Arbeit: Formel, Energie und Energieerhaltung

Arbeit ist Kraft mal Weg: $W = F \cdot s$, gemessen in Joule. Durch Arbeit bekommt ein Körper Energie, etwa Lage- oder Bewegungsenergie; nach dem Energieerhaltungssatz wandelt sich Energie nur um und geht nie verloren.

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3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: NT.4.1.e

Jugendliche ziehen Schlitten einen verschneiten Hügel hinauf, ein Kind saust auf dem Schlitten hinunter.

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Das musst du wissen

Erklärung

Arbeit verrichtest du, wenn eine einen Körper ein Stück weit bewegt: W=F·s, in Joule (J). Danach steckt sie als Energie im Körper (Lage- oder Bewegungsenergie) oder wird durch Reibung zu Wärme. In Aufgaben rechnest du in N, m, kg und m/s.

Die Formel für Arbeit: W = F · s

Wirkt eine gleichbleibende Kraft F in Richtung des Wegs s, gilt:

W=F·s

W steht für Arbeit (englisch work), F für die Kraft in , s für den Weg in Meter. Die Einheit ist das Joule: 1 J=1 N·1 m.

Schiebst du eine Kiste mit 200 N über 5 m, verrichtest du W=200 N·5 m=1000 J=1 kJ.

Im Kraft-Weg-Diagramm ist die Arbeit die Fläche unter der Linie.

MerkeArbeit = Kraft in Wegrichtung mal Weg. 1 J=1 N·m.

Kraft-Weg-Diagramm: waagrecht der Weg in Metern, senkrecht die Kraft in Newton. Die Kraft bleibt von 0 bis 5 m bei 200 N, dort endet der Weg. Die Rechteckfläche darunter, 200 N mal 5 m, ist die Arbeit von 1000 J.

Nur die Kraft in Wegrichtung zählt

Zieht die Kraft schräg zum Weg, zählt nur ihr Anteil in Wegrichtung. Mit dem Winkel α zwischen Kraft und Weg gilt:

W = F \cdot s \cdot cos α

Bei 90° ist $cos α = 0$ : Trägst du eine Tasche gleichmässig schnell waagrecht, verrichtet die Haltekraft keine Arbeit.

Goldene Regel der Mechanik: , schiefe Ebene und Flaschenzug sparen Kraft, nicht Arbeit. Halbe Kraft heisst doppelter Weg.

MerkeWas du an Kraft sparst, musst du an Weg zulegen. Die Arbeit bleibt gleich.

Hubarbeit und Lageenergie

Zum Hochheben brauchst du eine Kraft so gross wie die $F_{G} = m \cdot g$ mit g≈9.81 m/s². Über die Höhe h verrichtest du die Hubarbeit:

W = F_{G} \cdot h = m \cdot g \cdot h

Sie steckt danach als Lageenergie (potenzielle Energie) im Körper:

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Von wo aus du h misst, wählst du selbst, etwa ab Boden oder ab Tisch.

MerkeHubarbeit = Gewichtskraft mal Höhe. Sie wird zu Lageenergie m·g·h.

Lageenergie eines Buchs von 2 kg: waagrecht die Höhe in Metern, senkrecht die Energie in Joule. Auf 1 m Höhe sind es etwa 19.6 J, auf 1.5 m etwa 29.4 J. Die Linie ist eine Gerade.

Bewegungsenergie und Spannenergie

Bringst du einen Körper aus dem Stand auf die Geschwindigkeit v, steckt die Arbeit danach als Bewegungsenergie (kinetische Energie) in ihm:

E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}

Doppelte Geschwindigkeit gibt vierfache Bewegungsenergie.

Eine gedehnte Feder speichert Spannenergie: E=12·D·s², mit der D in N/m und der Dehnung s.

MerkeDoppelt so schnell heisst viermal so viel Bewegungsenergie.

Bewegungsenergie eines Körpers von 2 kg: waagrecht die Geschwindigkeit in m/s, senkrecht die Energie in Joule. Bei 2 m/s sind es 4 J, bei 4 m/s schon 16 J. Die Kurve ist eine Parabel.

Der Energieerhaltungssatz

Energie geht nie verloren und entsteht nie aus dem Nichts, sie wandelt sich nur um. Das ist der Energieerhaltungssatz.

Ohne Reibung bleibt Lage- plus Bewegungsenergie gleich. Fällt ein Körper aus der Höhe h, gilt:

m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \Rightarrow v = 2 \cdot g \cdot h

Die kürzt sich weg. Mit Reibung wird ein Teil zu Wärme: nicht verloren, aber für die Bewegung nicht mehr nutzbar.

MerkeOben Lageenergie, unten Bewegungsenergie, die Summe bleibt gleich, solange nichts reibt.

Energie eines Balls von 1 kg, der ohne Luftwiderstand aus 10 m fällt, in Joule: oben 98 J Lageenergie, auf halber Höhe je 49 J Lage- und Bewegungsenergie, unten 98 J Bewegungsenergie. Die Summe ist immer 98 J.

Leistung: Arbeit pro Zeit

Zwei Personen tragen gleich schwere Kisten in den 3. Stock. Wer schneller ist, verrichtet dieselbe Arbeit, aber mit grösserer Leistung:

P=Wt

Die Einheit ist das Watt: 1 W=1 J/s. Ein Wasserkocher mit 2000 W wandelt in jeder Sekunde 2000 J elektrische Energie in Wärme um.

Auf der Stromrechnung steht die Kilowattstunde: 1 kWh=1000 W·3600 s=3.6 MJ.

MerkeLeistung sagt, wie schnell Arbeit verrichtet wird: P=W:t, in Watt.

Arbeit und Energieerhaltung (arbeit formel): Übersicht mit Die Formel für Arbeit: W = F · s; Nur die Kraft in Wegrichtung zählt; Hubarbeit und Lageenergie; Bewegungsenergie und Spannenergie. — Arbeit und Energieerhaltung auf einen Blick: die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Ich trage eine schwere Tasche 100 m weit über den ebenen Pausenplatz, also verrichte ich dabei viel Hubarbeit.
✓Die Haltekraft zeigt nach oben, der Weg geht waagrecht. Kraft und Weg stehen senkrecht, also ist die Hubarbeit null. Müde wirst du trotzdem, weil deine Muskeln Energie in Wärme umwandeln.
✕Ein Auto fährt doppelt so schnell, also hat es doppelt so viel Bewegungsenergie.
✓In $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$ steht v im Quadrat. Doppelte Geschwindigkeit gibt 2²=4, also vierfache Bewegungsenergie.
✕Ein Tennisball von 58 g fliegt mit 50 m/s: $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 58 \cdot 5 0^{2} = 7 2^{'} 500 J$ .
✓Die Masse muss in Kilogramm stehen: 58 g=0.058 kg. Dann ist $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 0.058 \cdot 5 0^{2} J = 72.5 J$ .
✕Ein schwerer Stein hat mehr Lageenergie, darum ist er nach dem Fall aus derselben Höhe schneller als ein leichter.
✓Er hat mehr Energie, braucht aber auch mehr, um gleich schnell zu werden. In $v = 2 g h$ kommt die Masse nicht vor: Ohne Luftwiderstand sind beide unten gleich schnell.

Begriffe zum Nachschlagen

Arbeit: Eine Kraft bewegt einen Körper ein Stück weit in ihrer Richtung: W = F · s. Einheit Joule.
Joule: Einheit von Arbeit und Energie, Zeichen J. 1 J = 1 N · m.
Lageenergie: Energie eines Körpers wegen seiner Höhe, auch potenzielle Energie: E = m · g · h.
Bewegungsenergie: Energie eines Körpers wegen seiner Geschwindigkeit, auch kinetische Energie: E = ½ · m · v².
Energieerhaltung: Energie geht nicht verloren, sie wandelt sich nur um. Ohne Reibung bleibt Lage- plus Bewegungsenergie gleich.
Leistung: Arbeit pro Zeit: P = W : t. Einheit Watt, 1 W = 1 J/s.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kraft und die Einheit Newton Geschwindigkeit und Beschleunigung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Arbeit beim Schieben einer Kiste

Du schiebst eine Kiste mit einer gleichbleibenden Kraft von 150 N waagrecht 12 m weit über den Boden. Wie viel Arbeit verrichtest du?

Kraft-Weg-Diagramm der Kiste: die Kraft bleibt von 0 bis 12 m bei 150 N, dort endet der Weg. Die Rechteckfläche darunter ist die Arbeit von 1800 J.

Lösung Schritt für Schritt

Die Kraft wirkt in Richtung des Wegs, also gilt die Grundformel:W=F·s
Werte in Newton und Meter einsetzen:W=150 N·12 m=1800 J
In Kilojoule umrechnen:1800 J=1.8 kJ

Du verrichtest 1800 J, also 1.8 kJ Arbeit.

Beispiel 2Im Schulhaus die Treppe hoch

Ein Mädchen mit Schulrucksack steigt zügig das Treppenhaus eines Schulhauses hinauf.

Lina wiegt 50 kg. Im Schulhaus in Chur steigt sie die Treppe vom Erdgeschoss in den 4. Stock hinauf, das sind 12 m Höhe. Sie braucht dafür 30 s. Wie gross sind ihre Hubarbeit und ihre Leistung? (g=9.81 m/s²)

Lösung Schritt für Schritt

Gewichtskraft von Lina: $F_{G} = m \cdot g = 50 kg \cdot 9.81 \frac{m}{s ^{2}} = 490.5 N$
Hubarbeit über 12 m: $W = F_{G} \cdot h = 490.5 N \cdot 12 m = 5886 J \approx 5.9 kJ$
Leistung, Arbeit durch Zeit: $P = \frac{W}{t} = \frac{5886 J}{30 s} \approx 196 W$

Lina verrichtet etwa 5.9 kJ Hubarbeit. Ihre Leistung ist etwa 196 W, also rund 200 W.

Beispiel 3Schlitteln ohne Reibung

Ein Kind saust auf einem Holzschlitten einen verschneiten Hügel hinunter, oben winkt ein Freund.

Ein Kind sitzt auf dem Schlitten oben auf einem Hügel, 5.0 m höher als der Talboden. Kind und Schlitten wiegen zusammen 30 kg. Es fährt aus dem Stand los. Wie viel Lageenergie hat es oben, und wie schnell ist es unten, wenn du Reibung und Luftwiderstand vernachlässigst? (g=9.81 m/s²)

Energie von Kind und Schlitten in Joule: oben etwa 1472 J Lageenergie und keine Bewegungsenergie, unten keine Lageenergie und etwa 1472 J Bewegungsenergie.

Lösung Schritt für Schritt

Lageenergie oben, gemessen vom Talboden aus: $E_{pot} = m \cdot g \cdot h = 30 kg \cdot 9.81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 5.0 m \approx 1472 J$
Ohne Reibung wird die ganze Lageenergie zu Bewegungsenergie: $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \Rightarrow v = 2 \cdot g \cdot h$
Einsetzen, die Masse braucht es dafür nicht: $v = 2 \cdot 9.81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 5.0 m \approx 9.9 \frac{m}{s}$
In km/h: 9.9·3.6≈36 km/h. Mit Reibung im Schnee ist das Kind in Wirklichkeit etwas langsamer.

Oben hat das Kind mit Schlitten etwa 1.5 kJ Lageenergie. Ohne Reibung wäre es unten etwa 9.9 m/s schnell, rund 36 km/h.

Beispiel 4Bewegungsenergie bei Tempo 50 und Tempo 30

Ein kleines Auto fährt langsam durch eine Dorfstrasse mit Bauernhäusern, Kinder gehen auf dem Trottoir.

Ein Auto mit 1200 kg fährt durch ein Dorf im Emmental. Wie viel Bewegungsenergie hat es bei 50 km/h und wie viel bei 30 km/h? Wie viel mal mehr Energie müssen die Bremsen bei Tempo 50 in Wärme umwandeln?

Lösung Schritt für Schritt

Geschwindigkeiten in m/s umrechnen: $50 \frac{km}{h} = \frac{50}{3.6} \frac{m}{s} \approx 13.9 \frac{m}{s} 30 \frac{km}{h} = \frac{30}{3.6} \frac{m}{s} \approx 8.33 \frac{m}{s}$
Bewegungsenergie bei Tempo 50: $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 1200 kg \cdot (13.9 \frac{m}{s})^{2} \approx 116 kJ$
Bewegungsenergie bei Tempo 30: $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 1200 kg \cdot (8.33 \frac{m}{s})^{2} \approx 42 kJ$
Verhältnis: Die Geschwindigkeit steht im Quadrat. $(\frac{50}{30})^{2} = \frac{25}{9} \approx 2.8$

Bei 50 km/h hat das Auto etwa 116 kJ, bei 30 km/h etwa 42 kJ Bewegungsenergie. Bei Tempo 50 müssen die Bremsen fast dreimal so viel Energie in Wärme umwandeln.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Du ziehst einen Leiterwagen mit einer gleichbleibenden Kraft von 120 N waagrecht 7.5 m weit. Die Kraft zeigt in Wegrichtung. Wie viel Arbeit verrichtest du?
Lösung zeigen
Ergebnis: W=900 J=0.9 kJ
Kraft-Weg-Diagramm: die Kraft bleibt von 0 bis 7.5 m bei 120 N, dort endet der Weg. Die Rechteckfläche darunter ist die Arbeit von 900 J.
1. Kraft in Wegrichtung: W=F·s.
2. W=120 N·7.5 m=900 J.
2
Rechne 2.4 kJ in Joule und 350 J in Kilojoule um.
Lösung zeigen
Ergebnis: 2.4 kJ=2400 J, 350 J=0.35 kJ
1. 1 kJ=1000 J.
2. 2.4·1000=2400, also 2400 J.
3. 350:1000=0.35, also 0.35 kJ.
3
Ein Blumentopf mit 1.2 kg steht auf einem Fenstersims, 2.0 m über dem Boden. Wie gross ist seine Lageenergie gegenüber dem Boden? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: $E_{pot} \approx 24 J$
Lageenergie des Blumentopfs von 1.2 kg je nach Höhe: auf 2 m Höhe sind es etwa 23.5 J.
1. $E_{pot} = m \cdot g \cdot h$ .
2. $E_{pot} = 1.2 \cdot 9.81 \cdot 2.0 J \approx 23.5 J$ .
4
Ein Fussball mit 0.50 kg fliegt mit 10 m/s. Wie gross ist seine Bewegungsenergie?
Lösung zeigen
Ergebnis: $E_{kin} = 25 J$
Bewegungsenergie des Fussballs von 0.5 kg je nach Geschwindigkeit: bei 10 m/s sind es 25 J.
1. $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$ .
2. $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 0.50 \cdot 1 0^{2} J = 0.25 \cdot 100 J = 25 J$ .
5
Du trägst einen Rucksack mit gleichbleibender Geschwindigkeit 50 m weit über einen ebenen Platz. Wie viel Hubarbeit verrichtest du am Rucksack?
Lösung zeigen
Ergebnis: 0 J
1. Die Haltekraft zeigt nach oben, der Weg geht waagrecht.
2. Kraft und Weg stehen senkrecht, die Höhe ändert sich nicht. Die Hubarbeit ist null.

6
Ein Baukran hebt eine Palette mit 500 kg in 25 s gleichmässig 20 m hoch. Berechne die Hubarbeit und die Leistung des Krans. (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: W≈98.1 kJ, P≈3.9 kW
1. W=m·g·h=500·9.81·20 J=98'100 J.
2. $P = \frac{W}{t} = \frac{9 8 ^{'} 100 J}{25 s} = 3924 W \approx 3.9 kW$ .
7
Ein Apfel fällt aus 3.2 m Höhe vom Baum. Wie schnell ist er kurz vor dem Boden? Vernachlässige den Luftwiderstand. (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: v≈7.9 m/s
1. Energieerhaltung: mgh=12mv², also $v = 2 g h$ .
2. $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 3.2 m/s = 62.8 m/s \approx 7.9 m/s$ .
8
Eine Velofahrerin fährt mit 36 km/h. Sie und ihr Velo wiegen zusammen 70 kg. Wie gross ist die Bewegungsenergie?
Lösung zeigen
Ergebnis: $E_{kin} = 3.5 kJ$
1. 36 km/h=10 m/s.
2. $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 1 0^{2} J = 3500 J = 3.5 kJ$ .
9
Ein Auto hat bei 30 km/h eine Bewegungsenergie von 40 kJ. Wie gross ist sie bei 60 km/h?
Lösung zeigen
Ergebnis: 160 kJ
1. In $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$ steht v im Quadrat.
2. Doppelte Geschwindigkeit: 2²=4, also 4·40 kJ=160 kJ.
10
Eine Feder mit der Federkonstante D=200 N/m wird um 10 cm gedehnt. Wie viel Spannenergie speichert sie?
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Ergebnis: E=1.0 J
1. 10 cm=0.10 m.
2. E=12·D·s²=12·200·0.10² J=100·0.01 J=1.0 J.

11
Du ziehst einen Schlitten 50 m weit über ebenen Schnee. Das Seil zieht mit 80 N und ist um 30° gegen den Boden geneigt. Wie viel Arbeit verrichtest du?
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Ergebnis: W≈3.5 kJ
1. Nur der Anteil der Kraft in Wegrichtung zählt: $W = F \cdot s \cdot cos α$ .
2. $W = 80 \cdot 50 \cdot cos 3 0^{\circ} J \approx 4000 \cdot 0.866 J \approx 3464 J$ .
3. Das sind etwa 3.5 kJ.
12
Die Ketten einer Schaukel sind 2.5 m lang. Ein Kind lenkt die Schaukel um 40° aus der Senkrechten aus und lässt sie aus dem Stand los. Wie schnell ist es am tiefsten Punkt? Reibung und Luftwiderstand vernachlässigst du. (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: v≈3.4 m/s
1. Der Sitz hängt ausgelenkt $2.5 m \cdot cos 4 0^{\circ} \approx 1.915 m$ unter der Aufhängung, ganz unten 2.5 m.
2. Höhenunterschied: $h = 2.5 m - 1.915 m = 2.5 m \cdot (1 - cos 4 0^{\circ}) \approx 0.585 m$ .
3. Oben nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie: $v = 2 g h$ .
4. $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 0.585 m/s = 11.5 m/s \approx 3.4 m/s$ .
13
Du wirfst einen Ball mit 12 m/s senkrecht nach oben. Wie hoch steigt er mit dem Energieerhaltungssatz gerechnet? Ohne Luftwiderstand, g=9.81 m/s².
Lösung zeigen
Ergebnis: h≈7.3 m
1. Ganz oben ist die Bewegungsenergie ganz zu Lageenergie geworden: 12mv²=mgh.
2. h=v²2g=14419.62 m≈7.3 m.
14
Ein Schlitten mit Kind (40 kg) startet aus dem Stand 6.0 m über dem Talboden. Unten ist er 9.0 m/s schnell. Wie viel Energie wurde unterwegs durch Reibung zu Wärme? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: etwa 734 J
1. Lageenergie oben: $E_{pot} = 40 \cdot 9.81 \cdot 6.0 J \approx 2354 J$ .
2. Bewegungsenergie unten: $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 9. 0^{2} J = 1620 J$ .
3. Der Rest ist zu Wärme geworden: 2354 J−1620 J≈734 J.
15
Ein Wanderer (70 kg) trägt einen Rucksack von 10 kg und steigt in 3 Stunden 900 Höhenmeter auf. Wie gross ist die Hubarbeit, und welche mittlere Hubleistung erbringt er? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: W≈706 kJ, P≈65 W
1. Gehoben werden 70 kg+10 kg=80 kg.
2. W=80·9.81·900 J≈706'000 J=706 kJ.
3. t=3·3600 s=10'800 s, $P = \frac{70 6 ^{'} 000 J}{1 0 ^{'} 800 s} \approx 65 W$ .

Bringst du Arbeit, Lageenergie und Bewegungsenergie noch durcheinander, rechnet eine Lehrperson die Aufgaben mit dir Schritt für Schritt durch. Physik-Nachhilfe für Gymnasium und Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Physik

In der 3. Sek im Fach Natur und Technik mit Lageenergie, Bewegungsenergie und Leistung, im 1. Jahr Gymnasium mit der Arbeit als Kraft mal Weg und dem Energieerhaltungssatz.

NT.4.1.eLageenergie und Bewegungsenergie in Alltagssituationen ausrechnen und mechanische Leistung bestimmen.
NT.4.1.cAn Beispielen erklären, dass Energie bei Umwandlungen erhalten bleibt, und dabei festlegen, was zum betrachteten System gehört.
NT.4.1.dLeistung als umgesetzte Energie pro Zeit verstehen und messen, etwa beim Treppensteigen.
NT.5.1.eBegründen, dass einfache Maschinen wie Hebel, schiefe Ebene und Flaschenzug die nötige Kraft verringern, der Weg dafür aber länger wird (goldene Regel der Mechanik).

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie lautet die Formel für Arbeit in Physik?

Zeigt die Kraft in Wegrichtung, gilt W=F·s: Kraft in Newton mal Weg in Meter gibt Arbeit in Joule. Zieht die Kraft schräg, zählt nur ihr Anteil in Wegrichtung: $W = F \cdot s \cdot cos α$ .

Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Energie?

Energie ist das, was ein Körper hat, zum Beispiel als Lage- oder Bewegungsenergie. Arbeit ist die Energie, die eine Kraft dabei auf ihn überträgt. Darum haben beide dieselbe Einheit, das Joule.

Was sagt der Energieerhaltungssatz?

Energie geht nicht verloren und entsteht nicht aus dem Nichts, sie wandelt sich nur um. Ohne Reibung bleibt die Summe aus Lage- und Bewegungsenergie gleich, mit Reibung wird ein Teil zu Wärme.

Wie berechne ich die kinetische Energie?

Mit $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$ . Setze die Masse in Kilogramm und die Geschwindigkeit in m/s ein, dann kommt Joule heraus. Von km/h zu m/s teilst du durch 3.6.