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Fokus Nachhilfe

Volumen und Oberfläche von Zylinder und Prisma

Prisma und Zylinder haben unten und oben zwei gleiche Grundflächen. Ihr Volumen ist Grundfläche mal Höhe, ihre Oberfläche zweimal die Grundfläche plus der Mantel.

  • 2. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.2.A.3.i
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Zwei Jugendliche am Küchentisch: Eines legt einen Papierstreifen um eine Konservendose, das andere hält ein gefaltetes Dreiecksprisma aus Karton.

Das musst du wissen

Erklärung

Ein hat unten und oben zwei gleiche Flächen, der Zylinder zwei gleiche Kreise. Für beide gilt: = Grundfläche mal Höhe. Die Oberfläche ist zweimal die Grundfläche plus der Mantel.

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Was ist ein Prisma?

Ein Prisma hat zwei gleiche, Vielecke: die Grundfläche und die Deckfläche. Rechtecke verbinden sie, das ist der Mantel. Die Höhe h ist ihr Abstand.

Nach der Grundfläche heisst es Dreiecksprisma oder Sechseckprisma. Auch der Quader ist ein Prisma. Liegt ein Prisma, ist die Grundfläche vorne und die Höhe ist die Länge.

90°CBA
Grundfläche eines Dreiecksprismas: ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Die Deckfläche oben ist genau gleich gross.

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Volumen: Grundfläche mal Höhe

Stell dir das Prisma aus dünnen Schichten vor. Jede Schicht ist so gross wie die Grundfläche G. Die Höhe h sagt, wie hoch die Schichten gestapelt sind.

V=G·h

Ist die Grundfläche ein mit den a und b, gilt G=a·b2.

MerkeVolumen jedes Prismas = Grundfläche · Höhe.

3 von 6

Zylinder: ein Kreis als Grundfläche

Der Zylinder ist gebaut wie ein Prisma, nur ist die Grundfläche ein Kreis. Für G setzt du die Kreisfläche ein:

V=π·r2·h

Ist der d gegeben, halbierst du ihn zuerst: r=d:2. Rechne mit der π-Taste und runde erst am Schluss, meist auf .

rM
Grundfläche des Zylinders: ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Seine Fläche ist π · r².

4 von 6

Netz und Mantel

Schneidest du ein Prisma an den Kanten auf und legst es flach hin, erhältst du sein Netz: zwei Grundflächen und die Rechtecke des Mantels.

Alle Rechtecke sind h hoch. Nebeneinander sind sie so breit wie der Umfang u der Grundfläche: M=u·h. Den Mantel des Zylinders rollst du ab. Er ist ein Rechteck, so breit wie der Kreisumfang: M=2·π·r·h.

Aufgeklappter Mantel eines Dreiecksprismas mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm: ein Rechteck, 3 + 4 + 5 = 12 cm breit und so hoch wie das Prisma.

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Oberfläche: zweimal G plus Mantel

Die Oberfläche O ist alles, was du zum Einpacken brauchst: Grundfläche, Deckfläche und Mantel. Grund- und Deckfläche sind gleich, darum zählst du G zweimal.

O=2·G+M

Beim Zylinder heisst das:

O=2·π·r2+2·π·r·h

MerkeOberfläche = 2 · Grundfläche + Mantel, mit der Einheit hoch zwei, zum Beispiel cm².

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Rückwärts rechnen und Liter

Kennst du Volumen und Grundfläche, findest du die Höhe: h=V:G. Beim Zylinder teilst du durch π·r2.

Für Liter rechnest du am besten in Dezimetern, denn 1 dm³ ist genau 1 Liter. Hast du , teilst du durch 1'000.

Merke1 Liter = 1 dm³ = 1'000 cm³.

Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen (volumen zylinder): Merkblatt mit Formel und Beispiel. V = G · h. Volumen jedes Prismas = Grundfläche · Höhe. Beispiel: V = 360 cm³.
Merkblatt Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕Beim Dreiecksprisma die Grundfläche als G=a·b rechnen.

    ✓Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Rechteck: G=a·b2.

  • ✕Beim Zylinder mit dem Durchmesser rechnen: Für d = 10 cm also π·102.

    ✓Zuerst halbieren: r = 5 cm, dann G=π·52=25·π.

  • ✕Oberfläche = G + Mantel, also nur eine Grundfläche.

    ✓Prisma und Zylinder haben Boden und Deckel. Zähle G zweimal: O=2·G+M.

  • ✕Fürs Volumen die c in die Dreiecksfläche einsetzen.

    ✓Für G brauchst du die Katheten a und b, die den rechten Winkel bilden. Die Hypotenuse c kommt erst beim Mantel dazu.

Begriffe zum Nachschlagen
Prisma
Körper mit zwei gleichen, parallelen Vielecken als Boden und Deckel und Rechtecken rundherum.
Zylinder
Körper mit zwei gleichen Kreisen als Boden und Deckel, zum Beispiel eine Dose.
Grundfläche
Eine der zwei gleichen, parallelen Flächen, kurz G. Steht das Prisma, ist sie der Boden. Liegt es, kann sie auch vorne sein, wie beim Dach oder bei einem Graben.
Deckfläche
Die Fläche oben. Sie ist gleich gross wie die Grundfläche.
Höhe
Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Kurz h.
Mantel
Alle Flächen rundherum, ohne Boden und Deckel. Kurz M.
Oberfläche
Boden, Deckel und Mantel zusammen. Kurz O.
Netz
Der aufgeschnittene und flach hingelegte Körper: Alle Flächen liegen zusammenhängend in einer Ebene.
Schrägbild
Eine Zeichnung, die den Körper räumlich zeigt. Die Kanten nach hinten laufen schräg und sind verkürzt.
Liter
Mass für Flüssigkeiten: 1 Liter = 1 dm³ = 1'000 cm³.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Volumen von Würfel und QuaderKreis: Umfang und FlächeFläche von Dreieck, Parallelogramm und Trapez

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Volumen eines Dreiecksprismas

Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a=6 cm und b=8 cm und der Hypotenuse c=10 cm. Das Prisma ist h=15 cm hoch. Berechne sein Volumen.

90°CBA
Grundfläche des Prismas: Die Katheten a = 6 cm (unten) und b = 8 cm (links) bilden den rechten Winkel bei C.
  1. Zuerst die Grundfläche. Das Dreieck ist ein halbes Rechteck:G=6·82=24 cm2
  2. Die Hypotenuse c brauchst du dafür nicht. Sie zählt erst bei der Oberfläche.
  3. Jetzt Grundfläche mal Höhe:V=G·h=24·15=360 cm3

​V=360 cm³

Beispiel 2Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Ein Zylinder hat den r=4 cm und die Höhe h=10 cm. Berechne Volumen und Oberfläche. Runde auf Zehntel.

r = 4 cmM
Grundfläche des Zylinders: ein Kreis mit dem Radius 4 cm. Seine Fläche ist π · 4² = 16 · π.
  1. Die Grundfläche ist ein Kreis:G=π·42=16·π≈50.3 cm2
  2. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe:V=16·π·10=160·π≈502.7 cm3
  3. Boden und Deckel sind zwei Kreise, der Mantel ist ein Rechteck:2·G=32·π,  M=2·π·4·10=80·π
  4. Zusammen ergibt das die Oberfläche:O=32·π+80·π=112·π≈351.9 cm2

​V=160·π≈502.7 cm³ und O=112·π≈351.9 cm²

Beispiel 3Wie viel fasst die Regentonne?

Ein Mädchen und sein Vater stehen im Garten neben der grünen Regentonne unter dem Ablaufrohr des Hauses.

Familie Keller in Frauenfeld stellt eine Regentonne in den Garten. Sie ist innen 60 cm breit und 80 cm hoch. Wie viele Liter Regenwasser passen hinein?

r = 3 dmM
Boden der Tonne von oben: 60 cm breit heisst Durchmesser 6 dm, also Radius 3 dm.
  1. Gefragt sind Liter, darum rechnest du in Dezimetern. 60 cm breit ist der Durchmesser:d=6 dm,  r=3 dm,  h=8 dm
  2. Grundfläche mal Höhe:V=π·32·8=72·π≈226.2 dm3
  3. 1 dm³ ist 1 Liter. Die Tonne fasst also etwa 226 Liter.

​V=72·π≈226.2 dm³, also rund 226 Liter.

Beispiel 4Wasser in der Suone

Zwei Kinder wandern mit ihrem Grossvater an einer Suone entlang, die Wasser über einen steilen Berghang im Wallis führt. Vorne sieht man: Die Holzrinne ist oben breiter als unten.

Im Wallis führen Suonen Wasser von den Bächen zu den Wiesen. Schneidest du eine Suone quer durch, siehst du ein : oben 60 cm breit, unten 40 cm, und 40 cm tief. Wie viele Wasser sind auf 500 m Länge darin, wenn sie randvoll ist?

Die Suone quer durchgeschnitten: ein Trapez, oben 60 cm, unten 40 cm breit und 40 cm tief. Das ist die Grundfläche des Prismas.
  1. Die Suone ist ein liegendes Prisma. Die Grundfläche ist das Trapez, die Höhe des Prismas ist die Länge 500 m.
  2. Alles in Meter umrechnen und die Trapezfläche ausrechnen:G=0.6+0.42·0.4=0.2 m2
  3. Grundfläche mal Länge:V=0.2·500=100 m3
  4. 1 m³ sind 1'000 Liter. In der Suone sind also 100'000 Liter Wasser.

In der Suone sind 100 m³ Wasser, das sind 100'000 Liter.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Ein Prisma hat die Grundfläche G=12 cm² und die Höhe h=7 cm. Berechne sein Volumen.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=84 cm³

    1. Volumen = Grundfläche mal Höhe.
    2. ​V=12·7=84 cm³
  2. 2

    Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 cm und 6 cm. Das Prisma ist 10 cm hoch. Berechne das Volumen.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=150 cm³

    90°CBA
    Grundfläche: ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 cm (unten) und 6 cm (links), also 15 cm².
    1. Grundfläche: G=5·6:2=15 cm²
    2. Mal die Höhe: V=15·10=150 cm³
  3. 3

    Ein Zylinder hat den Radius r=3 cm und die Höhe h=5 cm. Berechne sein Volumen. Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=45·π≈141.4 cm³

    r = 3 cmM
    Grundfläche: ein Kreis mit dem Radius 3 cm, seine Fläche ist 9 · π.
    1. Grundfläche: G=π·32=9·π
    2. Mal die Höhe: V=9·π·5=45·π≈141.4 cm³
  4. 4

    Ein Zylinder hat den Radius r=2 cm und die Höhe h=6 cm. Wie gross ist sein Mantel? Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​M=24·π≈75.4 cm²

    Abgerollter Mantel: ein Rechteck, 2 · π · 2 ≈ 12.6 cm breit und 6 cm hoch.
    1. Der Mantel ist ein Rechteck: Kreisumfang mal Höhe.
    2. ​M=2·π·2·6=24·π≈75.4 cm²
  5. 5

    Ein Prisma hat ein Rechteck mit 4 cm und 3 cm als Grundfläche und ist 5 cm hoch. Berechne seine Oberfläche.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​O=94 cm²

    Grundfläche: ein Rechteck, 4 cm lang und 3 cm breit, also 12 cm². Der Umfang ist 14 cm.
    1. Boden und Deckel: 2·4·3=24 cm²
    2. Mantel: Umfang mal Höhe, (4+3+4+3)·5=70 cm²
    3. Zusammen: 24+70=94 cm²
  1. 6

    Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit a=5 cm, b=12 cm und c=13 cm. Das Prisma ist 10 cm hoch. Berechne die Oberfläche.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​O=360 cm²

    1. Boden und Deckel: 2·5·12:2=60 cm²
    2. Mantel: (5+12+13)·10=300 cm²
    3. Zusammen: 60+300=360 cm²
  2. 7

    Ein Zylinder hat den Durchmesser d=10 cm und die Höhe h=8 cm. Berechne sein Volumen. Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=200·π≈628.3 cm³

    1. Radius: r=10:2=5 cm
    2. ​V=π·52·8=200·π≈628.3 cm³
  3. 8

    Ein Zylinder hat den Radius r=5 cm und die Höhe h=9 cm. Berechne seine Oberfläche. Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​O=140·π≈439.8 cm²

    1. Boden und Deckel: 2·π·52=50·π
    2. Mantel: 2·π·5·9=90·π
    3. Zusammen: 140·π≈439.8 cm²
  4. 9

    Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit a=9 cm, b=12 cm und c=15 cm. Das Prisma ist 20 cm hoch. Berechne das Volumen.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=1'080 cm³

    1. Für G brauchst du nur die Katheten: G=9·12:2=54 cm²
    2. ​V=54·20=1'080 cm³
  5. 10

    Ein Kochtopf ist innen 20 cm breit und 12 cm hoch. Wie viele Liter passen hinein? Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​V=1'200·π≈3'769.9 cm³, also etwa 3.8 Liter

    1. Radius: r=20:2=10 cm
    2. ​V=π·102·12=1'200·π≈3'769.9 cm³
    3. Durch 1'000 teilen: etwa 3.8 Liter
  1. 11

    Ein Prisma hat das Volumen 455 cm³ und die Grundfläche 35 cm². Wie hoch ist es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h=13 cm

    1. Aus V=G·h folgt h=V:G.
    2. ​h=455:35=13 cm
  2. 12

    Eine Dose hat innen den Radius 5 cm und fasst genau 1 Liter. Wie hoch ist sie innen? Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h=40π≈12.7 cm

    1. 1 Liter = 1'000 cm³
    2. Grundfläche: G=π·52=25·π
    3. ​h=1'000:(25·π)=40π≈12.7 cm
  3. 13

    Ein Zylinder hat den Radius r=2.5 cm und die Höhe h=7.2 cm. Berechne seine Oberfläche. Runde auf Zehntel.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​O=48.5·π≈152.4 cm²

    1. Boden und Deckel: 2·π·2.52=12.5·π
    2. Mantel: 2·π·2.5·7.2=36·π
    3. Zusammen: 48.5·π≈152.4 cm²
  4. 14

    Das Becken der Badi in Burgdorf ist 25 m lang und 12 m breit. Vorne ist es 1.2 m tief, hinten 2 m, dazwischen fällt der Boden gleichmässig ab. Wie viele m³ Wasser braucht es zum Füllen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 480 m³, also 480'000 Liter

    1. Von der Seite gesehen ist das Becken ein Trapez. Es ist die Grundfläche eines liegenden Prismas.
    2. Trapez: G=1.2+22·25=40 m²
    3. Mal die Breite: V=40·12=480 m³
  5. 15

    Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit a=1.5 dm, b=2 dm und c=2.5 dm. Das Prisma ist 4.2 dm hoch. Berechne die Oberfläche.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​O=28.2 dm²

    1. Boden und Deckel: 2·1.5·2:2=3 dm²
    2. Mantel: (1.5+2+2.5)·4.2=6·4.2=25.2 dm²
    3. Zusammen: 3+25.2=28.2 dm²

Rechnet dein Kind beim Zylinder noch mit dem Durchmesser oder vergisst es die zweite Grundfläche, übt eine Lehrperson mit ihm Volumen und Oberfläche Schritt für Schritt. Mathe Nachhilfe für die 2. Sek

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Trainer: Prisma und Zylinder

Unbegrenzt neue Prismen und Zylinder, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt Volumen und Oberfläche mit ganzen Massen, Stufe 2 Dreiecksprismen, den Durchmesser und Dezimalzahlen, Stufe 3 die Höhe aus dem Volumen und Liter.

Zylinder: r = 7 dm, h = 6 dm. Berechne das Volumen V. Runde auf Zehntel.V in dm³=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Zylinder berechnen

Volumen, Mantel und Oberfläche des Zylinders

Volumen≈502.6548 cm³

In Liter≈0.5027 l

Mantelfläche≈251.3274 cm²

Oberfläche≈351.8584 cm²

r = 4 cmh = 10 cm≈ 0.5027 Liter

Rechenweg

  1. Die Grundfläche ist ein Kreis.

    G=π·r²=π·4²≈50.2655 cm²

  2. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe.

    V=G·h=π·4²·10≈502.6548 cm³

  3. 1'000 cm³ sind 1 Liter: Teile durch 1'000.

    502.6548 cm³:1'000≈0.5027 l

  4. Der Mantel ist ein Rechteck: Kreisumfang mal Höhe.

    M=2·π·4·10≈251.3274 cm²

  5. Boden und Deckel sind zwei Kreise. Zähle den Mantel dazu.

    O=2·50.2655+251.3274≈351.8584 cm²

Beispiele

Zum Zylinder berechnen mit Anleitung →

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Nächstes ThemaPyramide, Kegel und KugelPyramide und Kegel fassen genau einen Drittel des Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Für die Kugel gibt es eigene Formeln mit π, und eine fehlende Höhe findest du mit dem Satz des Pythagoras.3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
2. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

Meist in der 2. Sek, nach dem Quader und der Kreisfläche. Neu ist, dass die Grundfläche ein Dreieck, ein Vieleck oder ein Kreis sein kann. Dazu kommen Netz, Oberfläche und Liter.

  • MA.2.A.3.iVolumen, Mantel und Oberfläche von geraden Prismen und Zylindern ausrechnen, auch eine fehlende Höhe aus dem Volumen.
  • MA.2.C.1.kDas Netz eines Prismas zeichnen und daran sehen, aus welchen Flächen die Oberfläche besteht.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man das Volumen von Zylinder und Prisma?

Nach Lehrplan 21 im Zyklus 3, meist in der 2. Sek. Vorher kommen der Quader und die Kreisfläche. In der 3. Sek bauen Pyramide, Kegel und Kugel darauf auf.

Ist ein Quader auch ein Prisma?

Ja. Ein Quader ist ein Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche. Darum stimmt auch beim Quader V = G · h.

Was ist der Unterschied zwischen Mantel und Oberfläche?

Der Mantel ist nur die Fläche rundherum, ohne Boden und Deckel. Die Oberfläche ist der Mantel plus Boden und Deckel. Bei einer Konservendose ist die Etikette ungefähr der Mantel.

Wie viele Liter passen in einen Zylinder?

Rechne mit Massen in Dezimetern, dann ist das Volumen in dm³ gleich den Litern. Ein Zylinder mit 1 dm Radius und 3 dm Höhe fasst π · 1² · 3, also etwa 9.4 Liter.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?