Ableitungsregeln: so leitest du Funktionen ab

Die Ableitung gibt an jeder Stelle an, wie steil der Graph einer Funktion ist. Mit den Ableitungsregeln leitest du Funktionen ab, ohne jedes Mal einen Grenzwert zu rechnen: Potenz-, Faktor- und Summenregel für Polynome, dazu Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Gymnasiastin kniet auf einer Bergwiese und hält einen geraden Stock schräg an den Hang, unten liegt ein Dorf mit Kirchturm.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Ableitung $f^{'} (x)$ gibt an, wie steil der Graph von f an der Stelle x ist. Mit den Ableitungsregeln bildest du sie, ohne jedes Mal einen zu rechnen. Bei Potenzen kommt die Hochzahl als Faktor nach vorne, und die Hochzahl wird um 1 kleiner.

Was die Ableitung bedeutet

Eine Gerade hat überall dieselbe . Bei einer Kurve ändert sich die Steigung von Stelle zu Stelle. Die Ableitung $f^{'} (x_{0})$ ist die Steigung der Tangente: der Geraden, die den Graphen im Punkt $(x_{0} ∣ f (x_{0}))$ berührt.

Du erhältst sie als Grenzwert. Die Gerade durch zwei nahe Punkte des Graphen () hat die Steigung $\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ . Für h→0 wird daraus $f^{'} (x_{0})$ . Man schreibt auch dfdx.

Merke $f^{'} (x_{0})$ ist die Steigung der Tangente an der Stelle $x_{0}$ .

Graph von f(x) = x² mit der Tangente im Punkt (1 | 1). Die Tangente hat die Steigung 2, also ist f'(1) = 2.

Potenzregel

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

Die Hochzahl wandert als Faktor nach vorne, die neue Hochzahl ist um 1 kleiner: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ und $(x)^{'} = 1$ .

Die Regel gilt auch für negative Hochzahlen und Brüche als Hochzahl. Schreib dafür Brüche und Wurzeln zuerst als Potenz: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ und $x = x^{\frac{1}{2}}$ .

MerkeHochzahl nach vorne, Hochzahl minus 1.

Graph von f(x) = x² und seiner Ableitung f'(x) = 2x. Links von 0 fällt f, dort ist f' negativ. Rechts von 0 steigt f, dort ist f' positiv.

Konstanten-, Faktor- und Summenregel

Eine Zahl allein fällt weg: $(c)^{'} = 0$
Ein Faktor bleibt stehen: $(c \cdot f (x))^{'} = c \cdot f^{'} (x)$
Summen leitest du Glied für Glied ab: $(f (x) + g (x))^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

Damit leitest du jedes ab, also jede Summe aus Potenzen von x mit Zahlen davor: $(4 x^{3} - 5 x^{2} + 7)^{'} = 12 x^{2} - 10 x$ .

MerkePolynome leitest du Glied für Glied ab. Zahlen ohne x fallen weg.

Ableitungen wichtiger Funktionen

$(sin x)^{'} = cos x$
$(cos x)^{'} = - sin x$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ für x>0
$(a^{x})^{'} = ln (a) \cdot a^{x}$

Bei und gilt das nur, wenn du Winkel im misst, nicht in Grad. Die ist die einzige dieser Funktionen, die beim Ableiten gleich bleibt.

Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Für zusammengesetzte Funktionen gibt es drei weitere Regeln:

Produktregel: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$
: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$
: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Beispiel Kettenregel: $((3 x + 1)^{4})^{'} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$ .

MerkeKettenregel: äussere Ableitung mal innere Ableitung.

Was die Ableitung über den Graphen verrät

$f^{'} (x) > 0$ : Der Graph steigt.
$f^{'} (x) < 0$ : Der Graph fällt.
$f^{'} (x) = 0$ : Die Tangente ist waagrecht. Dort kann ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen.

Die Tangente an der Stelle $x_{0}$ hat die Gleichung $t (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ . In der Physik ist die Ableitung des Weges nach der Zeit die Geschwindigkeit: $v (t) = s^{'} (t)$ .

Ableitung und Ableitungsregeln: Merkblatt mit Formel und Beispiel. ≤ft(x^n)' = n · x^n-1. Beispiel: f'(x) = 10x^4 - 6x + 4 und f'(1) = 8. Der Graph steigt an der Stelle 1 mit der Steigung 8. — Merkblatt Ableitung und Ableitungsregeln: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $(x^{4})^{'} = 4 x^{4}$ , die Hochzahl bleibt stehen.
✓Die Hochzahl wird um 1 kleiner: $(x^{4})^{'} = 4 x^{3}$ .
✕ $(x^{2} + 7)^{'} = 2 x + 7$
✓Eine Zahl ohne x hat die Ableitung 0 und fällt weg: $(x^{2} + 7)^{'} = 2 x$ .
✕ $(x^{2} \cdot x^{3})^{'} = 2 x \cdot 3 x^{2} = 6 x^{3}$ , also beide Faktoren einzeln abgeleitet.
✓Zuerst zusammenfassen, x²·x³=x⁵, also 5x⁴. Mit der Produktregel kommt dasselbe heraus: 2x·x³+x²·3x²=5x⁴.
✕ $(\frac{1}{x ^{2}})^{'} = \frac{1}{2 x}$ , also den Nenner abgeleitet.
✓Zuerst als Potenz schreiben: $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ , dann $- 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x ^{3}}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Ableitung: Die Funktion $f^{'}$ , die zu jeder Stelle x die Steigung des Graphen von f angibt. $f^{'} (x_{0})$ ist die Steigung der Tangente an der Stelle $x_{0}$ .
Tangente: Eine Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat wie der Graph.
Potenzregel: Ableitungsregel für Potenzen: $(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$ . Beim Integrieren und bei den Potenzgesetzen meint das Wort andere Regeln.
Faktorregel: Ein fester Faktor bleibt beim Ableiten stehen: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$ .
Summenregel: Eine Summe leitest du Glied für Glied ab: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ . In der Wahrscheinlichkeitsrechnung meint das Wort eine andere Regel.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze Funktionen, Wertetabellen und Graphen Grenzwerte und Stetigkeit Differenzenquotient und Differentialquotient

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein Polynom ableiten

Leite f(x)=2x⁵−3x²+4x−9 ab und berechne $f^{'} (1)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Glied für Glied mit der Potenzregel, Faktoren bleiben stehen: $(2 x^{5})^{'} = 10 x^{4} (3 x^{2})^{'} = 6 x (4 x)^{'} = 4$
Die Zahl −9 fällt weg: $f^{'} (x) = 10 x^{4} - 6 x + 4$
Für $f^{'} (1)$ setzt du 1 in die Ableitung ein: $f^{'} (1) = 10 - 6 + 4 = 8$

$f^{'} (x) = 10 x^{4} - 6 x + 4$ und $f^{'} (1) = 8$ . Der Graph steigt an der Stelle 1 mit der Steigung 8.

Beispiel 2Wurzel und Bruch umschreiben

Leite $f (x) = x + \frac{4}{x ^{2}}$ ab und berechne $f^{'} (4)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Beide Teile als Potenz schreiben: $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 2}$
Potenzregel anwenden: $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 8 x^{- 3}$
Zurück in die gewohnte Schreibweise: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{8}{x ^{3}}$
Einsetzen: $f^{'} (4) = \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{8}{64} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{8}{x ^{3}}$ und $f^{'} (4) = \frac{1}{8}$

Beispiel 3Die Tangente in einem Punkt

Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)=x²−4x+1 an der Stelle $x_{0} = 3$ .

Graph von f(x) = x² − 4x + 1 mit der Tangente t(x) = 2x − 8. Sie berührt die Parabel im Punkt (3 | −2).

Lösung Schritt für Schritt

Den Punkt auf dem Graphen bestimmen:f(3)=9−12+1=−2
Ableiten und die Steigung an der Stelle 3 berechnen: $f^{'} (x) = 2 x - 4 f^{'} (3) = 2$
In die Tangentengleichung einsetzen:t(x)=2·(x−3)+(−2)=2x−8

Die Tangente ist t(x)=2x−8. Sie berührt den Graphen im Punkt (3|−2).

Beispiel 4Velo auf der Passstrasse

Eine junge Velofahrerin mit Helm rollt eine kurvige Passstrasse in den Bündner Bergen hinunter.

Eine Velofahrerin rollt im Kanton Graubünden eine Passstrasse hinunter. Nach t Sekunden hat sie s(t)=0.2t²+4t Meter zurückgelegt. Wie schnell ist sie nach 10 Sekunden?

Lösung Schritt für Schritt

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit: $v (t) = s^{'} (t) = 0.4 t + 4$
Den Zeitpunkt einsetzen:v(10)=0.4·10+4=8
Einheit: Meter pro Sekunde. Mal 3.6 gibt km/h:8·3.6=28.8

Nach 10 Sekunden fährt sie 8 m/s, also 28.8 km/h.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Leite ab: f(x)=x³
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 3 x^{2}$
Graph von f(x) = x³ und f'(x) = 3x². Bei x = 0 ist die Tangente an f waagrecht, dort berührt f' die x-Achse.
1. Potenzregel mit n=3: Die 3 kommt nach vorne.
2. Neue Hochzahl 3−1=2, also $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ .
2
Leite ab: f(x)=5x²
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 10 x$
Graph von f(x) = 5x² und f'(x) = 10x. Die Ableitung ist eine Gerade durch den Ursprung: An der Stelle 1 hat f die Steigung 10.
1. Der Faktor 5 bleibt stehen: $5 \cdot (x^{2})^{'}$ .
2. $(x^{2})^{'} = 2 x$ , also 5·2x=10x.
3
Leite ab: f(x)=7x−3
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 7$
Die Gerade f(x) = 7x − 3 hat überall die Steigung 7. Darum ist ihre Ableitung die waagrechte Linie f'(x) = 7.
1. $(7 x)^{'} = 7$ , denn $(x)^{'} = 1$ .
2. Die Zahl −3 fällt weg, also $f^{'} (x) = 7$ .
4
Leite ab: f(x)=6
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 0$
1. Der Graph ist eine waagrechte Gerade, er steigt nirgends.
2. Eine Zahl allein hat die Ableitung 0: $f^{'} (x) = 0$ .
5
Leite ab: f(x)=2x³+x²
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 x$
1. $(2 x^{3})^{'} = 2 \cdot 3 x^{2} = 6 x^{2}$
2. $(x^{2})^{'} = 2 x$
3. Zusammen: $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 x$

6
Leite f(x)=4x³−6x²+5x−1 ab und berechne $f^{'} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 12 x + 5$ , $f^{'} (2) = 29$
1. Glied für Glied: 12x²−12x+5, die −1 fällt weg.
2. $f^{'} (2) = 12 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 5 = 48 - 24 + 5 = 29$
7
Leite f(x)=1x ab und berechne $f^{'} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ , $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$
1. Als Potenz schreiben: $f (x) = x^{- 1}$
2. Potenzregel: $f^{'} (x) = - 1 \cdot x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$
3. $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$
8
Leite $f (x) = x$ ab und berechne $f^{'} (9)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , $f^{'} (9) = \frac{1}{6}$
1. $x = x^{\frac{1}{2}}$
2. $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x}$
3. $f^{'} (9) = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$
9
Leite $f (x) = 3 sin x + 2 cos x$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 3 cos x - 2 sin x$ , $f^{'} (0) = 3$
1. $(sin x)^{'} = cos x$ und $(cos x)^{'} = - sin x$
2. $f^{'} (x) = 3 cos x - 2 sin x$
3. $f^{'} (0) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 3$
10
An welcher Stelle hat der Graph von f(x)=x²−6x+2 eine waagrechte Tangente? Gib auch den Punkt an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Bei x=3, im Punkt (3|−7)
1. Waagrechte Tangente heisst $f^{'} (x) = 0$ .
2. $f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0$ gibt x=3.
3. f(3)=9−18+2=−7, also der Punkt (3|−7).

11
Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)=x³ an der Stelle $x_{0} = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=3x−2
1. Punkt: f(1)=1
2. Steigung: $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , also $f^{'} (1) = 3$
3. t(x)=3·(x−1)+1=3x−2
12
Leite f(x)=(x²+1)(x−3) mit der Produktregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ , $f^{'} (1) = - 2$
1. u=x²+1, $u^{'} = 2 x$ , v=x−3, $v^{'} = 1$
2. $f^{'} (x) = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) \cdot 1 = 3 x^{2} - 6 x + 1$
3. $f^{'} (1) = 3 - 6 + 1 = - 2$
13
Leite f(x)=(2x−1)³ mit der Kettenregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 6 (2 x - 1)^{2}$ , $f^{'} (1) = 6$
1. Äussere Funktion u³, innere Funktion u=2x−1 mit $u^{'} = 2$
2. $f^{'} (x) = 3 (2 x - 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x - 1)^{2}$
3. $f^{'} (1) = 6 \cdot 1^{2} = 6$
14
Für welche Zahl a hat der Graph von f(x)=x³−ax an der Stelle x=2 eine waagrechte Tangente?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=12
1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - a$
2. Waagrecht heisst $f^{'} (2) = 0$ : 12−a=0
3. Also a=12.
15
Eine Wasserrakete startet auf dem Pausenplatz senkrecht nach oben. Ihre Höhe ist h(t)=20t−5t² Meter nach t Sekunden. Wann erreicht sie den höchsten Punkt, und wie hoch ist er?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nach 2 Sekunden, auf 20 m Höhe
1. Im höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0: $h^{'} (t) = 20 - 10 t = 0$
2. t=2
3. h(2)=40−20=20, also 20 m.

Bleibst du bei den Ableitungsregeln hängen oder steht bald eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson übt die Regeln mit dir, bis sie sitzen. Nachhilfe in Mathematik am Gymnasium

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Trainer: Ableitungsregeln

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Ableitung. Stufe 1 übt die Potenzregel, Stufe 2 Polynome, Wurzeln, Brüche und spezielle Funktionen, Stufe 3 Produkt-, Ketten- und Quotientenregel und Tangenten.

Was ist die Ableitung von f(x) = 4x?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. Jahr, an manchen Schulen im 3., direkt nach den Grenzwerten. Zuerst kommen Potenz-, Faktor- und Summenregel, dann Produkt-, Quotienten- und Kettenregel und danach die Kurvendiskussion.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Welche Ableitungsregeln gibt es?

Für Polynome reichen Potenz-, Faktor- und Summenregel; eine Zahl allein hat die Ableitung 0. Für zusammengesetzte Funktionen kommen Produkt-, Quotienten- und Kettenregel dazu. Dazu kennst du die Ableitungen von $sin x$ , $cos x$ , $e^{x}$ und $ln x$ .

Was ist der Unterschied zwischen Ableiten und Differenzieren?

Es gibt keinen: Differenzieren ist das Fachwort für Ableiten. Das ganze Gebiet heisst Differentialrechnung.

In welcher Klasse lernt man Ableiten?

Am Gymnasium, meist im 2. Jahr, an manchen Schulen im 3. Jahr, direkt nach den Grenzwerten. In der Sekundarschule kommt das Ableiten nicht vor.

Wie leitet man eine Wurzel oder einen Bruch ab?

Schreib sie zuerst als Potenz: $x = x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}$ . Dann gilt die Potenzregel. Steht x im Zähler und im Nenner, brauchst du die Quotientenregel.

Ableitungsregeln: so leitest du Funktionen ab

Erklärung

Was die Ableitung bedeutet

Potenzregel

Konstanten-, Faktor- und Summenregel

Ableitungen wichtiger Funktionen

Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Was die Ableitung über den Graphen verrät

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein Polynom ableiten

Beispiel 2Wurzel und Bruch umschreiben

Beispiel 3Die Tangente in einem Punkt

Beispiel 4Velo auf der Passstrasse

Übungen mit Lösungen

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Einordnung

Häufige Fragen

Grenzwert

Steigung

Sekante

Polynom

e-Funktion

Bogenmass

Kosinus

Sinus

Quotientenregel

Kettenregel