auch die Planeten $C$ und $D$ umkreisen den Stern $S$ im Uhrzeigersinn. Mittelpunkt beider Bahnen ist der Stern $S$.

Für eine Umkreisung benötigt der Planet $D$ 180 Tage. Der Planet $C$ benötigt dafür weniger lang.

Abbildung 3 zeigt die Ausgangslage der drei Himmelskörper. Abbildung 4 zeigt die Lage der drei Himmelskörper 90 Tage später.

(Die Abbildungen sind nicht massstabsgetreu.)

Berechne, wie viele Tage der Planet $C$ für eine Umkreisung des Sterns benötigt.

Es gibt mehrere Lösungen. Du brauchst nur eine anzugeben.