Partielle Integration: so integrierst du partiell

Mit der partiellen Integration berechnest du Integrale von Produkten, etwa einer Potenz von x mal einer e-Funktion. Die Methode folgt aus der Produktregel und tauscht ein schwieriges Integral gegen ein einfacheres.

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4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn
Gymnasium, Studienbeginn

Ein junger Mann fügt in einer hellen Bibliothek zwei grosse Puzzleteile zusammen. Um ihn lesen andere, draussen liegen ein See und Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Mit der partiellen Integration integrierst du ein Produkt zweier Funktionen. Die Formel lautet $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ . Du wählst u und $v^{'}$ so, dass das neue rechts einfacher ist, und rechnest es aus.

Die Formel

Teile den in zwei Faktoren. Den einen nennst du u, den anderen $v^{'}$ .

\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x

Rechts steht $u^{'}$ , also die von u, und v, eine von $v^{'}$ . Die C schreibst du erst ganz am Schluss.

MerkeEin Faktor wird abgeleitet (u), der andere integriert ( $v^{'}$ ).

Woher die Formel kommt

Die Produktregel sagt: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ .

Integrierst du beide Seiten, steht links wieder u·v:

u \cdot v = \int u^{'} \cdot v d x + \int u \cdot v^{'} d x

Stellst du nach $\int u \cdot v^{'} d x$ um, hast du die Formel. Partielle Integration ist also die Produktregel rückwärts.

Was wird u, was wird v'?

Wähle u so, dass es beim Ableiten einfacher wird: x wird zu 1, x² zu 2x. Wähle $v^{'}$ so, dass du es leicht integrieren kannst: $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ .

Kommt $ln x$ vor, wird $ln x$ zu u. Seine Ableitung 1x ist einfach, eine Stammfunktion kennst du am Anfang nicht.

MerkePotenz von x mal $e^{x}$ , $sin x$ oder $cos x$ : die Potenz wird u. Mit $ln x$ : $ln x$ wird u.

Mit Grenzen

Beim bestimmten Integral bekommen beide Teile die Grenzen:

\int_{a}^{b} u \cdot v^{'} d x = [u \cdot v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} \cdot v d x

Beispiel mit u=x, $v^{'} = e^{x}$ :

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1

Graph von f(x) = x · e^x: Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse von 0 bis 1 ist genau 1.

Der Trick mit dem Faktor 1

Auch $\int ln x d x$ löst du partiell, obwohl kein Produkt dasteht. Schreibe $ln x = 1 \cdot ln x$ und wähle $u = ln x$ , $v^{'} = 1$ . Dann ist $u^{'} = \frac{1}{x}$ und v=x:

\int ln x d x = x ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln x - x + C

Graph von f(x) = ln x: Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse von 1 bis e ist genau 1, denn (e ln e − e) − (1 ln 1 − 1) = 1.

Zweimal integrieren und der Rückwärts-Trick

Bei $x^{2} e^{x}$ ist das neue Integral $\int 2 x e^{x} d x$ . Du integrierst einfach ein zweites Mal partiell.

Bei $\int e^{x} sin x d x$ taucht nach zwei Runden das Ausgangsintegral wieder auf. Dann löst du wie bei einer Gleichung danach auf.

MerkeTaucht das Ausgangsintegral wieder auf, bringst du es auf eine Seite und löst nach ihm auf.

Partielle Integration (partiell integrieren): Merkblatt mit Formel und Beispiel. u · v' dx = u · v - u' · v dx. u · v = u' · v dx + u · v' dx. Beispiel: x e^x dx = (x - 1) e^x + C. — Merkblatt Partielle Integration: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $\int x e^{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} \cdot e^{x} + C$ , also jeden Faktor einzeln integrieren.
✓Ein Produkt darfst du nicht faktorweise integrieren. Mit u=x und $v^{'} = e^{x}$ : $x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ .
✕Bei $\int x cos x d x$ die Wahl $u = cos x$ und $v^{'} = x$ .
✓Dann entsteht $\int \frac{x ^{2}}{2} \cdot (- sin x) d x$ , schwieriger als vorher. Wähle u=x: Mit $u^{'} = 1$ bleibt nur $\int sin x d x$ .
✕ $\int x sin x d x = - x cos x - \int cos x d x$ , also das Vorzeichen von $v = - cos x$ im neuen Integral verlieren.
✓Setze das neue Integral in Klammern: $- x cos x - \int (- cos x) d x = - x cos x + sin x + C$ .
✕Bei Grenzen nur das neue Integral auswerten und $[u \cdot v]_{a}^{b}$ weglassen.
✓Beide Teile bekommen die Grenzen: $[u \cdot v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} \cdot v d x$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Stammfunktion: Eine Funktion F mit $F^{'} (x) = f (x)$ . Bei der partiellen Integration ist v eine Stammfunktion von $v^{'}$ .
Integrand: Die Funktion, die integriert wird. Bei der partiellen Integration ist sie ein Produkt $u \cdot v^{'}$ .
Produktregel: Ableitungsregel für Produkte: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ . Bei den Logarithmen und in der Wahrscheinlichkeit meint das Wort andere Regeln.
Integrationskonstante: Die Zahl C am Schluss eines unbestimmten Integrals. Jede Stammfunktion plus eine Konstante ist wieder eine Stammfunktion.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Stammfunktion und Integrationsregeln Integral und Integralrechnung Produktregel

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Polynom mal e-Funktion

Berechne $\int x e^{x} d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

x wird beim Ableiten einfacher, $e^{x}$ bleibt beim Integrieren gleich. Also: $u = x, u^{'} = 1, v^{'} = e^{x}, v = e^{x}$
In die Formel einsetzen: $\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x$
Das neue Integral ist einfach: $= x e^{x} - e^{x} + C$
$e^{x}$ ausklammern. Probe: Die Ableitung von $(x - 1) e^{x}$ ist $e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ . $= (x - 1) e^{x} + C$

$\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$

Beispiel 2Bestimmtes Integral mit Sinus

Berechne $\int_{0}^{π /2} x sin x d x$ .

Graph von f(x) = x · sin x von 0 bis π/2: Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist genau 1.

Lösung Schritt für Schritt

Wähle u=x und $v^{'} = sin x$ . Dann ist $u^{'} = 1$ und $v = - cos x$ . $\int_{0}^{π /2} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π /2} - \int_{0}^{π /2} (- cos x) d x$
Erster Teil: $cos \frac{π}{2} = 0$ und an der Stelle 0 steht der Faktor x=0. $[- x cos x]_{0}^{π /2} = 0 - 0 = 0$
Zweiter Teil: Minus mal minus gibt plus. $+ \int_{0}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{0}^{π /2} = 1 - 0 = 1$
Zusammen:0+1=1

$\int_{0}^{π /2} x sin x d x = 1$

Beispiel 3Logarithmus als u

Berechne $\int x ln x d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Mit $ln x$ im Integranden wird $ln x$ zu u: $u = ln x, u^{'} = \frac{1}{x}, v^{'} = x, v = \frac{1}{2} x^{2}$
In die Formel einsetzen: $\int x ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} d x$
Im neuen Integral kürzt sich ein x: $= \frac{1}{2} x^{2} ln x - \int \frac{1}{2} x d x$
Integrieren: $= \frac{1}{2} x^{2} ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$

$\int x ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Beispiel 4Rückhaltebecken nach einem Gewitter

Eine Jugendliche in Regenjacke steht nach einem Gewitter auf einem Holzsteg über einem Bach, der in ein Becken fliesst. Dahinter ein Bauernhaus.

Nach einem Gewitter im Emmental schwillt ein Bach an. Er fliesst in ein Rückhaltebecken mit dem Zufluss $z (t) = 6 t e^{- t}$ , in tausend m³ pro Stunde, t in Stunden nach Beginn. Wie viel Wasser fliesst in den ersten 2 Stunden ins Becken?

Lösung Schritt für Schritt

Die Wassermenge ist das Integral des Zuflusses: $V = \int_{0}^{2} 6 t e^{- t} d t$
Wähle u=6t und $v^{'} = e^{- t}$ . Dann ist $u^{'} = 6$ und $v = - e^{- t}$ . $V = [- 6 t e^{- t}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 6 e^{- t} d t$
Das zweite Integral ausrechnen und alles zusammenfassen: $V = [- 6 t e^{- t} - 6 e^{- t}]_{0}^{2} = [- 6 (t + 1) e^{- t}]_{0}^{2}$
Grenzen einsetzen: oben $- 6 \cdot 3 e^{- 2}$ , unten −6. $V = - 18 e^{- 2} - (- 6) = 6 - \frac{18}{e ^{2}}$
Mit dem Taschenrechner: $\frac{18}{e ^{2}} \approx 2.44$ .V≈6−2.44=3.56

In den ersten 2 Stunden fliessen $6 - \frac{18}{e ^{2}} \approx 3.56$ tausend m³ ins Becken, also rund 3'560 m³.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse5

1
Berechne $\int 3 x e^{x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $(3 x - 3) e^{x} + C$
Graph von f und der Stammfunktion F: Wo f die x-Achse schneidet, bei x = 0, hat F seinen Tiefpunkt (0 | −3).
1. u=3x, $u^{'} = 3$ , $v^{'} = e^{x}$ , $v = e^{x}$
2. $3 x e^{x} - \int 3 e^{x} d x = 3 x e^{x} - 3 e^{x} + C$
3. Ausklammern: $(3 x - 3) e^{x} + C$
2
Berechne $\int_{0}^{π} x cos x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −2
Graph von f(x) = x · cos x von 0 bis π: Der Teil unter der x-Achse ist grösser als der Teil darüber, darum ist das Integral negativ.
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = cos x$ , $v = sin x$
2. $[x sin x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin x d x = 0 - [- cos x]_{0}^{π}$
3. $[- cos x]_{0}^{π} = 1 - (- 1) = 2$ , also 0−2=−2
3
Berechne $\int (x + 2) e^{x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $(x + 1) e^{x} + C$
1. u=x+2, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = e^{x}$ , $v = e^{x}$
2. $(x + 2) e^{x} - \int e^{x} d x = (x + 2) e^{x} - e^{x} + C$
3. Ausklammern: $(x + 2 - 1) e^{x} + C = (x + 1) e^{x} + C$
4
Berechne $\int_{- π /2}^{π /2} x sin x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
Graph von f(x) = x · sin x von −π/2 bis π/2: Die Kurve liegt ganz über der x-Achse und ist symmetrisch, die Fläche ist 2.
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = sin x$ , $v = - cos x$
2. $[- x cos x]_{- π /2}^{π /2} = 0 - 0 = 0$ , denn $cos (\pm \frac{π}{2}) = 0$
3. $+ \int_{- π /2}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{- π /2}^{π /2} = 1 - (- 1) = 2$

5
Berechne $\int x^{2} ln x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{3} x^{3} ln x - \frac{1}{9} x^{3} + C$
1. $u = ln x$ , $u^{'} = \frac{1}{x}$ , $v^{'} = x^{2}$ , v=13x³
2. $\frac{1}{3} x^{3} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} x^{3} d x = \frac{1}{3} x^{3} ln x - \int \frac{1}{3} x^{2} d x$
3. $= \frac{1}{3} x^{3} ln x - \frac{1}{9} x^{3} + C$
6
Berechne $\int x e^{2 x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = e^{2 x}$ , $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$
2. $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$
3. $\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{4} e^{2 x}$ , also $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
7
Berechne $\int_{0}^{π /2} x cos (2 x) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −12
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = cos (2 x)$ , $v = \frac{1}{2} sin (2 x)$
2. $[\frac{1}{2} x sin (2 x)]_{0}^{π /2} = 0$ , denn $sin π = 0$ und $sin 0 = 0$
3. $- \int_{0}^{π /2} \frac{1}{2} sin (2 x) d x = - [- \frac{1}{4} cos (2 x)]_{0}^{π /2} = - (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = - \frac{1}{2}$
8
Berechne $\int_{0}^{2} x (x - 2)^{3} d x$ mit partieller Integration, ohne auszumultiplizieren.
Lösung zeigen
Ergebnis: −85
1. u=x, $u^{'} = 1$ , $v^{'} = (x - 2)^{3}$ , v=14(x−2)⁴
2. $[\frac{1}{4} x (x - 2)^{4}]_{0}^{2} = 0 - 0 = 0$
3. $- \int_{0}^{2} \frac{1}{4} (x - 2)^{4} d x = - [\frac{1}{20} (x - 2)^{5}]_{0}^{2} = - (0 - \frac{- 32}{20}) = - \frac{8}{5}$
9
Berechne $\int_{1}^{e} x ln x d x$ exakt und gerundet.
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} \approx 2.10$
1. Stammfunktion aus $u = ln x$ , $v^{'} = x$ : $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} ln x - \frac{1}{4} x^{2}$
2. $F (e) = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} = \frac{1}{4} e^{2}$ , denn $ln e = 1$
3. F(1)=0−14, also $\frac{1}{4} e^{2} - (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} \approx 2.10$

10
Berechne $\int x^{2} e^{x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$
1. Erste Runde mit u=x², $v^{'} = e^{x}$ : $x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$
2. Zweite Runde mit u=2x, $v^{'} = e^{x}$ : $\int 2 x e^{x} d x = 2 x e^{x} - 2 e^{x}$
3. Zusammen: $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$
11
Berechne $\int e^{x} sin x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$
1. Nenne das Integral I. Mit $u = sin x$ , $v^{'} = e^{x}$ : $I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x$
2. Noch einmal mit $u = cos x$ , $v^{'} = e^{x}$ : $\int e^{x} cos x d x = e^{x} cos x + I$
3. Also $I = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$ , daraus $2 I = e^{x} (sin x - cos x)$
4. $I = \frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$
12
Berechne $\int (ln x)^{2} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x + C$
1. $u = (ln x)^{2}$ , $u^{'} = \frac{2 ln x}{x}$ , $v^{'} = 1$ , v=x
2. $x (ln x)^{2} - \int 2 ln x d x$
3. $\int 2 ln x d x = 2 x ln x - 2 x$ (Trick mit dem Faktor 1)
4. Zusammen: $x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x + C$
13
Berechne $\int sin^{2} x d x$ mit partieller Integration.
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{2} (x - sin x cos x) + C$
1. Nenne das Integral I. Mit $u = sin x$ , $v^{'} = sin x$ , $v = - cos x$ : $I = - sin x cos x + \int cos^{2} x d x$
2. Mit $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ : $I = - sin x cos x + x - I$
3. $2 I = x - sin x cos x$ , also $I = \frac{1}{2} (x - sin x cos x) + C$
14
Berechne $\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x$ exakt und gerundet.
Lösung zeigen
Ergebnis: π²−4≈5.87
1. Erste Runde mit u=x², $v^{'} = sin x$ : $\int x^{2} sin x d x = - x^{2} cos x + \int 2 x cos x d x$
2. Zweite Runde: $\int 2 x cos x d x = 2 x sin x + 2 cos x$
3. $F (x) = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x$ : F(π)=π²−2, F(0)=2
4. (π²−2)−2=π²−4≈9.87−4=5.87

Verlierst du beim partiellen Integrieren den Überblick über u, v' und die Vorzeichen? Eine Lehrperson übt die Methode mit dir an deinen eigenen Aufgaben. Mathematik-Nachhilfe für Gymnasium und Studium

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Trainer: Partielle Integration

So funktioniert der Trainer

Wähle u und v', bilde Stammfunktionen und berechne bestimmte Integrale. Jede Runde mischt neue Fragen, die Erklärung zeigt dir den Weg.

Du wählst u = x und v' = e²ˣ. Was ist v?

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Nächstes ThemaIntegration durch SubstitutionBei der Integration durch Substitution ersetzt du die innere Funktion durch eine neue Variable u. So wird aus einem verketteten Integranden ein einfaches Integral; die Methode ist die Kettenregel rückwärts.4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn

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Einordnung

Typische Klasse: 4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn
Stufe: Gymnasium, Studienbeginn
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 4. Jahr nach Stammfunktion und Integral, oft im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik. An Hochschule und Fachhochschule gehört sie zum Stoff des ersten Semesters.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann verwendet man die partielle Integration?

Wenn der Integrand ein Produkt ist und ein Faktor beim Ableiten einfacher wird. Typisch sind eine Potenz von x mal $e^{x}$ , $sin x$ oder $cos x$ , dazu Integrale mit $ln x$ .

Partielle Integration oder Substitution: Wie erkenne ich, was passt?

Steht neben einer verketteten Funktion ihre innere Ableitung, etwa bei $2 x \cdot e^{x^{2}}$ , nimmst du die Substitution. Sind die Faktoren voneinander unabhängig, wie bei $x \cdot e^{x}$ , passt die partielle Integration.

Was mache ich, wenn das Ausgangsintegral wieder auftaucht?

Das passiert bei Integralen wie $\int e^{x} sin x d x$ . Nenne das Integral I, bring alle I auf eine Seite und löse nach I auf. Am Schluss die Konstante C ergänzen.

Kommt die partielle Integration an jedem Gymnasium dran?

Nicht überall. Das hängt von der Schule und vom Schwerpunktfach ab; im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik ist sie häufig dabei. Wer Naturwissenschaften, Technik oder Wirtschaft studiert, braucht sie im ersten Semester.