Hebelgesetz

Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm ist. Je länger der Kraftarm, desto weniger Kraft brauchst du, um eine schwere Last zu heben.

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Zyklus 3
Lehrplan 21: NT.5.1.d

Ein Jugendlicher setzt im Garten eine lange Eisenstange als Hebel an: Sie liegt auf einem Holzklotz und reicht unter einen grossen Stein. Seine Schwester schaut zu.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Hebel ist eine feste Stange, die sich um einen Drehpunkt dreht. Das Hebelgesetz sagt: Im Gleichgewicht ist mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm, $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ . In einer Aufgabe setzt du beide Produkte gleich und rechnest die fehlende Grösse aus.

Drehpunkt und Hebelarm

Der Drehpunkt ist die Stelle, um die sich der Hebel dreht. Bei einer Wippe ist das die Achse in der Mitte.

Der Hebelarm ist der Abstand vom Drehpunkt bis dahin, wo eine Kraft angreift. Der Arm deiner Kraft heisst Kraftarm $a_{1}$ , der Arm der Last Lastarm $a_{2}$ .

Auf dieser Seite stehen die Kräfte immer senkrecht zur Stange.

MerkeDen Hebelarm misst du immer vom Drehpunkt aus, nie vom Ende der Stange.

Das Hebelgesetz: F₁ · a₁ = F₂ · a₂

Ein Hebel bleibt in Ruhe, wenn beide Seiten gleich stark drehen. Das ist der Fall, wenn das Produkt aus Kraft und Hebelarm links und rechts gleich gross ist:

F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}

$F_{1}$ : Kraft in (N), $a_{1}$ : Kraftarm
$F_{2}$ : Last in Newton (N), $a_{2}$ : Lastarm

Beispiel: Links hängen 300 N im Abstand 2 m, rechts 200 N im Abstand 3 m. Es gilt 300·2=200·3=600. Der Hebel ist im Gleichgewicht.

MerkeKraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm.

Hebel als Stange von 0 bis 5 m mit dem Drehpunkt bei 2 m: links 300 N im Abstand 2 m, rechts 200 N im Abstand 3 m. Beide Seiten geben 600 Nm, der Hebel ist im Gleichgewicht.

Langer Hebelarm, kleine Kraft

Last und Lastarm bleiben gleich, du wählst nur den Kraftarm. Doppelter Kraftarm, halbe Kraft. Dreifacher Kraftarm, ein Drittel der Kraft. Kraft und Kraftarm sind umgekehrt proportional.

Darum geht eine Tür an der Klinke leicht auf, nahe bei den Scharnieren nur schwer. Für eine feste Schraube nimmst du einen langen Schraubenschlüssel.

MerkeJe länger der Kraftarm, desto kleiner die Kraft.

Nötige Kraft in N (senkrecht) je nach Kraftarm in m (waagrecht), wenn die Last 60 Nm Drehmoment erzeugt: 60 N bei 1 m, 30 N bei 2 m, 20 N bei 3 m.

Das Drehmoment

Das Produkt aus Kraft und Hebelarm heisst Drehmoment:

M=F·a

Die Einheit ist Newtonmeter (Nm). Ein Drehmoment dreht den Hebel im Uhrzeigersinn oder dagegen. Gleichgewicht herrscht, wenn beide Richtungen gleich stark sind.

Wirken auf einer Seite mehrere Kräfte, zählst du ihre Drehmomente zusammen.

MerkeGleichgewicht: Summe der Drehmomente links = Summe der Drehmomente rechts.

Einseitiger und zweiseitiger Hebel

Zweiseitiger Hebel: Der Drehpunkt liegt zwischen Kraft und Last. Beispiele: Wippe, Schere, Zange.
Einseitiger Hebel: Kraft und Last greifen auf derselben Seite an. Beispiele: Schubkarre (Drehpunkt am Rad), Nussknacker, Unterarm (Drehpunkt am Ellbogen).

Das Hebelgesetz gilt für beide. Beide Arme misst du immer vom Drehpunkt aus.

MerkeLiegt der Drehpunkt zwischen Kraft und Last: zweiseitig. Liegt er am Ende: einseitig.

Kraft gespart, Weg verlängert

Ein Hebel spart Kraft, dafür kostet er Weg. Ist der Kraftarm dreimal so lang wie der Lastarm, brauchst du nur einen Drittel der Kraft. Dafür bewegt sich deine Hand dreimal so weit wie die Last.

Das ist die goldene Regel der Mechanik: Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zulegen. Ohne Reibung ist Kraft mal Weg auf beiden Seiten gleich.

MerkeHalbe Kraft, doppelter Weg.

Hebelgesetz: Übersicht mit Drehpunkt und Hebelarm; Das Hebelgesetz: F₁ · a₁ = F₂ · a₂; Langer Hebelarm, kleine Kraft; Das Drehmoment; Einseitiger und zweiseitiger Hebel; Kraft gespart, Weg verlängert. — Hebelgesetz auf einen Blick: die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Die Stange ist 2 m lang, der Drehpunkt liegt 0.5 m vom linken Ende. Der rechte Hebelarm ist also 2 m.
✓Den Hebelarm misst du vom Drehpunkt aus: 2 m−0.5 m=1.5 m.
✕Je länger der Kraftarm, desto mehr Kraft brauche ich, weil die Stange länger ist.
✓Umgekehrt: Ein langer Kraftarm braucht weniger Kraft. Doppelter Kraftarm, halbe Kraft.
✕200 N·50 cm=F·2 m, also F=10 0002 N=5000 N.
✓Zuerst gleiche Einheiten: 50 cm=0.5 m. Dann 200·0.5=F·2, also F=50 N.
✕Auf der linken Seite sitzen zwei Kinder. Ich nehme nur das schwerere.
✓Jedes Kind erzeugt ein Drehmoment. Du rechnest beide aus und zählst sie zusammen.

Begriffe zum Nachschlagen

Hebel: Feste Stange, die sich um einen Drehpunkt drehen kann. Mit ihm kannst du eine Kraft verstärken, zum Beispiel eine schwere Last mit wenig Kraft heben.
Drehpunkt: Die Stelle, um die sich der Hebel dreht, zum Beispiel die Achse einer Wippe.
Hebelarm: Abstand vom Drehpunkt bis zur Stelle, an der eine Kraft angreift. Kraftarm heisst der Arm deiner Kraft, Lastarm der Arm der Last.
Drehmoment: Kraft mal Hebelarm, M=F·a, in Newtonmeter (Nm). Es sagt, wie stark eine Kraft einen Hebel dreht.
Einseitiger Hebel: Kraft und Last greifen auf derselben Seite des Drehpunkts an, zum Beispiel bei der Schubkarre.
Zweiseitiger Hebel: Der Drehpunkt liegt zwischen Kraft und Last, zum Beispiel bei der Wippe.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kraft und die Einheit Newton

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Fehlende Kraft berechnen

An einem zweiseitigen Hebel hängt eine Last von 60 N im Abstand 0.4 m vom Drehpunkt. Auf der anderen Seite drückst du im Abstand 1.2 m. Welche Kraft brauchst du für das Gleichgewicht?

Hebel von 0 bis 1.6 m mit Drehpunkt bei 0.4 m: links die Last von 60 N mit Lastarm 0.4 m, rechts die Kraft von 20 N mit Kraftarm 1.2 m.

Lösung Schritt für Schritt

Hebelgesetz aufschreiben: $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$
Bekannte Werte einsetzen, die Kraft $F_{1}$ ist gesucht: $F_{1} \cdot 1.2 m = 60 N \cdot 0.4 m = 24 Nm$
Durch den Kraftarm teilen: $F_{1} = \frac{24 Nm}{1.2 m} = 20 N$
Kontrolle: Der Kraftarm ist dreimal so lang wie der Lastarm, also brauchst du einen Drittel der Last: 60 N:3=20 N.

Du brauchst eine Kraft von 20 N.

Beispiel 2Auf der Wippe in Luzern

Ein Mädchen und ihr jüngerer Bruder sitzen auf einer Wippe am Seeufer, der Junge sitzt weiter aussen als das Mädchen.

Lia (36 kg) sitzt auf einem Spielplatz in Luzern auf der Wippe, 1.5 m vom Drehpunkt entfernt. Ihr Bruder Noah wiegt 27 kg. Wie weit vom Drehpunkt muss Noah auf der anderen Seite sitzen, damit die Wippe waagrecht bleibt?

Lösung Schritt für Schritt

Die ist mal g≈9.81 N/kg: So stark zieht die Erde an jedem Kilogramm. g steht auf beiden Seiten und kürzt sich weg. Du kannst darum direkt mit den Massen rechnen:36 kg·1.5 m=27 kg·a
Linke Seite ausrechnen:54 kg·m=27 kg·a
Durch Noahs Masse teilen: $a = \frac{54 kg \cdot m}{27 kg} = 2 m$
Kontrolle: Noah ist leichter als Lia, also muss er weiter aussen sitzen. 2 m ist mehr als 1.5 m, das passt.

Noah muss 2 m vom Drehpunkt entfernt sitzen.

Beispiel 3Die Schubkarre im Garten

Ein Junge hebt im Garten eine Schubkarre voll Erde an den Griffen an, im Hintergrund ein Gemüsebeet und ein Haus.

Tim schiebt im Garten in Thun eine Schubkarre mit Erde. Die Last von 600 N wirkt 0.4 m hinter der Radachse. Tims Hände halten die Griffe 1.2 m hinter der Radachse. Mit welcher Kraft muss er die Griffe anheben?

Schubkarre als einseitiger Hebel von 0 bis 1.2 m: Drehpunkt ist das Rad bei 0, die Last von 600 N wirkt bei 0.4 m, Tim hebt bei 1.2 m mit 200 N.

Lösung Schritt für Schritt

Die Schubkarre ist ein einseitiger Hebel: Drehpunkt ist das Rad, Last und Hände sind auf derselben Seite. Beide Arme misst du vom Rad aus.
Hebelgesetz mit den Werten:F·1.2 m=600 N·0.4 m=240 Nm
Nach F auflösen: $F = \frac{240 Nm}{1.2 m} = 200 N$
Den Rest der Last, 400 N, trägt das Rad.

Tim muss die Griffe mit 200 N anheben, einem Drittel der Last.

Beispiel 4Mehrere Kräfte auf einer Seite

Eine Stange ist in der Mitte drehbar gelagert. Links hängen 40 N im Abstand 0.3 m und 20 N im Abstand 0.1 m. Rechts hängst du ein Gewicht im Abstand 0.25 m auf. Wie schwer muss es sein?

Stange von 0 bis 0.6 m mit Drehpunkt bei 0.3 m: links 40 N bei 0 und 20 N bei 0.2 m, rechts das gesuchte Gewicht von 56 N bei 0.55 m.

Lösung Schritt für Schritt

Drehmomente links einzeln ausrechnen:40 N·0.3 m=12 Nm 20 N·0.1 m=2 Nm
Zusammenzählen: $M_{links} = 12 Nm + 2 Nm = 14 Nm$
Rechts muss dasselbe Drehmoment wirken:F·0.25 m=14 Nm
Nach F auflösen: $F = \frac{14 Nm}{0.25 m} = 56 N$

Das Gewicht rechts muss 56 N schwer sein.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Du drückst mit 50 N im Abstand 0.4 m vom Drehpunkt auf einen Hebel. Wie gross ist das Drehmoment?
Lösung zeigen
Ergebnis: M=20 Nm
Hebelarm von 0 bis 0.4 m: Drehpunkt bei 0, die Kraft von 50 N greift bei 0.4 m an.
1. M=F·a
2. M=50 N·0.4 m=20 Nm
2
Links hängen 80 N im Abstand 0.5 m vom Drehpunkt. Rechts drückst du im Abstand 1 m. Welche Kraft brauchst du für das Gleichgewicht?
Lösung zeigen
Ergebnis: F=40 N
Hebel von 0 bis 1.5 m mit Drehpunkt bei 0.5 m: links 80 N im Abstand 0.5 m, rechts 40 N im Abstand 1 m.
1. F·1 m=80 N·0.5 m=40 Nm
2. F=40 Nm:1 m=40 N
3
Einseitiger oder zweiseitiger Hebel? Schere, Schubkarre, Wippe, Nussknacker.
Lösung zeigen
Ergebnis: Zweiseitig: Schere, Wippe. Einseitig: Schubkarre, Nussknacker.
1. Schere und Wippe: Der Drehpunkt liegt zwischen Kraft und Last, also zweiseitig.
2. Schubkarre (Drehpunkt am Rad) und Nussknacker (Drehpunkt am Gelenk): Kraft und Last sind auf derselben Seite, also einseitig.
4
Eine Last von 120 N hängt 0.5 m vom Drehpunkt entfernt. Du kannst nur mit 40 N drücken. Wie lang muss der Kraftarm sein?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=1.5 m
Hebel von 0 bis 2 m mit Drehpunkt bei 0.5 m: links 120 N im Abstand 0.5 m, rechts 40 N im Abstand 1.5 m.
1. 40 N·a=120 N·0.5 m=60 Nm
2. a=60 Nm:40 N=1.5 m
5
Mit einem Kraftarm von 1 m brauchst du 60 N, um eine Last zu heben. Wie viel Kraft brauchst du mit einem Kraftarm von 2 m und von 3 m?
Lösung zeigen
Ergebnis: 30 N und 20 N
Kraft in N je nach Kraftarm in m: 60 N bei 1 m, 30 N bei 2 m, 20 N bei 3 m.
1. Das Drehmoment der Last bleibt gleich: 60 N·1 m=60 Nm.
2. 60 Nm:2 m=30 N und 60 Nm:3 m=20 N.

6
Auf einer Wippe sitzt ein Vater (75 kg) 0.6 m vom Drehpunkt entfernt. Wie weit vom Drehpunkt muss seine Tochter (25 kg) sitzen, damit die Wippe waagrecht ist?
Lösung zeigen
Ergebnis: 1.8 m
1. Mit den Massen rechnen, der Ortsfaktor g kürzt sich auf beiden Seiten weg: 75 kg·0.6 m=45 kg·m.
2. a=45 kg·m:25 kg=1.8 m.
7
Eine Schraube am Velo soll mit 30 Nm angezogen werden. Dein Schraubenschlüssel ist 20 cm lang. Mit welcher Kraft musst du am Ende ziehen? Wie viel wäre es mit einem Schlüssel von 30 cm?
Lösung zeigen
Ergebnis: 150 N, mit dem längeren Schlüssel 100 N
1. 20 cm=0.2 m: F=30 Nm:0.2 m=150 N.
2. 30 cm=0.3 m: F=30 Nm:0.3 m=100 N.
8
Eine Last von 300 N hängt 25 cm vom Drehpunkt. Der Kraftarm ist 1.5 m lang. Welche Kraft brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis: F=50 N
1. Gleiche Einheit: 25 cm=0.25 m.
2. 300 N·0.25 m=75 Nm.
3. F=75 Nm:1.5 m=50 N.
9
Du hältst eine Wasserflasche mit 10 N in der Hand, 32 cm vom Ellbogen entfernt. Der Bizeps zieht 4 cm vom Ellbogen am Unterarm. Welche Kraft muss der Muskel aufbringen? Das Gewicht des Unterarms lässt du weg.
Lösung zeigen
Ergebnis: 80 N
1. Der Unterarm ist ein einseitiger Hebel mit dem Ellbogen als Drehpunkt.
2. F·4 cm=10 N·32 cm=320 N·cm.
3. F=320 N·cm:4 cm=80 N.
10
Eine Nuss liegt im Nussknacker 2 cm vom Gelenk entfernt. Sie knackt bei 140 N. Du drückst 14 cm vom Gelenk entfernt. Wie viel Kraft brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis: 20 N
1. Einseitiger Hebel, Drehpunkt ist das Gelenk.
2. F·14 cm=140 N·2 cm=280 N·cm.
3. F=280 N·cm:14 cm=20 N.

11
Auf der linken Seite einer Wippe sitzen zwei Kinder: eines mit 300 N im Abstand 1.5 m, eines mit 250 N im Abstand 0.6 m. Rechts sitzt ein Kind 2 m vom Drehpunkt. Wie schwer muss es sein, damit die Wippe waagrecht ist?
Lösung zeigen
Ergebnis: 300 N
1. Links: 300 N·1.5 m+250 N·0.6 m=450 Nm+150 Nm=600 Nm.
2. Rechts: F·2 m=600 Nm.
3. F=300 N.
12
Mit einer 1.5 m langen Eisenstange willst du einen Stein mit 900 N anheben. Du drückst am anderen Ende mit 300 N. Wie weit vom Stein musst du den Drehpunkt (einen Holzklotz) unter die Stange legen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.375 m, also etwa 38 cm
1. Die Last ist dreimal so gross wie deine Kraft. Also muss dein Arm dreimal so lang sein wie der Lastarm.
2. Lastarm a und Kraftarm 3a geben zusammen die Stange: a+3a=4a=1.5 m.
3. a=1.5 m:4=0.375 m. Probe: 900·0.375=337.5 und 300·1.125=337.5.
13
Ein Hebel hat einen Kraftarm von 1.2 m und einen Lastarm von 0.3 m. Du drückst dein Ende 40 cm nach unten. Wie weit hebt sich die Last? Wie viel Kraft sparst du?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Last hebt sich um 10 cm. Du brauchst nur einen Viertel der Kraft.
1. Der Kraftarm ist 1.2:0.3=4-mal so lang wie der Lastarm.
2. Die Wege verhalten sich wie die Arme: 40 cm:4=10 cm.
3. Die Kräfte verhalten sich umgekehrt: Du brauchst einen Viertel der Last. Kraft mal Weg ist auf beiden Seiten gleich.
14
Auf einer Wippe ist Gleichgewicht: links 400 N im Abstand 1.5 m, rechts 300 N im Abstand 2 m. Beide Kinder rutschen je 0.5 m näher zum Drehpunkt. Bleibt die Wippe waagrecht?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein. Die rechte Seite mit dem leichteren Kind sinkt nach unten.
1. Vorher: 400·1.5=600 und 300·2=600, Gleichgewicht.
2. Nachher links: 400 N·1 m=400 Nm, rechts: 300 N·1.5 m=450 Nm.
3. Rechts dreht stärker: Die rechte Seite mit dem leichteren Kind sinkt, die linke geht nach oben.

Verwechselst du Kraftarm und Lastarm oder misst den Hebelarm vom falschen Punkt aus, geht eine Lehrperson die Aufgaben mit dir Schritt für Schritt durch. Nachhilfe in Physik für die Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Physik

Meist in der 1. oder 2. Sek im Fach Natur und Technik: zuerst mit Wippe und Balkenwaage im Versuch, dann als Rechnung mit Kraft, Hebelarm und Drehmoment. Im Gymnasium kommt das Drehmoment bei schrägen Kräften dazu.

NT.5.1.dKräfte am Hebel in einer Skizze darstellen und im Versuch zeigen, dass ein langer Hebelarm die nötige Kraft verkleinert.
NT.5.1.eBegründen, dass ein Hebel Kraft spart, der Weg der Hand dafür aber länger wird (goldene Regel der Mechanik).
NT.5.1.bEine Kraft mit Angriffspunkt, Richtung und Betrag beschreiben und als Pfeil zeichnen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was sagt das Hebelgesetz einfach erklärt?

Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm ist: $F_{1} \cdot a_{1} = F_{2} \cdot a_{2}$ . Je länger dein Arm, desto weniger Kraft brauchst du. Darum hebt eine lange Stange einen schweren Stein.

Was ist der Unterschied zwischen einseitigem und zweiseitigem Hebel?

Beim zweiseitigen Hebel liegt der Drehpunkt zwischen Kraft und Last, wie bei Wippe oder Schere. Beim einseitigen Hebel greifen beide auf derselben Seite an, wie bei Schubkarre oder Nussknacker. Das Hebelgesetz gilt für beide gleich.

Spart man mit einem Hebel Energie?

Nein. Du sparst Kraft, aber dafür wird dein Weg länger. Kraft mal Weg bleibt gleich, das ist die goldene Regel der Mechanik.

In welcher Klasse kommt das Hebelgesetz dran?

Meist in der 1. oder 2. Sek im Fach Natur und Technik. Zuerst probierst du es mit Wippe und Balkenwaage aus, danach rechnest du mit dem Hebelgesetz und dem Drehmoment.