Grenzwerte und Stetigkeit

Ein Grenzwert gibt an, welchem Wert sich eine Funktion oder eine Folge beliebig nähert. Mit Grenzwerten untersuchst du Definitionslücken, Asymptoten und Stetigkeit; sie sind die Grundlage der Ableitung.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche gehen auf einem langen Holzsteg über einen ruhigen See, der Steg führt weit Richtung Horizont.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Grenzwert sagt, welchem Wert sich eine Funktion oder Folge immer mehr nähert. Du schreibst ihn mit $lim$ , zum Beispiel $x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0$ . Damit prüfst du Stetigkeit, findest Asymptoten und legst die Grundlage für die .

Was ein Grenzwert ist

Setzt du in f(x)=x²−1x−1 die Zahl 1 ein, steht im Nenner 0. Den Wert f(1) gibt es nicht.

Rechne aber mit Zahlen nahe bei 1: f(0.99)=1.99 und f(1.01)=2.01. Die Werte kommen der 2 beliebig nahe. Du schreibst $x \to 1 lim f (x) = 2$ .

MerkeDer Grenzwert fragt, wohin die Funktionswerte gehen, wenn x der Stelle immer näher kommt. Was genau an der Stelle passiert, spielt keine Rolle.

Graph von f(x) = (x² − 1) : (x − 1): Er sieht aus wie die Gerade y = x + 1, hat aber bei x = 1 ein Loch, das die Zeichnung nicht zeigt. Von links und von rechts nähern sich die Werte der 2.

Grenzwert einer Folge

Die Folge $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$ beginnt mit 3, 2.5, 2.33… Je grösser n, desto näher liegt $a_{n}$ bei 2. Die Folge ist konvergent mit dem Grenzwert 2: $n \to \infty lim a_{n} = 2$ .

Eine Folge ohne Grenzwert heisst divergent, zum Beispiel $a_{n} = n^{2}$ oder $a_{n} = (- 1)^{n}$ .

MerkeKonvergent heisst: Die Glieder kommen einer festen Zahl beliebig nahe.

Grenzwert für x gegen unendlich

Wird x sehr gross, geht 1x gegen 0. Darauf baut alles auf. Bei einem teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x im Nenner:

x \to \infty lim \frac{2 x + 1}{x} = x \to \infty lim (2 + \frac{1}{x}) = 2

Der Graph nähert sich der Geraden y=2. Sie heisst waagrechte Asymptote.

Graph von f(x) = (2x + 1) : x und die waagrechte Asymptote y = 2: Für grosse x nähert sich die Kurve der Geraden immer mehr.

Die Faustregel für Bruchterme

Für $x \to \infty$ vergleichst du den höchsten Exponenten im Zähler und im Nenner.

Im Nenner grösser: Der Grenzwert ist 0.
Gleich gross: Der Grenzwert ist der Quotient der Koeffizienten vor den höchsten Potenzen.
Im Zähler grösser: Es gibt keinen endlichen Grenzwert.

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{6 x ^{2} + 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

MerkeFür x gegen unendlich zählen nur die höchsten Potenzen.

Grenzwert an einer Definitionslücke

Setze die Stelle zuerst ein. Kommt 00 heraus, ist das unbestimmt: und kürze.

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

Diese Lücke lässt sich schliessen, sie heisst hebbar. Kommt c0 mit c≠0 heraus, liegt dort eine Polstelle.

Merke0 durch 0 heisst: umformen und kürzen. Eine Zahl durch 0 heisst: Polstelle.

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

An einer Polstelle schaust du beide Seiten getrennt an. Für f(x)=1x gilt:

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty

Ein Grenzwert an einer Stelle existiert nur, wenn beide Seiten denselben endlichen Wert haben. Die Gerade x=0 ist hier eine senkrechte Asymptote.

Graph von f(x) = 1 : x: Rechts von 0 steigen die Werte nach oben ins Unendliche, links von 0 fallen sie nach unten. Die y-Achse ist die senkrechte Asymptote.

Stetigkeit

Eine Funktion ist an der Stelle $x_{0}$ stetig, wenn $f (x_{0})$ existiert und der Grenzwert dort gleich dem Funktionswert ist:

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})

Anschaulich: Du zeichnest den Graphen dort, ohne den Stift abzusetzen. sind überall stetig. Ein Sprung im Graphen ist eine Unstetigkeit.

MerkeStetig an einer Stelle heisst: Grenzwert und Funktionswert sind gleich.

Regel von de l'Hospital

Sobald du ableiten kannst, gibt es eine Abkürzung für 00 und $\frac{\infty}{\infty}$ : Leite Zähler und Nenner getrennt ab und bilde den Grenzwert neu.

x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{3 x ^{2}}{1} = 12

Das gilt, wenn der neue Grenzwert existiert. Getrennt ableiten heisst: keine .

Grenzwerte und Stetigkeit: Merkblatt mit Formel und Beispiel. _x x_0 f(x) = f(x_0). Beispiel: x 2 x²-5x+6/x-2 = -1. — Merkblatt Grenzwerte und Stetigkeit: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $x \to 4 lim \frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = \frac{0}{0} = 0$
✓00 ist unbestimmt und kein Ergebnis. Faktorisieren und kürzen: $x \to 4 lim (x + 4) = 8$ .
✕Weil es f(1) nicht gibt, hat f(x)=x²−1x−1 bei x=1 auch keinen Grenzwert.
✓Der Grenzwert hängt nur von den Werten in der Nähe ab. f(1) fehlt, der Grenzwert ist trotzdem 2.
✕ $x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2}} = \frac{\infty}{\infty} = 1$
✓ $\frac{\infty}{\infty}$ ist unbestimmt. Durch x² teilen: $x \to \infty lim (2 + \frac{1}{x ^{2}}) = 2$ .
✕Bei de l'Hospital den ganzen Bruch mit der Quotientenregel ableiten.
✓Zähler und Nenner werden je für sich abgeleitet: aus f(x)g(x) wird $\frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Grenzwert: Der Wert, dem sich die Funktionswerte oder die Glieder einer Folge beliebig nähern. Man schreibt ihn mit lim, von lateinisch limes (Grenze).
konvergent: Eine Folge oder Funktion mit einem endlichen Grenzwert heisst konvergent.
divergent: Hat eine Folge keinen endlichen Grenzwert, heisst sie divergent.
Definitionslücke: Eine Stelle, an der eine Funktion nicht definiert ist, meist weil der Nenner 0 wird. Hebbar ist sie, wenn es dort einen endlichen Grenzwert gibt.
Polstelle: Eine Definitionslücke, an der die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich gehen. Dort hat der Graph eine senkrechte Asymptote.
Asymptote: Eine Gerade, der sich der Graph beliebig nähert: waagrecht für sehr grosse x, senkrecht an einer Polstelle.
stetig: Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn dort Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen. Der Graph hat dort weder Sprung noch Loch.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Funktionen, Wertetabellen und Graphen Bruchterme und Bruchgleichungen Arithmetische und geometrische Folgen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Hebbare Lücke durch Kürzen

Berechne $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ .

Der Graph sieht aus wie die Gerade y = x − 3, hat aber bei x = 2 ein Loch, das die Zeichnung nicht zeigt. Dort nähern sich die Werte der −1.

Lösung Schritt für Schritt

Einsetzen gibt 4−10+60=00. Das ist unbestimmt, also formst du um.
Faktorisiere den Zähler. Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe −5:x²−5x+6=(x−2)(x−3)
Kürze den Faktor (x−2). Das ist erlaubt, weil x der 2 nur nahe kommt und nie genau 2 ist:(x−2)(x−3)x−2=x−3
Jetzt darfst du einsetzen: $x \to 2 lim (x - 3) = 2 - 3 = - 1$

$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2} = - 1$

Beispiel 2Grenzwert für x gegen unendlich

Berechne $x \to \infty lim \frac{4 x ^{2} - 3 x}{2 x ^{2} + 7}$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die höchste Potenz im Nenner ist x². Teile Zähler und Nenner durch x²: $\frac{4 x ^{2} - 3 x}{2 x ^{2} + 7} = \frac{4 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{7}{x ^{2}}}$
Für $x \to \infty$ gehen 3x und 7x² gegen 0:4−02+0=2
Kontrolle mit der Faustregel: Der höchste Exponent ist oben und unten 2, also teilst du die Koeffizienten: 42=2.
Der Graph hat damit die waagrechte Asymptote y=2.

$x \to \infty lim \frac{4 x ^{2} - 3 x}{2 x ^{2} + 7} = 2$

Beispiel 3Stückkosten bei grossen Bestellungen

Jugendliche eines Unihockeyclubs packen in der Turnhalle eine Kiste mit neuen, einfarbigen Hoodies aus. Zwei Erwachsene schauen zu.

Ein Unihockeyclub in Luzern lässt Hoodies mit dem Vereinslogo bedrucken. Die Druckerei verlangt einmalig 480 Franken für die Vorlage und 12 Franken pro Hoodie. Was kostet ein Hoodie im Durchschnitt bei 20 und bei 100 Stück? Gegen welchen Betrag gehen die Stückkosten bei sehr grossen Bestellungen?

Lösung Schritt für Schritt

Bei x Hoodies kostet alles zusammen 480+12x Franken. Die Stückkosten sind diese Gesamtkosten geteilt durch die Anzahl:k(x)=480+12xx=480x+12
Bei 20 Stück:k(20)=48020+12=24+12=36
Bei 100 Stück:k(100)=4.80+12=16.80
Für sehr grosse x geht 480x gegen 0: $x \to \infty lim k (x) = 0 + 12 = 12$
Die 480 Franken verteilen sich auf immer mehr Hoodies. Unter 12 Franken pro Stück fällt der Preis aber nie.

Bei 20 Stück kostet ein Hoodie im Durchschnitt 36 Franken, bei 100 Stück 16.80 Franken. Bei sehr grossen Bestellungen gehen die Stückkosten gegen 12 Franken.

Beispiel 4Parameter für Stetigkeit bestimmen

Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x+1 für x<2 und f(x)=ax−1 für x≥2. Für welches a ist f an der Stelle 2 stetig?

Lösung Schritt für Schritt

Grenzwert von links: Für x<2 gilt der obere Term. $x \to 2^{-} lim (x + 1) = 3$
Funktionswert und Grenzwert von rechts: Für x≥2 gilt der untere Term.f(2)=2a−1
Stetig heisst: Beide Werte sind gleich.2a−1=3
Nach a auflösen:2a=4 ⇒ a=2

Für a=2 ist f an der Stelle 2 stetig.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
$x \to 3 lim (2 x + 1)$
Lösung zeigen
Ergebnis: 7
Gerade f(x) = 2x + 1 mit dem Punkt (3; 7): Grenzwert und Funktionswert bei x = 3 sind beide 7.
1. Die Funktion ist überall definiert und stetig, du darfst also einsetzen.
2. 2·3+1=7
2
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 4
Der Graph sieht aus wie die Gerade y = x + 2, hat aber bei x = 2 ein Loch, das die Zeichnung nicht zeigt. Die Werte nähern sich dort der 4.
1. Einsetzen gibt 00, also umformen.
2. Dritte binomische Formel: x²−4=(x−2)(x+2)
3. Kürzen: $x \to 2 lim (x + 2) = 4$
3
$x \to \infty lim \frac{4 x + 3}{2 x}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
Für grosse x nähert sich der Graph von f der waagrechten Asymptote y = 2.
1. Durch x teilen: $\frac{4 + \frac{3}{x}}{2}$
2. 3x geht gegen 0, es bleibt 42=2.
4
Gegen welchen Wert konvergiert die Folge $a_{n} = \frac{3 n - 1}{n}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Gegen 3.
1. Aufteilen: $a_{n} = 3 - \frac{1}{n}$
2. 1n geht gegen 0, also $n \to \infty lim a_{n} = 3$ .
5
$x \to - 1 lim (x^{2} + 3 x)$
Lösung zeigen
Ergebnis: −2
1. Ein Polynom ist stetig, du darfst einsetzen.
2. (−1)²+3·(−1)=1−3=−2

6
$x \to \infty lim \frac{6 x ^{2} - x}{3 x ^{2} + 5}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
1. Höchster Exponent oben und unten: 2.
2. Quotient der Koeffizienten: 63=2
7
$x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 4
1. Einsetzen gibt 00.
2. Faktorisieren: x²+2x−3=(x−1)(x+3)
3. Kürzen und einsetzen: 1+3=4
8
$x \to \infty lim \frac{2 x + 5}{x ^{2} - 1}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 0
1. Der höchste Exponent im Nenner (2) ist grösser als im Zähler (1).
2. Durch x² teilen: $\frac{\frac{2}{x} + \frac{5}{x ^{2}}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}} \to \frac{0}{1} = 0$
9
Wo hat f(x)=x+2x−5 eine Polstelle, und welche waagrechte Asymptote hat der Graph?
Lösung zeigen
Ergebnis: Polstelle bei x=5, waagrechte Asymptote y=1.
1. Der Nenner ist 0 für x=5. Der Zähler ist dort 7≠0, also eine Polstelle.
2. Für $x \to \infty$ : gleicher Exponent, Quotient der Koeffizienten 11=1.
10
Tee kühlt in einer Tasse ab. Ein Modell für seine Temperatur in °C nach t Minuten ist T(t)=20+70t+1. Welche Temperatur erreicht der Tee auf lange Sicht?
Lösung zeigen
Ergebnis: 20 °C, die Temperatur im Zimmer.
1. Auf lange Sicht heisst: $t \to \infty$ .
2. 70t+1 geht gegen 0.
3. $t \to \infty lim T (t) = 20 + 0 = 20$

11
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + x - 6}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 15
1. Einsetzen gibt 4−6+24+2−6=00.
2. Zähler und Nenner faktorisieren: x²−3x+2=(x−2)(x−1) und x²+x−6=(x−2)(x+3)
3. Kürzen: $x \to 2 lim \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{2 - 1}{2 + 3} = \frac{1}{5}$
12
f(x)=x² für x≤2 und f(x)=ax−2 für x>2. Für welches a ist f an der Stelle 2 stetig?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=3
1. Funktionswert und Grenzwert von links: f(2)=2²=4
2. Grenzwert von rechts: $x \to 2^{+} lim (a x - 2) = 2 a - 2$
3. Gleichsetzen: 2a−2=4, also a=3.
13
$x \to 4 lim \frac{x - 2}{x - 4}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 14
1. Einsetzen gibt 00.
2. Den Nenner als dritte binomische Formel schreiben: $x - 4 = (x - 2) (x + 2)$
3. Kürzen: $x \to 4 lim \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
14
$x \to \infty lim (x^{2} + x - x)$
Lösung zeigen
Ergebnis: 12
1. $\infty - \infty$ ist unbestimmt. Mit $x^{2} + x + x$ erweitern: $\frac{x ^{2} + x - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x}$
2. Durch x teilen: $\frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1}$
3. Für $x \to \infty$ : 11+1=12
15
Berechne mit der Regel von de l'Hospital: $x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 3
1. Einsetzen gibt 00, die Regel ist erlaubt.
2. Zähler und Nenner getrennt ableiten: $\frac{3 cos ( 3 x )}{1}$
3. Einsetzen: $3 \cdot cos 0 = 3 \cdot 1 = 3$

Hakt es beim Kürzen von Bruchtermen oder beim Unterschied zwischen hebbarer Lücke und Polstelle, rechnet eine Lehrperson die Grenzwerte Schritt für Schritt mit dir durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

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Trainer: Grenzwerte berechnen

So funktioniert der Trainer

Neue Grenzwert-Aufgaben mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt Einsetzen und einfache Folgen, Stufe 2 Bruchterme und Asymptoten, Stufe 3 Wurzeln, Stetigkeit und de l'Hospital.

Berechne den Grenzwert von 3x + 4 für x gegen 2.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Im 2. oder 3. Jahr am Gymnasium als Einstieg in die Analysis, kurz vor der Ableitung. Grenzwerte von Folgen kommen oft schon bei den Folgen und Reihen dazu.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was bedeutet lim in der Mathematik?

lim ist die Abkürzung für das lateinische Wort limes, Grenze. $x \to a lim f (x)$ liest du als «Grenzwert von f(x) für x gegen a». Gemeint ist der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x immer näher an a kommt.

Wann gibt es keinen Grenzwert?

Wenn die Werte über jede Grenze wachsen, wie bei 1x² für x→0, oder wenn sie sich keiner festen Zahl nähern, wie bei der Folge $(- 1)^{n}$ . An einer Stelle gibt es auch keinen Grenzwert, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert verschieden sind.

Was ist der Unterschied zwischen Grenzwert und Funktionswert?

Der Funktionswert f(a) ist der Wert genau an der Stelle a. Der Grenzwert beschreibt, wohin die Werte in der Nähe von a gehen. Sind beide gleich, ist die Funktion dort stetig.

In welchem Jahr am Gymnasium lernt man Grenzwerte?

Im zweiten oder dritten Jahr am Gymnasium, als Einstieg in die Analysis vor der Ableitung. Das hängt von Kanton, Schule und Schwerpunktfach ab.