Beschleunigung: Formeln, Bremsweg und freier Fall

Die Beschleunigung sagt, um wie viel sich die Geschwindigkeit pro Sekunde ändert: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Mit wenigen Formeln berechnest du daraus Geschwindigkeit, Weg und Zeit, vom Anfahren bis zum Bremsweg und zum freien Fall.

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2. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: NT.5.1.f

Jugendliche fahren mit ihren Velos an einer grünen Ampel in einer Schweizer Altstadt los.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Beschleunigung sagt, um wie viel sich die Geschwindigkeit pro Sekunde ändert: $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ , Einheit m/s². Mit ihr und wenigen weiteren Formeln berechnest du Geschwindigkeit, Weg und Zeit einer Bewegung.

Gleichförmige Bewegung: v = s : t

Bei einer gleichförmigen Bewegung bleibt die Geschwindigkeit gleich. In jeder Sekunde kommt gleich viel Weg dazu:

v=st s=v·t t=sv

Gerechnet wird in Metern und Sekunden. Von km/h zu m/s teilst du durch 3.6: 72 km/h=20 m/s.

Im Weg-Zeit-Diagramm ist das eine Gerade. Je steiler, desto schneller.

Merkekm/h durch 3.6 gibt m/s. Grund: $1 km/h = \frac{1000 m}{3600 s}$ .

Weg-Zeit-Diagramm eines Velos mit 5 m/s: waagrecht die Zeit in Sekunden, senkrecht der Weg in Metern. Nach 2 s sind es 10 m, nach 4 s 20 m, nach 10 s 50 m.

Was Beschleunigung bedeutet

Wird ein Körper schneller oder langsamer, ist er beschleunigt:

a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v _{End} - v _{Anfang}}{Δ t}

$Δ$ (Delta) heisst «Änderung von». Kommt ein Auto in 8 s von 0 auf 20 m/s, ist a=2.5 m/s²: Es wird jede Sekunde 2.5 m/s schneller.

Beim Bremsen ist a negativ (die Fahrtrichtung zählt positiv). Den Betrag nennt man auch Verzögerung.

Merkem/s² heisst: Die Geschwindigkeit ändert sich um so viele m/s in jeder Sekunde.

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eines Autos, das mit 2.5 m/s² aus dem Stand anfährt: waagrecht die Zeit in Sekunden, senkrecht die Geschwindigkeit in m/s. Nach 4 s sind es 10 m/s, nach 8 s 20 m/s.

Anfahren aus dem Stand

Bleibt a gleich, ist die Bewegung gleichmässig beschleunigt. Aus dem Stand gilt:

v=a·t s=12·a·t² v²=2·a·s

Woher das 12 kommt: v wächst gleichmässig von 0 an. Im Mittel ist der Körper nur v2 schnell, also s=v2·t.

Die dritte Formel enthält keine Zeit. Du nimmst sie, wenn t weder gegeben noch gefragt ist.

MerkeDoppelte Zeit, vierfacher Weg: Die Zeit steht in s=12at² im Quadrat.

Mit Anfangsgeschwindigkeit und beim Bremsen

Mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ gilt:

v = v_{0} + a \cdot t s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s

Beim Bremsen bis zum Stillstand ist am Schluss v=0. Daraus folgt der Bremsweg mit dem Betrag a der Verzögerung:

s_{B} = \frac{v _{0}^{2}}{2 \cdot a}

Während der Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter (Reaktionsweg $v_{0} \cdot t_{R}$ ). Reaktionsweg plus Bremsweg ergibt den Anhalteweg.

MerkeDoppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg.

Diagramme lesen

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung eine schräge Gerade.

Die Steigung ist die Beschleunigung. Waagrecht heisst a=0.
Die Fläche unter der Linie ist der Weg. Aus dem Stand ist sie ein Dreieck: s=12·t·v.

Im Weg-Zeit-Diagramm wird dieselbe Bewegung zur Parabel, weil s mit t² wächst.

Weg-Zeit-Diagramm beim Anfahren mit 2 m/s² aus dem Stand: waagrecht die Zeit in Sekunden, senkrecht der Weg in Metern. Nach 1 s sind es 1 m, nach 2 s 4 m, nach 3 s 9 m, nach 5 s 25 m. Die Kurve ist eine Parabel.

Freier Fall

Ein losgelassener Stein fällt gleichmässig beschleunigt. Die Fallbeschleunigung beträgt in der Schweiz g≈9.81 m/s².

Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich schnell. Du setzt g für a in die Formeln aus dem Stand ein:

v = g \cdot t s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} v = 2 \cdot g \cdot s

Bei Blättern oder Papier bremst die Luft stark. Dort stimmen die Formeln nicht.

MerkeFreier Fall ist Anfahren aus dem Stand mit a=g=9.81 m/s².

Alle Formeln auf einen Blick

Bewegung	Geschwindigkeit	Weg
gleichförmig	v=st	s=v·t
aus dem Stand	v=a·t	s=12at²
mit $v_{0}$	$v = v_{0} + a \cdot t$	$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
freier Fall	v=g·t	s=12gt²

Ohne Zeit: $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ , Bremsweg $s_{B} = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ .

Vorgehen: in m, s und m/s umrechnen, die Formel wählen, in der nur die gesuchte Grösse fehlt, auflösen, einsetzen.

Geschwindigkeit und Beschleunigung (formeln beschleunigung): Übersicht mit Tabelle Alle Formeln auf einen Blick. — Geschwindigkeit und Beschleunigung auf einen Blick: Alle Formeln auf einen Blick als Tabelle.

Häufige Fehler

✕Ein Auto kommt in 10 s von 0 auf 100 km/h, also ist a=10010=10 m/s².
✓Zuerst umrechnen: 100 km/h≈27.8 m/s. Dann ist $a = \frac{27.8 m/s}{10 s} \approx 2.8 m/s^{2}$ .
✕Ein Körper fährt aus dem Stand in 10 s auf 20 m/s. Sein Weg ist s=v·t=20·10=200 m.
✓s=v·t gilt nur bei gleichbleibender Geschwindigkeit. Im Mittel war der Körper 10 m/s schnell: s=12·20 m/s·10 s=100 m.
✕Bei doppelter Geschwindigkeit ist der Bremsweg doppelt so lang.
✓Im Bremsweg $s_{B} = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ steht die Geschwindigkeit im Quadrat. Doppelte Geschwindigkeit gibt den vierfachen Bremsweg.
✕Ist die Beschleunigung null, steht der Körper still.
✓a=0 heisst nur, dass sich die Geschwindigkeit nicht ändert. Der Körper kann stillstehen oder gleichförmig weiterfahren, etwa ein Zug mit konstant 120 km/h.

Begriffe zum Nachschlagen

gleichförmige Bewegung: Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Es gilt s = v · t, die Beschleunigung ist null.
Beschleunigung: Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit: a = Δv/Δt, Einheit m/s². Beim Bremsen ist sie negativ, wenn die Fahrtrichtung positiv zählt.
gleichmässig beschleunigte Bewegung: Bewegung mit gleichbleibender Beschleunigung. Die Geschwindigkeit ändert sich in jeder Sekunde um gleich viel.
Anfangsgeschwindigkeit: Geschwindigkeit zu Beginn der Beobachtung, Zeichen v₀. Aus dem Stand ist sie null.
Bremsweg: Weg vom Beginn des Bremsens bis zum Stillstand: s = v₀²/(2a).
Fallbeschleunigung: Beschleunigung eines frei fallenden Körpers, Zeichen g. In der Schweiz etwa 9.81 m/s².
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: Diagramm mit der Zeit nach rechts und der Geschwindigkeit nach oben. Die Steigung ist die Beschleunigung, die Fläche darunter der Weg.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Geschwindigkeit, Weg und Zeit

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Beschleunigung und Weg beim Anfahren

Ein Auto fährt aus dem Stand gleichmässig beschleunigt an und hat nach 8.0 s eine Geschwindigkeit von 72 km/h. Berechne die Beschleunigung und den Weg in dieser Zeit.

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm des Autos: eine Gerade von 0 bis 20 m/s nach 8 s. Die Dreiecksfläche darunter ist der Weg von 80 m.

Lösung Schritt für Schritt

Geschwindigkeit in m/s umrechnen: $v = 72 \frac{km}{h} = \frac{72}{3.6} \frac{m}{s} = 20 \frac{m}{s}$
Beschleunigung mit der Grundformel: $a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{20 \frac{m}{s}}{8.0 s} = 2.5 \frac{m}{s ^{2}}$
Weg beim Anfahren aus dem Stand: $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (8.0 s)^{2} = 80 m$
Kontrolle mit der mittleren Geschwindigkeit: $\frac{20 m/s}{2} \cdot 8.0 s = 80 m$ .

Das Auto beschleunigt mit 2.5 m/s² und legt dabei 80 m zurück.

Beispiel 2Die S-Bahn fährt aus dem Bahnhof

Eine rot-weisse S-Bahn fährt aus einem Schweizer Bahnhof, Reisende winken vom Perron.

Eine S-Bahn fährt in Winterthur aus dem Bahnhof. Sie beschleunigt 25 s lang gleichmässig mit 0.80 m/s². Wie schnell ist sie danach, in m/s und km/h? Welchen Weg hat sie zurückgelegt?

Lösung Schritt für Schritt

Die S-Bahn startet aus dem Stand, also gilt: $v = a \cdot t = 0.80 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 25 s = 20 \frac{m}{s}$
In km/h umrechnen: $20 \frac{m}{s} \cdot 3.6 = 72 \frac{km}{h}$
Weg aus dem Stand: $s = \frac{1}{2} \cdot 0.80 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (25 s)^{2} = 0.40 \cdot 625 m = 250 m$

Nach 25 s fährt die S-Bahn 20 m/s, also 72 km/h. Sie hat dabei 250 m zurückgelegt.

Beispiel 3Ein Stein fällt von der Brücke

Ein Junge lässt von einer hohen Steinbrücke über einer Schlucht einen Stein in den Bergfluss fallen.

Ein Stein fällt von einer Brücke 20 m tief in einen Fluss. Wie lange fällt er, und wie schnell ist er beim Aufprall? Den Luftwiderstand vernachlässigst du. (g=9.81 m/s²)

Lösung Schritt für Schritt

Freier Fall aus dem Stand: s=12·g·t² nach t auflösen: $t = \frac{2 \cdot s}{g} = \frac{2 \cdot 20 m}{9.81 \frac{m}{s ^{2}}} \approx 2.0 s$
Geschwindigkeit beim Aufprall: $v = g \cdot t = 9.81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 2.02 s \approx 19.8 \frac{m}{s}$
Kontrolle ohne Zeit: $v = 2 \cdot g \cdot s = 2 \cdot 9.81 \cdot 20 m/s \approx 19.8 m/s$ , das sind gut 71 km/h.

Der Stein fällt etwa 2.0 s und trifft mit etwa 19.8 m/s (gut 71 km/h) auf das Wasser.

Beispiel 4Anhalteweg bei Tempo 50 und Tempo 30

Ein Auto bremst in einer Wohnstrasse, direkt vor ihm rollt ein Ball über die Fahrbahn.

In Luzern rollt plötzlich ein Ball auf die Strasse. Eine Autofahrerin reagiert nach 1.0 s und bremst dann mit 6.0 m/s². Wie lang ist ihr Anhalteweg bei 50 km/h, und wie lang wäre er bei 30 km/h?

Lösung Schritt für Schritt

Geschwindigkeiten in m/s: $50 \frac{km}{h} = \frac{50}{3.6} \frac{m}{s} \approx 13.9 \frac{m}{s} 30 \frac{km}{h} \approx 8.33 \frac{m}{s}$
Bei Tempo 50: Reaktionsweg und Bremsweg zusammenzählen. $s = 13.9 m + \frac{( 13.9 \frac{m}{s} ) ^{2}}{2 \cdot 6.0 \frac{m}{s ^{2}}} \approx 13.9 m + 16.1 m = 30 m$
Bei Tempo 30 genauso: $s = 8.3 m + \frac{( 8.33 \frac{m}{s} ) ^{2}}{2 \cdot 6.0 \frac{m}{s ^{2}}} \approx 8.3 m + 5.8 m \approx 14 m$
Der Bremsweg schrumpft stärker als der Reaktionsweg, weil die Geschwindigkeit im Quadrat steht.

Bei 50 km/h steht das Auto nach etwa 30 m, bei 30 km/h schon nach etwa 14 m, also nach weniger als der Hälfte.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Ein Velo fährt gleichförmig mit 5.0 m/s. Wie weit kommt es in einer Minute?
Lösung zeigen
Ergebnis: s=300 m
Weg-Zeit-Diagramm des Velos: eine Gerade durch den Nullpunkt, nach 60 s sind es 300 m.
1. Gleichförmige Bewegung: s=v·t, mit t=60 s.
2. s=5.0 m/s·60 s=300 m.
2
Rechne 90 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
Ergebnis: 25 m/s
1. Von km/h zu m/s teilst du durch 3.6.
2. 903.6=25, also 25 m/s.
3
Ein Trottinett wird in 4.0 s gleichmässig von 0 auf 6.0 m/s schneller. Wie gross ist seine Beschleunigung?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=1.5 m/s²
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm des Trottinetts: eine Gerade von 0 auf 6 m/s in 4 s. Ihre Steigung ist die Beschleunigung.
1. $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ .
2. $a = \frac{6.0 m/s}{4.0 s} = 1.5 m/s^{2}$ .
4
Ein Körper startet aus dem Stand und beschleunigt mit 3.0 m/s². Wie schnell ist er nach 5.0 s?
Lösung zeigen
Ergebnis: v=15 m/s
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: aus dem Stand mit 3 m/s², nach 5 s sind es 15 m/s.
1. Aus dem Stand: v=a·t.
2. v=3.0 m/s²·5.0 s=15 m/s.
5
Ein Lift fährt mit konstant 1.5 m/s nach oben. Wie gross ist seine Beschleunigung?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=0
1. Die Geschwindigkeit ändert sich nicht, also ist $Δ v = 0$ .
2. Damit ist auch a=0. Der Lift bewegt sich gleichförmig.

6
Ein Körper beschleunigt aus dem Stand 6.0 s lang mit 2.0 m/s². Welchen Weg legt er zurück?
Lösung zeigen
Ergebnis: s=36 m
1. s=12·a·t².
2. s=12·2.0·6.0² m=36 m.
7
Ein Auto bremst in 4.0 s gleichmässig von 72 km/h bis zum Stillstand. Wie gross ist die Beschleunigung?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=−5.0 m/s² (Verzögerung 5.0 m/s²)
1. 72 km/h=20 m/s.
2. $a = \frac{0 - 20 m/s}{4.0 s} = - 5.0 m/s^{2}$ .
3. Das Minus zeigt: Das Auto wird langsamer (die Fahrtrichtung zählt positiv).
8
Ein Motorrad beschleunigt in 5.0 s gleichmässig von 36 km/h auf 90 km/h. Berechne die Beschleunigung und den Weg in dieser Zeit.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=3.0 m/s², s=87.5 m
1. 36 km/h=10 m/s, 90 km/h=25 m/s.
2. a=25−105.0 m/s²=3.0 m/s².
3. $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} = 10 \cdot 5.0 m + \frac{1}{2} \cdot 3.0 \cdot 25 m = 50 m + 37.5 m = 87.5 m$ .
9
Ein Stein fällt 3.0 s lang frei. Wie tief ist er gefallen, und wie schnell ist er dann? (g=9.81 m/s², ohne Luftwiderstand)
Lösung zeigen
Ergebnis: s≈44 m, v≈29.4 m/s
1. s=12·g·t²=12·9.81·9.0 m≈44.1 m.
2. v=g·t=9.81·3.0 m/s≈29.4 m/s.
10
Ein Zug legt 84 km in 42 Minuten zurück. Wie gross ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h und in m/s?
Lösung zeigen
Ergebnis: 120 km/h≈33.3 m/s
1. 42 min=0.70 h.
2. $v = \frac{84 km}{0.70 h} = 120 km/h$ .
3. 1203.6≈33.3 m/s.

11
Ein Auto fährt mit 72 km/h und bremst mit 8.0 m/s² bis zum Stillstand. Wie lang sind Bremsweg und Bremszeit?
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{B} = 25 m$ , t=2.5 s
1. $v_{0} = 20 m/s$ .
2. $s_{B} = \frac{v _{0}^{2}}{2 a} = \frac{400}{16} m = 25 m$ .
3. $t = \frac{v _{0}}{a} = \frac{20}{8.0} s = 2.5 s$ .
12
Bei 50 km/h hat ein Auto einen Bremsweg von 16 m. Die Fahrerin reagiert nach 1.0 s. Wie lang ist ihr Anhalteweg bei 100 km/h, wenn sie gleich stark bremst?
Lösung zeigen
Ergebnis: Anhalteweg ≈92 m (Reaktionsweg ≈27.8 m, Bremsweg 64 m)
1. $s_{B} = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ : Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.
2. Doppelte Geschwindigkeit: 2²=4, also Bremsweg 4·16 m=64 m.
3. Reaktionsweg bei 100 km/h≈27.8 m/s: 27.8 m/s·1.0 s≈27.8 m.
4. Anhalteweg: 27.8 m+64 m≈92 m.
13
Ein Flugzeug braucht zum Abheben 70 m/s. Die Startbahn ist 1'750 m lang. Mit welcher Beschleunigung muss es mindestens gleichmässig anrollen, und wie lange dauert das?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=1.4 m/s², t=50 s
1. Ohne Zeit aus dem Stand: v²=2as, also a=v²2s.
2. a=70²2·1'750 m/s²=4'9003'500 m/s²=1.4 m/s².
3. t=va=701.4 s=50 s.
14
Du wirfst einen Ball mit 15 m/s senkrecht nach oben. Wie hoch steigt er, und wie lange dauert der Aufstieg? (g=9.81 m/s², ohne Luftwiderstand)
Lösung zeigen
Ergebnis: h≈11.5 m, t≈1.5 s
1. Auf dem Weg nach oben bremst die Gewichtskraft den Ball mit g, bis v=0.
2. Wie ein Bremsweg: $h = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = \frac{225}{19.62} m \approx 11.5 m$ .
3. $t = \frac{v _{0}}{g} = \frac{15}{9.81} s \approx 1.5 s$ .
15
Ein Auto steht an einer Ampel. Bei Grün fährt es mit 2.0 m/s² an. Genau in diesem Moment fährt ein Velo mit konstant 6.0 m/s an ihm vorbei. Nach welcher Zeit und welchem Weg holt das Auto das Velo ein? Wie schnell ist das Auto dann?
Lösung zeigen
Ergebnis: nach 6.0 s und 36 m, das Auto fährt dann 12 m/s
1. Weg des Autos: $s_{A} = \frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot t^{2} = t^{2}$ . Weg des Velos: $s_{V} = 6.0 \cdot t$ .
2. Einholen heisst gleicher Weg: t²=6.0 t, also t=6.0 s.
3. Weg: 6.0·6.0 m=36 m. Auto: v=2.0·6.0 m/s=12 m/s.

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Trainer: Geschwindigkeit und Beschleunigung

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Physik

In der 2. und 3. Sek im Fach Natur und Technik vor allem an Diagrammen, im 1. Jahr Gymnasium mit den Bewegungsgleichungen, dem Bremsweg und dem freien Fall.

NT.5.1.fBeschleunigte Bewegungen im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erkennen, zeichnen und mit Geschwindigkeit, Zeit und Beschleunigung beschreiben.
NT.5.1.aBewegungen mit gleichbleibender Geschwindigkeit als Gerade im Weg-Zeit-Diagramm erkennen und darstellen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Welche Formeln brauche ich für die Beschleunigung?

Die Grundformel ist $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ . Für gleichmässig beschleunigte Bewegungen kommen $v = v_{0} + a t$ , $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ und die Formel ohne Zeit $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ dazu. Aus dem Stand ist $v_{0} = 0$ , beim freien Fall setzt du g für a ein.

Wann nehme ich s = v · t und wann s = ½ · a · t²?

s=v·t gilt nur, wenn die Geschwindigkeit gleich bleibt. Ändert sie sich gleichmässig, nimmst du s=12at² (aus dem Stand) oder $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ (mit Anfangsgeschwindigkeit).

Warum muss ich km/h in m/s umrechnen?

Die Beschleunigung hat die Einheit m/s², die Zeit misst du in Sekunden. Setzt du km/h ein, passen die Einheiten nicht zusammen, und das Ergebnis ist falsch. Teile km/h durch 3.6, dann hast du m/s.

In welcher Klasse kommt die Beschleunigung dran?

In der Sek meist in der 2. oder 3. Klasse im Fach Natur und Technik, oft an Diagrammen. Im Gymnasium rechnest du im 1. Jahr mit den Bewegungsgleichungen, dem Bremsweg und dem freien Fall.