Kurvendiskussion: Extrempunkte und Wendepunkte

Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion mit ihren Ableitungen: Symmetrie, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte. Mit diesen Punkten zeichnest du den Graphen genau und löst Extremwertaufgaben.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche stehen auf einem Hügelkamm im Jura und zeigen auf eine Hügelkuppe und eine Talmulde in der welligen Landschaft.

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Das musst du wissen

Erklärung

Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du den Graphen einer Funktion mit ihren . Wo $f^{'} (x) = 0$ ist, kann ein Extrempunkt liegen, wo $f^{''} (x) = 0$ ist, ein Wendepunkt. Am Schluss zeichnest du mit diesen Punkten den Graphen.

Der Ablauf in sechs Schritten

Zuerst die Grundlagen: 1. bestimmen. 2. Symmetrie prüfen. 3. und f(0) berechnen.

Dann mit den Ableitungen: 4. Extrempunkte: $f^{'} (x) = 0$ lösen, mit $f^{''}$ prüfen. 5. Wendepunkte: $f^{''} (x) = 0$ lösen, mit $f^{'''}$ prüfen. 6. Verhalten für $x \to \pm \infty$ , dann die Skizze.

Für grosse |x| zählt bei nur das Glied mit der höchsten Hochzahl (Exponent).

Merke $f^{'}$ findet die Extrempunkte, $f^{''}$ die Wendepunkte.

Symmetrie: gerade und ungerade Funktionen

f(−x)=f(x): gerade Funktion, der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
f(−x)=−f(x): ungerade Funktion, der Graph ist symmetrisch zum Ursprung (punktsymmetrisch).

Bei Polynomen entscheiden die Hochzahlen. Nur gerade Hochzahlen: gerade. Eine Zahl ohne x zählt als x⁰. Nur ungerade Hochzahlen: ungerade. Gemischt: keine dieser Symmetrien.

MerkeNur gerade Hochzahlen: symmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Hochzahlen: symmetrisch zum Ursprung.

Der Graph von f(x) = x⁴ − 2x² + 1 ist symmetrisch zur y-Achse. Der Graph von g(x) = x³ − 4x ist symmetrisch zum Ursprung (0 | 0).

Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

In einem Hochpunkt wechselt der Graph vom Steigen zum Fallen, in einem Tiefpunkt umgekehrt. Beide sind Extrempunkte. Dort ist die waagrecht: $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Die zweite Ableitung entscheidet: $f^{''} (x_{0}) < 0$ heisst Hochpunkt, $f^{''} (x_{0}) > 0$ Tiefpunkt. Ist $f^{''} (x_{0}) = 0$ , prüfst du, ob $f^{'}$ das Vorzeichen wechselt.

Merke $f^{'} (x_{0}) = 0$ und $f^{''} (x_{0}) < 0$ : Hochpunkt. $f^{'} (x_{0}) = 0$ und $f^{''} (x_{0}) > 0$ : Tiefpunkt.

Graph von f(x) = x³ − 6x² + 9x und seiner Ableitung f'(x) = 3x² − 12x + 9. Wo f' null ist, bei x = 1 und x = 3, liegen der Hochpunkt H(1 | 4) und der Tiefpunkt T(3 | 0).

Wendepunkte und Krümmung

$f^{''} (x) > 0$ : Der Graph macht eine Linkskurve.
$f^{''} (x) < 0$ : Der Graph macht eine Rechtskurve.

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung. Meist weist du ihn mit $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ nach, sonst mit dem Vorzeichenwechsel von $f^{''}$ .

Im Wendepunkt ist die in seiner Umgebung am grössten oder am kleinsten ( $f^{'}$ hat dort ein Extremum). Die Tangente dort heisst .

MerkeWendepunkt: $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ reichen als Nachweis.

Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Nachweis meist mit $f^{'} (x_{0}) = 0$ , $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ . Der Graph wird kurz flach und läuft dann in derselben Richtung weiter, wie bei f(x)=x³ im Punkt (0|0).

Vorsicht: Bei g(x)=x⁴ und h(x)=x⁵ sind in 0 die ersten drei Ableitungen null. g hat dort einen Tiefpunkt, h einen Sattelpunkt. Es entscheidet der Vorzeichenwechsel von $g^{'}$ bzw. $h^{''}$ .

MerkeSattelpunkt: $f^{'} (x_{0}) = 0$ , $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ reichen als Nachweis.

f(x) = x³ hat im Punkt (0 | 0) einen Sattelpunkt, g(x) = x⁴ dort einen Tiefpunkt. Bei beiden Graphen ist die Tangente in (0 | 0) waagrecht.

Extremwertaufgaben

Bei einer Extremwertaufgabe suchst du etwa die grösste Fläche oder die kleinsten Kosten. Schreib die gesuchte Grösse als Term auf.

Mit der Nebenbedingung ersetzt du eine Variable. Das gibt die Zielfunktion.

Dann ableiten, null setzen und mit der zweiten Ableitung prüfen. Zum Schluss die Ränder des erlaubten Bereichs vergleichen.

MerkeZielfunktion aufstellen, ableiten, null setzen, prüfen, Ränder vergleichen.

Kurvendiskussion: Merkblatt mit Regel und Beispiel. f' findet die Extrempunkte, f'' die Wendepunkte. Nur gerade Hochzahlen: symmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Hochzahlen: symmetrisch zum Ursprung. Beispiel: Hochpunkt H(-2 | 16) und Tiefpunkt T(2 | -16). — Merkblatt Kurvendiskussion: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $f^{'} (x_{0}) = 0$ , also liegt bei $x_{0}$ ein Hoch- oder Tiefpunkt.
✓Eine waagrechte Tangente kann auch ein Sattelpunkt sein, etwa bei f(x)=x³ an der Stelle 0. Prüfe mit $f^{''}$ oder mit dem Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ .
✕ $f^{''} (x_{0}) = 0$ , also liegt bei $x_{0}$ ein Wendepunkt.
✓Bei f(x)=x⁴ ist $f^{''} (0) = 0$ , aber dort liegt ein Tiefpunkt. Für einen Wendepunkt braucht es zusätzlich $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ oder einen Vorzeichenwechsel von $f^{''}$ .
✕Den y-Wert des Extrempunkts in $f^{'}$ ausrechnen: $f^{'} (x_{0}) = 0$ , also $H (x_{0} ∣ 0)$ .
✓Den y-Wert berechnest du immer mit der Funktion selbst: $H (x_{0} ∣ f (x_{0}))$ .
✕f(x)=x³+1 ist ungerade, weil x³ ungerade ist.
✓Die Zahl 1 zählt als x⁰, also gerade Hochzahl. f(−x)=−x³+1 ist weder f(x) noch −f(x): Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.

Begriffe zum Nachschlagen

Extrempunkt (Hochpunkt, Tiefpunkt): Ein Punkt, in dem der Graph in seiner Umgebung am höchsten (Hochpunkt) oder am tiefsten (Tiefpunkt) liegt. Dort ist $f^{'} (x_{0}) = 0$ .
Wendepunkt: Der Punkt, in dem der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve wechselt oder umgekehrt. Meist prüfst du das mit $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ .
Sattelpunkt: Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Meist prüfst du das mit $f^{'} (x_{0}) = 0$ , $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ .
gerade Funktion: Eine Funktion mit f(−x)=f(x). Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
ungerade Funktion: Eine Funktion mit f(−x)=−f(x). Ihr Graph ist symmetrisch zum Ursprung.
Krümmung (Linkskurve, Rechtskurve): Wie sich der Graph biegt: Linkskurve, wo $f^{''} (x) > 0$ ist, Rechtskurve, wo $f^{''} (x) < 0$ ist.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ableitung und Ableitungsregeln Quadratische Gleichungen Tangente und Normale

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Hoch- und Tiefpunkt bestimmen

Bestimme die Extrempunkte von f(x)=x³−12x.

Lösung Schritt für Schritt

Die ersten zwei Ableitungen bilden: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 f^{''} (x) = 6 x$
Waagrechte Tangente: $f^{'} (x) = 0$ lösen. $3 x^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x_{1} = - 2, x_{2} = 2$
Mit der zweiten Ableitung prüfen: $f^{''} (- 2) = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt f^{''} (2) = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt$
Die y-Werte mit f berechnen:f(−2)=−8+24=16 f(2)=8−24=−16

Hochpunkt H(−2|16) und Tiefpunkt T(2|−16).

Beispiel 2Eine vollständige Kurvendiskussion

Diskutiere f(x)=x³−6x²+9x: Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkt und Verhalten im Unendlichen.

Graph von f(x) = x³ − 6x² + 9x mit Hochpunkt H(1 | 4), Wendepunkt W(2 | 2) und Tiefpunkt T(3 | 0).

Lösung Schritt für Schritt

Ein Polynom ist für alle x definiert. Gerade und ungerade Hochzahlen kommen gemischt vor, also ist der Graph weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. $D = R$
Nullstellen: x ausklammern, dann die zweite anwenden. $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = x (x^{2} - 6 x + 9) = x (x - 3)^{2} \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 3$
Die drei Ableitungen bilden: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 f^{''} (x) = 6 x - 12 f^{'''} (x) = 6$
Extrempunkte: 3x²−12x+9=0 durch 3 teilen gibt (x−1)(x−3)=0. Dann prüfen und einsetzen: $f^{''} (1) = - 6 < 0 : H (1 ∣ 4) f^{''} (3) = 6 > 0 : T (3 ∣ 0)$
Wendepunkt: 6x−12=0 gibt x=2, und $f^{'''} (2) = 6 \neq = 0$ .f(2)=8−24+18=2 ⇒ W(2|2)
Für grosse |x| bestimmt das Glied x³ den Verlauf: $x \to \infty : f (x) \to \infty x \to - \infty : f (x) \to - \infty$

Nullstellen 0 und 3, Hochpunkt H(1|4), Tiefpunkt T(3|0) und Wendepunkt W(2|2). Bei x=3 berührt der Graph die x-Achse, ohne sie zu schneiden.

Beispiel 3Sattelpunkt erkennen

Untersuche f(x)=x⁴−4x³ auf Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte.

Graph von f(x) = x⁴ − 4x³ mit Sattelpunkt S(0 | 0), Wendepunkt W(2 | −16) und Tiefpunkt T(3 | −27).

Lösung Schritt für Schritt

Die drei Ableitungen bilden: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x f^{'''} (x) = 24 x - 24$
$f^{'} (x) = 0$ lösen, dazu 4x² ausklammern: $4 x^{2} (x - 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 3$
An der Stelle 3 ist $f^{''}$ positiv, also liegt dort ein Tiefpunkt: $f^{''} (3) = 108 - 72 = 36 > 0 f (3) = 81 - 108 = - 27$
An der Stelle 0 ist $f^{''} (0) = 0$ , die zweite Ableitung entscheidet nichts. Aber $f^{'''} (0) = - 24 \neq = 0$ : ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.S(0|0)
Weitere Wendepunkte: $f^{''} (x) = 12 x (x - 2) = 0$ gibt auch x=2, mit $f^{'''} (2) = 24 \neq = 0$ .f(2)=16−32=−16 ⇒ W(2|−16)

Sattelpunkt S(0|0), Tiefpunkt T(3|−27) und Wendepunkt W(2|−16). Einen Hochpunkt hat der Graph nicht.

Beispiel 4Die grösste Ziegenweide

Ein Bauer und seine Tochter bauen im Emmental einen Holzzaun für eine Ziegenweide, die an einen kleinen Bach grenzt.

Ein Bauer im Emmental will an einem Bach eine rechteckige Weide für seine Ziegen einzäunen. Er hat 120 m Zaun. Am Bach braucht es keinen Zaun. Wie lang und wie breit muss die Weide sein, damit sie möglichst gross wird?

Lösung Schritt für Schritt

Die zwei Seiten quer zum Bach sind je x Meter lang. Für die Seite parallel zum Bach bleiben 120−2x Meter. Das ist die Nebenbedingung, daraus folgt die Zielfunktion:A(x)=x·(120−2x)=120x−2x²
Erlaubt ist 0<x<60. Ableiten und null setzen: $A^{'} (x) = 120 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 30$
Prüfen: $A^{''} (x) = - 4 < 0$ , also ein Hochpunkt. An den Rändern x=0 und x=60 ist die Fläche 0.120−2·30=60 A(30)=30·60=1800

Die Weide wird 30 m breit und 60 m lang, mit der langen Seite am Bach. Sie ist dann 1'800 m² gross.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme den Extrempunkt von f(x)=x²−4x+1. Ist es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: Tiefpunkt T(2|−3)
Parabel f(x) = x² − 4x + 1 mit dem Tiefpunkt T(2 | −3). Dort ist die Tangente waagrecht.
1. $f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0$ gibt x=2.
2. $f^{''} (x) = 2 > 0$ , also ein Tiefpunkt.
3. f(2)=4−8+1=−3
2
Ist f(x)=x⁴−3x²+2 gerade, ungerade oder keines von beiden? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis: Gerade, der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Zum Beispiel ist f(−2)=f(2)=6.
Graph von f(x) = x⁴ − 3x² + 2. Er ist symmetrisch zur y-Achse: f(−2) und f(2) sind beide 6.
1. Nur gerade Hochzahlen: 4, 2 und die Zahl 2 als 2x⁰.
2. Also gilt f(−x)=f(x), der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
3. Probe: f(2)=16−12+2=6 und f(−2)=16−12+2=6.
3
Bestimme den Wendepunkt von f(x)=x³−3x².
Lösung zeigen
Ergebnis: W(1|−2)
Graph von f(x) = x³ − 3x² mit dem Wendepunkt W(1 | −2). Links davon macht der Graph eine Rechtskurve, rechts davon eine Linkskurve.
1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ , $f^{''} (x) = 6 x - 6$ , $f^{'''} (x) = 6$
2. 6x−6=0 gibt x=1, und $f^{'''} (1) = 6 \neq = 0$ .
3. f(1)=1−3=−2
4
An welchen Stellen hat der Graph von f(x)=x³−27x eine waagrechte Tangente?
Lösung zeigen
Ergebnis: x²=9, also bei x=−3 und x=3. Dort ist $f^{'} (x) = 0$ .
1. Waagrechte Tangente heisst $f^{'} (x) = 0$ .
2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 27 = 0$ gibt x²=9.
3. Also x=−3 und x=3.
5
Bestimme den Hochpunkt von f(x)=−x²+6x.
Lösung zeigen
Ergebnis: H(3|9)
1. $f^{'} (x) = - 2 x + 6 = 0$ gibt x=3.
2. $f^{''} (x) = - 2 < 0$ , also ein Hochpunkt.
3. f(3)=−9+18=9

6
Bestimme Hoch- und Tiefpunkt von f(x)=2x³−6x.
Lösung zeigen
Ergebnis: H(−1|4) und T(1|−4)
1. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 = 0$ gibt x=−1 und x=1.
2. $f^{''} (x) = 12 x$ : $f^{''} (- 1) = - 12 < 0$ (Hochpunkt), $f^{''} (1) = 12 > 0$ (Tiefpunkt).
3. f(−1)=−2+6=4 und f(1)=2−6=−4
7
Bestimme den Wendepunkt von f(x)=x³+3x²−1 und die Steigung des Graphen dort.
Lösung zeigen
Ergebnis: W(−1|1), Steigung $f^{'} (- 1) = - 3$
1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x$ , $f^{''} (x) = 6 x + 6$ , $f^{'''} (x) = 6$
2. 6x+6=0 gibt x=−1, und f(−1)=−1+3−1=1.
3. Steigung: $f^{'} (- 1) = 3 - 6 = - 3$
8
Zeige, dass f(x)=x⁵−2x³+x ungerade ist, und bestimme die Nullstellen.
Lösung zeigen
Ergebnis: Ungerade, der Graph ist symmetrisch zum Ursprung. Nullstellen bei x=−1, x=0 und x=1.
1. Nur ungerade Hochzahlen (5, 3 und 1), also f(−x)=−f(x).
2. x ausklammern: f(x)=x(x⁴−2x²+1)=x(x²−1)²
3. x=0 oder x²=1, also x=−1, 0 und 1. Probe: f(1)=1−2+1=0
9
Untersuche f(x)=x³−6x²+12x auf Extrempunkte.
Lösung zeigen
Ergebnis: Kein Extrempunkt: Bei x=2 liegt der Sattelpunkt S(2|8).
1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 = 3 (x - 2)^{2} = 0$ gibt nur x=2.
2. $f^{''} (x) = 6 x - 12$ , also $f^{''} (2) = 0$ . Mit $f^{'''} (2) = 6 \neq = 0$ ist es ein Sattelpunkt.
3. f(2)=8−24+24=8
10
In welchem Bereich fällt der Graph von f(x)=x³−3x?
Lösung zeigen
Ergebnis: Für −1<x<1, denn dort ist $f^{'} (x) < 0$ .
1. Der Graph fällt, wo $f^{'} (x) < 0$ ist.
2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1)$
3. x²−1<0 gilt für −1<x<1.

11
Untersuche f(x)=x⁴−8x² auf Symmetrie und Extrempunkte.
Lösung zeigen
Ergebnis: Gerade Funktion. Hochpunkt H(0|0), Tiefpunkte $T_{1} (- 2 ∣ - 16)$ und $T_{2} (2 ∣ - 16)$ .
1. Nur gerade Hochzahlen: symmetrisch zur y-Achse.
2. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x^{2} - 4) = 0$ gibt x=0, x=−2 und x=2.
3. $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 16$ : $f^{''} (0) = - 16 < 0$ und $f^{''} (\pm 2) = 32 > 0$
4. f(0)=0 und f(±2)=16−32=−16
12
Für welche Zahl a hat der Graph von f(x)=x³+ax² an der Stelle x=2 einen Wendepunkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=−6
1. $f^{''} (x) = 6 x + 2 a$
2. $f^{''} (2) = 12 + 2 a = 0$ gibt a=−6.
3. $f^{'''} (x) = 6 \neq = 0$ , also ist es wirklich ein Wendepunkt.
13
Aus einem quadratischen Karton mit 24 cm Seitenlänge schneidest du an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seite x aus und faltest die Ränder zu einer offenen Schachtel hoch. Für welches x wird das Volumen am grössten?
Lösung zeigen
Ergebnis: Für x=4 cm, das Volumen ist dann 1'024 cm³.
1. V(x)=x(24−2x)² für 0<x<12
2. Produkt- und Kettenregel: $V^{'} (x) = (24 - 2 x)^{2} - 4 x (24 - 2 x) = (24 - 2 x) (24 - 6 x)$
3. $V^{'} (x) = 0$ gibt x=4; bei x=12 wäre V=0. $V^{'}$ wechselt bei 4 von plus nach minus.
4. V(4)=4·16·16=1024
14
Bestimme die Extrempunkte und den Wendepunkt von f(x)=−x³+3x²+9x.
Lösung zeigen
Ergebnis: T(−1|−5), H(3|27) und W(1|11)
1. $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9 = - 3 (x - 3) (x + 1) = 0$ gibt x=−1 und x=3.
2. $f^{''} (x) = - 6 x + 6$ : $f^{''} (- 1) = 12 > 0$ (Tiefpunkt), $f^{''} (3) = - 12 < 0$ (Hochpunkt).
3. f(−1)=1+3−9=−5 und f(3)=−27+27+27=27
4. $f^{''} (x) = 0$ gibt x=1, $f^{'''} (x) = - 6 \neq = 0$ und f(1)=−1+3+9=11.
15
An einem Sommertag in Chur beschreibt T(t)=−0.02t³+0.3t²+12 die Temperatur in °C, t Stunden nach 6 Uhr (0≤t≤12). Wann ist es am wärmsten, und wie warm wird es?
Lösung zeigen
Ergebnis: Um 16 Uhr (t=10) mit 22 °C
1. $T^{'} (t) = - 0.06 t^{2} + 0.6 t = - 0.06 t (t - 10) = 0$ gibt t=0 und t=10.
2. $T^{''} (t) = - 0.12 t + 0.6$ , also $T^{''} (10) = - 0.6 < 0$ : ein Hochpunkt.
3. T(10)=−20+30+12=22. An den Rändern ist T(0)=12 und T(12)=20.64, also weniger.

Verlierst du in der Kurvendiskussion den Überblick, oder steht eine Analysis-Prüfung an? Eine Lehrperson geht die Schritte mit dir durch, bis du sie allein schaffst. Nachhilfe in Analysis für das Gymnasium

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Trainer: Kurvendiskussion

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort. Stufe 1 übt Bedingungen und Begriffe (Extrempunkte, Wende- und Sattelpunkte, Krümmung, Steigung, Symmetrie), Stufe 2 Symmetrie und einfache Rechnungen, Stufe 3 ganze Punkte, Sonderfälle und Extremwertaufgaben.

Welche Bedingungen zeigen sicher einen Wendepunkt an der Stelle x₀?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaStammfunktion und IntegrationsregelnEine Stammfunktion $F$ von $f$ ist eine Funktion mit $F'(x) = f(x)$, du kehrst also das Ableiten um. Mit wenigen Integrationsregeln findest du sie für Potenzen, Wurzeln, e-Funktion, Sinus und Kosinus.3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr, direkt nach den Ableitungsregeln. Die Kurvendiskussion bringt die ganze Differentialrechnung zusammen und führt zu den Extremwertaufgaben.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Meist Definitionsmenge, Symmetrie, Nullstellen und y-Achsenabschnitt, Extrempunkte, Wendepunkte, das Verhalten für sehr grosse und sehr kleine x und eine Skizze. Welche Teile verlangt sind, steht in der Aufgabe.

Wann brauche ich die dritte Ableitung?

Für den Nachweis eines Wendepunkts: Ist $f^{''} (x_{0}) = 0$ und $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ , liegt dort ein Wendepunkt. Ist auch $f^{'''} (x_{0}) = 0$ , prüfst du stattdessen, ob $f^{''}$ an der Stelle das Vorzeichen wechselt.

Was ist der Unterschied zwischen Wendepunkt und Sattelpunkt?

Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, aber nicht umgekehrt. Beim Sattelpunkt ist die Tangente zusätzlich waagrecht, es gilt also auch $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

In welcher Klasse kommt die Kurvendiskussion?

Am Gymnasium, meist im 2. oder 3. Jahr, direkt nach den Ableitungsregeln. In der Sekundarschule kommt sie nicht vor.

Kurvendiskussion: Extrempunkte und Wendepunkte

Erklärung

Der Ablauf in sechs Schritten

Symmetrie: gerade und ungerade Funktionen

Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

Wendepunkte und Krümmung

Sattelpunkt

Extremwertaufgaben

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Hoch- und Tiefpunkt bestimmen

Beispiel 2Eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiel 3Sattelpunkt erkennen

Beispiel 4Die grösste Ziegenweide

Übungen mit Lösungen

Trainer: Kurvendiskussion

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Einordnung

Häufige Fragen

Ableitung

Definitionsmenge

Nullstelle

Polynom

Tangente

Wendetangente

Steigung

binomische Formel