Satz des Thales, Ähnlichkeit und Kongruenz

Ähnliche Figuren haben die gleiche Form in anderer Grösse: Jede Seite wird mit dem Streckfaktor k multipliziert, kongruente Figuren sind sogar deckungsgleich. Der Satz des Thales sagt, dass ein Dreieck im Halbkreis über dem Durchmesser einen rechten Winkel hat.

3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.k

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Zwei Jugendliche im Schulzimmer halten zwei Papierdreiecke gleicher Form hoch, ein kleines und ein grosses, und vergleichen sie.

Das musst du wissen

Erklärung

Figuren sind deckungsgleich, ähnliche haben die gleiche Form in anderer Grösse. Bei ähnlichen Figuren nimmst du jede Seite mal den Streckfaktor k. Liegt C auf dem Halbkreis über AB, hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel: der Satz des Thales.

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Kongruent heisst deckungsgleich

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie genau aufeinanderpassen. Alle Seiten und alle Winkel sind gleich gross. Dafür darfst du die eine Figur verschieben, drehen oder spiegeln.

Kongruente Figuren sind also gleich in Form und Grösse.

MerkeKongruent: gleiche Form und gleiche Grösse.

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Die Kongruenzsätze

Du musst nicht alle sechs Stücke vergleichen. Drei passende Stücke reichen, wenn sie zu einem dieser Sätze passen:

SSS: drei Seiten. SWS: zwei Seiten und der Winkel dazwischen. WSW: eine Seite und die zwei Winkel an ihren Enden. SsW: zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren.

MerkeDrei gleiche Winkel allein reichen nicht. Dann sind die Dreiecke nur ähnlich.

Dreieck mit der Seite c von A nach B und den Winkeln 40° bei A und 65° bei B. Seite c und die zwei Winkel an ihren Enden legen das Dreieck fest: WSW.

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Ähnlich: gleiche Form, andere Grösse

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrösserung oder Verkleinerung der anderen ist. Die Winkel bleiben gleich. Jede Seite wird mit demselben Streckfaktor k multipliziert.

k = \frac{a ^{'}}{a}

Ist k>1, wird die Figur grösser. Ist k<1, wird sie kleiner.

MerkeÄhnliche Figuren: gleiche Winkel, alle Seiten mal k.

Bilddreieck A'B'C' mit den Seiten im Verhältnis 4 : 6 : 8. Ein ähnliches Dreieck hat dieselben Winkel, nur jede Seite ist mit k gestreckt.

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Fehlende Seiten berechnen

Kennst du ein Paar passender Seiten, kennst du k. Damit rechnest du jede andere Seite aus:

b^{'} = k \cdot b

Beispiel: Aus a=4 cm wird $a^{'} = 6$ cm, also ist k=1.5. Dann wird aus b=5 cm die Seite $b^{'} = 7.5$ cm, nicht 7 cm.

MerkeÄhnlich heisst mal k, nie plus.

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Flächen wachsen mit k²

Eine Fläche hat zwei Richtungen, Länge und Breite. Beide werden mit k gestreckt. Darum wird die Fläche mit k² multipliziert:

A^{'} = k^{2} \cdot A

Mit k=3 wird die Fläche 9-mal so gross, nicht 3-mal. Bei Körpern wächst das Volumen sogar mit k³.

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Der Satz des Thales

Zeichne einen Kreis mit dem Durchmesser AB. Setze einen Punkt C irgendwo auf den Kreis. Dann hat das Dreieck ABC bei C immer einen rechten Winkel.

Der Halbkreis heisst Thaleskreis. Weil γ=90° ist, gilt α+β=90°. AB ist die , du kannst also auch mit dem rechnen.

MerkeLiegt C auf dem Kreis über dem Durchmesser AB, ist der Winkel bei C ein rechter.

Dreieck ABC im Thaleskreis: AB ist der Durchmesser, C liegt auf dem Halbkreis darüber. Der Winkel bei C ist 90°.

Ähnlichkeit, Kongruenz und Satz des Thales: Merkblatt mit Formel und Beispiel. k = a'/a. Kongruent: gleiche Form und gleiche Grösse. Beispiel: k = 2.5, b' = 15 cm und c' = 20 cm. — Merkblatt Ähnlichkeit, Kongruenz und Satz des Thales: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Bei ähnlichen Dreiecken dieselbe Länge dazuzählen: Aus a=4 wird $a^{'} = 6$ , also wird aus b=5 die Seite $b^{'} = 7$ .
✓Alle Seiten wachsen mit demselben Faktor: k=6:4=1.5, also $b^{'} = 1.5 \cdot 5 = 7.5$ .
✕Die Fläche mit k strecken: Bei k=3 wird die Fläche 3-mal so gross.
✓Flächen wachsen mit k²: Bei k=3 wird die Fläche 3²=9-mal so gross.
✕Den Streckfaktor umgekehrt rechnen: $k = a : a^{'}$ .
✓Bildseite durch Originalseite: $k = a^{'} : a$ . Wird die Figur grösser, ist k grösser als 1.
✕Im Thaleskreis den rechten Winkel bei A oder B suchen.
✓Der rechte Winkel liegt beim Punkt auf dem Kreis, also bei C, gegenüber dem Durchmesser AB.

Begriffe zum Nachschlagen

Kongruent: Deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Grösse.
Kongruenzsätze: Regeln, welche drei Stücke ein Dreieck festlegen: SSS, SWS, WSW und SsW.
Ähnlich: Gleiche Form, aber vergrössert oder verkleinert. Die Winkel sind gleich, alle Seiten mit demselben Faktor gestreckt.
Streckfaktor: Die Zahl k, mit der jede Länge multipliziert wird: $k = a^{'} : a$ .
Streckzentrum: Der feste Punkt, von dem aus eine Figur gestreckt wird.
Bildfigur: Die Figur nach dem Strecken. Ihre Punkte schreibt man mit Strich: A', B', C'.
Thaleskreis: Der Halbkreis über einer Strecke AB. Jeder Punkt C darauf bildet mit A und B einen rechten Winkel.
Durchmesser: Die längste Strecke durch den Kreis, durch den Mittelpunkt. Er ist doppelt so lang wie der Radius.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Winkelsumme im Dreieck und Vieleck Vergrössern, Verkleinern und Massstab Satz des Pythagoras Konstruieren mit Zirkel und Geodreieck

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Streckfaktor und Bildseiten

Ein Dreieck hat die Seiten a=4 cm, b=6 cm und c=8 cm. Es wird so vergrössert, dass aus a die Seite $a^{'} = 10$ cm wird. Berechne k und die Seiten b' und c'.

Bilddreieck A'B'C' mit a' = 10 cm, b' = 15 cm und c' = 20 cm. Jede Seite ist 2.5-mal so lang wie im Original.

Der Streckfaktor ist Bildseite durch Originalseite: $k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{10}{4} = 2.5$
Nimm b mal k: $b^{'} = 2.5 \cdot 6 = 15$
Nimm c mal k: $c^{'} = 2.5 \cdot 8 = 20$
Kontrolle: Alle Bildseiten sind 2.5-mal so lang wie die Seiten vorher. Die Form bleibt gleich.

k=2.5, $b^{'} = 15$ cm und $c^{'} = 20$ cm.

Beispiel 2Ein Winkel im Thaleskreis

AB ist der Durchmesser eines Kreises, der Punkt C liegt auf dem Kreis. Im Dreieck ABC ist α=34°. Wie gross sind γ und β?

Dreieck ABC im Thaleskreis über AB mit α = 34° bei A. Bei C liegt der rechte Winkel, also ist β = 56°.

C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Darum ist der Winkel bei C ein rechter:γ=90°
Die drei Winkel im Dreieck ergeben zusammen 180°:β=180°−90°−34°=56°
Kurz gesagt: Im Thaleskreis gilt immer β=90°−α.

γ=90° und β=56°.

Beispiel 3Sind die Dreiecke kongruent?

Dreieck 1 hat c=7 cm, α=40° und β=65°. Dreieck 2 hat c=7 cm, α=40° und γ=75°. Sind die zwei Dreiecke kongruent?

Dreieck mit c = 7 cm von A nach B, 40° bei A, 65° bei B und 75° bei C. So sehen beide Dreiecke aus.

Bei Dreieck 2 fehlt β. Die im Dreieck ist 180°:β=180°−40°−75°=65°
Jetzt stimmen beide Dreiecke in der Seite c und in den zwei Winkeln an ihren Enden überein, α und β.
Das ist der Kongruenzsatz WSW. Also passen die Dreiecke genau aufeinander.

Ja. Dreieck 2 hat auch β=65°, also stimmen c, α und β überein: Die Dreiecke sind nach WSW kongruent.

Beispiel 4Wie hoch ist die Linde?

Zwei Jugendliche messen auf dem Pausenplatz den Schatten eines Stabs, daneben wirft eine grosse Linde einen langen Schatten.

Linas Klasse misst auf dem Pausenplatz in Luzern Schatten. Ein 1.5 m langer Stab wirft einen 2 m langen Schatten. Die Linde daneben wirft zur gleichen Zeit einen 14 m langen Schatten. Wie hoch ist die Linde?

Die Sonnenstrahlen fallen parallel. Stab und Baum bilden mit ihren Schatten zwei ähnliche .
Der Baumschatten ist k-mal so lang wie der Stabschatten:k=142=7
Also ist der Baum auch 7-mal so hoch wie der Stab:H=7·1.5=10.5
Kontrolle: Beim Stab und beim Baum ist der Schatten etwas länger als die Höhe. Das passt.

Die Linde ist 10.5 m hoch.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Ein Dreieck wird mit dem Streckfaktor k=3 vergrössert. Die Seite a ist 5 cm lang. Wie lang ist a'?
Lösung zeigen
Ergebnis: $a^{'} = 15$ cm
Bilddreieck A'B'C': Es hat dieselbe Form wie das Original, jede Seite ist 3-mal so lang. Aus a = 5 cm wird a' = 15 cm.
1. Beim Strecken wird jede Länge mit k multipliziert.
2. $a^{'} = 3 \cdot 5 = 15$ cm
2
Bei einer Verkleinerung wird aus einer 12 cm langen Seite eine 4 cm lange Seite. Wie gross ist der Streckfaktor k?
Lösung zeigen
Ergebnis: k=13
Verkleinertes Bilddreieck A'B'C': gleiche Winkel, jede Seite ist nur noch ein Drittel so lang. Aus 12 cm werden 4 cm.
1. Bildseite durch Originalseite: k=412
2. Kürzen: k=13. Weil k kleiner als 1 ist, wird die Figur kleiner.
3
AB ist der Durchmesser eines Kreises, C liegt auf dem Kreis. Im Dreieck ABC ist α=52°. Wie gross ist β?
Lösung zeigen
Ergebnis: β=38°
Dreieck ABC im Thaleskreis mit α = 52° bei A. Der rechte Winkel liegt bei C, darum bleibt für β noch 38°.
1. Nach Thales ist γ=90°.
2. β=180°−90°−52°=38°
4
Ein Rechteck wird mit k=0.5 verkleinert. Seine lange Seite ist 18 cm. Wie lang ist sie nach der Verkleinerung?
Lösung zeigen
Ergebnis: 9 cm
1. 0.5·18=9 cm
2. Mit k=0.5 wird jede Seite halb so lang.
5
Im Dreieck ABC ist AB der Durchmesser des Thaleskreises. Es ist β=25°. Wie gross ist α?
Lösung zeigen
Ergebnis: α=65°
Dreieck ABC im Thaleskreis mit β = 25° bei B. Mit dem rechten Winkel bei C ist α = 65°.
1. Der rechte Winkel liegt bei C, also gilt α+β=90°.
2. α=90°−25°=65°

6
Die Dreiecke ABC und A'B'C' sind ähnlich. Es ist a=6 cm, b=9 cm und $a^{'} = 8$ cm. Berechne b'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $b^{'} = 12$ cm
1. k=86=43
2. $b^{'} = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12$ cm
3. Nicht 11 cm: Die Seite wächst nicht um 2 cm, sondern mit dem Faktor.
7
Das Dreieck ABC liegt im Thaleskreis über c=13 cm. Die Seite a ist 5 cm lang. Berechne b.
Lösung zeigen
Ergebnis: b²=144, also b=12 cm
1. Nach Thales ist der Winkel bei C ein rechter. Der Durchmesser c ist die Hypotenuse.
2. b²=c²−a²=169−25=144
3. $b = 144 = 12$ cm
8
Dreieck 1: c=5 cm, α=45°, β=70°. Dreieck 2: c=5 cm, α=45°, γ=65°. Sind sie kongruent?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, Dreieck 2 hat β=70°. Nach WSW sind sie kongruent.
1. Bei Dreieck 2: β=180°−45°−65°=70°
2. Seite c und die Winkel α und β an ihren Enden stimmen überein.
3. Kongruenzsatz WSW: Die Dreiecke sind kongruent.
9
Noah lässt ein Foto vergrössern. Es ist 10 cm breit und 15 cm hoch. Das neue Bild soll 25 cm breit werden. Wie hoch wird es?
Lösung zeigen
Ergebnis: 37.5 cm
1. k=2510=2.5
2. Höhe: 2.5·15=37.5 cm
10
Ein Dreieck hat eine Fläche von 12 cm². Es wird mit k=2 vergrössert. Wie gross ist die Fläche des Bilddreiecks?
Lösung zeigen
Ergebnis: $A^{'} = 48$ cm²
1. Flächen wachsen mit k²=4.
2. $A^{'} = 4 \cdot 12 = 48$ cm²

11
Mia ist 1.6 m gross und wirft einen 2.4 m langen Schatten. Ein Kirchturm in Chur wirft zur gleichen Zeit einen 45 m langen Schatten. Wie hoch ist der Turm?
Lösung zeigen
Ergebnis: 30 m
1. Mia und der Turm bilden mit ihren Schatten ähnliche Dreiecke.
2. k=452.4=18.75
3. Höhe: 18.75·1.6=30 m
12
Ein Plakat mit einer Fläche von 54 dm² wird mit k=13 verkleinert. Wie gross ist die Fläche der Verkleinerung?
Lösung zeigen
Ergebnis: 6 dm²
1. Flächen wachsen mit k²=19.
2. 19·54=6 dm²
13
Ein Dreieck hat eine Fläche von 3 cm², sein ähnliches Bilddreieck 75 cm². Wie gross ist der Streckfaktor k?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Fläche ist 25-mal so gross, also ist k=5.
1. k²=75:3=25
2. Welche Zahl mal sich selbst gibt 25? k=5
14
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC liegt im Thaleskreis über AB, die Seiten AC und BC sind gleich lang. Wie gross sind α und β?
Lösung zeigen
Ergebnis: α=β=45°
1. Nach Thales ist γ=90°, also α+β=90°.
2. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich: 90°:2=45°
15
Ein Kreis hat den Radius 5 cm. Das Dreieck ABC liegt im Thaleskreis über dem Durchmesser AB, die Seite a ist 6 cm lang. Wie lang ist b, und wie gross ist die Fläche des Dreiecks?
Lösung zeigen
Ergebnis: b²=64, also b=8 cm. Die Fläche ist 24 cm².
1. Der Durchmesser ist c=10 cm, die Hypotenuse.
2. b²=100−36=64, also b=8 cm
3. a und b sind die Katheten: A=6·8:2=24 cm²

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Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, nach dem Satz des Pythagoras. Kongruenz kennst du oft schon vom Konstruieren von Dreiecken. Neu sind Streckfaktor, ähnliche Figuren und der Thaleskreis.

MA.2.A.3.kErkennen, ob zwei Figuren ähnlich sind, und bei ähnlichen Figuren fehlende Längen und Flächen mit dem Streckfaktor ausrechnen.
MA.2.A.3.jFehlende Winkel mit dem Thaleskreis und der Winkelsumme finden und begründen, warum zwei Dreiecke deckungsgleich oder ähnlich sind.
MA.2.A.1.kWissen, was kongruent heisst, und das Wort richtig brauchen: Zwei Figuren passen genau aufeinander.
MA.2.A.2.jEine Figur von einem Punkt aus mit einem gegebenen Faktor vergrössern oder verkleinern.
MA.2.A.1.lDie Fachwörter Ähnlichkeit, Hypotenuse und Kathete kennen und in Erklärungen brauchen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse kommt der Satz des Thales?

Meist in der 3. Sek, im Zyklus 3 des Lehrplans 21, oft zusammen mit der Ähnlichkeit. Vorher brauchst du die Winkelsumme im Dreieck und den Satz des Pythagoras.

Was ist der Unterschied zwischen kongruent und ähnlich?

Kongruente Figuren sind gleich gross und gleich geformt, sie passen genau aufeinander. Ähnliche Figuren haben nur die gleiche Form: gleiche Winkel, aber alle Seiten mit dem Faktor k gestreckt. Kongruente Figuren sind also ähnlich mit k = 1.

Warum ist der Winkel im Thaleskreis immer 90°?

Verbinde C mit dem Mittelpunkt M. So entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke, denn MA, MB und MC sind alle Radien. Die zwei Basiswinkel bei C ergeben zusammen γ, also ist γ = α + β. Weil alle drei Winkel zusammen 180° ergeben, ist γ die Hälfte davon: 90°.

Wofür braucht man Ähnlichkeit im Alltag?

Bei Plänen und Karten mit Massstab, beim Vergrössern von Fotos und beim Messen von Höhen über den Schatten. Überall dort, wo etwas gleich aussieht, aber grösser oder kleiner ist.