Integration durch Substitution

Bei der Integration durch Substitution ersetzt du die innere Funktion durch eine neue Variable u. So wird aus einem verketteten Integranden ein einfaches Integral; die Methode ist die Kettenregel rückwärts.

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4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn
Gymnasium, Studienbeginn

Eine junge Frau sitzt in einer hellen Schulbibliothek und tauscht einen Schlüssel gegen einen anderen. Draussen liegen ein See und Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Integration durch ist die rückwärts. Du ersetzt die g(x) durch eine neue Variable u und löst ein einfacheres . Am Schluss setzt du g(x) wieder ein oder rechnest mit neuen Grenzen.

Die Idee: Kettenregel rückwärts

Ist F eine von f, dann gilt nach der Kettenregel:

(F (g (x)))^{'} = f (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Liest du diese Gleichung rückwärts, hast du die Substitutionsregel:

\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C

MerkeSteht im eine und als Faktor die ihrer inneren Funktion, hilft die Substitution.

Das Verfahren in vier Schritten

Wähle u=g(x), meist die innere Funktion.
Leite ab: $\frac{d u}{d x} = g^{'} (x)$ , also $d x = \frac{d u}{g ^{'} ( x )}$ .
Setze ein. Danach darf kein x mehr stehen. Integriere nach u.
Ersetze u wieder durch g(x).

Beispiel: Bei $\int 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ ist u=x²+1 und dx=du2x. Das 2x kürzt sich weg:

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4} + C = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} + C

MerkeNach dem Einsetzen kommt nur noch u vor. Bleibt ein x stehen, passt die Substitution nicht.

Lineare innere Funktion

Ist die innere Funktion linear, also u=ax+b, dann ist dx=dua. Du integrierst die und teilst durch a:

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C

So ist $\int cos (2 x) d x = \frac{1}{2} sin (2 x) + C$ und $\int e^{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$ .

MerkeBei linearer innerer Funktion teilst du durch die innere Ableitung a.

Graph von f(x) = cos(2x) und der Stammfunktion F(x) = ½ · sin(2x): Wo f die x-Achse von oben nach unten schneidet, bei x = π/4, hat F den Hochpunkt (π/4 | 0.5).

Konstante Faktoren ausgleichen

Die Ableitung der inneren Funktion muss nur bis auf einen Zahlenfaktor dastehen. Bei $\int x e^{x^{2}} d x$ ist u=x² und dx=du2x. Das x kürzt sich, die 12 bleibt als Zahl stehen:

\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

MerkeEin fehlender Zahlenfaktor lässt sich ausgleichen, ein fehlender Faktor mit x nicht.

Bestimmte Integrale: neue Grenzen

Beim bestimmten Integral substituierst du auch die Grenzen: x=a wird zu u=g(a), x=b zu u=g(b). Dann musst du nicht zurück zu x.

\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

Die untere Grenze 0 wird zu 0²+1=1, die obere 1 zu 1²+1=2.

MerkeNeue Variable, neue Grenzen. Oder zuerst zurück zu x, dann die alten Grenzen.

Graph von f(x) = 2x · (x² + 1)³ von 0 bis 1: Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist 15/4, also 3.75.

Sonderfall: Ableitung im Zähler

Steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, gibt die Substitution u=g(x) das Integral $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$ . Daraus folgt die Regel

\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = ln ∣ g (x) ∣ + C

Beispiel: $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C$ . Die Betragsstriche fallen weg, weil x²+1 immer positiv ist.

MerkeZähler gleich Ableitung des Nenners: Das Ergebnis ist $ln ∣ Nenner ∣ + C$ .

Integration durch Substitution (substitution integration): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Steht im Integranden eine verkettete Funktion und als Faktor die Ableitung ihrer inneren Funktion, hilft die Substitution. Beispiel: (3x - 2)^4 dx = 1/15 (3x - 2)^5 + C. — Merkblatt Integration durch Substitution: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $\int (3 x + 2)^{4} d x = \frac{( 3 x + 2 ) ^{5}}{5} + C$ , also dx nicht ersetzen.
✓Mit u=3x+2 ist dx=du3. Richtig ist (3x+2)⁵15+C. Probe: Die Ableitung von (3x+2)⁵5 ist 3 (3x+2)⁴, also dreimal zu gross.
✕ $\int e^{x^{2}} d x$ mit u=x²: $\int e^{u} \frac{d u}{2 x}$ , und dann das x einfach als Konstante behandeln.
✓Bleibt nach dem Einsetzen ein x stehen, funktioniert die Substitution nicht. $e^{x^{2}}$ hat gar keine Stammfunktion aus den Schulfunktionen. Bei $\int x e^{x^{2}} d x$ klappt es, weil sich das x wegkürzt.
✕ $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = [\frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ , also mit u rechnen und die alten Grenzen einsetzen.
✓Die Grenzen gehören zu x. Für u sind es 1 und 2: $[\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{15}{4}$ .
✕ $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{u} + C$ als Schlussresultat.
✓Beim gehört u nicht ins Ergebnis. Nach der : $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Substitution: Ein Teilterm wird durch eine neue Variable ersetzt. Beim Integrieren ersetzt du meist die innere Funktion g(x) durch u.
Rücksubstitution: Am Schluss wird die neue Variable wieder durch den ursprünglichen Term ersetzt, damit das Ergebnis in x dasteht.
innere Funktion: Bei einer verketteten Funktion f(g(x)) der Teil g(x), den du zuerst rechnest. Er wird zu u.
Kettenregel: Ableitungsregel für verkettete Funktionen: äussere Ableitung mal innere Ableitung. Die Substitution ist diese Regel rückwärts.
Stammfunktion: Eine Funktion F mit $F^{'} (x) = f (x)$ . Mit jeder Stammfunktion machst du die Probe: Ableiten muss den Integranden ergeben.
Integrationsgrenze: Die Zahlen a und b beim bestimmten Integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Bei der Substitution bekommen sie neue Werte g(a) und g(b).

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kettenregel Stammfunktion und Integrationsregeln Integral und Integralrechnung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Lineare innere Funktion

Berechne $\int (3 x - 2)^{4} d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Die innere Funktion ist 3x−2. Setze sie gleich u und leite ab:u=3x−2, dudx=3, dx=du3
Einsetzen. Es kommt nur noch u vor: $\int (3 x - 2)^{4} d x = \int u^{4} \cdot \frac{d u}{3} = \frac{1}{3} \int u^{4} d u$
Integrieren:=13·u⁵5+C=u⁵15+C
Rücksubstitution. Probe: Die Ableitung von 115(3x−2)⁵ ist 515(3x−2)⁴·3=(3x−2)⁴.=115 (3x−2)⁵+C

$\int (3 x - 2)^{4} d x = \frac{1}{15} (3 x - 2)^{5} + C$

Beispiel 2Innere Ableitung als Faktor

Berechne $\int x^{2} e^{x^{3}} d x$ .

Lösung Schritt für Schritt

Im Exponenten steht x³, seine Ableitung 3x² steht bis auf die Zahl 3 als Faktor davor. Also:u=x³, dudx=3x², dx=du3x²
Einsetzen. Das x² kürzt sich weg: $\int x^{2} e^{u} \cdot \frac{d u}{3 x ^{2}} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$
Integrieren und zurück zu x: $= \frac{1}{3} e^{u} + C = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$
Probe mit der Kettenregel: $(\frac{1}{3} e^{x^{3}})^{'} = \frac{1}{3} e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} = x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Beispiel 3Bestimmtes Integral mit neuen Grenzen

Berechne $\int_{0}^{π /2} sin x \cdot cos^{2} x d x$ .

Graph von f(x) = sin x · cos² x von 0 bis π/2: Die Kurve liegt über der x-Achse, die Fläche darunter ist genau 1/3.

Lösung Schritt für Schritt

Wähle $u = cos x$ . Dann ist $\frac{d u}{d x} = - sin x$ , also $d x = \frac{d u}{- sin x}$ . $u = cos x, d x = - \frac{d u}{sin x}$
Neue Grenzen: x=0 gibt $u = cos 0 = 1$ , x=π2 gibt $u = cos \frac{π}{2} = 0$ . $\int_{0}^{π /2} sin x \cdot cos^{2} x d x = \int_{1}^{0} sin x \cdot u^{2} \cdot (- \frac{d u}{sin x}) = - \int_{1}^{0} u^{2} d u$
Vertauschst du die Grenzen, wechselt das Vorzeichen: $- \int_{1}^{0} u^{2} d u = \int_{0}^{1} u^{2} d u$
Ausrechnen: $[\frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{π /2} sin x \cdot cos^{2} x d x = \frac{1}{3}$

Beispiel 4Speicherteich für die Beschneiung

Ein Jugendlicher steht im Herbst am Ufer eines Speicherteichs hoch in den Bergen. Ein Rohr führt Wasser hinein, dahinter Lärchen und Gipfel.

Ein Speicherteich in einem Skigebiet in Graubünden wird im Herbst mit Bachwasser gefüllt. Die Pumpe läuft langsam an, der Zufluss ist $z (t) = \frac{6 t}{t ^{2} + 16}$ in hundert m³ pro Stunde, t in Stunden nach dem Start. Wie viel Wasser fliesst in den ersten 3 Stunden in den Teich?

Lösung Schritt für Schritt

Die Wassermenge ist das Integral des Zuflusses: $V = \int_{0}^{3} \frac{6 t}{t ^{2} + 16} d t$
Wähle u=t²+16. Dann ist du=2t dt, also 6t dt=3 du.u=t²+16, 6t dt=3 du
Neue Grenzen: t=0 gibt u=16, t=3 gibt u=9+16=25. $V = \int_{16}^{25} \frac{3}{u} d u = \int_{16}^{25} 3 u^{- 1/2} d u$
Eine Stammfunktion von $3 u^{- 1/2}$ ist $6 u$ : $V = [6 u]_{16}^{25} = 6 \cdot 5 - 6 \cdot 4 = 6$

In den ersten 3 Stunden fliessen 6 hundert m³ in den Teich, also 600 m³.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Berechne $\int (2 x + 5)^{3} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 18 (2x+5)⁴+C
Graph von f und der Stammfunktion F: Wo f die x-Achse schneidet, bei x = −2.5, hat F den Tiefpunkt (−2.5 | 0).
1. u=2x+5, dx=du2
2. $\frac{1}{2} \int u^{3} d u = \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{4}}{4} + C = \frac{u ^{4}}{8} + C$
3. Rücksubstitution: 18 (2x+5)⁴+C
2
Berechne $\int e^{4 x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{4} e^{4 x} + C$
Graph von f(x) = e^(4x) und F(x) = ¼ · e^(4x): F ist überall ein Viertel von f, bei x = 0 ist f(0) = 1 und F(0) = 0.25.
1. u=4x, dx=du4
2. $\frac{1}{4} \int e^{u} d u = \frac{1}{4} e^{u} + C$
3. Rücksubstitution: $\frac{1}{4} e^{4 x} + C$
3
Berechne $\int cos (6 x) d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{6} sin (6 x) + C$
Graph von f(x) = cos(6x) und F(x) = ⅙ · sin(6x): Wo f bei x = π/12 die x-Achse von oben nach unten schneidet, hat F den Hochpunkt (π/12 | 1/6).
1. u=6x, dx=du6
2. $\frac{1}{6} \int cos u d u = \frac{1}{6} sin u + C$
3. Rücksubstitution: $\frac{1}{6} sin (6 x) + C$
4
Berechne $\int 2 x (x^{2} - 3)^{4} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 15 (x²−3)⁵+C
1. u=x²−3, dx=du2x
2. Das 2x kürzt sich: $\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5} + C$
3. Rücksubstitution: 15 (x²−3)⁵+C
5
Berechne $\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{2} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 133
1. u=2x+1, dx=du2, neue Grenzen 1 und 3
2. $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{2} d u = [\frac{u ^{3}}{6}]_{1}^{3}$
3. 276−16=266=133

6
Berechne $\int x^{2} (x^{3} + 2)^{4} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 115 (x³+2)⁵+C
1. u=x³+2, dx=du3x²
2. Das x² kürzt sich: $\frac{1}{3} \int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{15} + C$
3. Rücksubstitution: 115 (x³+2)⁵+C
7
Berechne $\int x e^{- x^{2}} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
1. u=−x², dudx=−2x, dx=−du2x
2. $- \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{u} + C$
3. Rücksubstitution: $- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
8
Berechne $\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x$ für x>−1.
Lösung zeigen
Ergebnis: $ln (x^{3} + 1) + C$
1. Im Zähler steht die Ableitung des Nenners: $(x^{3} + 1)^{'} = 3 x^{2}$
2. u=x³+1: $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$
3. Für x>−1 ist x³+1>0: $ln (x^{3} + 1) + C$
9
Berechne $\int cos x \cdot sin^{3} x d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{1}{4} sin^{4} x + C$
1. $u = sin x$ , $d x = \frac{d u}{cos x}$
2. Das $cos x$ kürzt sich: $\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4} + C$
3. Rücksubstitution: $\frac{1}{4} sin^{4} x + C$
10
Berechne $\int_{0}^{1} 6 x (x^{2} + 1)^{2} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 7
1. u=x²+1, 6x dx=3 du, neue Grenzen 1 und 2
2. $\int_{1}^{2} 3 u^{2} d u = [u^{3}]_{1}^{2}$
3. 8−1=7

11
Berechne $\int_{1}^{e^{2}} \frac{ln x}{x} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 2
1. $u = ln x$ , dudx=1x, also dxx=du
2. Neue Grenzen: $ln 1 = 0$ und $ln e^{2} = 2$
3. $\int_{0}^{2} u d u = [\frac{u ^{2}}{2}]_{0}^{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$
12
Berechne $\int \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} d x$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −14·1(x²+1)²+C
1. u=x²+1, x dx=du2
2. $\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u = \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{- 2}}{- 2} + C = - \frac{1}{4 u ^{2}} + C$
3. Rücksubstitution: −14·1(x²+1)²+C
13
Berechne $\int_{0}^{4} x 2 x + 1 d x$ . Tipp: Drücke nach der Substitution auch x durch u aus.
Lösung zeigen
Ergebnis: 29815≈19.87
1. u=2x+1, also x=u−12 und dx=du2; neue Grenzen 1 und 9
2. $\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2} u \frac{d u}{2} = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. $\frac{1}{4} [\frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}]_{1}^{9} = \frac{1}{4} ((\frac{486}{5} - 18) - (\frac{2}{5} - \frac{2}{3}))$
4. =14·119215=29815
14
Eine Luftseilbahn im Berner Oberland fährt an. Ihre Geschwindigkeit ist $v (t) = \frac{t}{5} t^{2} + 9$ in m/s, t in Sekunden. Welche Strecke legt die Kabine in den ersten 4 Sekunden zurück?
Lösung zeigen
Ergebnis: 9815≈6.53 m
1. Strecke $= \int_{0}^{4} \frac{t}{5} t^{2} + 9 d t$ ; u=t²+9, t dt=du2, neue Grenzen 9 und 25
2. $\frac{1}{10} \int_{9}^{25} u d u = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} [u^{3/2}]_{9}^{25}$
3. 115 (125−27)=9815≈6.53 m

Weisst du oft nicht, welches u du wählen sollst, oder gehen dir die Grenzen verloren? Eine Lehrperson übt die Substitution mit dir an deinen eigenen Aufgaben. Mathematik-Nachhilfe am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Integration durch Substitution

So funktioniert der Trainer

Wähle die passende Substitution, bilde Stammfunktionen und rechne bestimmte Integrale mit neuen Grenzen. Jede Runde mischt neue Fragen, die Erklärung zeigt dir den Weg.

Du substituierst u = x³ + 1. Was ersetzt dx?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn
Stufe: Gymnasium, Studienbeginn
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im letzten Jahr, nach Stammfunktion und Integral. Oft zusammen mit der partiellen Integration. Vertieft im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik. An Hochschule und Fachhochschule gehört sie zum ersten Semester.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie erkenne ich, dass ich substituieren muss?

Schau, ob eine verkettete Funktion vorkommt und daneben die Ableitung ihrer inneren Funktion steht, höchstens mit einem anderen Zahlenfaktor. Typisch sind $2 x \cdot e^{x^{2}}$ , $cos x \cdot sin^{3} x$ oder ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist.

Substitution oder partielle Integration: Was nehme ich?

Steht neben der verketteten Funktion ihre innere Ableitung, nimmst du die Substitution. Sind die Faktoren voneinander unabhängig, wie bei $x \cdot e^{x}$ , passt die partielle Integration. Manchmal braucht es beide nacheinander.

Muss ich beim bestimmten Integral zurücksubstituieren?

Nein, wenn du die Grenzen mitsubstituierst. Dann rechnest du bis zum Schluss mit u und den neuen Grenzen. Alternativ setzt du zuerst zurück und nimmst die alten Grenzen; beides gibt dasselbe.

Wann kommt die Integration durch Substitution dran?

Am Gymnasium meist im letzten Jahr, nach Stammfunktion und Integral. Wie weit sie geht, hängt von der Schule und vom Schwerpunktfach ab. Wer Naturwissenschaften, Technik oder Wirtschaft studiert, braucht sie im ersten Semester.

Integration durch Substitution

Erklärung

Die Idee: Kettenregel rückwärts

Das Verfahren in vier Schritten

Lineare innere Funktion

Konstante Faktoren ausgleichen

Bestimmte Integrale: neue Grenzen

Sonderfall: Ableitung im Zähler

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Lineare innere Funktion

Beispiel 2Innere Ableitung als Faktor

Beispiel 3Bestimmtes Integral mit neuen Grenzen

Beispiel 4Speicherteich für die Beschneiung

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Häufige Fragen

innere Funktion

Substitution

Kettenregel

Integral

Stammfunktion

verkettete Funktion

Ableitung

Integrand

äussere Funktion

unbestimmtes Integral

Rücksubstitution