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Fokus Nachhilfe

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln sind Abkürzungen, um Klammern wie (x + 3)² oder (x + 3)(x − 3) schnell auszumultiplizieren. Rückwärts gelesen helfen sie dir, eine Summe wieder als Produkt zu schreiben.

  • 3. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.1.A.4.l
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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei , zum Beispiel x+3. Drei Formeln sagen dir, was beim Multiplizieren solcher Klammern herauskommt. Vorwärts multiplizierst du damit aus, rückwärts schreibst du eine Summe als Produkt.

1 von 6

Die drei Formeln

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)(a−b)=a2−b2

Sie heissen 1., 2. und 3. binomische Formel, oder Plus-Formel, Minus-Formel und Plus-Minus-Formel. Für a und b darfst du jede Zahl und jeden einsetzen, zum Beispiel a=3x und b=2.

MerkeQuadrat, doppeltes Produkt, Quadrat. Nur bei Plus mal Minus fällt die Mitte weg.

2 von 6

Woher die Formel kommt

Ein Quadrat ist eine Zahl mal sich selbst. Also ist (x+3)2=(x+3)(x+3). Multiplizierst du jedes Glied mit jedem, bekommst du:

x2+3x+3x+9=x2+6x+9

Die zwei gleichen Glieder in der Mitte ergeben zusammen das doppelte Produkt 2·x·3=6x.

MerkeVergisst du eine Formel, multipliziere die Klammern einfach aus.

-6-4-2051015xyf(x) = (x + 3)²g(x) = x² + 6x + 9
Die Kurven von (x + 3)² und x² + 6x + 9 liegen genau aufeinander: Beide Terme haben für jedes x denselben Wert.

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Die Mitte nicht vergessen

Der häufigste Fehler ist (x+3)2=x2+9. Das stimmt nicht, denn das Mittelglied 6x fehlt.

So prüfst du es: Setze eine Zahl ein, zum Beispiel x=1. Links gibt (1+3)2=16, rechts 1+9=10. Zwei verschiedene Werte, also ist die Umformung falsch.

MerkeMit einer eingesetzten Zahl prüfst du jede Umformung.

-4-2025101520xyf(x) = (x + 3)²g(x) = x² + 9 (falsch)(1; 16)(1; 10)
(x + 3)² und x² + 9 geben verschiedene Kurven: Bei x = 1 ist der eine Wert 16, der andere 10.

4 von 6

Mit Zahl vor der Variable

Bei (3x−2)2 ist a=3x und b=2. Quadriere das ganze erste Glied, mit der Zahl:

(3x)2−2·3x·2+22=9x2−12x+4

Schreib dir a und b zuerst auf. So vergisst du weder die Klammer um 3x noch die 2 im Mittelglied.

Merke​(3x)2=9x2, nicht 3x2.

5 von 6

Rückwärts: als Produkt schreiben

Bei x2+10x+25 suchst du zuerst die zwei Quadrate: x2 und 25=52. Also ist a=x und b=5.

Dann prüfst du die Mitte: 2·x·5=10x stimmt. Also ist x2+10x+25=(x+5)2.

Steht nur eine Differenz von zwei Quadraten da, nimmst du die 3. Formel: x2−49=(x+7)(x−7).

MerkeRückwärts zuerst die zwei Quadrate suchen, dann die Mitte prüfen.

6 von 6

Rechentricks im Kopf

Die Formeln helfen auch ohne . Zerlege die Zahl in eine runde Zahl und einen kleinen Rest:

312=(30+1)2=900+60+1=96121·19=(20+1)(20−1)=400−1=399
Binomische Formeln: Merkblatt mit Formel und Beispiel. (a + b)² = a² + 2ab + b². (a - b)² = a² - 2ab + b². (a + b)(a - b) = a² - b². Quadrat, doppeltes Produkt, Quadrat. Nur bei Plus mal Minus fällt die Mitte weg. Beispiel: (x + 6)² = x² + 12x + 36.
Merkblatt Binomische Formeln: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕​(x+5)2=x2+25, also nur die zwei Quadrate.

    ✓Das Mittelglied fehlt: (x+5)2=x2+10x+25. Probe mit x=1: 62=36, aber 1+25=26.

  • ✕​(2x+3)2=2x2+6x+9

    ✓Das ganze erste Glied wird , und im Mittelglied steht die 2: (2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9.

  • ✕​(x−4)2=x2−8x−16

    ✓Das letzte Glied ist ein Quadrat und darum immer positiv: (x−4)2=x2−8x+16.

  • ✕​x2−9=(x−3)2

    ✓​(x−3)2 hat das Mittelglied −6x. Zwei Quadrate mit Minus und ohne Mitte gehören zur 3. Formel: x2−9=(x+3)(x−3).

Begriffe zum Nachschlagen
Binom
Eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel x+3 oder 2m−5.
quadrieren
Eine Zahl oder einen Term mal sich selbst nehmen: (x+3)2=(x+3)(x+3).
Quadrat
Hier keine Figur, sondern eine Zahl oder ein Term mal sich selbst, zum Beispiel 25=52.
Mittelglied
Das doppelte Produkt 2ab in der Mitte der 1. und 2. Formel.
Ausmultiplizieren
Ein Produkt mit Klammern als Summe ohne Klammern schreiben.
Faktorisieren
Eine Summe als Produkt schreiben, also den Weg zurück zum Ausmultiplizieren.
Produkt
Das Ergebnis einer Multiplikation, auch ein Term wie (x+7)(x−7).

Noch unsicher? Zuerst lernen:Ausmultiplizieren und AusklammernPotenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die Plus-Formel anwenden

Multipliziere aus: (x+6)2.

  1. Bestimme die zwei Glieder: a=x und b=6.
  2. Erstes Glied quadrieren:a2=x2
  3. Doppeltes Produkt für die Mitte:2ab=2·x·6=12x
  4. Zweites Glied quadrieren:b2=62=36

​(x+6)2=x2+12x+36

Beispiel 2Minus-Formel mit Zahl vor der Variable

Multipliziere aus: (5m−2)2.

  1. Es ist die Minus-Formel mit a=5m und b=2.
  2. Das ganze erste Glied quadrieren, mit der Zahl:(5m)2=25m2
  3. Das Mittelglied bekommt das Minus:−2·5m·2=−20m
  4. Das letzte Glied ist ein Quadrat und positiv:22=4

​(5m−2)2=25m2−20m+4

Beispiel 3Rückwärts: als Produkt schreiben

Schreib als Produkt: 4x2+28x+49.

  1. Suche die zwei Quadrate: 4x2=(2x)2 und 49=72. Also ist a=2x und b=7.
  2. Prüfe die Mitte. Sie muss das doppelte Produkt sein:2·2x·7=28x
  3. Die Mitte stimmt und hat ein Plus. Also ist es die Plus-Formel:4x2+28x+49=(2x+7)2

​4x2+28x+49=(2x+7)2

Beispiel 4Das Gartenbeet wird grösser

Eine Familie steckt im Familiengarten mit Holzpflöcken und Schnur ein grösseres quadratisches Gemüsebeet ab.

Familie Ammann aus Winterthur hat im Familiengarten ein quadratisches Gemüsebeet mit der Seitenlänge x m. Sie macht jede Seite um 2 m länger. Um wie viel wächst die Fläche? Wie viel ist das bei 7 m Seitenlänge?

  1. Das neue Beet hat die Seitenlänge x+2. Seine Fläche ist:(x+2)2=x2+4x+4
  2. Der Zuwachs ist die neue Fläche minus die alte:x2+4x+4−x2=4x+4
  3. Setze x=7 ein:4·7+4=32
  4. Probe ohne Formel: Das neue Beet hat 92=81 m², das alte 72=49 m², der Unterschied ist 32 m².

Die Fläche wächst um (4x+4) m², bei 7 m Seitenlänge um 32 m².

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Multipliziere aus: (x+4)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2+8x+16

    -8-6-4-2051015xyf(x) = (x + 4)²g(x) = x² + 8x + 16
    (x + 4)² und x² + 8x + 16 zeichnen dieselbe Kurve: Die Umformung stimmt für jedes x.
    1. Plus-Formel mit a=x und b=4.
    2. Mitte: 2·x·4=8x
    3. Letztes Glied: 42=16, also x2+8x+16.
  2. 2

    Multipliziere aus: (x−3)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2−6x+9

    0246510xyf(x) = x² − 6x + 9(3; 0)
    Die Kurve von x² − 6x + 9 berührt die x-Achse genau bei x = 3. Dort wird die Klammer x − 3 null.
    1. Minus-Formel mit a=x und b=3.
    2. Mitte mit Minus: 2·x·3=6x, also −6x.
    3. Letztes Glied positiv: 32=9, also x2−6x+9.
  3. 3

    Multipliziere aus: (x+5)(x−5)

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2−25

    -505-20-1010xyf(x) = x² − 25(−5; 0)(5; 0)
    x² − 25 ist null bei x = 5 und bei x = −5. Genau dort wird eine der Klammern x − 5 oder x + 5 null.
    1. Plus mal Minus mit gleichen Gliedern: 3. Formel mit a=x und b=5.
    2. ​a2−b2=x2−52=x2−25
    3. Die Mitte fällt weg, weil +5x und −5x zusammen 0 geben.
  4. 4

    Schreib als Produkt: x2+14x+49

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2+14x+49=(x+7)2

    1. Die zwei Quadrate: x2 und 49=72.
    2. Mitte prüfen: 2·x·7=14x stimmt.
    3. Plus in der Mitte, also (x+7)2.
  5. 5

    Schreib als Produkt: x2−36

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2−36=(x+6)(x−6)

    1. Zwei Quadrate mit Minus, keine Mitte: 3. Formel.
    2. ​36=6·6, also b=6.
    3. ​x2−36=(x+6)(x−6)
  1. 6

    Multipliziere aus: (2x+5)2

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    Ergebnis: ​4x2+20x+25

    1. ​a=2x und b=5.
    2. ​(2x)2=4x2 und 2·2x·5=20x.
    3. ​52=25, also 4x2+20x+25.
  2. 7

    Multipliziere aus: (m−6n)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​m2−12mn+36n2

    1. Minus-Formel mit a=m und b=6n.
    2. Mitte: 2·m·6n=12mn, mit Minus.
    3. ​(6n)2=36n2, also m2−12mn+36n2.
  3. 8

    Multipliziere aus: (4x+3)(4x−3)

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​16x2−9

    1. 3. Formel mit a=4x und b=3.
    2. ​(4x)2−32=16x2−9
  4. 9

    Schreib als Produkt: 25x2−30x+9

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​25x2−30x+9=(5x−3)2

    1. Die zwei Quadrate: 25x2=(5x)2 und 9=32.
    2. Mitte prüfen: 2·5x·3=30x stimmt.
    3. Minus in der Mitte, also (5x−3)2.
  5. 10

    Rechne im Kopf mit einer binomischen Formel: 412

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​1681

    1. Zerlegen: 41=40+1
    2. ​(40+1)2=402+2·40·1+12
    3. ​1600+80+1=1681
  1. 11

    Multipliziere aus: (2x−3y)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​4x2−12xy+9y2

    1. Minus-Formel mit a=2x und b=3y.
    2. ​(2x)2=4x2 und 2·2x·3y=12xy, mit Minus.
    3. ​(3y)2=9y2, also 4x2−12xy+9y2.
  2. 12

    Vereinfache: (x+3)2−(x−1)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​8x+8

    1. Beide Klammern ausmultiplizieren: x2+6x+9 und x2−2x+1.
    2. Die zweite in Klammern abziehen: x2+6x+9−(x2−2x+1)
    3. Minus vor der Klammer dreht alle Zeichen: x2+6x+9−x2+2x−1=8x+8
  3. 13

    Multipliziere aus: 3(x−2)2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​3x2−12x+12

    1. Potenz vor Punkt: zuerst (x−2)2=x2−4x+4.
    2. Dann mit 3 multiplizieren: 3(x2−4x+4)=3x2−12x+12
  4. 14

    Schreib als Produkt: 2x2−12x+18

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​2x2−12x+18=2(x−3)2

    1. Zuerst die 2 ausklammern: 2(x2−6x+9)
    2. In der Klammer: 9=32 und 2·x·3=6x, mit Minus.
    3. Also 2(x−3)2.
  5. 15

    Ein Rechteck ist 3 cm länger und 3 cm schmaler als ein Quadrat mit der Seitenlänge x cm. Welche Fläche ist grösser, und um wie viel?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Das Quadrat ist immer um 9 cm² grösser.

    1. Fläche des Rechtecks: (x+3)(x−3)=x2−9
    2. Fläche des Quadrats: x2
    3. Unterschied: x2−(x2−9)=9, für jedes x grösser als 3.
    4. Probe mit x=10: 100−13·7=100−91=9

Vergisst dein Kind noch das Mittelglied oder findet die Formel rückwärts nicht, übt eine Lehrperson mit ihm alle drei Formeln an vielen Termen. Mathematik-Nachhilfe in Algebra für die 3. Sek

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Unbegrenzt neue Aufgaben, mal vorwärts zum Ausmultiplizieren, mal rückwärts als Produkt. Stufe 1 hat nur x und eine Zahl, Stufe 2 eine Zahl vor der Variable, Stufe 3 zwei Variablen, Differenzen und Ausklammern.

Multipliziere aus:(x − 6)²=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

Meist in der 3. Sek, in manchen Klassen schon gegen Ende der 2. Sek. Die binomischen Formeln bauen auf dem Ausmultiplizieren auf und werden danach für quadratische Gleichungen gebraucht.

  • MA.1.A.4.lKlammern mit zwei Gliedern mit den binomischen Formeln ausmultiplizieren und Summen damit wieder als Produkt schreiben, dabei Potenz vor Punkt vor Strich beachten.
  • MA.1.B.2.kEine Termumformung durch Einsetzen einer Zahl überprüfen und einen Rechentrick wie 21 · 19 = 400 − 1 mit Variablen allgemein begründen.
  • MA.1.A.4.jVoraussetzung: Klammern ausmultiplizieren und gemeinsame Faktoren ausklammern.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man die binomischen Formeln?

Meist in der 3. Sek, in manchen Klassen schon gegen Ende der 2. Sek. Im Lehrplan 21 gehören sie zum Zyklus 3, aber nicht zu den Grundansprüchen. Darum sind sie vor allem in Klassen mit erweiterten Anforderungen und für die Vorbereitung aufs Gymnasium wichtig.

Muss man die binomischen Formeln auswendig lernen?

Es lohnt sich, weil du sie in der Sek und später im Gymnasium oft brauchst. Vergisst du eine, multiplizierst du die Klammern einfach aus: (x + 3)² ist (x + 3) · (x + 3). So kommst du immer zum richtigen Ergebnis.

Wie erkenne ich, welche binomische Formel ich brauche?

Vorwärts schaust du auf die Zeichen: zweimal dieselbe Klammer mit Plus ist die 1. Formel, mit Minus die 2., eine Plus- und eine Minus-Klammer die 3. Rückwärts: Drei Glieder mit zwei Quadraten gehören zur 1. oder 2. Formel, zwei Quadrate mit Minus und ohne Mitte zur 3.

Wofür braucht man die binomischen Formeln?

Zum schnellen Ausmultiplizieren, zum Faktorisieren und später zum Lösen von quadratischen Gleichungen. Auch beim Kopfrechnen helfen sie: 21 · 19 ist 20² − 1², also 399.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?