Differentialquotient und Differenzenquotient

Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall an, die Steigung einer Sekante. Lässt du das Intervall gegen null schrumpfen, wird daraus der Differentialquotient: die Steigung der Tangente und die Ableitung an dieser Stelle.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Jugendliche fährt mit dem Velo eine kurvige Bergstrasse entlang, die mal steil, mal flach verläuft; Kinder am Wegrand winken.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Differenzenquotient f(b)−f(a)b−a gibt an, wie stark sich eine Funktion zwischen zwei Stellen im Mittel ändert. Rückt die zweite Stelle immer näher, wird daraus der Differentialquotient $f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ . Ihn berechnest du mit der h-Methode: aufstellen, h kürzen, h gegen 0.

Mittlere Änderungsrate

Eine Funktion f ändert sich zwischen den Stellen a und b um f(b)−f(a). Teilst du diese Änderung durch die Länge b−a des Intervalls, erhältst du die mittlere Änderungsrate:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Für f(x)=x² auf dem Intervall $[1; 3]$ gilt: f(3)−f(1)3−1=9−12=4. Im Mittel wächst f hier um 4 pro Einheit von x.

MerkeDifferenzenquotient = Änderung der y-Werte geteilt durch Änderung der x-Werte, beide in derselben Reihenfolge.

Parabel f(x) = x² und die Sekante durch die Punkte (1 | 1) und (3 | 9). Die Sekante hat die Steigung 4, das ist der Differenzenquotient auf dem Intervall von 1 bis 3.

Die Sekante

Die Gerade durch (a|f(a)) und (b|f(b)) heisst Sekante. Ihre ist der Differenzenquotient. Du liest sie mit einem ab: $Δ x$ nach rechts, $Δ y$ nach oben.

Bei einer Geraden ist der Differenzenquotient überall gleich ihrer Steigung m. Bei einer Kurve hängt er vom Intervall ab.

Schreibweise mit h

Statt a und b nimmst du eine feste Stelle $x_{0}$ und einen kleinen Abstand h. Die zweite Stelle ist dann $x_{0} + h$ :

\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Für f(x)=x² und $x_{0} = 1$ ergibt das (1+h)²−1h=2+h. Mit h=1 erhältst du 3, mit h=0.1 erhältst du 2.1, mit h=0.01 erhältst du 2.01. Je kleiner h, desto näher liegt der Wert bei 2.

Differentialquotient: Steigung an einer Stelle

Wird h kleiner, rückt der zweite Punkt an den ersten heran. Die Sekante dreht sich in die . Ihre Steigung heisst Differentialquotient oder an der Stelle $x_{0}$ :

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Er ist die momentane Änderungsrate. Gibt es den , heisst f dort differenzierbar.

Bei |x| an der Stelle 0 fehlt er: Rechts ist die Sekantensteigung 1, links −1.

MerkeDifferenzenquotient: Steigung der Sekante, mittlere Änderung. Differentialquotient: Steigung der Tangente, momentane Änderung.

Parabel f(x) = x² mit der Sekante durch (1 | 1) und (2 | 4), Steigung 3, und der Tangente im Punkt (1 | 1), Steigung 2. Rückt der zweite Punkt näher an (1 | 1), nähert sich die Sekante der Tangente.

Die h-Methode

So berechnest du den Differentialquotienten, hier für f(x)=x² an einer beliebigen Stelle $x_{0}$ :

Aufstellen: $\frac{( x _{0} + h ) ^{2} - x _{0}^{2}}{h}$
Ausmultiplizieren: $\frac{x _{0}^{2} + 2 x _{0} h + h ^{2} - x _{0}^{2}}{h} = \frac{2 x _{0} h + h ^{2}}{h}$
h ausklammern und kürzen: $\frac{h ( 2 x _{0} + h )}{h} = 2 x_{0} + h$
h gegen 0: $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$

Setzt du h=0 zu früh ein, steht 00 da. Das ist kein Ergebnis.

MerkeErst vereinfachen und h kürzen, dann h gegen 0 gehen lassen.

Änderungsraten im Alltag

Beschreibt s(t) den Weg nach der Zeit t, ist der Differenzenquotient die Durchschnittsgeschwindigkeit. Der Differentialquotient ist die Geschwindigkeit genau im Zeitpunkt t.

Die Einheit ist «Einheit von y pro Einheit von x»: Meter pro Sekunde, Grad pro Stunde, Franken pro Stück.

Differenzenquotient und Differentialquotient: Merkblatt mit Formel und Beispiel. y/ x = f(b)-f(a)/b-a. Beispiel: Im Mittel hat die Familie 200 Höhenmeter pro Stunde geschafft. — Merkblatt Differenzenquotient und Differentialquotient: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕f(3)−f(1)1−3
✓Zähler und Nenner in derselben Reihenfolge: f(3)−f(1)3−1. Sonst stimmt das Vorzeichen nicht.
✕Bei (2+h)²−4h sofort h=0 einsetzen.
✓Das gibt 00. Zuerst ausmultiplizieren und h kürzen: 4h+h²h=4+h, dann h→0 gibt 4.
✕ $(x_{0} + h)^{2} = x_{0}^{2} + h^{2}$
✓: $(x_{0} + h)^{2} = x_{0}^{2} + 2 x_{0} h + h^{2}$ . Der mittlere Term ist der, der übrig bleibt.
✕Für f(x)=3x² ist $f (x_{0} + h) = 3 x_{0}^{2} + h$ .
✓Du setzt $x_{0} + h$ für x ein: $f (x_{0} + h) = 3 (x_{0} + h)^{2} = 3 x_{0}^{2} + 6 x_{0} h + 3 h^{2}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Differenzenquotient: Der Bruch (f(b) − f(a)) : (b − a). Er gibt die mittlere Änderungsrate von f zwischen a und b an und ist die Steigung der Sekante.
Differentialquotient: Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0. Er ist die Steigung der Tangente an der Stelle x₀ und wird f'(x₀) geschrieben.
Sekante: Eine Gerade, die durch zwei Punkte eines Graphen geht.
mittlere Änderungsrate: Wie stark sich eine Grösse auf einem Intervall im Durchschnitt pro Einheit ändert, etwa die Durchschnittsgeschwindigkeit.
momentane Änderungsrate: Wie stark sich eine Grösse genau an einer Stelle ändert, etwa die Geschwindigkeit in einem Augenblick. Sie ist der Differentialquotient.
h-Methode: Rechenweg für den Differentialquotienten: Differenzenquotient mit x₀ und x₀ + h aufstellen, vereinfachen, h kürzen und dann h gegen 0 gehen lassen.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Funktionen und Steigung Binomische Formeln Grenzwerte und Stetigkeit

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Höhenmeter pro Stunde auf der Wanderung

Eine Familie mit zwei Kindern wandert auf einem Bergweg zu einer Alphütte hinauf, im Hintergrund schneebedeckte Gipfel.

Eine Familie startet im Berner Oberland um 9 Uhr auf 1'000 m ü. M. zu einer Wanderung. Um 13 Uhr ist sie auf einer Alp auf 1'800 m ü. M. Wie viele Höhenmeter hat sie im Mittel pro Stunde geschafft?

Lösung Schritt für Schritt

Die Höhe H hängt von der Uhrzeit t ab. Gegeben sind H(9)=1000 und H(13)=1800.
Die mittlere Änderungsrate ist der Differenzenquotient:H(13)−H(9)13−9=1800−10004
Ausrechnen:8004=200
Die Einheit ist Meter pro Stunde. Ob die Familie zwischendurch schneller, langsamer oder bergab gegangen ist, sagt diese Zahl nicht.

Im Mittel hat die Familie 200 Höhenmeter pro Stunde geschafft.

Beispiel 2Differenzenquotient einer Parabel

Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=x²−2x auf dem Intervall $[1; 4]$ .

Graph von f(x) = x² − 2x mit der Sekante durch (1 | −1) und (4 | 8). Die Sekante hat die Steigung 3.

Lösung Schritt für Schritt

Funktionswerte an den Rändern:f(4)=16−8=8 f(1)=1−2=−1
In den Differenzenquotienten einsetzen. Die Klammer um −1 nicht vergessen:f(4)−f(1)4−1=8−(−1)3
Ausrechnen:93=3
Die Sekante durch (1|−1) und (4|8) hat also die Steigung 3.

Der Differenzenquotient auf $[1; 4]$ ist 3.

Beispiel 3Differentialquotient mit der h-Methode

Berechne mit der h-Methode den Differentialquotienten von f(x)=3x² an der Stelle $x_{0} = 2$ .

Graph von f(x) = 3x² und die Tangente im Punkt (2 | 12). Sie hat die Steigung 12, das ist der Differentialquotient an der Stelle 2.

Lösung Schritt für Schritt

Differenzenquotient aufstellen. Es ist f(2)=12:f(2+h)−f(2)h=3(2+h)²−12h
Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel:3(4+4h+h²)−12h=12h+3h²h
h ausklammern und kürzen:h(12+3h)h=12+3h
Jetzt h gegen 0 gehen lassen: $f^{'} (2) = h \to 0 lim (12 + 3 h) = 12$

$f^{'} (2) = 12$ . Die Tangente im Punkt (2|12) hat die Steigung 12.

Beispiel 4Seifenkiste: Durchschnitt und Augenblick

Zwei Kinder in einer selbstgebauten Seifenkiste rollen eine Dorfstrasse hinunter, am Strassenrand stehen Zuschauer hinter Strohballen.

Beim Seifenkistenrennen rollt eine Kiste aus dem Stand los. In den ersten Sekunden gilt für den Weg in Metern s(t)=0.4t², mit t in Sekunden. Wie gross ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 5 Sekunden, und wie schnell ist die Kiste genau nach 5 Sekunden?

Weg-Zeit-Graph s(t) = 0.4t² mit der Sekante von (0 | 0) nach (5 | 10), Steigung 2, und der Tangente in (5 | 10), Steigung 4.

Lösung Schritt für Schritt

Durchschnitt: Differenzenquotient auf $[0; 5]$ . Es ist s(5)=0.4·25=10 und s(0)=0:s(5)−s(0)5−0=105=2
Augenblick: Differentialquotient an der Stelle 5 mit der h-Methode aufstellen:0.4(5+h)²−10h=0.4(25+10h+h²)−10h
Vereinfachen und h kürzen:4h+0.4h²h=4+0.4h
h gegen 0: $s^{'} (5) = 4$
Nach 5 Sekunden ist die Kiste doppelt so schnell wie im Durchschnitt, weil sie aus dem Stand gleichmässig schneller wird.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 2 m/s. Nach genau 5 Sekunden fährt die Kiste mit 4 m/s.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=x² auf dem Intervall $[2; 5]$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 7
Parabel f(x) = x² mit der Sekante durch (2 | 4) und (5 | 25). Die Sekante hat die Steigung 7.
1. f(5)=25 und f(2)=4
2. 25−45−2=213=7
2
Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=2x+3 auf dem Intervall $[1; 6]$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
Gerade f(x) = 2x + 3 mit den Punkten (1 | 5) und (6 | 15). Die Sekante durch diese Punkte ist die Gerade selbst, mit der Steigung 2.
1. f(6)=15 und f(1)=5
2. 15−56−1=105=2
3. Bei einer Geraden ist der Differenzenquotient immer ihre Steigung.
3
Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=x³ auf dem Intervall $[0; 2]$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 4
Graph von f(x) = x³ mit der Sekante durch (0 | 0) und (2 | 8). Die Sekante hat die Steigung 4.
1. f(2)=8 und f(0)=0
2. 8−02−0=4
4
Eine Sonnenblume ist am 3. Tag nach dem Messbeginn 12 cm hoch, am 7. Tag 20 cm. Wie gross ist die mittlere Änderungsrate ihrer Höhe?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2 cm pro Tag
1. 20−127−3=84=2
2. Einheit: Zentimeter pro Tag.
5
Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=x²+1 auf dem Intervall $[- 1; 3]$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
1. f(3)=10 und f(−1)=2
2. 10−23−(−1)=84=2

6
Berechne mit der h-Methode $f^{'} (3)$ für f(x)=x².
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (3) = 6$
1. (3+h)²−9h=9+6h+h²−9h
2. =6h+h²h=6+h
3. h→0: $f^{'} (3) = 6$
7
Berechne mit der h-Methode den Differentialquotienten von f(x)=x²−4x an der Stelle $x_{0} = 1$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (1) = - 2$
1. f(1)=−3 und f(1+h)=(1+h)²−4(1+h)=−3−2h+h²
2. −3−2h+h²−(−3)h=−2h+h²h=−2+h
3. h→0: $f^{'} (1) = - 2$
8
Berechne mit der h-Methode $f^{'} (7)$ für f(x)=5x+2. Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (7) = 5$ , gleich wie die Steigung der Geraden.
1. 5(7+h)+2−37h=5hh=5
2. Das h verschwindet ganz, der Grenzwert ist 5.
3. Eine Gerade hat an jeder Stelle die Steigung m=5.
9
Berechne den Differenzenquotienten von f(x)=1x auf dem Intervall $[1; 4]$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −14
1. f(4)=14 und f(1)=1
2. $\frac{\frac{1}{4} - 1}{4 - 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{3} = - \frac{1}{4}$
10
Ein Ball wird senkrecht hochgeworfen. Seine Höhe in Metern ist H(t)=20t−5t², mit t in Sekunden. Wie gross ist seine mittlere Geschwindigkeit zwischen t=1 und t=3? Erkläre das Ergebnis.
Lösung zeigen
Ergebnis: 0 m/s: Der Ball ist nach 3 Sekunden wieder auf derselben Höhe wie nach 1 Sekunde.
1. H(1)=20−5=15 und H(3)=60−45=15
2. 15−153−1=0
3. Er steigt zuerst und fällt dann gleich weit zurück. Im Mittel hat sich die Höhe nicht geändert.

11
Bestimme mit der h-Methode $f^{'} (x_{0})$ für f(x)=x²+3x an einer beliebigen Stelle $x_{0}$ . Berechne damit $f^{'} (- 1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0} + 3$ und $f^{'} (- 1) = 1$
1. $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = (x_{0} + h)^{2} + 3 (x_{0} + h) - x_{0}^{2} - 3 x_{0} = 2 x_{0} h + h^{2} + 3 h$
2. Durch h teilen: $2 x_{0} + h + 3$
3. h→0: $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0} + 3$ , also $f^{'} (- 1) = - 2 + 3 = 1$
12
Berechne mit der h-Methode $f^{'} (2)$ für f(x)=1x.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$
1. Zähler auf einen Bruch bringen: 12+h−12=2−(2+h)2(2+h)=−h2(2+h)
2. Durch h teilen: −12(2+h)
3. h→0: −12·2=−14
13
Berechne mit der h-Methode $f^{'} (1)$ für f(x)=x³.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (1) = 3$
1. (1+h)³=1+3h+3h²+h³
2. 3h+3h²+h³h=3+3h+h²
3. h→0: $f^{'} (1) = 3$
14
Für f(x)=x² gilt $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$ . An welcher Stelle im Intervall $[0; 4]$ ist die momentane Änderungsrate gleich gross wie die mittlere Änderungsrate auf $[0; 4]$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: An der Stelle $x_{0} = 2$ .
1. Mittlere Änderungsrate: 16−04−0=4
2. Momentane Änderungsrate: $2 x_{0} = 4$
3. Also $x_{0} = 2$ . Dort ist die Tangente parallel zur Sekante.
15
Berechne mit der h-Methode $f^{'} (4)$ für $f (x) = x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
1. $\frac{4 + h - 2}{h}$ mit $4 + h + 2$ erweitern: $\frac{( 4 + h ) - 4}{h ( 4 + h + 2 )} = \frac{1}{4 + h + 2}$
2. h→0: 12+2=14

Bleibt die h-Methode hängen, weil das Ausmultiplizieren oder das Kürzen von h nicht klappt, übt eine Lehrperson die Schritte mit dir an deinen eigenen Aufgaben. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Differenzenquotient und Differentialquotient

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt den Differenzenquotienten, Stufe 2 die h-Methode an einer Stelle, Stufe 3 allgemeine Ableitungen, Brüche, Wurzeln und Anwendungen.

Berechne den Differenzenquotienten von f(x) = 4x + 1 auf dem Intervall [2; 7].

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaAbleitung und AbleitungsregelnDie Ableitung gibt an jeder Stelle an, wie steil der Graph einer Funktion ist. Mit den Ableitungsregeln leitest du Funktionen ab, ohne jedes Mal einen Grenzwert zu rechnen: Potenz-, Faktor- und Summenregel für Polynome, dazu Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.2. Jahr Gymnasium

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Produktregel2. Jahr Gymnasium
Quotientenregel2. Jahr Gymnasium
Kettenregel2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr, direkt nach dem Grenzwert und vor den Ableitungsregeln. Mit der h-Methode leitest du die ersten Ableitungen selbst her.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient?

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte, also eine mittlere Änderungsrate. Der Differentialquotient ist sein Grenzwert für h→0, die Steigung der Tangente in einem Punkt. Ihn nennt man auch Ableitung an dieser Stelle.

Schreibt man Differentialquotient oder Differenzialquotient?

Beide Schreibweisen sind richtig. In Schulbüchern und an Gymnasien liest du häufig die Schreibweise mit t.

Wozu brauche ich die h-Methode, wenn es Ableitungsregeln gibt?

Die Ableitungsregeln sind aus dem Differentialquotienten hergeleitet. Mit der h-Methode siehst du, woher zum Beispiel $(x^{2})^{'} = 2 x$ kommt. In Prüfungen wird sie oft verlangt, sobald es heisst «mit dem Differentialquotienten» oder «mit der h-Methode».

In welchem Jahr am Gymnasium kommt der Differentialquotient?

Meist im zweiten oder dritten Jahr, direkt nach den Grenzwerten und vor den Ableitungsregeln. Das hängt von Kanton, Schule und Schwerpunktfach ab.

Differentialquotient und Differenzenquotient

Erklärung

Mittlere Änderungsrate

Die Sekante

Schreibweise mit h

Differentialquotient: Steigung an einer Stelle

Die h-Methode

Änderungsraten im Alltag

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Höhenmeter pro Stunde auf der Wanderung

Beispiel 2Differenzenquotient einer Parabel

Beispiel 3Differentialquotient mit der h-Methode

Beispiel 4Seifenkiste: Durchschnitt und Augenblick

Übungen mit Lösungen

Trainer: Differenzenquotient und Differentialquotient

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Einordnung

Häufige Fragen

Steigungsdreieck

Steigung

Ableitung

Grenzwert

Tangente

binomische Formel