Produktregel beim Ableiten

Mit der Produktregel leitest du Funktionen ab, die ein Produkt zweier Funktionen von x sind, etwa x mal e hoch x. Die Regel lautet: Ableitung des ersten Faktors mal den zweiten plus den ersten mal Ableitung des zweiten.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Gymnasiast und eine Gymnasiastin arbeiten an einem Holztisch in einer hellen Schulbibliothek mit Heften und Taschenrechner, draussen sieht man verschneite Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Produktregel nimmst du, wenn eine Funktion ein Produkt zweier Teile ist, die beide x enthalten, etwa $f (x) = x \cdot e^{x}$ . Für f=u·v gilt: $f^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ . Am Schluss fasst du zusammen oder klammerst einen gemeinsamen Faktor aus.

Wann du die Produktregel brauchst

Eine Funktion f(x)=u(x)·v(x) ist ein Produkt zweier Funktionen. Ihre ist nicht das Produkt der Ableitungen.

Nicht jedes Produkt braucht die Regel:

Ein Faktor ist eine Zahl: Die Faktorregel genügt, $(4 x^{3})^{'} = 12 x^{2}$ .
Zwei : Du darfst auch ausmultiplizieren und dann ableiten.

Unverzichtbar ist sie bei Produkten mit $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ oder $ln x$ .

MerkeStehen zwei Faktoren mit x nebeneinander, kannst du immer die Produktregel nehmen. Bei $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ und $ln x$ musst du sie nehmen.

Graph von f(x) = x · eˣ und seiner Ableitung f'(x) = (x + 1) · eˣ. Bei x = −1 ist f' gleich 0, dort hat f seinen Tiefpunkt. Links davon ist f' negativ und f fällt, rechts davon steigt f.

Die Regel

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

In Worten: Ableitung des ersten Faktors mal den zweiten, plus den ersten Faktor mal Ableitung des zweiten.

Jeder Faktor wird also einmal abgeleitet, während der andere stehen bleibt. Weil ein Plus dazwischen steht, spielt die Reihenfolge der beiden Summanden keine Rolle.

MerkeEiner abgeleitet, der andere bleibt, und das zweimal: $u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ .

Schritt für Schritt

Am Beispiel f(x)=(2x+1)(x²−3): 1. Die beiden Faktoren benennen und ableiten: u=2x+1, $u^{'} = 2$ , v=x²−3, $v^{'} = 2 x$ . 2. In die Regel einsetzen: $f^{'} (x) = 2 \cdot (x^{2} - 3) + (2 x + 1) \cdot 2 x$ . 3. Ausmultiplizieren: 2x²−6+4x²+2x. 4. Zusammenfassen: $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 x - 6$ .

Zur Kontrolle: Ausmultipliziert ist f(x)=2x³+x²−6x−3, und die Potenzregel gibt dieselbe Ableitung.

MerkeSchreib zuerst u, $u^{'}$ , v und $v^{'}$ untereinander auf, dann erst einsetzen.

Graph von f(x) = (2x + 1)(x² − 3) und seiner Ableitung f'(x) = 6x² + 2x − 6. Wo f' die x-Achse schneidet, bei etwa x = −1.18 und x = 0.85, hat f einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.

Mit e-Funktion, Sinus und Logarithmus

Die Regel gilt für alle Funktionen, deren Ableitung du kennst. Du brauchst $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ und $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ :

$(x \cdot e^{x})^{'} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) e^{x}$
$(x^{2} sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x$
$(x cos x)^{'} = cos x - x sin x$
$(x ln x)^{'} = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$
$(e^{x} sin x)^{'} = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x)$

Ausklammern und waagrechte Tangenten

Kommt ein Faktor in beiden Summanden vor, klammerst du ihn aus. Bei $e^{x}$ lohnt sich das immer: $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x (x + 2) e^{x}$ .

So findest du leicht, wo der Graph eine waagrechte hat. Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Weil $e^{x}$ nie 0 wird, bleibt nur x(x+2)=0, also x=0 oder x=−2.

Woher die Regel kommt

Stell dir u·v als Fläche eines Rechtecks mit den Seiten u und v vor. Ändert sich x um ein kleines h, wächst u um $Δ u$ und v um $Δ v$ . Dann kommen drei Streifen dazu:

Δ (u \cdot v) = Δ u \cdot v + u \cdot Δ v + Δ u \cdot Δ v

Teilst du durch h und lässt h→0 gehen, werden die ersten beiden Summanden zu $u^{'} \cdot v$ und $u \cdot v^{'}$ . Das kleine Eckstück $Δ u \cdot Δ v$ verschwindet im .

Bei drei Faktoren leitest du jeden einmal ab: $(u \cdot v \cdot w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}$ .

Produktregel: Merkblatt mit Formel und Beispiel. (u · v)' = u' · v + u · v'. Beispiel: f'(x) = 9x² - 2x und f'(1) = 7. Zur Kontrolle: f(x) = 3x³ - x² gibt mit der Potenzregel dasselbe. — Merkblatt Produktregel: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $(x^{2} \cdot x^{3})^{'} = 2 x \cdot 3 x^{2} = 6 x^{3}$ , also beide Faktoren abgeleitet und multipliziert.
✓Produktregel: 2x·x³+x²·3x²=2x⁴+3x⁴=5x⁴, genau wie $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ .
✕ $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}$ , mit Minus wie bei der .
✓Bei der Produktregel steht ein Plus: $u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ .
✕ $(e^{x} sin x)^{'} = e^{x} cos x$ , nur den abgeleitet.
✓Beide Faktoren kommen einmal dran: $e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x)$ .
✕ $(x cos x)^{'} = cos x + x sin x$ , das Minus der -Ableitung vergessen.
✓ $(cos x)^{'} = - sin x$ , also $cos x - x sin x$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Produktregel: Ableitungsregel für Produkte f=u·v: $f^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ . Bei den Logarithmen heisst eine andere Regel gleich.
Ableitung: Die Funktion $f^{'}$ , die an jeder Stelle die Steigung des Graphen von f angibt.
Faktorregel: Eine Zahl als Faktor bleibt beim Ableiten stehen: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Zwei Polynome

Leite f(x)=x²(3x−1) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die Faktoren benennen und ableiten: $u = x^{2}, u^{'} = 2 x, v = 3 x - 1, v^{'} = 3$
In die Produktregel einsetzen: $f^{'} (x) = 2 x (3 x - 1) + x^{2} \cdot 3$
Ausmultiplizieren und zusammenfassen: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} = 9 x^{2} - 2 x$
1 einsetzen: $f^{'} (1) = 9 - 2 = 7$

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 2 x$ und $f^{'} (1) = 7$ . Zur Kontrolle: f(x)=3x³−x² gibt mit der Potenzregel dasselbe.

Beispiel 2Mit der e-Funktion

Leite $f (x) = x \cdot e^{x}$ ab. Wo hat der Graph eine waagrechte Tangente?

Lösung Schritt für Schritt

Die bleibt beim Ableiten gleich: $u = x, u^{'} = 1, v = e^{x}, v^{'} = e^{x}$
Einsetzen und $e^{x}$ ausklammern: $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) e^{x}$
Waagrechte Tangente heisst $f^{'} (x) = 0$ . Weil $e^{x}$ nie 0 ist, muss der andere Faktor 0 sein:x+1=0 ⇒ x=−1
Probe: $f^{'} (- 1) = (- 1 + 1) e^{- 1} = 0$

$f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}$ . Die Tangente ist bei x=−1 waagrecht, dort ist $f^{'} (- 1) = 0$ .

Beispiel 3Mit dem Logarithmus

Leite $f (x) = (x^{2} + 1) \cdot ln x$ ab und berechne $f^{'} (1)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die Faktoren benennen und ableiten: $u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x, v = ln x, v^{'} = \frac{1}{x}$
Einsetzen: $f^{'} (x) = 2 x ln x + (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x}$
Den zweiten Summanden vereinfachen: $f^{'} (x) = 2 x ln x + x + \frac{1}{x}$
1 einsetzen, dabei ist $ln 1 = 0$ : $f^{'} (1) = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 1 + 1 = 2$

$f^{'} (x) = 2 x ln x + x + \frac{1}{x}$ und $f^{'} (1) = 2$

Beispiel 4Umsatz am Glacestand

Zwei Kinder und ihr Vater stehen an einem kleinen Glacestand an der Seepromenade in Zürich, im Hintergrund Segelboote auf dem See.

Ein Glacestand am Zürichsee erhöht im Sommer jede Woche den Preis: Eine Kugel kostet p(t)=3+0.1t Franken, t Wochen nach Saisonbeginn. Dadurch sinkt die Zahl der verkauften Kugeln pro Woche auf n(t)=800−20t. Der Wochenumsatz ist U(t)=p(t)·n(t). Wie schnell ändert sich der Umsatz nach 2 Wochen? Nach wie vielen Wochen ist er am grössten?

Graph des Wochenumsatzes U(t) in Franken für die ersten zwölf Wochen. Er steigt zuerst, ist nach 5 Wochen mit 2450 Franken am grössten und sinkt danach.

Lösung Schritt für Schritt

Die Faktoren und ihre Ableitungen: $p (t) = 3 + 0.1 t, p^{'} (t) = 0.1, n (t) = 800 - 20 t, n^{'} (t) = - 20$
Produktregel einsetzen und zusammenfassen: $U^{'} (t) = 0.1 (800 - 20 t) + (3 + 0.1 t) (- 20) = 80 - 2 t - 60 - 2 t = 20 - 4 t$
Nach 2 Wochen, also t=2: $U^{'} (2) = 20 - 8 = 12$
Am grössten ist der Umsatz, wo $U^{'} (t) = 0$ ist:20−4t=0 ⇒ t=5
Vor t=5 ist $U^{'}$ positiv, danach negativ. Also liegt dort das Maximum:U(5)=3.5·700=2450

Nach 2 Wochen wächst der Umsatz um 12 Franken pro Woche. Am grössten ist er nach 5 Wochen mit 2'450 Franken.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Leite f(x)=x(x+4) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 x + 4$ , $f^{'} (1) = 6$
Graph von f(x) = x(x + 4). Im Punkt (1 | 5) steigt er mit der Steigung f'(1) = 6.
1. u=x, $u^{'} = 1$ , v=x+4, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = 1 \cdot (x + 4) + x \cdot 1 = 2 x + 4$ .
3. $f^{'} (1) = 2 + 4 = 6$ .
2
Leite f(x)=(x+1)(x−2) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (3)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 x - 1$ , $f^{'} (3) = 5$
Graph von f(x) = (x + 1)(x − 2). Im Punkt (3 | 4) steigt er mit der Steigung f'(3) = 5.
1. u=x+1, $u^{'} = 1$ , v=x−2, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = 1 \cdot (x - 2) + (x + 1) \cdot 1 = 2 x - 1$ .
3. $f^{'} (3) = 6 - 1 = 5$ .
3
Leite f(x)=x²(x−1) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x$ , $f^{'} (2) = 8$
Graph von f(x) = x²(x − 1). Im Punkt (2 | 4) steigt er steil, mit der Steigung f'(2) = 8.
1. u=x², $u^{'} = 2 x$ , v=x−1, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = 2 x (x - 1) + x^{2} \cdot 1 = 3 x^{2} - 2 x$ .
3. $f^{'} (2) = 12 - 4 = 8$ .
4
Leite f(x)=3x(x²+2) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 9 x^{2} + 6$ , $f^{'} (1) = 15$
1. u=3x, $u^{'} = 3$ , v=x²+2, $v^{'} = 2 x$ .
2. $f^{'} (x) = 3 (x^{2} + 2) + 3 x \cdot 2 x = 3 x^{2} + 6 + 6 x^{2} = 9 x^{2} + 6$ .
3. $f^{'} (1) = 9 + 6 = 15$ .
5
Leite f(x)=(2x+1)(x+3) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 4 x + 7$ , $f^{'} (0) = 7$
1. u=2x+1, $u^{'} = 2$ , v=x+3, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = 2 (x + 3) + (2 x + 1) \cdot 1 = 4 x + 7$ .
3. $f^{'} (0) = 7$ .

6
Leite $f (x) = (x^{2} + 1) \cdot e^{x}$ ab, klammere aus und berechne $f^{'} (1)$ als Vielfaches von e.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = (x + 1)^{2} e^{x}$ , $f^{'} (1) = 4 e$
1. u=x²+1, $u^{'} = 2 x$ , $v = e^{x}$ , $v^{'} = e^{x}$ .
2. $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + 1) e^{x} = (x^{2} + 2 x + 1) e^{x} = (x + 1)^{2} e^{x}$ .
3. $f^{'} (1) = 2^{2} \cdot e = 4 e$ .
7
Leite $f (x) = (2 x + 3) \cdot cos x$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 cos x - (2 x + 3) sin x$ , $f^{'} (0) = 2$
1. u=2x+3, $u^{'} = 2$ , $v = cos x$ , $v^{'} = - sin x$ .
2. $f^{'} (x) = 2 cos x + (2 x + 3) \cdot (- sin x) = 2 cos x - (2 x + 3) sin x$ .
3. $f^{'} (0) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 2$ .
8
Leite $f (x) = (2 x + 1) \cdot ln x$ ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 ln x + 2 + \frac{1}{x}$ , $f^{'} (1) = 3$
1. u=2x+1, $u^{'} = 2$ , $v = ln x$ , $v^{'} = \frac{1}{x}$ .
2. $f^{'} (x) = 2 ln x + (2 x + 1) \cdot \frac{1}{x} = 2 ln x + 2 + \frac{1}{x}$ .
3. $f^{'} (1) = 2 \cdot 0 + 2 + 1 = 3$ .
9
Leite f(x)=(x²+1)(x²−1) mit der Produktregel ab, vereinfache und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ , $f^{'} (1) = 4$
1. $u^{'} = 2 x$ , $v^{'} = 2 x$ .
2. $f^{'} (x) = 2 x (x^{2} - 1) + (x^{2} + 1) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3} + 2 x = 4 x^{3}$ .
3. $f^{'} (1) = 4$ . Kontrolle: f(x)=x⁴−1, also $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ .
10
Leite $f (x) = (x - 1) \cdot sin x$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = sin x + (x - 1) cos x$ , $f^{'} (0) = - 1$
1. u=x−1, $u^{'} = 1$ , $v = sin x$ , $v^{'} = cos x$ .
2. $f^{'} (x) = 1 \cdot sin x + (x - 1) \cdot cos x$ .
3. $f^{'} (0) = 0 + (0 - 1) \cdot 1 = - 1$ .

11
In welchem Punkt hat der Graph von $f (x) = (x - 1) e^{x}$ eine waagrechte Tangente?
Lösung zeigen
Ergebnis: Im Punkt (0|−1)
1. u=x−1, $u^{'} = 1$ , $v = e^{x}$ , $v^{'} = e^{x}$ .
2. $f^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ .
3. $e^{x}$ ist nie 0, also x=0.
4. f(0)=(0−1)·1=−1, der Punkt ist (0|−1).
12
Bestimme die Gleichung der Tangente an $f (x) = x^{2} ln x$ an der Stelle $x_{0} = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (1) = 1$ , Tangente t(x)=x−1
1. $f (1) = 1 \cdot ln 1 = 0$ , der Berührpunkt ist (1|0).
2. $f^{'} (x) = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x$ , also $f^{'} (1) = 0 + 1 = 1$ .
3. t(x)=1·(x−1)+0=x−1.
13
Leite f(x)=x(x+1)(x+2) mit der Produktregel für drei Faktoren ab und berechne $f^{'} (1)$ . Kontrolliere durch Ausmultiplizieren.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (1) = 11$
1. $(u \cdot v \cdot w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}$ mit u=x, v=x+1, w=x+2 und allen Ableitungen gleich 1.
2. $f^{'} (x) = (x + 1) (x + 2) + x (x + 2) + x (x + 1)$ .
3. $f^{'} (1) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 6 + 3 + 2 = 11$ .
4. Kontrolle: f(x)=x³+3x²+2x, $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 2$ , $f^{'} (1) = 11$ .
14
Leite $f (x) = x \cdot e^{- x}$ ab. Dabei gilt $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ . Wo hat der Graph eine waagrechte Tangente, und ist es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ , $f^{'} (1) = 0$ , Hochpunkt bei x=1
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v = e^{- x}$ , $v^{'} = - e^{- x}$ .
2. $f^{'} (x) = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x}$ .
3. $e^{- x}$ ist nie 0, also 1−x=0 und x=1.
4. Für x<1 ist $f^{'}$ positiv, für x>1 negativ: Hochpunkt $(1 ∣ \frac{1}{e})$ .

Bringst du die Faktoren durcheinander oder steht eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson übt die Ableitungsregeln mit dir, bis du sie sicher anwendest. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Produktregel

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Ableitung oder den richtigen Wert. Stufe 1 übt die Regel an Polynomen, Stufe 2 Produkte mit e-Funktion, Sinus, Kosinus und Logarithmus, Stufe 3 Werte, Tangenten und waagrechte Tangenten.

Was ist die Ableitung von f(x) = 3x(x − 2)?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. Jahr, als erste Regel nach Potenz-, Faktor- und Summenregel. Danach folgen Quotienten- und Kettenregel, später baut die partielle Integration auf ihr auf.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann brauche ich die Produktregel?

Immer, wenn eine Funktion ein Produkt zweier Teile ist, die beide x enthalten, etwa $x^{2} \cdot e^{x}$ oder $x \cdot sin x$ . Bei $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ und $ln x$ führt kein Weg an ihr vorbei, zwei Polynome darfst du auch ausmultiplizieren. Ist ein Faktor nur eine Zahl, genügt die Faktorregel.

Darf ich statt der Produktregel ausmultiplizieren?

Ja, bei zwei Polynomen kommt dasselbe heraus, und oft geht es so schneller. Bei Produkten mit $e^{x}$ , $sin x$ oder $ln x$ geht das nicht, dort brauchst du die Produktregel.

Wie merke ich mir die Produktregel?

Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, der andere bleibt stehen: $u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ . Anders als bei der Quotientenregel steht ein Plus, darum ist die Reihenfolge egal.

In welcher Klasse lernt man die Produktregel?

Am Gymnasium, meist im 2. Jahr, zusammen mit Quotienten- und Kettenregel. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor.