Tangentengleichung aufstellen: Tangente und Normale

Die Tangente berührt den Graphen einer Funktion in einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Die Normale steht im selben Punkt senkrecht auf der Tangente. Beide Geradengleichungen stellst du mit Funktionswert und Ableitung auf.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Jugendliche springt mit dem BMX-Velo über die Kante eines Erdhügels auf einem Pumptrack, im Hintergrund grüne Hügel und ein Dorf.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die berührt den Graphen von f im Punkt $P (x_{0} ∣ f (x_{0}))$ und hat dort die $f^{'} (x_{0})$ . Ihre Gleichung ist $t (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ . Am Schluss vereinfachst du sie zur Form y=mx+q.

Was Tangente und Normale sind

Die Tangente ist die Gerade, die den Graphen im Berührpunkt P berührt und dort genau so steil ist wie der Graph. Ihre Steigung ist also die $f^{'} (x_{0})$ .

Die Normale geht durch denselben Punkt P, steht aber senkrecht auf der Tangente. Man nennt sie auch das Lot zur Tangente.

MerkeTangente: gleiche Steigung wie der Graph. Normale: senkrecht dazu.

Graph von f(x) = x² mit Tangente und Normale im Punkt P(1 | 1). Die Tangente hat die Steigung 2, die Normale die Steigung −0.5.

Tangentengleichung aufstellen

Du brauchst den Punkt und die Steigung:

Funktionswert $f (x_{0})$ berechnen, das ist die y-Koordinate von P.
Ableitung bilden und $f^{'} (x_{0})$ berechnen, das ist die Steigung m.
Beides einsetzen: $t (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

Die Formel ist die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. Ausmultiplizieren gibt y=mx+q.

Merke $t (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$

Normalengleichung aufstellen

Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, gilt für ihre Steigungen $m_{t} \cdot m_{n} = - 1$ . Die Normale hat darum die Steigung $m_{n} = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ :

n (x) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})

Ist $f^{'} (x_{0}) = 0$ , ist die Tangente waagrecht: $y = f (x_{0})$ . Die Normale ist dann senkrecht, $x = x_{0}$ , und keine Funktion.

MerkeSteigung der Normalen: Kehrwert der Tangentensteigung mit umgekehrtem Vorzeichen.

Tangente mit vorgegebener Steigung

Manchmal ist nicht der Punkt gegeben, sondern die Steigung, etwa «parallel zur Geraden y=3x+1». Parallele Geraden haben dieselbe Steigung.

Du löst dann $f^{'} (x) = m$ nach x auf. Jede Lösung ist eine Stelle $x_{0}$ , an der eine solche Tangente liegt. Es kann keine, eine oder mehrere geben.

Wendetangente

Die Wendetangente ist die Tangente in einem , also dort, wo der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve wechselt oder umgekehrt. Dort gilt $f^{''} (x_{0}) = 0$ , und $f^{''}$ wechselt das Vorzeichen.

Anders als sonst schneidet die Tangente den Graphen hier: Er liegt auf der einen Seite über ihr, auf der anderen darunter.

Graph von f(x) = x³ − 3x mit der Wendetangente t(x) = −3x im Wendepunkt W(0 | 0). Links von W liegt der Graph unter der Tangente, rechts darüber.

Tangente und Normale (tangentengleichung): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Tangente: gleiche Steigung wie der Graph. Normale: senkrecht dazu. t(x) = f'(x_0)·(x - x_0) + f(x_0). Beispiel: Tangente t(x) = 2x - 4, Normale n(x) = -1/2x + 3.5. — Merkblatt Tangente und Normale: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Als Steigung $f (x_{0})$ nehmen: bei f(x)=x² in $x_{0} = 3$ also m=9.
✓Die Steigung ist die Ableitung an der Stelle: $f^{'} (x) = 2 x$ , also $m = f^{'} (3) = 6$ .
✕ $f^{'} (x)$ stehen lassen: t(x)=2x·(x−3)+9. Das ist keine Gerade.
✓Erst $x_{0}$ in die Ableitung einsetzen: t(x)=6·(x−3)+9=6x−9.
✕Steigung der Normalen bei $m_{t} = 4$ : $m_{n} = - 4$ oder $m_{n} = \frac{1}{4}$ .
✓Kehrwert und Vorzeichen wechseln: $m_{n} = - \frac{1}{4}$ , denn $4 \cdot (- \frac{1}{4}) = - 1$ .
✕Beim Einsetzen von $x_{0} = - 2$ schreiben: t(x)=m·(x−2)+f(−2).
✓Minus mal minus gibt plus: t(x)=m·(x−(−2))+f(−2)=m·(x+2)+f(−2).

Begriffe zum Nachschlagen

Tangente: Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat wie der Graph.
Normale: Gerade durch den Berührpunkt, die senkrecht auf der Tangente steht.
Berührpunkt: Der Punkt $P (x_{0} ∣ f (x_{0}))$ , in dem die Tangente den Graphen berührt.
Wendetangente: Tangente in einem Wendepunkt des Graphen; sie schneidet den Graphen dort.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln Lineare Funktionen und Steigung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Tangente und Normale in einem Punkt

Bestimme Tangente und Normale an f(x)=x²−4x+5 an der Stelle $x_{0} = 3$ .

Graph von f(x) = x² − 4x + 5 mit Tangente und Normale im Punkt P(3 | 2).

Lösung Schritt für Schritt

Funktionswert berechnen:f(3)=9−12+5=2
Ableitung bilden und die Steigung der Tangente berechnen: $f^{'} (x) = 2 x - 4 f^{'} (3) = 2$
In die Tangentengleichung einsetzen und vereinfachen:t(x)=2·(x−3)+2=2x−4
Die Normale hat die Steigung −12:n(x)=−12·(x−3)+2=−12x+3.5

Tangente t(x)=2x−4, Normale n(x)=−12x+3.5

Beispiel 2Tangenten parallel zu einer Geraden

An welchen Stellen hat f(x)=13x³−x eine Tangente, die parallel zur Geraden y=3x+1 ist? Stelle die Tangentengleichungen auf.

Graph von f(x) = ⅓x³ − x mit den zwei parallelen Tangenten der Steigung 3 an den Stellen 2 und −2.

Lösung Schritt für Schritt

Parallel heisst gleiche Steigung. Gesucht sind die Stellen mit $f^{'} (x) = 3$ : $f^{'} (x) = x^{2} - 1 = 3 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2 oder x = - 2$
Funktionswerte berechnen:f(2)=83−2=23 f(−2)=−83+2=−23
Tangente an der Stelle 2: $t_{1} (x) = 3 \cdot (x - 2) + \frac{2}{3} = 3 x - \frac{16}{3}$
Tangente an der Stelle −2: $t_{2} (x) = 3 \cdot (x + 2) - \frac{2}{3} = 3 x + \frac{16}{3}$

Zwei Tangenten: $t_{1} (x) = 3 x - \frac{16}{3}$ und $t_{2} (x) = 3 x + \frac{16}{3}$

Beispiel 3Absprung von der Schanze

Eine jugendliche Person springt mit dem Snowboard über einen Kicker aus Schnee, Zuschauer jubeln, dahinter verschneite Berge.

Im Snowpark in Laax beschreibt f(x)=120x² für 0≤x≤5 das Profil eines Kickers (x und y in Metern). Am Ende, bei x=5, springt eine Snowboarderin ab und fliegt zuerst in Richtung der Tangente. Bestimme die Tangente am Absprungpunkt und den Absprungwinkel.

Lösung Schritt für Schritt

Höhe am Absprungpunkt:f(5)=120·25=1.25
Steigung am Absprungpunkt: $f^{'} (x) = \frac{1}{10} x f^{'} (5) = 0.5$
Tangentengleichung aufstellen:t(x)=0.5·(x−5)+1.25=0.5x−1.25
Für den Steigungswinkel α gilt $tan α = m$ : $tan α = 0.5 \Rightarrow α \approx 26. 6^{\circ}$

Tangente t(x)=0.5x−1.25. Die Snowboarderin springt in 1.25 m Höhe mit einem Winkel von etwa 26.6° ab.

Beispiel 4Tangenten von einem Punkt ausserhalb

Vom Punkt Q(1|−3) aus gehen zwei Tangenten an den Graphen von f(x)=x². Bestimme ihre Gleichungen.

Graph von f(x) = x² mit den zwei Tangenten durch Q(1 | −3). Sie berühren den Graphen in (3 | 9) und (−1 | 1).

Lösung Schritt für Schritt

Die Berührstelle u ist unbekannt. Tangente an der Stelle u allgemein aufstellen:t(x)=2u·(x−u)+u²=2ux−u²
Die Tangente soll durch Q(1|−3) gehen, also x=1 und y=−3 einsetzen:−3=2u−u² ⇒ u²−2u−3=0
lösen:(u−3)(u+1)=0 ⇒ u=3 oder u=−1
Für beide Stellen die Tangente aufschreiben: $t_{1} (x) = 6 x - 9 t_{2} (x) = - 2 x - 1$

$t_{1} (x) = 6 x - 9$ und $t_{2} (x) = - 2 x - 1$

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme die Tangente an f(x)=x² an der Stelle $x_{0} = 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=4x−4
Graph von f(x) = x² mit der Tangente t(x) = 4x − 4 im Punkt P(2 | 4).
1. f(2)=4, also P(2|4).
2. $f^{'} (x) = 2 x$ , also $f^{'} (2) = 4$ .
3. t(x)=4·(x−2)+4=4x−4
2
Bestimme die Tangente an f(x)=x²+1 an der Stelle $x_{0} = - 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=−2x
Graph von f(x) = x² + 1 mit der Tangente t(x) = −2x im Punkt P(−1 | 2). Die Tangente geht durch den Ursprung.
1. f(−1)=2, also P(−1|2).
2. $f^{'} (x) = 2 x$ , also $f^{'} (- 1) = - 2$ .
3. t(x)=−2·(x+1)+2=−2x
3
Eine Tangente hat die Steigung 4. Welche Steigung hat die Normale im selben Punkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $m_{n} = - \frac{1}{4}$
1. Für senkrechte Geraden gilt $m_{t} \cdot m_{n} = - 1$ .
2. $m_{n} = - \frac{1}{4}$ , Probe: $4 \cdot (- \frac{1}{4}) = - 1$ .
4
Bestimme die Tangente an f(x)=x³ an der Stelle $x_{0} = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=3x−2
Graph von f(x) = x³ mit der Tangente t(x) = 3x − 2 im Punkt P(1 | 1). Bei x = −2 schneidet die Tangente den Graphen noch einmal.
1. f(1)=1, also P(1|1).
2. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , also $f^{'} (1) = 3$ .
3. t(x)=3·(x−1)+1=3x−2
5
Bestimme die Normale an f(x)=x² an der Stelle $x_{0} = - 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: n(x)=12x+1.5
Graph von f(x) = x² mit der Normalen n(x) = 0.5x + 1.5 im Punkt P(−1 | 1).
1. f(−1)=1 und $f^{'} (- 1) = - 2$ .
2. Steigung der Normalen: $m_{n} = - \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ .
3. n(x)=12·(x+1)+1=12x+1.5

6
Bestimme die Tangente an f(x)=2x²−3x+1 an der Stelle $x_{0} = 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=5x−7
1. f(2)=8−6+1=3
2. $f^{'} (x) = 4 x - 3$ , also $f^{'} (2) = 5$ .
3. t(x)=5·(x−2)+3=5x−7
7
Bestimme die Normale an f(x)=x³−2x an der Stelle $x_{0} = 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: n(x)=−0.1x+4.2
1. f(2)=8−4=4
2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ , also $f^{'} (2) = 10$ .
3. $m_{n} = - \frac{1}{10} = - 0.1$
4. n(x)=−0.1·(x−2)+4=−0.1x+4.2
8
Bestimme die Tangente an $f (x) = x$ an der Stelle $x_{0} = 4$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=14x+1
1. f(4)=2
2. $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , also $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ und $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ .
3. t(x)=14·(x−4)+2=14x+1
9
An welcher Stelle hat f(x)=x²−6x+4 eine waagrechte Tangente? Gib ihre Gleichung und die Gleichung der Normalen an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Bei x=3: Tangente y=−5, Normale x=3
1. Waagrecht heisst Steigung 0: $f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0$ , also x=3.
2. f(3)=9−18+4=−5, also Tangente y=−5.
3. Die Normale steht senkrecht: x=3.
10
Bestimme die Tangente an f(x)=x²+x, die parallel zur Geraden y=5x+2 ist.
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=5x−4
1. Gleiche Steigung: $f^{'} (x) = 2 x + 1 = 5$ , also $x_{0} = 2$ .
2. f(2)=4+2=6
3. t(x)=5·(x−2)+6=5x−4

11
Für welchen Wert von a geht die Tangente an f(x)=ax²+1 an der Stelle $x_{0} = 2$ durch den Ursprung? Gib auch die Tangente an.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=14, Tangente t(x)=x
1. f(2)=4a+1 und $f^{'} (x) = 2 a x$ , also $f^{'} (2) = 4 a$ .
2. t(x)=4a·(x−2)+4a+1, also t(0)=−8a+4a+1=1−4a.
3. Durch den Ursprung heisst t(0)=0: 1−4a=0, also a=14.
4. Mit a=14: t(x)=1·(x−2)+2=x.
12
Bestimme die Wendetangente von f(x)=x³−3x²+2.
Lösung zeigen
Ergebnis: t(x)=−3x+3
1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ und $f^{''} (x) = 6 x - 6$ .
2. $f^{''} (x) = 0$ gibt x=1; dort wechselt $f^{''}$ das Vorzeichen.
3. f(1)=0 und $f^{'} (1) = - 3$ .
4. t(x)=−3·(x−1)+0=−3x+3
13
Vom Punkt Q(0|−8) aus gehen zwei Tangenten an den Graphen von f(x)=x²+1. Bestimme ihre Gleichungen.
Lösung zeigen
Ergebnis: $t_{1} (x) = 6 x - 8$ und $t_{2} (x) = - 6 x - 8$
1. Tangente an der Stelle u: t(x)=2u·(x−u)+u²+1=2ux−u²+1.
2. Q einsetzen: −8=−u²+1, also u²=9 und u=3 oder u=−3.
3. u=3: $t_{1} (x) = 6 x - 8$ ; u=−3: $t_{2} (x) = - 6 x - 8$ .
14
Für welchen Wert von a ist die Gerade y=2x+a eine Tangente an f(x)=x²?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=−1
1. Die Tangente hat die Steigung 2: $f^{'} (x) = 2 x = 2$ , also $x_{0} = 1$ .
2. f(1)=1, also t(x)=2·(x−1)+1=2x−1.
3. Vergleich mit y=2x+a gibt a=−1.
15
Tangente und Normale an f(x)=x² im Punkt P(1|1) bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Berechne seinen Flächeninhalt.
Lösung zeigen
Ergebnis: A=1.25 Flächeneinheiten
1. Tangente t(x)=2x−1, Nullstelle x=0.5.
2. Normale n(x)=−0.5x+1.5, Nullstelle x=3.
3. Grundseite 3−0.5=2.5, Höhe ist die y-Koordinate von P, also 1.
4. A=12·2.5·1=1.25

Klappt das Aufstellen von Tangenten noch nicht sicher, oder steht eine Analysis-Prüfung an? Eine Lehrperson rechnet die Aufgaben mit dir durch, bis jeder Schritt sitzt. Mathematik-Nachhilfe fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Tangente und Normale

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort. Stufe 1 übt Steigungen von Tangente und Normale, Stufe 2 das Aufstellen der Gleichungen, Stufe 3 Tangenten mit vorgegebener Steigung, Wendetangenten und Tangenten von aussen.

Welche Gleichung beschreibt die Tangente an der Stelle x₀?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaKurvendiskussionBei einer Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion mit ihren Ableitungen: Symmetrie, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte. Mit diesen Punkten zeichnest du den Graphen genau und löst Extremwertaufgaben.2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2., an manchen Schulen im 3. Jahr, direkt nach den Ableitungsregeln. Tangenten tauchen danach in der Kurvendiskussion und in vielen Anwendungsaufgaben wieder auf.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Tangente und Normale?

Beide gehen durch denselben Punkt des Graphen. Die Tangente hat dort die Steigung des Graphen, die Normale steht senkrecht auf ihr. Ihre Steigungen ergeben multipliziert −1, sofern die Tangente nicht waagrecht ist. Ist sie waagrecht, steht die Normale senkrecht und hat keine Steigung.

Wie stellt man eine Tangentengleichung auf?

Berechne $f (x_{0})$ und $f^{'} (x_{0})$ und setze beides in $t (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ ein. Danach vereinfachst du zu y=mx+q.

Kann eine Tangente den Graphen schneiden?

Ja. Im Berührpunkt berührt sie ihn, weiter weg kann sie ihn schneiden: Die Tangente t(x)=3x−2 an f(x)=x³ im Punkt (1|1) schneidet den Graphen bei x=−2 noch einmal. Die Wendetangente schneidet den Graphen sogar im Berührpunkt selbst.

Wann lernt man Tangente und Normale?

Am Gymnasium, meist im 2., an manchen Schulen im 3. Jahr, direkt nach den Ableitungsregeln. In der Sekundarschule kommen Tangenten höchstens am Kreis vor, ohne Ableitung.