Analysis: Ableiten und Integrieren

Die Analysis untersucht, wie sich Funktionen verändern. Hier findest du die Themen des Gymnasiums: Grenzwert, Ableitung und Ableitungsregeln, Kurvendiskussion, Stammfunktion und Integral bis zu den Integrationsmethoden.

2. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

Themen

GymnasiumStudienbeginn

Gymnasium

Grenzwert und Stetigkeit2. Jahr Gymnasium

Differenzenquotient und Differentialquotient2. Jahr Gymnasium

Ableitung und Ableitungsregeln2. Jahr Gymnasium

Produktregel2. Jahr Gymnasium

Quotientenregel2. Jahr Gymnasium

Kettenregel2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

Tangente und Normale2. Jahr Gymnasium

Kurvendiskussion2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

Stammfunktion und Integrationsregeln3. Jahr Gymnasium

Integral und Fläche unter dem Graphen3. Jahr Gymnasium

Partielle Integration4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

Integration durch Substitution4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

Studienbeginn

Partielle Integration4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

Integration durch Substitution4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

Das Wichtigste in Kürze

Die Analysis beschreibt Veränderung mit Funktionen. Ihre zwei Werkzeuge sind die Ableitung, die die momentane Steigung eines Graphen angibt, und das Integral, das Flächen unter einem Graphen und aufsummierte Grössen berechnet. Sie ist der grösste Block der Mathematik am Gymnasium, meist ab dem 2. oder 3. Jahr, und Grundlage für jedes naturwissenschaftliche oder wirtschaftliche Studium.

Grenzwert als Fundament

Beide Werkzeuge beruhen auf dem Grenzwert: Was passiert mit einem Term, wenn sich x immer mehr einer Zahl nähert? Die Steigung einer Sekante, der Differenzenquotient f(x+h)−f(x)h, wird für h→0 zur Steigung der Tangente. Dieser Grenzwert ist die Ableitung $f^{'} (x)$ .

Ableiten

Statt jedes Mal den Grenzwert zu rechnen, nutzt du Regeln:

Potenzregel: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen.

Mit der Ableitung findest du Tangenten, Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte; die ganze Untersuchung eines Graphen heisst Kurvendiskussion.

Integrieren

Integrieren kehrt das Ableiten um. Eine Stammfunktion F von f erfüllt $F^{'} (x) = f (x)$ . Der Hauptsatz verbindet sie mit der Fläche: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . Für schwierige Integrale gibt es die partielle Integration und die Integration durch Substitution.