Quotientenregel und Brüche ableiten

Mit der Quotientenregel leitest du Funktionen ab, die ein Bruch sind und bei denen x im Zähler und im Nenner steht. Die Regel lautet: Ableitung des Zählers mal Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles geteilt durch den Nenner im Quadrat.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Gymnasiasten teilen an einem Küchentisch eine grosse Pizza in gleich grosse Stücke, durchs Fenster sieht man Dächer einer Schweizer Altstadt.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Quotientenregel brauchst du, wenn eine Funktion ein Bruch ist und x im Zähler und im Nenner steht, etwa f(x)=xx+1. Für f=uv gilt: $f^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ . Am Schluss vereinfachst du den Zähler und lässt den Nenner als Quadrat stehen.

Wann du die Quotientenregel brauchst

Eine Funktion f(x)=u(x)v(x) ist ein Quotient zweier Funktionen. Leitest du Zähler und Nenner einzeln ab, kommt etwas Falsches heraus.

Nicht jeder Bruch braucht die Regel:

Nur eine Zahl im Nenner: Sie ist ein Faktor, x²5=15x².
Nur eine Zahl im Zähler: Die Potenzregel geht schneller, $\frac{4}{x ^{2}} = 4 x^{- 2}$ .

Wo der Nenner 0 ist, sind f und $f^{'}$ nicht definiert.

MerkeSteht x im Zähler und im Nenner, brauchst du die Quotientenregel.

Graph von f(x) = x : (x + 1) und seiner Ableitung f'(x) = 1 : (x + 1)². Die Ableitung ist überall positiv, darum steigt f auf beiden Ästen. Bei x = −1 haben beide eine Definitionslücke.

Die Regel

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}

In Worten: des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles geteilt durch den Nenner im Quadrat.

Anders als bei der Produktregel steht hier ein Minus. Darum ist die Reihenfolge im Zähler wichtig: Vertauschst du die beiden Teile, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.

MerkeNAZ minus ZAN durch N²: Nenner mal Ableitung Zähler, minus Zähler mal Ableitung Nenner, durch Nenner im Quadrat.

Schritt für Schritt

Am Beispiel f(x)=2x+1x−3: 1. Zähler und Nenner benennen und ableiten: u=2x+1, $u^{'} = 2$ , v=x−3, $v^{'} = 1$ . 2. In die Regel einsetzen: $f^{'} (x) = \frac{2 \cdot ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}}$ . 3. Zähler ausmultiplizieren, dabei die Klammer nach dem Minus auflösen: 2x−6−2x−1=−7. 4. Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}} = - \frac{7}{( x - 3 ) ^{2}}$ .

Der Nenner (x−3)² ist nie negativ. Das Vorzeichen von $f^{'}$ hängt also nur vom Zähler ab. Hier ist er immer −7, also fällt der Graph überall.

MerkeSetz (2x+1) nach dem Minus in Klammern, sonst stimmt das Vorzeichen nicht.

Graph von f(x) = (2x + 1) : (x − 3) mit der Definitionslücke bei x = 3. Beide Äste fallen, passend zu f'(x) = −7 : (x − 3)², das überall negativ ist. Die Gerade y = 2 ist die waagrechte Asymptote: Für sehr grosse und sehr kleine x kommt f ihr immer näher.

Richtig vereinfachen

Zähler: ausmultiplizieren und zusammenfassen.
Nenner: als Quadrat stehen lassen, etwa (x−3)². So siehst du die .
Kürzen: nur Faktoren, nie Summanden: $\frac{e ^{x} ( 1 - x )}{e ^{2 x}} = \frac{1 - x}{e ^{x}}$ .

Für eine waagrechte setzt du nur den Zähler gleich 0 und prüfst, dass der Nenner dort nicht 0 ist. Ein Bruch ist 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht.

Mit e-Funktion, Sinus und Logarithmus

Die Regel gilt für alle Funktionen, deren Ableitung du kennst:

$(\frac{e ^{x}}{x})^{'} = \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$
$(\frac{ln x}{x})^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ , also $(tan x)^{'} = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot ( - sin x )}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

Beim hilft $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ .

Woher die Regel kommt

Du kannst einen Quotienten als Produkt schreiben: $\frac{u}{v} = u \cdot v^{- 1}$ . Mit Produkt- und ist $(v^{- 1})^{'} = - v^{- 2} \cdot v^{'}$ , also

(u \cdot v^{- 1})^{'} = u^{'} \cdot v^{- 1} - u \cdot v^{- 2} \cdot v^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}

Die Quotientenregel ist also keine neue Idee, sondern eine Abkürzung. Wer sie vergessen hat, kommt auf diesem Weg zum selben Ergebnis.

Quotientenregel: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Steht x im Zähler und im Nenner, brauchst du die Quotientenregel. NAZ minus ZAN durch N²: Nenner mal Ableitung Zähler, minus Zähler mal Ableitung Nenner, durch Nenner im Quadrat. Beispiel: f'(x) = 1/(x+1)² und f'(1) = 1/4. — Merkblatt Quotientenregel: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{'} = \frac{2 x}{1} = 2 x$ , also Zähler und Nenner einzeln abgeleitet.
✓Quotientenregel: 2x(x+1)−x²·1(x+1)²=x²+2x(x+1)².
✕ $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u \cdot v ^{'} - u ^{'} \cdot v}{v ^{2}}$ , die beiden Teile im Zähler vertauscht.
✓Zuerst kommt die Ableitung des Zählers: $u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}$ . Vertauscht ist das Vorzeichen des ganzen Ergebnisses falsch.
✕2(x−3)−(2x+1)=2x−6−2x+1=−5, das Minus nur auf 2x angewendet.
✓Das Minus gilt für die ganze Klammer: 2x−6−2x−1=−7.
✕Im Nenner steht $v^{'}$ oder v statt v², etwa −7x−3.
✓Der Nenner der Ableitung ist der alte Nenner im Quadrat: −7(x−3)².

Begriffe zum Nachschlagen

Quotientenregel: Ableitungsregel für Brüche f=uv: $f^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Ableitung: Die Funktion $f^{'}$ , die an jeder Stelle die Steigung des Graphen von f angibt.
Definitionslücke: Eine Stelle, an der der Nenner 0 wird. Dort sind weder f noch $f^{'}$ definiert.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln Produktregel Bruchterme und Bruchgleichungen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Der einfachste Fall

Leite f(x)=xx+1 ab und berechne $f^{'} (1)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Zähler und Nenner benennen und ableiten: $u = x, u^{'} = 1, v = x + 1, v^{'} = 1$
In die Quotientenregel einsetzen: $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Zähler zusammenfassen, x und −x heben sich auf: $f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
1 einsetzen: $f^{'} (1) = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$

$f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ und $f^{'} (1) = \frac{1}{4}$

Beispiel 2Quadrat im Zähler

Leite f(x)=x²+1x−2 ab und berechne $f^{'} (3)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Ableiten der Teile: $u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x, v = x - 2, v^{'} = 1$
Einsetzen: $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}}$
Zähler ausmultiplizieren, die Klammer nach dem Minus auflösen:2x²−4x−x²−1=x²−4x−1
Ableitung hinschreiben und 3 einsetzen: $f^{'} (3) = \frac{9 - 12 - 1}{1 ^{2}} = - 4$

$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}}$ und $f^{'} (3) = - 4$ . Der Graph fällt an der Stelle 3.

Beispiel 3Mit der e-Funktion

Leite $f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ ab. Wo hat der Graph eine waagrechte Tangente?

Lösung Schritt für Schritt

Die bleibt beim Ableiten gleich: $u = e^{x}, u^{'} = e^{x}, v = x, v^{'} = 1$
Einsetzen und $e^{x}$ im Zähler ausklammern: $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$
Waagrechte Tangente heisst $f^{'} (x) = 0$ . Dafür muss der Zähler 0 sein. Weil $e^{x}$ nie 0 ist, bleibt:x−1=0 ⇒ x=1
Probe: $f^{'} (1) = \frac{e \cdot 0}{1} = 0$

$f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$ . Die Tangente ist bei x=1 waagrecht, dort ist $f^{'} (1) = 0$ .

Beispiel 4Wirkstoff im Blut

Eine junge Frau sitzt an einem Küchentisch in Luzern und trinkt ein Glas Wasser, daneben liegt eine kleine Tablettenschachtel.

Michelle aus Luzern nimmt eine Tablette gegen Kopfweh. In einem einfachen Modell ist die Menge des Wirkstoffs im Blut c(t)=10tt²+1 Milligramm pro Liter, t Stunden nach der Einnahme. Wie schnell steigt die Menge nach einer halben Stunde? Wann ist sie am grössten?

Graph von c(t) = 10t : (t² + 1) für die ersten sechs Stunden. Die Menge steigt zuerst steil, ist nach einer Stunde mit 5 mg/l am grössten und nimmt danach langsam ab.

Lösung Schritt für Schritt

Ableiten mit der Quotientenregel: $u = 10 t, u^{'} = 10, v = t^{2} + 1, v^{'} = 2 t$
Einsetzen und zusammenfassen: $c^{'} (t) = \frac{10 ( t ^{2} + 1 ) - 10 t \cdot 2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{10 - 10 t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
Nach einer halben Stunde, also t=0.5: $c^{'} (0.5) = \frac{10 - 2.5}{1.2 5 ^{2}} = \frac{7.5}{1.5625} = 4.8$
Am grössten ist die Menge, wo $c^{'} (t) = 0$ ist, also wo der Zähler 0 ist:10−10t²=0 ⇒ t=1
Die Lösung t=−1 fällt weg, weil die Zeit nicht negativ ist. Vor t=1 ist $c^{'}$ positiv, danach negativ, also liegt dort ein Maximum:c(1)=102=5

Nach einer halben Stunde steigt die Menge um 4.8 mg/l pro Stunde. Am grössten ist sie nach 1 Stunde mit 5 mg/l.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Leite f(x)=xx+2 ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}$ , $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$
Graph von f(x) = x : (x + 2). Im Ursprung steigt er mit der Steigung f'(0) = 0.5.
1. u=x, $u^{'} = 1$ , v=x+2, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 2 ) - x \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
3. $f^{'} (0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
2
Leite f(x)=1x+1 mit der Quotientenregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (1) = - \frac{1}{4}$
Graph von f(x) = 1 : (x + 1). Er fällt auf beiden Ästen, darum ist f' überall negativ.
1. u=1, $u^{'} = 0$ , v=x+1, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{0 \cdot ( x + 1 ) - 1 \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
3. $f^{'} (1) = - \frac{1}{4}$ .
3
Leite f(x)=x+1x−1 ab und berechne $f^{'} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (2) = - 2$
Graph von f(x) = (x + 1) : (x − 1) mit der Definitionslücke bei x = 1. Im Punkt (2 | 3) fällt er steil, mit der Steigung −2. Die Gerade y = 1 ist die waagrechte Asymptote: Für sehr grosse und sehr kleine x kommt f ihr immer näher.
1. $u^{'} = 1$ und $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) - ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
3. $f^{'} (2) = \frac{- 2}{1} = - 2$ .
4
Leite f(x)=3xx+1 ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (0) = 3$
1. u=3x, $u^{'} = 3$ , v=x+1, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{3 ( x + 1 ) - 3 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
3. $f^{'} (0) = \frac{3}{1} = 3$ .
5
Leite f(x)=x²x+1 ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (1) = \frac{3}{4}$
1. u=x², $u^{'} = 2 x$ , v=x+1, $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
3. $f^{'} (1) = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}$ .

6
Leite f(x)=2x−1x+3 ab und berechne $f^{'} (- 2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}}$ , $f^{'} (- 2) = 7$
1. $u^{'} = 2$ , $v^{'} = 1$ .
2. Zähler: 2(x+3)−(2x−1)=2x+6−2x+1=7.
3. $f^{'} (x) = \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}}$ , also $f^{'} (- 2) = \frac{7}{1} = 7$ .
7
Leite f(x)=x²−1x²+1 ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{4 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (1) = 1$
1. $u^{'} = 2 x$ , $v^{'} = 2 x$ .
2. Zähler: 2x(x²+1)−(x²−1)·2x=2x³+2x−2x³+2x=4x.
3. $f^{'} (1) = \frac{4}{2 ^{2}} = 1$ .
8
Leite f(x)=xx²+1 ab und berechne $f^{'} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (2) = - \frac{3}{25}$
1. $u^{'} = 1$ , $v^{'} = 2 x$ .
2. Zähler: 1·(x²+1)−x·2x=1−x².
3. $f^{'} (2) = \frac{1 - 4}{5 ^{2}} = - \frac{3}{25}$ .
9
Leite $f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 1}$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{x e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}}$ , $f^{'} (0) = 0$
1. $u = e^{x}$ , $u^{'} = e^{x}$ , v=x+1, $v^{'} = 1$ .
2. Zähler: $e^{x} (x + 1) - e^{x} = x e^{x}$ .
3. $f^{'} (0) = \frac{0 \cdot 1}{1} = 0$ : Bei x=0 ist die Tangente waagrecht.
10
Leite $f (x) = \frac{sin x}{cos x}$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , $f^{'} (0) = 1$
1. $u^{'} = cos x$ , $v^{'} = - sin x$ .
2. Zähler: $cos x \cdot cos x - sin x \cdot (- sin x) = cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .
3. $f^{'} (0) = \frac{1}{cos ^{2} 0} = \frac{1}{1} = 1$ .

11
Leite $f (x) = \frac{ln x}{x ^{2}}$ ab, vereinfache, berechne $f^{'} (1)$ und bestimme, wo der Graph eine waagrechte Tangente hat.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 ln x}{x ^{3}}$ , $f^{'} (1) = 1$ , waagrechte Tangente bei $x = e$
1. $u = ln x$ , $u^{'} = \frac{1}{x}$ , v=x², $v^{'} = 2 x$ . Zähler: $\frac{1}{x} \cdot x^{2} - ln x \cdot 2 x = x - 2 x ln x = x (1 - 2 ln x)$ .
2. Nenner (x²)²=x⁴. Einmal x kürzen: $f^{'} (x) = \frac{x ( 1 - 2 ln x )}{x ^{4}} = \frac{1 - 2 ln x}{x ^{3}}$ .
3. $f^{'} (1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$ , weil $ln 1 = 0$ .
4. Waagrecht, wo $1 - 2 ln x = 0$ , also $ln x = \frac{1}{2}$ und $x = e^{1/2} = e \approx 1.65$ . Dort ist x>0, der Nenner also nicht 0.
12
Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)=2xx+1 an der Stelle $x_{0} = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ , Tangente t(x)=12x+12
1. f(1)=22=1, der Berührpunkt ist (1|1).
2. $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - 2 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$ , also $f^{'} (1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
3. t(x)=12(x−1)+1=12x+12.
13
Bestimme alle Punkte, in denen der Graph von f(x)=x²+3x−1 eine waagrechte Tangente hat.
Lösung zeigen
Ergebnis: Waagrechte Tangente in (3|6) und (−1|−2)
1. $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
2. Zähler gleich 0: x²−2x−3=(x−3)(x+1)=0, also x=3 oder x=−1. An beiden Stellen ist der Nenner x−1 nicht 0.
3. f(3)=122=6 und f(−1)=4−2=−2.
14
Leite $f (x) = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ ab, vereinfache so weit wie möglich und bestimme, wo der Graph eine waagrechte Tangente hat.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{x ( 2 - x )}{e ^{x}}$ , waagrechte Tangente bei x=0 und x=2
1. u=x², $u^{'} = 2 x$ , $v = e^{x}$ , $v^{'} = e^{x}$ , $v^{2} = e^{2 x}$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{2 x e ^{x} - x ^{2} e ^{x}}{e ^{2 x}} = \frac{e ^{x} ( 2 x - x ^{2} )}{e ^{2 x}}$ .
3. $e^{x}$ kürzen: $f^{'} (x) = \frac{2 x - x ^{2}}{e ^{x}} = \frac{x ( 2 - x )}{e ^{x}}$ .
4. Der Nenner $e^{x}$ ist nie 0. Zähler x(2−x)=0 bei x=0 und x=2.

Verlierst du beim Vereinfachen den Überblick oder steht eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson rechnet die Quotientenregel mit dir durch, bis jeder Schritt sitzt. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

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Trainer: Quotientenregel

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Ableitung oder den richtigen Wert. Stufe 1 übt die Regel an einfachen Brüchen, Stufe 2 Quadrate, e-Funktion, Sinus und Logarithmus, Stufe 3 Werte, Tangenten und waagrechte Tangenten.

Was ist die Ableitung von f(x) = (x + 1) : (x − 1)?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaKettenregelMit der Kettenregel leitest du verkettete Funktionen ab, also Funktionen, in denen eine Funktion in einer anderen steckt, etwa (3x + 1)⁴ oder e hoch 2x. Die Regel lautet: äussere Ableitung mal innere Ableitung.2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. Jahr, direkt nach den Grundregeln des Ableitens und oft gleich nach der Produktregel. Gebraucht wird sie danach in der Kurvendiskussion von gebrochenrationalen Funktionen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann brauche ich die Quotientenregel?

Wenn eine Funktion ein Bruch ist und x im Zähler und im Nenner steht, etwa x²x+1. Steht nur eine Zahl im Nenner oder im Zähler, geht es mit Faktor- oder Potenzregel schneller.

Wie merke ich mir die Quotientenregel?

Mit «NAZ minus ZAN durch N²»: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch den Nenner im Quadrat. Wichtig ist die Reihenfolge, weil ein Minus dazwischen steht.

Kann ich statt der Quotientenregel die Produktregel nehmen?

Ja. Schreib den Bruch als $u \cdot v^{- 1}$ und leite mit Produkt- und Kettenregel ab. Es kommt dasselbe heraus, ist aber meist mehr Schreibarbeit.

In welcher Klasse lernt man die Quotientenregel?

Am Gymnasium, meist im 2. Jahr, zusammen mit Produkt- und Kettenregel. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor.