Kettenregel: so leitest du verkettete Funktionen ab

Mit der Kettenregel leitest du verkettete Funktionen ab, also Funktionen, in denen eine Funktion in einer anderen steckt, etwa (3x + 1)⁴ oder e hoch 2x. Die Regel lautet: äussere Ableitung mal innere Ableitung.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Jugendliche stellt in einer Garage die Kette und die Zahnräder ihres Velos ein, das auf einem Montageständer steht.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Kettenregel brauchst du, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, etwa bei f(x)=(3x+1)⁴ oder $f (x) = e^{2 x}$ . Die Regel lautet: äussere mal innere Ableitung, also $f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ . Am Schluss vereinfachst du und setzt, falls verlangt, den x-Wert ein.

Verkettete Funktionen erkennen

Bei einer verketteten Funktion steckt eine Funktion in einer anderen. Bei f(x)=(3x+1)⁴ rechnest du zuerst 3x+1 und nimmst das Ergebnis dann hoch 4.

Die innere Funktion rechnest du zuerst: v(x)=3x+1.
Die äussere Funktion kommt zuletzt: u(z)=z⁴.

Zusammen gilt f(x)=u(v(x)). Weitere Beispiele: Bei $e^{2 x}$ ist 2x innen, bei $x^{2} + 9$ ist x²+9 innen und die Wurzel aussen.

MerkeInnen steht, was du zuerst rechnest. Aussen steht, was zuletzt passiert.

Die Regel

f (x) = u (v (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Leite die äussere Funktion ab und lass die innere darin stehen. Das ist die äussere Ableitung. Multipliziere sie mit der Ableitung der inneren Funktion, der inneren Ableitung.

Mit z=v(x) schreibt man auch dfdx=dfdz·dzdx. Das ist eine Gedächtnisstütze, kein Kürzen von Brüchen.

MerkeÄussere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Funktion bleibt in der äusseren Ableitung stehen.

Schritt für Schritt

Am Beispiel f(x)=(x²−1)³: 1. Innere und äussere Funktion bestimmen: v(x)=x²−1 und u(z)=z³. 2. Beide ableiten: $v^{'} (x) = 2 x$ und $u^{'} (z) = 3 z^{2}$ . 3. Äussere Ableitung mit der inneren Funktion darin: $u^{'} (v (x)) = 3 (x^{2} - 1)^{2}$ . 4. Mit der inneren Ableitung multiplizieren: $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - 1)^{2} \cdot 2 x = 6 x (x^{2} - 1)^{2}$ .

Multipliziere die Klammer nicht aus. In der Form 6x(x²−1)² siehst du die der Ableitung sofort: x=0, x=1 und x=−1. Dort hat der Graph eine waagrechte .

MerkeLass die Klammer hoch n stehen, statt auszumultiplizieren.

Graph von f(x) = (x² − 1)³. Die Ableitung 6x(x² − 1)² ist bei x = 0, x = 1 und x = −1 gleich null: Bei x = 0 liegt ein Tiefpunkt, bei x = 1 und x = −1 läuft der Graph kurz waagrecht weiter.

Die wichtigsten Fälle

Diese Formen kommen immer wieder. Überall ist v die innere Funktion:

$((a x + b)^{n})^{'} = n (a x + b)^{n - 1} \cdot a$
$(e^{v (x)})^{'} = e^{v (x)} \cdot v^{'} (x)$
$(sin (v (x)))^{'} = cos (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ und $(cos (v (x)))^{'} = - sin (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
$(ln (v (x)))^{'} = \frac{v ^{'} ( x )}{v ( x )}$ , wo v(x)>0 ist
$(v (x))^{'} = \frac{v ^{'} ( x )}{2 v ( x )}$ , wo v(x)>0 ist

Auch $2^{x}$ ist eine Verkettung, denn $2^{x} = e^{x l n 2}$ . Darum gilt $(2^{x})^{'} = e^{x l n 2} \cdot ln 2 = 2^{x} \cdot ln 2$ .

MerkeIst die innere Funktion linear, also ax+b, multiplizierst du am Schluss nur mit a.

Mehrfach verkettet und mit anderen Regeln

Eine Funktion kann mehrere Schichten haben. Dann wendest du die Kettenregel von aussen nach innen mehrmals an. Bei $f (x) = sin^{2} (3 x) = (sin (3 x))^{2}$ sind es drei Schichten: das Quadrat, der und 3x.

f^{'} (x) = 2 sin (3 x) \cdot cos (3 x) \cdot 3 = 6 sin (3 x) cos (3 x)

Oft kommt die Kettenregel zusammen mit der Produktregel vor. Bei $f (x) = x \cdot e^{- x^{2}}$ brauchst du die Kettenregel für den zweiten Faktor:

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x^{2}} + x \cdot e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2})

MerkeVon aussen nach innen ableiten und jede Schicht als Faktor dranhängen.

Warum die Regel stimmt

Die Ableitung ist eine Änderungsrate. Ändert sich die innere Funktion doppelt so schnell wie x und die äussere dreimal so schnell wie die innere, ändert sich das Ganze 2·3=6-mal so schnell.

Am Graphen: $sin (2 x)$ ist auf die halbe Breite zusammengedrückt und im Ursprung doppelt so steil wie $sin (x)$ , mit der $cos (0) \cdot 2 = 2$ .

Kontrolle: (3x)²=9x² hat die Ableitung 18x, mit der Kettenregel 2·(3x)·3=18x.

Graphen von sin(x) und sin(2x). Der Graph von sin(2x) ist in x-Richtung auf die Hälfte zusammengedrückt und im Ursprung doppelt so steil: Steigung 2 statt 1.

Kettenregel: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Innen steht, was du zuerst rechnest. Aussen steht, was zuletzt passiert. Beispiel: f'(x) = 12(3x-2)³ und f'(1) = 12. — Merkblatt Kettenregel: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $((2 x + 1)^{3})^{'} = 3 (2 x + 1)^{2}$ , die innere Ableitung vergessen.
✓Mit der inneren Ableitung 2 multiplizieren: 3(2x+1)²·2=6(2x+1)².
✕ $(sin (x^{2}))^{'} = cos (2 x)$ , die innere Funktion in der äusseren Ableitung gleich mit abgeleitet.
✓Die innere Funktion bleibt stehen, ihre Ableitung kommt als Faktor dazu: $cos (x^{2}) \cdot 2 x$ .
✕ $(e^{x^{2}})^{'} = x^{2} \cdot e^{x^{2} - 1}$ , die Potenzregel auf die angewendet.
✓Die e-Funktion bleibt beim Ableiten gleich, dazu kommt die innere Ableitung: $e^{x^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{x^{2}}$ .
✕ $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1}$ , nur die Wurzel abgeleitet.
✓Mal die innere Ableitung 2x: $\frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Kettenregel: Ableitungsregel für verkettete Funktionen: $(u (v (x)))^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ , also äussere Ableitung mal innere Ableitung.
Verkettete Funktion: Eine Funktion, bei der das Ergebnis einer Funktion in eine zweite eingesetzt wird, geschrieben u(v(x)).
Innere Funktion: Der Teil einer verketteten Funktion, den du zuerst rechnest, bei (3x+1)⁴ also 3x+1.
Äussere Funktion: Die Funktion, die auf das Ergebnis der inneren angewendet wird, bei (3x+1)⁴ also das Hoch 4.
Ableitung: Die Funktion $f^{'}$ , die an jeder Stelle die Steigung des Graphen von f angibt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Lineare innere Funktion

Leite f(x)=(3x−2)⁴ ab und berechne $f^{'} (1)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Innere und äussere Funktion bestimmen und ableiten: $v (x) = 3 x - 2, v^{'} (x) = 3, u (z) = z^{4}, u^{'} (z) = 4 z^{3}$
Äussere Ableitung mit der inneren Funktion darin, mal innere Ableitung: $f^{'} (x) = 4 (3 x - 2)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x - 2)^{3}$
1 einsetzen: $f^{'} (1) = 12 \cdot (3 - 2)^{3} = 12 \cdot 1 = 12$

$f^{'} (x) = 12 (3 x - 2)^{3}$ und $f^{'} (1) = 12$

Beispiel 2e-Funktion mit quadratischer innerer Funktion

Leite $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ ab. Berechne $f^{'} (1)$ und bestimme, wo der Graph eine waagrechte Tangente hat.

Lösung Schritt für Schritt

Die e-Funktion bleibt beim Ableiten gleich. Innen steht x²−1 mit der Ableitung 2x: $f^{'} (x) = e^{x^{2} - 1} \cdot 2 x = 2 x e^{x^{2} - 1}$
1 einsetzen, dabei ist e⁰=1: $f^{'} (1) = 2 \cdot 1 \cdot e^{0} = 2$
Waagrechte Tangente heisst $f^{'} (x) = 0$ . Weil $e^{x^{2} - 1}$ nie 0 ist, muss der andere Faktor 0 sein:2x=0 ⇒ x=0

$f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$ , $f^{'} (1) = 2$ . Die Tangente ist bei x=0 waagrecht.

Beispiel 3Wurzel und Tangente

Leite $f (x) = x^{2} + 9$ ab und bestimme die Tangente an der Stelle $x_{0} = 4$ .

Graph von f(x) = √(x² + 9) mit der Tangente t(x) = 0.8x + 1.8 im Punkt (4 | 5). Die Tangente hat die Steigung f'(4) = 0.8.

Lösung Schritt für Schritt

Innen steht x²+9 mit der Ableitung 2x, aussen die Wurzel mit der Ableitung $\frac{1}{2 z}$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x ^{2} + 9} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 9}$
Berührpunkt und Steigung an der Stelle 4: $f (4) = 25 = 5, f^{'} (4) = \frac{4}{5}$
In die Tangentengleichung $t (x) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ einsetzen:t(x)=45(x−4)+5=0.8x+1.8

$f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 9}$ , $f^{'} (4) = \frac{4}{5}$ und die Tangente ist t(x)=0.8x+1.8.

Beispiel 4Tee kühlt ab

Eine Jugendliche sitzt in einer gemütlichen Berghütte am Fenster und hält eine dampfende Tasse Tee in den Händen, draussen sieht man Berge.

Lara holt sich in einer Berghütte am Pilatus einen heissen Pfefferminztee. In einem einfachen Modell hat er nach t Minuten die Temperatur $T (t) = 20 + 70 e^{- 0.1 t}$ in °C. Wie schnell kühlt der Tee am Anfang ab, und wie schnell nach 10 Minuten?

Graph der Temperatur T(t) = 20 + 70·e^(−0.1t) in den ersten 40 Minuten. Der Tee startet bei 90 °C, kühlt zuerst schnell ab und nähert sich dann langsam der Raumtemperatur von 20 °C.

Lösung Schritt für Schritt

Die Zahl 20 fällt beim Ableiten weg. Für $e^{- 0.1 t}$ brauchst du die Kettenregel mit der inneren Ableitung −0.1: $T^{'} (t) = 70 e^{- 0.1 t} \cdot (- 0.1) = - 7 e^{- 0.1 t}$
Am Anfang ist t=0 und e⁰=1: $T^{'} (0) = - 7$
Nach 10 Minuten ist $e^{- 1} \approx 0.368$ : $T^{'} (10) = - 7 e^{- 1} \approx - 2.6$
Das Minus heisst: Die Temperatur sinkt. Je kleiner der Unterschied zur Raumtemperatur, desto langsamer kühlt der Tee ab.

Am Anfang ist $T^{'} (0) = - 7$ : Der Tee kühlt um 7 °C pro Minute ab. Nach 10 Minuten sind es nur noch etwa 2.6 °C pro Minute.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Leite f(x)=(2x+1)³ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 6 (2 x + 1)^{2}$ , $f^{'} (0) = 6$
Graph von f(x) = (2x + 1)³. Im Punkt (0 | 1) steigt er steil, mit der Steigung f'(0) = 6.
1. Innen v(x)=2x+1, $v^{'} (x) = 2$ . Aussen z³, Ableitung 3z².
2. $f^{'} (x) = 3 (2 x + 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$ .
3. $f^{'} (0) = 6 \cdot 1^{2} = 6$ .
2
Leite f(x)=(5−x)² ab und berechne $f^{'} (3)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - 2 (5 - x)$ , $f^{'} (3) = - 4$
Graph von f(x) = (5 − x)², eine Parabel mit dem Scheitel bei x = 5. Im Punkt (3 | 4) fällt sie mit der Steigung −4.
1. Innen v(x)=5−x, $v^{'} (x) = - 1$ .
2. $f^{'} (x) = 2 (5 - x) \cdot (- 1) = - 2 (5 - x)$ .
3. $f^{'} (3) = - 2 \cdot 2 = - 4$ .
3
Leite $f (x) = e^{3 x}$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 3 e^{3 x}$ , $f^{'} (0) = 3$
Graph von f(x) = e^(3x) mit der Tangente y = 3x + 1 im Punkt (0 | 1). Die Tangente hat die Steigung f'(0) = 3.
1. Aussen die e-Funktion, sie bleibt gleich. Innen 3x mit der Ableitung 3.
2. $f^{'} (x) = e^{3 x} \cdot 3 = 3 e^{3 x}$ .
3. $f^{'} (0) = 3 \cdot e^{0} = 3$ .
4
Leite $f (x) = sin (2 x)$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 cos (2 x)$ , $f^{'} (0) = 2$
1. Aussen der Sinus mit der Ableitung Kosinus, innen 2x mit der Ableitung 2.
2. $f^{'} (x) = cos (2 x) \cdot 2 = 2 cos (2 x)$ .
3. $f^{'} (0) = 2 cos (0) = 2$ .
5
Leite f(x)=(x²+1)² mit der Kettenregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 4 x (x^{2} + 1)$ , $f^{'} (1) = 8$
1. Innen v(x)=x²+1, $v^{'} (x) = 2 x$ .
2. $f^{'} (x) = 2 (x^{2} + 1) \cdot 2 x = 4 x (x^{2} + 1)$ .
3. $f^{'} (1) = 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$ .

6
Leite $f (x) = 2 x + 1$ ab und berechne $f^{'} (4)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ , $f^{'} (4) = \frac{1}{3}$
1. Aussen die Wurzel mit der Ableitung $\frac{1}{2 z}$ , innen 2x+1 mit der Ableitung 2.
2. $f^{'} (x) = \frac{1}{2 2 x + 1} \cdot 2 = \frac{1}{2 x + 1}$ .
3. $f^{'} (4) = \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$ .
7
Leite $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , $f^{'} (1) = 1$
1. Aussen $ln z$ mit der Ableitung 1z, innen x²+1 mit der Ableitung 2x.
2. $f^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .
3. $f^{'} (1) = \frac{2}{2} = 1$ .
8
Leite $f (x) = cos (3 x)$ ab und berechne $f^{'} (\frac{π}{6})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - 3 sin (3 x)$ , $f^{'} (\frac{π}{6}) = - 3$
1. Die Ableitung von $cos z$ ist $- sin z$ , die innere Ableitung ist 3.
2. $f^{'} (x) = - sin (3 x) \cdot 3 = - 3 sin (3 x)$ .
3. 3·π6=π2 und $sin \frac{π}{2} = 1$ , also $f^{'} (\frac{π}{6}) = - 3$ .
9
Leite f(x)=1(2x−1)² mit der Kettenregel ab und berechne $f^{'} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = - \frac{4}{( 2 x - 1 ) ^{3}}$ , $f^{'} (1) = - 4$
1. Als Potenz schreiben: $f (x) = (2 x - 1)^{- 2}$ .
2. $f^{'} (x) = - 2 (2 x - 1)^{- 3} \cdot 2 = - \frac{4}{( 2 x - 1 ) ^{3}}$ .
3. $f^{'} (1) = - \frac{4}{1 ^{3}} = - 4$ .
10
Leite $f (x) = e^{x^{2} - 4 x}$ ab und bestimme, wo der Graph eine waagrechte Tangente hat.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = (2 x - 4) e^{x^{2} - 4 x}$ , waagrechte Tangente bei x=2
1. Innen x²−4x mit der Ableitung 2x−4.
2. $f^{'} (x) = e^{x^{2} - 4 x} \cdot (2 x - 4)$ .
3. $e^{x^{2} - 4 x}$ ist nie 0, also 2x−4=0 und x=2.

11
Leite $f (x) = sin^{2} (x)$ ab und berechne $f^{'} (\frac{π}{4})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 sin (x) cos (x)$ , $f^{'} (\frac{π}{4}) = 1$
1. $sin^{2} (x) = (sin x)^{2}$ : aussen das Quadrat, innen $sin x$ mit der Ableitung $cos x$ .
2. $f^{'} (x) = 2 sin (x) \cdot cos (x)$ .
3. $sin \frac{π}{4} \cdot cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$ , also $f^{'} (\frac{π}{4}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .
12
Leite $f (x) = x e^{2 x}$ ab und bestimme, wo der Graph eine waagrechte Tangente hat.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = e^{2 x} (1 + 2 x)$ , waagrechte Tangente bei x=−12
1. Produktregel, für $e^{2 x}$ dazu die Kettenregel: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
2. $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x)$ .
3. 1+2x=0 ergibt x=−12.
13
Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)=(x²−3)³ an der Stelle $x_{0} = 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (2) = 12$ , Tangente t(x)=12x−23
1. f(2)=1³=1, der Berührpunkt ist (2|1).
2. $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - 3)^{2} \cdot 2 x = 6 x (x^{2} - 3)^{2}$ , also $f^{'} (2) = 12 \cdot 1 = 12$ .
3. t(x)=12(x−2)+1=12x−23.
14
Leite $f (x) = e^{s i n (2 x)}$ ab und berechne $f^{'} (0)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{'} (x) = 2 cos (2 x) e^{s i n (2 x)}$ , $f^{'} (0) = 2$
1. Drei Schichten: e-Funktion, Sinus und 2x.
2. $f^{'} (x) = e^{s i n (2 x)} \cdot cos (2 x) \cdot 2$ .
3. $f^{'} (0) = e^{0} \cdot cos 0 \cdot 2 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ .

Vergisst du immer wieder die innere Ableitung oder steht eine Prüfung in Analysis an? Eine Lehrperson übt die Kettenregel mit dir, bis du innen und aussen sicher erkennst. Nachhilfe in Mathematik am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Kettenregel

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Ableitung oder den richtigen Wert. Stufe 1 übt innere und äussere Funktion und Potenzen von Klammern, Stufe 2 e-Funktion, Sinus, Wurzel und Logarithmus, Stufe 3 Werte, Tangenten und mehrfache Verkettungen.

Was ist die Ableitung von f(x) = (x² + 1)²?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium im 2. oder 3. Jahr, nach den Grundregeln des Ableitens und meist zusammen mit Produkt- und Quotientenregel. Danach brauchst du sie in jeder Kurvendiskussion mit e-Funktion, Wurzel oder Sinus und später beim Integrieren mit Substitution.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann brauche ich die Kettenregel?

Immer, wenn in einer Funktion ein Term mit x steckt, auf den noch eine andere Funktion angewendet wird, etwa (2x+1)⁵, $e^{- x^{2}}$ , $sin (3 x)$ oder $x^{2} + 1$ . Steht nur x allein drin, wie bei $e^{x}$ oder $sin x$ , brauchst du sie nicht.

Was ist die innere und was die äussere Ableitung?

Die innere Ableitung ist die Ableitung der inneren Funktion, bei (3x+1)⁴ also 3. Die äussere Ableitung ist die Ableitung der äusseren Funktion, wobei die innere Funktion unverändert drin bleibt, hier 4(3x+1)³. Die Kettenregel multipliziert die beiden.

Wie leite ich e hoch 2x ab?

Mit der Kettenregel: Die e-Funktion bleibt gleich, dazu kommt die innere Ableitung 2. Also ist $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ . Allgemein gilt $(e^{a x})^{'} = a e^{a x}$ .

In welcher Klasse lernt man die Kettenregel?

Am Gymnasium, meist im 2. oder 3. Jahr, zusammen mit Produkt- und Quotientenregel. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor.