Bruchgleichungen und Bruchterme

Ein Bruchterm hat eine Variable im Nenner, zum Beispiel 3 : (x − 2). Bei einer Bruchgleichung bestimmst du zuerst, welche Zahlen verboten sind, multiplizierst dann mit dem Hauptnenner und prüfst am Schluss, ob die Lösung erlaubt ist.

3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.4.m

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Zwei Jugendliche lernen am Abend zusammen am Küchentisch, eine zeigt mit dem Bleistift ins Heft.

Das musst du wissen

Erklärung

Ein Bruchterm ist ein Bruch mit einer im Nenner, zum Beispiel 3x−2. Für x ist jede Zahl verboten, die einen Nenner 0 macht. Eine Bruchgleichung löst du mit dem Hauptnenner und vergleichst die Lösung am Schluss mit diesen verbotenen Zahlen.

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Was ist ein Bruchterm?

In einem Bruchterm steht die Variable im Nenner. Setzt du eine Zahl ein, rechnest du ihn aus wie einen gewöhnlichen Bruch.

Für x=3 gilt 6x−1=62=3. Für x=1 steht unten 0. Durch 0 kann man nicht teilen, der hat dort keinen Wert.

MerkeEin Nenner darf nie 0 werden.

Der Graph von y = 6 : (x − 1) hat bei x = 1 eine Definitionslücke, weil dort der Nenner 0 wäre. Der Graph springt dort von ganz unten nach ganz oben. Bei x = 3 ist der Wert 3.

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Die Definitionsmenge

Setze jeden Nenner gleich 0 und löse. Diese Zahlen nimmst du aus. Was übrig bleibt, ist die Definitionsmenge D.

Bei 2x+3+5x−1 wird ein Nenner 0 für x=−3 und für x=1. Also ist $D = Q ∖ {- 3; 1}$ . Dabei steht $Q$ für die , also alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Das Zeichen $∖$ heisst «ohne».

MerkeZuerst die Definitionsmenge, dann rechnen.

Auf dem Zahlenstrahl sind die zwei verbotenen Zahlen markiert: −3 und 1. Alle anderen Zahlen darfst du einsetzen.

3 von 6

Bruchterme kürzen

Kürzen darfst du nur Faktoren. Zerlege darum Zähler und Nenner zuerst in Faktoren, oft mit oder einer .

x²−9x+3=(x+3)(x−3)x+3=x−3 (x≠−3)

MerkeNur Faktoren darfst du kürzen, nie einzelne Summanden.

4 von 6

Bruchterme addieren

Wie bei Brüchen brauchst du zum Addieren und Subtrahieren einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner. Erweitere jeden Bruch darauf.

2x+32x=42x+32x=72x

Multiplizieren und Dividieren gehen wie bei Zahlenbrüchen.

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Bruchgleichungen lösen

Bestimme die Definitionsmenge.
Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner. Jetzt sind alle Brüche weg.
Löse die wie gewohnt.
Prüfe, ob die Lösung erlaubt ist, und mach die Probe.

Beispiel: 12x=4, also x≠0. Mal x gibt 12=4x, also x=3.

Die Kurve y = 12 : x und die Gerade y = 4 treffen sich bei x = 3. Das ist die Lösung von 12 : x = 4.

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Wenn die Lösung verboten ist

Bei xx−2=2x−2+3 ist x≠2. Mal (x−2) gibt x=2+3(x−2), also x=2.

Genau diese Zahl ist aber verboten. Die Gleichung hat darum keine Lösung: $L = {}$ .

MerkeVergleiche jede Lösung mit der Definitionsmenge.

Bruchterme und Bruchgleichungen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Ein Nenner darf nie 0 werden. Zuerst die Definitionsmenge, dann rechnen. Beispiel: x = 12. — Merkblatt Bruchterme und Bruchgleichungen: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕x+3x=3, also das x oben und unten wegstreichen.
✓Im Zähler steht die Summe x+3, kein Faktor x. Der Bruchterm lässt sich nicht kürzen.
✕Bei 6x−1 ist x≠−1.
✓Setze den Nenner gleich 0: x−1=0 gibt x=1. Also ist x≠1.
✕8x+1=5 mal x ergibt 8+1=5x.
✓Jedes wird mit x multipliziert, auch die 1: 8+x=5x, also x=2.
✕Bei xx−2=2x−2+3 die Lösung x=2 hinschreiben.
✓2 macht den Nenner 0 und ist verboten. Die Gleichung hat keine Lösung.

Begriffe zum Nachschlagen

Bruchterm: Ein Bruch, in dessen Nenner eine Variable steht, zum Beispiel 5x+1.
Bruchgleichung: Eine Gleichung, in der die Variable in mindestens einem Nenner steht.
Definitionsmenge: Alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst. Ihr Zeichen ist D.
Hauptnenner: Der kleinste gemeinsame Nenner aller Brüche einer Rechnung oder Gleichung.
Lösungsmenge: Alle Zahlen aus der Definitionsmenge, die die Gleichung wahr machen. Ihr Zeichen ist L. Ist sie leer, schreibst du $L = {}$ .
Probe: Du setzt die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfst, ob beide Seiten gleich sind.
zerlegen: Einen Term als Produkt schreiben, zum Beispiel x²−16=(x+4)(x−4). Dann kannst du gleiche Faktoren kürzen.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Gleichungen lösen Brüche addieren und subtrahieren Ausmultiplizieren und Ausklammern Binomische Formeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1x im Zähler

Löse x3+x4=7.

Hier steht x nur im Zähler. Es gibt keine verbotene Zahl. Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12.
Multipliziere jedes Glied mit 12:4x+3x=84
Zusammenfassen und durch 7 teilen:7x=84 |:7 x=12
Probe: 123+124=4+3=7. Stimmt.

x=12

Beispiel 2x im Nenner

Löse 15x−2=5.

Die Kurve y = 15 : (x − 2) trifft die Gerade y = 5 bei x = 5. Bei x = 2 hat die Kurve eine Definitionslücke und springt dort.

Definitionsmenge: Für x=2 wäre der Nenner 0. $D = Q ∖ {2}$
Multipliziere beide Seiten mit (x−2):15=5(x−2)=5x−10
Rechne +10 und teile durch 5:25=5x x=5
5 ist erlaubt. Probe: 155−2=153=5. Stimmt.

x=5

Beispiel 3Zwei Brüche mit x im Nenner

Löse 3x−1=5x+3.

Definitionsmenge: Die Nenner werden 0 für x=1 und x=−3. $D = Q ∖ {- 3; 1}$
Multipliziere mit dem Hauptnenner (x−1)(x+3). Links kürzt sich (x−1) weg, rechts (x+3):3(x+3)=5(x−1)
Klammern auflösen:3x+9=5x−5
Rechne −3x und +5, dann teile durch 2:14=2x x=7
7 ist erlaubt. Probe: 36=12 und 510=12. Stimmt.

x=7

Beispiel 4Gemeinsam jäten

Ein Mädchen und ihr Bruder knien an einem Salatbeet im Familiengarten und zupfen Löwenzahn und anderes Unkraut aus. Daneben steht ein Kübel mit Unkraut.

Lara und ihr Bruder Noah helfen im Familiengarten in Thun. Lara jätet das grosse Beet allein in 3 Stunden. Zusammen schaffen sie es in 2 Stunden. Wie lange bräuchte Noah allein?

Noah braucht allein x Stunden. In einer Stunde schafft er 1x des Beets, Lara 13, beide zusammen 12.
Das gibt die Gleichung, mit x≠0:13+1x=12
Multipliziere mit dem Hauptnenner 6x:2x+6=3x
Rechne −2x:x=6
Probe: 13+16=26+16=36=12. Stimmt.

Noah bräuchte allein 6 Stunden.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme die Definitionsmenge von 5x−4.
Lösung zeigen
Ergebnis: $D = Q ∖ {4}$
Nur die Zahl 4 ist verboten, denn dann steht im Nenner 4 − 4 = 0.
1. Nenner gleich 0 setzen: x−4=0
2. Also x=4. Diese Zahl ist verboten.
3. $D = Q ∖ {4}$
2
Berechne den Wert von 12x+1 für x=3.
Lösung zeigen
Ergebnis: 3
1. Einsetzen: 123+1
2. 124=3
3
Löse x4+3=8.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=20
1. Rechne −3: x4=5
2. Mal 4: x=20
3. Probe: 204+3=5+3=8
4
Löse 20x=5.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=4
Die Kurve y = 20 : x schneidet die Gerade y = 5 bei x = 4.
1. Definitionsmenge: x≠0
2. Mal x: 20=5x
3. Durch 5: x=4. Probe: 204=5
5
Bestimme die Definitionsmenge von 3x+2+1x−5.
Lösung zeigen
Ergebnis: $D = Q ∖ {- 2; 5}$
Zwei verbotene Zahlen: −2 macht den ersten Nenner 0, 5 den zweiten.
1. Erster Nenner: x+2=0 gibt x=−2
2. Zweiter Nenner: x−5=0 gibt x=5
3. Beide Zahlen sind verboten.

6
Löse x+12=x+43.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=5
1. Mal den Hauptnenner 6: 3(x+1)=2(x+4)
2. 3x+3=2x+8, also x=5
3. Probe: 62=3 und 93=3
7
Löse 9x−2=3.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=5
1. Definitionsmenge: x≠2
2. Mal (x−2): 9=3x−6
3. 15=3x, also x=5. Probe: 93=3
8
Löse 6x−2=1.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=2
1. Definitionsmenge: x≠0
2. Mal x, auch die 2 und die 1: 6−2x=x
3. 6=3x, also x=2. Probe: 3−2=1
9
Kürze den Bruchterm x²−16x+4.
Lösung zeigen
Ergebnis: x−4 für x≠−4
1. Zähler mit der dritten binomischen Formel zerlegen: x²−16=(x+4)(x−4)
2. Den Faktor (x+4) kürzen.
3. Es bleibt x−4, verboten ist weiterhin x=−4.
10
Fasse zusammen: 3x+12x
Lösung zeigen
Ergebnis: 72x
1. Hauptnenner ist 2x.
2. Den ersten Bruch mit 2 erweitern: 62x+12x
3. Zähler addieren: 6+12x=72x

11
Löse 4x−3=2x+1.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−5
1. $D = Q ∖ {- 1; 3}$
2. Mal (x−3)(x+1): 4(x+1)=2(x−3)
3. 4x+4=2x−6, also 2x=−10 und x=−5
4. Probe: 4−8=−12 und 2−4=−12
12
Löse 2x+13x=7.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=13
1. Definitionsmenge: x≠0. Hauptnenner ist 3x.
2. Mal 3x: 6+1=21x
3. 7=21x, also x=721=13
4. Probe: 2:13=6 und 1:1=1, zusammen 7
13
Löse 2xx+1=−2x+1+1.
Lösung zeigen
Ergebnis: Keine Lösung: Der einzige Kandidat x=−1 ist verboten, $L = {}$ .
1. Definitionsmenge: x≠−1
2. Mal (x+1): 2x=−2+x+1
3. x=−1. Das macht den Nenner 0, also gibt es keine Lösung.
14
Zwei Gartenschläuche füllen ein Planschbecken in Wil. Der erste allein braucht 60 Minuten, beide zusammen 24 Minuten. Wie lange braucht der zweite allein?
Lösung zeigen
Ergebnis: 40 Minuten
1. Pro Minute füllt der erste 160, der zweite 1x, beide zusammen 124.
2. 160+1x=124, mal 120x: 2x+120=5x
3. 120=3x, also x=40. Der zweite braucht 40 Minuten.
15
Zählst du zum Zähler und zum Nenner von 38 dieselbe Zahl dazu, erhältst du 23. Welche Zahl ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Zahl ist 7.
1. Gleichung: 3+x8+x=23, mit x≠−8
2. Mal 3(8+x): 3(3+x)=2(8+x), also 9+3x=16+2x
3. x=7. Probe: 1015=23

Vergisst dein Kind bei Bruchgleichungen noch die verbotenen Zahlen oder kürzt es Summanden weg, übt eine Lehrperson mit ihm den Weg von der Definitionsmenge bis zur Probe. Mathematik-Nachhilfe für die 3. Sek

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Trainer: Bruchterme und Bruchgleichungen

Unbegrenzt neue Bruchgleichungen, mit Rückmeldung und Rechenweg samt Definitionsmenge, Hauptnenner und Probe. Gib die Lösung ein, zum Beispiel 3, −2.5 oder 5/2, und «keine Lösung», wenn die einzige Lösung verboten ist.

Löse nach x auf:x6−4=−1

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, vor allem im Niveau mit erweiterten Anforderungen und als Vorbereitung auf die Mittelschule. Zuerst kommen Bruchterme, dann Gleichungen mit x im Nenner. Lineare Gleichungen und Brüche addieren sollten sitzen.

MA.1.A.4.mGleichungen lösen, bei denen x im Nenner steht, und Bruchterme mit Klammern und Binomen kürzen und zusammenfassen.
MA.1.A.4.lDie binomischen Formeln kennen, damit sich Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen und kürzen lassen.
MA.1.A.4.jLineare Gleichungen mit Umformungen auf beiden Seiten lösen. Darauf führt jede Bruchgleichung am Ende zurück.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Bruchgleichungen?

Meist in der 3. Sek, oft nur im Niveau mit erweiterten Anforderungen. Nach Lehrplan 21 gehört das Thema ans Ende des Zyklus 3. Je nach Kanton und Lehrmittel kommt es schon in der 2. Sek.

Warum muss man bei Bruchgleichungen die Definitionsmenge bestimmen?

Weil beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner eine Lösung entstehen kann, die einen Nenner 0 macht. Diese Zahl darfst du nicht einsetzen. Nur mit der Definitionsmenge merkst du, dass die Gleichung dann keine Lösung hat.

Kann eine Bruchgleichung keine Lösung haben?

Ja. Ist die einzige gefundene Zahl verboten, ist die Lösungsmenge leer, man schreibt $L = {}$ . Das ist kein Rechenfehler, sondern das richtige Ergebnis.

Muss man bei Bruchgleichungen die Probe machen?

Sie ist sehr zu empfehlen. Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine umgeformte. So findest du Rechenfehler und siehst sofort, wenn ein Nenner 0 wird.