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Fokus Nachhilfe

Kombinatorik: Aufgaben und Übungen

Kombinatorik heisst geschickt zählen: Wie viele Möglichkeiten gibt es für Kleider, Codes, Reihenfolgen oder Turnierspiele? Mit Baumdiagramm und Zählprinzip musst du nicht jede Möglichkeit einzeln aufschreiben.

  • 4. Klasse - 3. Sek
  • Zyklus 2–3
  • Lehrplan 21: MA.3.B.2.c
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Drei Kinder stehen an einem Glacestand am See und überlegen, welche Sorten sie wählen.

Das musst du wissen

Erklärung

Kombinatorik heisst: zählen, wie viele Möglichkeiten es gibt. Wählst du in mehreren Schritten, du die Möglichkeiten der einzelnen Schritte. Am Schluss prüfst du, ob die Reihenfolge zählt und ob du etwas doppelt gezählt hast.

1 von 6

Geordnet aufschreiben

Lea hat 3 T-Shirts (rot, blau, gelb) und 2 Hosen (Jeans, Shorts). Schreib zuerst alle Kombinationen mit dem roten T-Shirt auf, dann alle mit dem blauen, dann mit dem gelben.

rot–Jeans, rot–Shorts, blau–Jeans, blau–Shorts, gelb–Jeans, gelb–Shorts. Das sind 6 Kombinationen.

MerkeGeordnet aufschreiben: So vergisst du keine Möglichkeit und zählst keine doppelt.

2 von 6

Das Baumdiagramm

Zeichne für jedes T-Shirt einen Ast. An jeden dieser Äste hängst du für jede Hose einen neuen Ast.

Jedes Ende des Baums ist eine Kombination. Bei 3 T-Shirts und 2 Hosen hat der Baum 3·2=6 Enden. Den Weg vom Anfang zu einem Ende nennt man Pfad.

MerkeZähle die Enden des Baums, nicht die Äste.

3 von 6

Das Zählprinzip

Wählst du in mehreren Schritten, multiplizierst du die Möglichkeiten der Schritte. Am Glacestand gibt es 4 Sorten und 3 Saucen. Jede Sorte passt zu jeder Sauce:

4·3=12

Kommen noch 2 Becherfarben dazu, sind es 4·3·2=24 Glaces.

MerkeNacheinander wählen heisst multiplizieren, nicht zusammenzählen.

Eis + +
Drei Gruppen, eine pro Sauce, mit je 4 Glacesorten: zusammen 12 Möglichkeiten.

4 von 6

Reihenfolgen und Fakultät

4 Kinder stellen sich in eine Reihe. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten noch 3, dann 2, dann 1:

4·3·2·1=24

Kurz schreibt man 4! und sagt «4 Fakultät». Genauso ist 5!=120 und 6!=720.

Merken Fakultät (n!) heisst: alle Zahlen von n hinunter bis 1 multiplizieren.

1. Platz42. Platz33. Platz24. Platz1
Säulen für die 4 Plätze: Für jeden weiteren Platz bleibt eine Möglichkeit weniger, also 4, 3, 2 und 1.

5 von 6

Mit oder ohne Wiederholung

Bei einem Veloschloss mit 3 Rädchen darf sich eine wiederholen, zum Beispiel 557. Jedes Rädchen hat 10 Ziffern: 10·10·10=1000 Codes.

Beim Podest ist es anders: Wer Gold hat, bekommt nicht auch Silber. Bei 8 Kindern gibt es 8·7·6=336 Möglichkeiten für die drei Medaillen.

MerkeDarf sich etwas wiederholen, bleibt die Zahl gleich. Sonst wird sie bei jedem Platz um 1 kleiner.

6 von 6

Doppelt gezählt, darum durch 2

5 Kinder geben sich je einmal die Hand. Jedes gibt 4 anderen die Hand: 5·4=20. Aber «Lea mit Noah» und «Noah mit Lea» ist derselbe Handschlag.

Jeder ist doppelt gezählt, also 20:2=10 Handschläge. Bei Dreiergruppen zählst du jede Gruppe 6-mal (3·2·1), darum teilst du durch 6.

MerkeZählt die Reihenfolge nicht, teilst du: bei Paaren durch 2, bei Dreiergruppen durch 6.

Kombinatorik (kombinatorik aufgaben): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Geordnet aufschreiben: So vergisst du keine Möglichkeit und zählst keine doppelt. Beispiel: Mia kann 12 verschiedene Kombinationen anziehen.
Merkblatt Kombinatorik: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

  • ✕3 T-Shirts und 4 Hosen geben 3+4=7 Kombinationen.

    ✓Jedes T-Shirt passt zu jeder Hose. Darum multiplizierst du: 3·4=12.

  • ✕​4!=4+3+2+1=10

    ✓Bei der Fakultät wird multipliziert: 4!=4·3·2·1=24.

  • ✕Ein Veloschloss mit 3 Rädchen hat 10·9·8=720 Codes.

    ✓Beim Code darf sich eine Ziffer wiederholen, zum Beispiel 337. Also 10·10·10=1000 Codes.

  • ✕6 Kinder geben sich die Hand, das sind 6·5=30 Handschläge.

    ✓So ist jeder Handschlag doppelt gezählt. Richtig sind 30:2=15 Handschläge.

Begriffe zum Nachschlagen
Kombinatorik
Die Mathematik vom geschickten Zählen: Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Baumdiagramm
Eine Zeichnung mit Ästen, eine Verzweigung pro Wahl. Jedes Ende ist eine Möglichkeit.
Zählprinzip
Wählst du nacheinander, multiplizierst du die Anzahl Möglichkeiten der einzelnen Schritte.
Fakultät
Alle Zahlen von n hinunter bis 1 miteinander multipliziert, geschrieben n!. Zum Beispiel ist 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Permutation
Eine Anordnung von Dingen in einer Reihe, also ein anderes Wort für Reihenfolge.
Mit Wiederholung
Dasselbe darf mehrmals vorkommen, zum Beispiel zweimal die Ziffer 5 im Code 551.
Ohne Wiederholung
Jedes kommt höchstens einmal vor, zum Beispiel steht jedes Kind nur auf einem Podestplatz.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Einmaleins (kleines 1×1)

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Kleider fürs Klassenlager

Ein Mädchen packt in seinem Zimmer T-Shirts, Hosen und Pullover in eine Reisetasche.

Mia packt fürs Klassenlager in Fiesch 3 T-Shirts, 2 Hosen und 2 Pullover ein. Wie viele verschiedene Kombinationen aus T-Shirt, Hose und Pullover kann sie anziehen?

  1. Zeichne ein Baumdiagramm. Für die T-Shirts gibt es 3 Äste.
  2. An jeden T-Shirt-Ast hängst du 2 Äste für die Hosen. Das gibt 6 Enden.3·2=6
  3. An jedes dieser 6 Enden kommen 2 Äste für die Pullover.6·2=12
  4. Kürzer mit dem Zählprinzip: Multipliziere die Anzahlen aller drei Kleidungsstücke.3·2·2=12

Mia kann 12 verschiedene Kombinationen anziehen.

Beispiel 2Fakultät ausrechnen

Berechne 5!. Wie bekommst du daraus schnell 6!?

1. Platz52. Platz43. Platz34. Platz25. Platz1
Säulen für 5 Plätze in einer Reihe: 5, 4, 3, 2 und 1 Möglichkeiten. Alle multipliziert gibt das 5! = 120.
  1. ​5! heisst: alle Zahlen von 5 hinunter bis 1 multiplizieren.5!=5·4·3·2·1
  2. Rechne von links: 5·4=20, 20·3=60, 60·2=120, mal 1 bleibt 120.5!=120
  3. In 6! steckt 5! schon drin. Du musst nur noch mit 6 multiplizieren.6!=6·5!=6·120=720
  4. Das heisst auch: 5 Kinder können sich auf 120 Arten in eine Reihe stellen, 6 Kinder auf 720 Arten.

​5!=120 und 6!=720

Beispiel 3Podest beim Skirennen

Drei Kinder auf Ski winken fröhlich am Hang, dahinter fährt ein Kind zwischen Slalomstangen hinunter, im Hintergrund ein verschneites Bergdorf.

Beim Schülerskirennen in Lenzerheide fahren 9 Kinder mit. Wie viele Möglichkeiten gibt es für Gold, Silber und Bronze?

  1. Für Gold kommen alle 9 Kinder in Frage.
  2. Wer Gold hat, bekommt nicht auch Silber. Für Silber bleiben 8 Kinder, für Bronze noch 7.
  3. Die Reihenfolge zählt: Gold für Lea und Silber für Noah ist etwas anderes als umgekehrt. Darum multiplizierst du und teilst nicht.9·8·7=504

Es gibt 504 Möglichkeiten für das Podest.

Beispiel 4Jedes gegen jedes

Kinder spielen in einer Turnhalle Unihockey, zwei Teams in verschiedenfarbigen Leibchen.

Beim Unihockeyturnier in Zug spielen 8 Teams. Jedes Team spielt genau einmal gegen jedes andere. Wie viele Spiele gibt es?

  1. Jedes der 8 Teams spielt gegen 7 andere.8·7=56
  2. So ist jedes Spiel doppelt gezählt: Team A gegen Team B ist dasselbe Spiel wie Team B gegen Team A.
  3. Darum teilst du durch 2.56:2=28
  4. Kontrolle mit kleinen Zahlen: Bei 3 Teams sind es 3·2:2=3 Spiele, nämlich A–B, A–C und B–C.

Am Turnier gibt es 28 Spiele.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Am Glacestand gibt es Vanille, Schoggi und Erdbeer. Du kannst die Kugel im Cornet oder im Becher nehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 6 Möglichkeiten

    Cornet3Becher3
    Im Cornet gibt es 3 Sorten, im Becher auch 3: zusammen 6 Möglichkeiten.
    1. Zu jeder der 3 Sorten passen 2 Behälter: 3·2=6.
    2. Geordnet: Vanille im Cornet, Vanille im Becher, Schoggi im Cornet, Schoggi im Becher, Erdbeer im Cornet, Erdbeer im Becher.
  2. 2

    Bilde mit den Ziffern 2, 5, 7 und 8 Zahlen. Jede Ziffer darf in einer Zahl nur einmal vorkommen. Wie viele Zahlen gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 12 Zahlen

    1. Für die Zehnerstelle gibt es 4 Ziffern, für die Einerstelle bleiben noch 3.
    2. ​4·3=12
    3. Geordnet: 25, 27, 28, 52, 57, 58, 72, 75, 78, 82, 85, 87.
  3. 3

    Gian stellt 4 verschiedene Bücher nebeneinander ins Regal. Auf wie viele Arten geht das?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 24 Arten

    1. Platz42. Platz33. Platz24. Platz1
    Säulen für die 4 Plätze im Regal: 4, 3, 2 und 1 Möglichkeiten, zusammen 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
    1. Für den ersten Platz gibt es 4 Bücher, dann 3, dann 2, dann 1.
    2. ​4·3·2·1=24
    3. Kurz: 4!=24.
  4. 4

    Ein Signal besteht aus 2 Lämpchen nebeneinander. Jedes leuchtet rot, gelb oder grün. Wie viele verschiedene Signale gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 9 Signale

    Glühbirne + +
    Drei Gruppen, eine für jede Farbe des linken Lämpchens, mit je 3 Farben für das rechte: 9 Signale.
    1. Das linke Lämpchen hat 3 Farben, das rechte auch 3.
    2. Die Farben dürfen sich wiederholen, zum Beispiel rot–rot.
    3. ​3·3=9
  5. 5

    Lea, Noah, Mia und Elias geben sich zur Begrüssung je einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 6 Handschläge

    Lea3Noah2Mia1
    Geordnet gezählt: Lea gibt 3 Kindern die Hand, Noah noch 2 neuen, Mia noch 1. Elias hat dann schon allen die Hand gegeben: 3 + 2 + 1 = 6 Handschläge.
    1. Jedes der 4 Kinder gibt 3 anderen die Hand: 4·3=12.
    2. So ist jeder Handschlag doppelt gezählt: 12:2=6.
    3. Geordnet: Lea–Noah, Lea–Mia, Lea–Elias, Noah–Mia, Noah–Elias, Mia–Elias.
  1. 6

    Im Restaurant in Luzern gibt es heute 3 Vorspeisen, 4 Hauptgänge und 2 Desserts. Wie viele verschiedene Menüs aus Vorspeise, Hauptgang und Dessert sind möglich?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 24 Menüs

    1. Zählprinzip: Jede Vorspeise passt zu jedem Hauptgang und jedem Dessert.
    2. ​3·4·2=24
  2. 7

    Wie viele dreistellige Zahlen kannst du nur mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden? Jede Ziffer darf mehrmals vorkommen.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 125 Zahlen

    1. Für jede der 3 Stellen gibt es 5 Ziffern, auch 555 ist erlaubt.
    2. ​5·5·5=125
  3. 8

    Die 12 Kinder des Schülerrats wählen ein Kind für das Präsidium und ein anderes für die Stellvertretung. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 132 Möglichkeiten

    1. Für das Präsidium gibt es 12 Kinder, für die Stellvertretung bleiben 11.
    2. Die Reihenfolge zählt: Präsidium ist nicht dasselbe wie Stellvertretung. Darum wird nicht geteilt.
    3. ​12·11=132
  4. 9

    9 Kinder treffen sich zum Geburtstagsfest. Jedes gibt jedem anderen genau einmal die Hand. Wie viele Handschläge sind das?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 36 Handschläge

    1. Jedes Kind gibt 8 anderen die Hand: 9·8=72.
    2. Jeder Handschlag ist doppelt gezählt: 72:2=36.
  5. 10

    Wie viele dreistellige Zahlen kannst du mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden, wenn jede Ziffer höchstens einmal vorkommt?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 60 Zahlen

    1. Für die Hunderterstelle gibt es 5 Ziffern, für die Zehnerstelle noch 4, für die Einerstelle noch 3.
    2. ​5·4·3=60
    3. Mit Wiederholung waren es 125 Zahlen, ohne sind es weniger.
  1. 11

    8 Kinder stellen sich für das Klassenfoto in eine Reihe. Elena will unbedingt ganz links stehen. Wie viele Reihenfolgen gibt es noch?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 5'040 Reihenfolgen

    1. Elenas Platz steht fest. Es bleiben 7 Kinder für 7 Plätze.
    2. ​7!=7·6·5·4·3·2·1=5040
    3. Ohne Elenas Wunsch wären es 8-mal so viele, nämlich 40'320.
  2. 12

    Für die Ämtli dieser Woche braucht es 3 von 10 Kindern. Wer zuerst gezogen wird, spielt keine Rolle. Wie viele verschiedene Dreiergruppen sind möglich?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 120 Dreiergruppen

    1. Zuerst so zählen, als ob die Reihenfolge zählt: 10·9·8=720.
    2. Jede Dreiergruppe kommt dabei in 3·2·1=6 Reihenfolgen vor.
    3. Darum teilst du durch 6: 720:6=120.
  3. 13

    Ein Handy-Code hat 4 Ziffern von 0 bis 9, Ziffern dürfen sich wiederholen. Wie viele Codes gibt es, die nicht mit 0 beginnen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 9'000 Codes

    1. Für die erste Stelle gibt es nur 9 Ziffern, nämlich 1 bis 9.
    2. Für die übrigen 3 Stellen gibt es je 10 Ziffern.
    3. ​9·10·10·10=9000
  4. 14

    Am Sporttag in Wil machen 20 Klassen beim Völkerballturnier mit. Jede Klasse spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 190 Spiele

    1. Jede Klasse spielt gegen 19 andere: 20·19=380.
    2. Jedes Spiel ist doppelt gezählt: 380:2=190.
    3. So viele Spiele passen kaum an einen einzigen Sporttag.
  5. 15

    Am Glacestand gibt es 6 Sorten. Du nimmst 2 verschiedene Kugeln in einen Becher. Welche oben liegt, ist egal. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 15 Möglichkeiten

    1. Für die erste Kugel gibt es 6 Sorten, für die zweite noch 5: 6·5=30.
    2. Vanille mit Schoggi ist derselbe Becher wie Schoggi mit Vanille. Jeder Becher ist doppelt gezählt.
    3. ​30:2=15. Das ist dieselbe Rechnung wie bei Handschlägen unter 6 Kindern.

Weiss dein Kind nicht, wann es multiplizieren und wann teilen muss, übt eine Lehrperson mit ihm Baumdiagramm und Zählprinzip an Aufgaben aus dem Alltag. Mathematik-Nachhilfe für Primarschule und Oberstufe

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Bei der Stafette laufen 3 Kinder nacheinander. Wie viele verschiedene Laufreihenfolgen gibt es?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
4. Klasse - 3. Sek
Zyklus
Zyklus 2–3
Fach
Mathematik

In der 4. Klasse bildest du Paare und Kombinationen durch geordnetes Ausprobieren. In der 5. und 6. Klasse zählst du mit Liste, Baumdiagramm und Zählprinzip. In der Sek kommen grosse Zahlen, die Fakultät und Gruppen ohne Reihenfolge dazu.

  • MA.3.B.2.cMöglichkeiten zählen, die man noch auflisten kann, zum Beispiel Zahlencodes oder die Reihenfolgen von vier Kindern, und die eigene Zählung überprüfen.
  • MA.3.B.2.dAlle Möglichkeiten in einer festen Ordnung aufschreiben, mit Liste, Tabelle oder Baumdiagramm, und dabei unterscheiden, ob sich etwas wiederholen darf.
  • MA.3.B.2.bPaare und Kombinationen planmässig bilden, sodass keine Möglichkeit fehlt und keine doppelt vorkommt.
  • MA.3.B.2.gZählaufgaben vergleichen und erkennen, wann zwei verschiedene Geschichten dieselbe Rechnung haben, etwa Handschläge und Turnierspiele.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Kombinatorik?

Erste Zählaufgaben mit Paaren und Kombinationen gibt es schon in der 3. und 4. Klasse. Baumdiagramm, Codes und Reihenfolgen sind vor allem in der 5. und 6. Klasse dran, nach Lehrplan 21 im Zyklus 2. In der Sek kommen grosse Zahlen, die Fakultät und Gruppen ohne Reihenfolge dazu.

Wann multipliziert man und wann teilt man in der Kombinatorik?

Multiplizieren tust du immer, wenn du nacheinander wählst. Teilen musst du nur, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und du darum jede Gruppe mehrmals gezählt hast: bei Paaren durch 2, bei Dreiergruppen durch 6.

Was bedeutet das Ausrufezeichen, zum Beispiel bei 5!?

Das Ausrufezeichen heisst Fakultät. 5! bedeutet 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. So viele Reihenfolgen gibt es für 5 Dinge in einer Reihe.

Muss man immer ein Baumdiagramm zeichnen?

Nein. Bei kleinen Zahlen hilft der Baum, damit du keine Möglichkeit vergisst. Hast du das Muster verstanden, rechnest du direkt mit dem Zählprinzip. Bei grossen Zahlen geht es gar nicht anders.

Stand 19.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?