Zentripetalkraft und Kreisbewegung

Wer im Kreis fährt, ändert dauernd die Richtung und wird darum zum Mittelpunkt hin beschleunigt. Die Kraft, die das bewirkt, heisst Zentripetalkraft: $F_Z = m \cdot \frac{v^2}{r}$.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Jugendliche fahren auf einem Kettenkarussell an einer Herbstmesse, die Sitze schwingen schräg nach aussen.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Körper, der mit gleichem Tempo im Kreis läuft, ändert dauernd seine Richtung. Darum braucht er eine , die immer zum Mittelpunkt zeigt: die Zentripetalkraft. Du rechnest sie mit $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ und fragst dann, welche echten Kräfte sie liefern.

Umlaufzeit, Frequenz und Bahngeschwindigkeit

Die Umlaufzeit T ist die Zeit für eine ganze Runde. Die Frequenz f sagt, wie viele Runden pro Sekunde es sind: f=1T, Einheit ( $1 Hz = 1 s^{- 1}$ ).

In einer Runde legt der Körper den Kreisumfang 2πr zurück. Seine Bahngeschwindigkeit ist darum

v=2πrT

Sie zeigt in jedem Moment tangential, also entlang der Kreislinie.

MerkeEine Runde dauert T, ist 2πr lang, also gilt v=2πrT.

Winkelgeschwindigkeit

Auf einem Karussell drehen sich alle Sitze gleich schnell rundum. Aussen legst du in derselben Zeit aber mehr Weg zurück.

Darum misst man die Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ (Omega): Winkel im Bogenmass pro Zeit. Im Bogenmass ist eine ganze Runde der Winkel 2π, also $360° = 2 π$ :

ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f v = ω \cdot r

Die Einheit von $ω$ ist $s^{- 1}$ (oft als rad/s geschrieben).

MerkeGleiche Winkelgeschwindigkeit, doppelter Radius: doppelte Bahngeschwindigkeit.

Auch bei gleichem Tempo beschleunigt

Die Geschwindigkeit ist ein Pfeil mit Betrag und Richtung. Bei der Kreisbewegung bleibt der Betrag gleich, aber die Richtung dreht sich ständig. Jede Änderung des Pfeils ist eine .

Diese Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Mittelpunkt und hat den Betrag

a_{Z} = \frac{v ^{2}}{r} = ω^{2} \cdot r

MerkeKreisbewegung ist immer beschleunigt, auch wenn das Tempo gleich bleibt.

Die Zentripetalkraft

Nach braucht jede Beschleunigung eine Kraft: F=m·a. Für die Kreisbahn heisst das

F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r} = m \cdot ω^{2} \cdot r

Die Zentripetalkraft ist keine neue Kraftart. Sie ist der Name für die resultierende Kraft zum Mittelpunkt.

Liefern muss sie eine echte Kraft oder die Summe mehrerer: die Schnur beim Ball, die in der Kurve, die beim Mond.

MerkeZuerst fragen: Welche echten Kräfte ergeben zusammen eine Kraft zum Mittelpunkt? Diese Resultierende dann gleichsetzen mit m·v²r.

Und die Zentrifugalkraft?

Im Karussell fühlst du dich nach aussen gedrückt. Von aussen gesehen will dein Körper aber nur geradeaus weiter, wie es das sagt. Der Sitz zwingt dich auf die Kreisbahn.

Die Zentrifugalkraft (Fliehkraft) ist eine Scheinkraft nach aussen. Es gibt sie nur, wenn du im mitdrehenden System rechnest.

MerkeReisst die Schnur, fliegt der Ball tangential weg, nicht nach aussen.

Kreis in der Senkrechten: der Looping

Im Looping wirken die und die Kraft der Schiene. Ganz oben zeigen beide nach unten, also zum Mittelpunkt.

Am langsamsten darf der Wagen oben sein, wenn die Gewichtskraft allein die Zentripetalkraft liefert: m·g=m·v²r, also

v_{min} = g \cdot r

Die kürzt sich weg. Unten im Tal bringt der Sitz Gewichtskraft und Zentripetalkraft auf: Du fühlst dich schwerer.

Kreisbewegung und Zentripetalkraft: Übersicht mit Umlaufzeit, Frequenz und Bahngeschwindigkeit; Winkelgeschwindigkeit; Auch bei gleichem Tempo beschleunigt; Die Zentripetalkraft. — Kreisbewegung und Zentripetalkraft auf einen Blick: die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Fährt ein Auto mit konstant 50 km/h durch einen Kreisel, ist es nicht beschleunigt.
✓Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich dauernd. Darum ist das Auto zum Mittelpunkt hin beschleunigt, mit $a_{Z} = \frac{v ^{2}}{r}$ .
✕Auf den Ball an der Schnur wirken die Zentripetalkraft und die Zentrifugalkraft, die sich aufheben.
✓Von aussen betrachtet wirkt nur die Schnurkraft zum Mittelpunkt. Würden sich zwei Kräfte aufheben, flöge der Ball geradeaus. Die Zentrifugalkraft gibt es nur im mitdrehenden System.
✕Reisst die Schnur, fliegt der Ball radial nach aussen weg.
✓Ohne Kraft fliegt der Ball geradeaus weiter, und zwar in der Richtung, die er im Moment des Reissens hatte: tangential zur Kreisbahn.
✕Fährt das Auto doppelt so schnell durch dieselbe Kurve, braucht es die doppelte Kraft.
✓Die Geschwindigkeit steht im Quadrat: $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ . Doppelt so schnell heisst viermal so viel Kraft.

Begriffe zum Nachschlagen

Umlaufzeit: Zeit für eine ganze Runde auf der Kreisbahn. Zeichen T, Einheit Sekunde.
Frequenz: Anzahl Umläufe pro Sekunde, f = 1/T. Einheit Hertz (Hz).
Bahngeschwindigkeit: Wie schnell sich der Körper entlang der Kreislinie bewegt: v = 2πr/T. Sie zeigt tangential.
Winkelgeschwindigkeit: Winkel im Bogenmass, den der Körper pro Sekunde überstreicht: ω = 2π/T. Einheit 1/s.
Zentripetalbeschleunigung: Beschleunigung zum Mittelpunkt bei jeder Kreisbewegung: a = v²/r.
Zentripetalkraft: Resultierende Kraft zum Mittelpunkt, die einen Körper auf der Kreisbahn hält: F = m · v²/r.
Zentrifugalkraft: Scheinkraft nach aussen, die nur im mitdrehenden System auftritt. Auch Fliehkraft genannt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Geschwindigkeit und Beschleunigung Die drei Newtonschen Gesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

Ein Körper bewegt sich gleichförmig auf einem Kreis mit dem Radius r=2.5 m und braucht für eine Runde T=6.0 s. Berechne Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit.

Lösung Schritt für Schritt

Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufzeit: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{6.0 s} \approx 0.17 Hz$
Eine Runde ist der Winkel 2π: $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{6.0 s} \approx 1.05 s^{- 1}$
Bahngeschwindigkeit aus Winkelgeschwindigkeit und Radius: $v = ω \cdot r = 1.047 s^{- 1} \cdot 2.5 m \approx 2.6 \frac{m}{s}$
Zur Kontrolle mit dem Umfang: $v = \frac{2 π \cdot 2.5 m}{6.0 s} \approx 2.6 \frac{m}{s}$ .

f≈0.17 Hz, $ω \approx 1.05 s^{- 1}$ und v≈2.6 m/s.

Beispiel 2Zentripetalkraft auf einen Ball an der Schnur

Ein Ball mit m=0.20 kg kreist waagrecht an einer Schnur mit r=0.80 m. Er hat die Bahngeschwindigkeit v=4.0 m/s. Wie gross sind Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft? Die Gewichtskraft vernachlässigst du.

Lösung Schritt für Schritt

Zentripetalbeschleunigung: $a_{Z} = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{( 4.0 \frac{m}{s} ) ^{2}}{0.80 m} = 20 \frac{m}{s ^{2}}$
Zentripetalkraft nach Newton: $F_{Z} = m \cdot a_{Z} = 0.20 kg \cdot 20 \frac{m}{s ^{2}} = 4.0 N$
Diese Kraft liefert die Schnur. Sie zieht den Ball in jedem Moment zur Hand in der Mitte.

Der Ball wird mit 20 m/s² zur Mitte beschleunigt, die Schnur zieht mit 4.0 N.

Beispiel 3Kurve auf der Passstrasse

Ein rotes Auto fährt auf einer kurvigen Passstrasse in den Bündner Bergen durch eine enge Kurve.

Ein Auto (m=1200 kg) fährt auf einer Passstrasse in Graubünden mit 54 km/h durch eine Kurve mit r=50 m. Wie gross muss die Zentripetalkraft sein? Welche braucht es mindestens zwischen Reifen und Strasse? (g=9.81 m/s²)

Lösung Schritt für Schritt

Geschwindigkeit in m/s umrechnen: $v = 54 \frac{km}{h} = \frac{54}{3.6} \frac{m}{s} = 15 \frac{m}{s}$
Nötige Zentripetalkraft: $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r} = 1200 kg \cdot \frac{( 15 \frac{m}{s} ) ^{2}}{50 m} = 5400 N$
Auf der flachen Strasse liefert nur die Haftreibung diese Kraft. Sie kann höchstens $μ_{H} \cdot m \cdot g$ betragen: $μ_{H} \cdot m \cdot g \geq m \cdot \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow μ_{H} \geq \frac{v ^{2}}{g \cdot r} = \frac{225}{9.81 \cdot 50} \approx 0.46$
Die Masse kürzt sich weg: Ein schwerer Lastwagen braucht dieselbe Haftreibungszahl wie ein leichtes Auto.

Es braucht eine Zentripetalkraft von 5400 N und eine Haftreibungszahl von mindestens 0.46.

Beispiel 4Der Wasserkessel im Kreis

Ein Junge schwingt in einem Garten einen Kessel mit Wasser in einem grossen Kreis über seinen Kopf.

Noah schwingt im Garten in Thun einen Kessel mit Wasser (m=2.0 kg zusammen) in einem senkrechten Kreis mit r=0.90 m. Wie schnell muss der Kessel oben mindestens sein, damit kein Wasser herausfällt? Mit welcher Kraft muss Noah unten ziehen, wenn der Kessel dort 5.0 m/s schnell ist? (g=9.81 m/s²)

Lösung Schritt für Schritt

Oben ist es am knappsten, wenn die Gewichtskraft allein die Zentripetalkraft liefert: $m \cdot g = m \cdot \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow v_{min} = g \cdot r = 9.81 \cdot 0.90 \frac{m}{s} \approx 3.0 \frac{m}{s}$
Unten zeigt die Zentripetalkraft nach oben, zur Hand. Sie beträgt dort: $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r} = 2.0 kg \cdot \frac{( 5.0 \frac{m}{s} ) ^{2}}{0.90 m} \approx 55.6 N$
Die Gewichtskraft zieht unten nach aussen. Die Kraft der Hand muss sie ausgleichen und zusätzlich die Zentripetalkraft liefern: $F_{H an d} = F_{Z} + m \cdot g = 55.6 N + 2.0 \cdot 9.81 N \approx 75 N$

Oben braucht der Kessel mindestens etwa 3.0 m/s. Unten zieht Noah mit etwa 75 N, fast viermal so viel wie das Gewicht.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Ein Ventilator dreht sich in 0.50 s einmal. Wie gross ist seine Frequenz?
Lösung zeigen
Ergebnis: f=2.0 Hz
1. f=1T.
2. $f = \frac{1}{0.50 s} = 2.0 Hz$ : zwei Umdrehungen pro Sekunde.
2
Ein Punkt kreist mit r=0.30 m und braucht für eine Runde 2.0 s. Wie gross ist seine Bahngeschwindigkeit?
Lösung zeigen
Ergebnis: v≈0.94 m/s
1. Umfang: 2πr=2π·0.30 m≈1.88 m.
2. $v = \frac{1.88 m}{2.0 s} \approx 0.94 m/s$ .
3
Ein Körper mit m=0.50 kg kreist mit v=3.0 m/s auf einem Kreis mit r=1.5 m. Berechne die Zentripetalkraft.
Lösung zeigen
Ergebnis: $F_{Z} = 3.0 N$
1. $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ .
2. $F_{Z} = 0.50 \cdot \frac{3. 0 ^{2}}{1.5} N = 0.50 \cdot 6.0 N = 3.0 N$ .
4
Eine Scheibe dreht sich mit $ω = 4.0 s^{- 1}$ . Wie schnell ist ein Punkt, der 25 cm vom Mittelpunkt entfernt ist?
Lösung zeigen
Ergebnis: v=1.0 m/s
1. Radius in Meter: r=0.25 m.
2. $v = ω \cdot r = 4.0 s^{- 1} \cdot 0.25 m = 1.0 m/s$ .
5
Du lässt einen Ball an einer Schnur waagrecht kreisen. Plötzlich reisst die Schnur. In welche Richtung fliegt der Ball weiter?
Lösung zeigen
Ergebnis: Tangential, also geradeaus in der Richtung, die er im Moment des Reissens hatte.
1. Ohne Schnur wirkt keine Kraft mehr zum Mittelpunkt.
2. Nach dem Trägheitsgesetz fliegt der Ball geradeaus weiter, entlang der Tangente an den Kreis.

6
Eine Salatschleuder dreht sich zehnmal pro Sekunde. Ein Salatblatt liegt 12 cm von der Achse entfernt. Wie gross ist seine Zentripetalbeschleunigung, und das Wievielfache von g ist das?
Lösung zeigen
Ergebnis: $a_{Z} \approx 470 m/s^{2}$ , etwa 48 g
1. $ω = 2 π f = 2 π \cdot 10 s^{- 1} \approx 62.8 s^{- 1}$ .
2. $a_{Z} = ω^{2} \cdot r = 62. 8^{2} \cdot 0.12 m/s^{2} \approx 470 m/s^{2}$ .
3. 4709.81≈48.
7
Ein Ball an einer Schnur braucht bei einer bestimmten Geschwindigkeit eine Zentripetalkraft von 3.0 N. Wie gross ist die Kraft, wenn er doppelt so schnell auf demselben Kreis läuft?
Lösung zeigen
Ergebnis: 12 N
1. In $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ steht die Geschwindigkeit im Quadrat.
2. Doppelte Geschwindigkeit: 2²=4-fache Kraft, also 4·3.0 N=12 N.
8
Ein Auto mit 1500 kg fährt mit 36 km/h durch einen Kreisel mit r=20 m. Wie gross ist die Zentripetalkraft, und welche Kraft liefert sie?
Lösung zeigen
Ergebnis: $F_{Z} = 7500 N$ , geliefert von der Haftreibung der Reifen
1. v=363.6 m/s=10 m/s.
2. $F_{Z} = 1500 \cdot \frac{1 0 ^{2}}{20} N = 7500 N$ .
3. Auf der flachen Strasse liefert die Haftreibung zwischen Reifen und Belag diese Kraft.
9
Die Erde umkreist die Sonne in einem Jahr (365 Tage) im Abstand von etwa 1.5·10¹¹ m. Nimm eine Kreisbahn an. Wie schnell ist die Erde unterwegs?
Lösung zeigen
Ergebnis: v≈3.0·10⁴ m/s, also etwa 30 km/s
1. T=365·24·3600 s≈3.15·10⁷ s.
2. $v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \cdot 1.5 \cdot 1 0 ^{11} m}{3.15 \cdot 1 0 ^{7} s} \approx 3.0 \cdot 1 0^{4} m/s$ .
10
Ein Körper mit 0.40 kg kreist auf einem Kreis mit r=0.50 m. Die Zentripetalkraft beträgt 20 N. Wie schnell ist er?
Lösung zeigen
Ergebnis: v=5.0 m/s
1. $F_{Z} = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ nach v auflösen: $v = \frac{F _{Z} \cdot r}{m}$ .
2. $v = \frac{20 \cdot 0.50}{0.40} m/s = 25 m/s = 5.0 m/s$ .

11
Ein Eishockey-Puck (0.25 kg) gleitet auf dem glatten Eis an einer Schnur im Kreis, r=1.0 m. Die Schnur reisst bei 50 N. Wie viele Umdrehungen pro Minute darf der Puck höchstens machen?
Lösung zeigen
Ergebnis: höchstens etwa 135 Umdrehungen pro Minute
1. Die Schnur liefert die ganze Zentripetalkraft, höchstens 50 N. Mit der Winkelgeschwindigkeit: $F = m \cdot ω^{2} \cdot r$ , also $ω = \frac{F}{m \cdot r}$ .
2. $ω_{ma x} = \frac{50}{0.25 \cdot 1.0} s^{- 1} = 200 s^{- 1} \approx 14.1 s^{- 1}$ .
3. $f_{ma x} = \frac{ω}{2 π} = \frac{14.14}{2 π} Hz \approx 2.25 Hz$ , also 2.25·60≈135 Umdrehungen pro Minute.
12
Eine Achterbahn hat einen Looping mit r=8.0 m. Wie schnell muss der Wagen ganz oben mindestens sein, damit er nicht von der Schiene abhebt? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: $v_{min} \approx 8.9 m/s$
1. Oben reicht im Grenzfall die Gewichtskraft allein als Zentripetalkraft: m·g=m·v²r.
2. $v_{min} = g \cdot r = 9.81 \cdot 8.0 m/s \approx 8.9 m/s$ , unabhängig von der Masse.
13
Auf trockener Strasse beträgt die Haftreibungszahl $μ_{H} = 0.60$ . Mit welcher Geschwindigkeit in km/h kann ein Auto eine flache Kurve mit r=40 m höchstens durchfahren? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: $v_{ma x} \approx 15 m/s \approx 55 km/h$
1. Grenzfall: $μ_{H} \cdot m \cdot g = m \cdot \frac{v ^{2}}{r}$ , also $v = μ_{H} \cdot g \cdot r$ .
2. $v = 0.60 \cdot 9.81 \cdot 40 m/s \approx 15.3 m/s$ .
3. 15.3·3.6 km/h≈55 km/h.
14
Bei einem Kettenkarussell kreist ein Sitz mit v=6.0 m/s auf einem Kreis mit r=6.0 m. Um welchen Winkel ist die Kette gegenüber der Senkrechten ausgelenkt? (g=9.81 m/s²)
Lösung zeigen
Ergebnis: etwa $31°$
1. Kettenkraft und Gewichtskraft ergeben zusammen die waagrechte Zentripetalkraft.
2. Der senkrechte Teil der Kettenkraft trägt m·g, der waagrechte liefert m·v²r. Also $tan α = \frac{v ^{2}}{r \cdot g}$ .
3. $tan α = \frac{36}{6.0 \cdot 9.81} \approx 0.61$ , also $α \approx 31°$ .
15
Ein geostationärer Satellit kreist in 24 Stunden einmal um die Erde, im Abstand r≈4.22·10⁷ m vom Erdmittelpunkt. Wie gross sind seine Bahngeschwindigkeit und seine Zentripetalbeschleunigung?
Lösung zeigen
Ergebnis: v≈3.1 km/s, $a_{Z} \approx 0.22 m/s^{2}$
1. T=24·3600 s=86'400 s.
2. $v = \frac{2 π \cdot 4.22 \cdot 1 0 ^{7} m}{8 6 ^{'} 400 s} \approx 3.07 \cdot 1 0^{3} m/s$ .
3. $a_{Z} = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{( 3.07 \cdot 1 0 ^{3} ) ^{2}}{4.22 \cdot 1 0 ^{7}} m/s^{2} \approx 0.22 m/s^{2}$ . Diese Beschleunigung liefert die Gravitation der Erde.

Hängt es bei der Frage, welche Kraft die Zentripetalkraft liefert, oder beim Looping, rechnet eine Lehrperson die Aufgaben mit dir durch, bis du sie allein lösen kannst. Physik-Nachhilfe fürs Gymnasium

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Immer neue Fragen zum Anklicken, jede mit kurzer Erklärung. Stufe 1 übt Begriffe und Formeln, Stufe 2 kurze Rechnungen und Proportionen, Stufe 3 Kurve, Looping, Karussell und Planeten.

Wie hängen Winkelgeschwindigkeit ω und Umlaufzeit T zusammen?

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Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Physik

Am Gymnasium meist im 1. oder 2. Jahr, nach den Newtonschen Gesetzen: zuerst Umlaufzeit und Winkelgeschwindigkeit, dann Zentripetalkraft, Kurven, Looping und Planetenbahnen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft?

Die Zentripetalkraft zeigt zum Mittelpunkt und hält einen Körper auf der Kreisbahn. Von aussen betrachtet ist sie die einzige Kraft, die dafür nötig ist. Die Zentrifugalkraft zeigt nach aussen und tritt nur auf, wenn du im mitdrehenden System rechnest; dort ist sie eine Scheinkraft.

Ist die Zentripetalkraft eine eigene Kraft?

Nein. Sie ist der Name für die resultierende Kraft zum Mittelpunkt. Geliefert wird sie von einer echten Kraft oder der Summe mehrerer Kräfte: Seilkraft, Haftreibung, Gravitation, Normalkraft. Zeichne in einer Skizze darum nie einen zusätzlichen Pfeil «Zentripetalkraft» neben diese Kräfte.

Wann nehme ich v²/r und wann ω²·r?

Beide Formeln sind gleichwertig, weil v = ω · r gilt. Kennst du die Bahngeschwindigkeit, nimmst du v²/r. Kennst du Drehzahl, Frequenz oder Umlaufzeit, rechnest du zuerst ω aus und nimmst ω² · r.

In welchem Jahr kommt die Kreisbewegung am Gymnasium dran?

Meist im 1. oder 2. Jahr, nach den Newtonschen Gesetzen. Je nach Schule und Schwerpunktfach kann es früher oder später sein.