Fokus Nachhilfe

Gleichungen lösen

Eine lineare Gleichung löst du, indem du auf beiden Seiten dasselbe rechnest, bis x allein steht. Mit der Probe setzt du die Lösung ein und kontrollierst, ob beide Seiten gleich gross sind.

1. Sek - 2. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.4.j

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Links und rechts ist gleich viel. Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe, bis x allein steht. Am Schluss machst du die Probe.

1 von 6

Was eine Gleichung ist

In 3x+4=19 steht x für eine Zahl, die du suchst. Die Lösung ist die Zahl, die die Gleichung wahr macht.

Hier ist das 5, denn 3·5+4=19.

Streckenmodell: Drei gleich lange Stücke x und ein Stück 4 sind zusammen 19 lang. Jedes x ist 5 lang.

2 von 6

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen

Eine Äquivalenzumformung verändert beide Seiten gleich. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.

Du darfst auch beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie teilen, aber nie mit 0 oder durch 0.

Hinter einen Strich schreibst du, was du rechnest:

3 x + 4 3 x x = 19 = 15 = 5 ∣ - 4 ∣ : 3

MerkeWas du links rechnest, rechnest du auch rechts.

3 von 6

x auf beiden Seiten

Steht x links und rechts, bringst du zuerst alle x auf eine Seite. Nimm die Seite mit mehr x, dann steht vor x kein Minus.

5 x + 3 3 x + 3 3 x x = 2 x + 12 = 12 = 9 = 3 ∣ - 2 x ∣ - 3 ∣ : 3

Für x = 3 sind beide Seiten 18 lang. Oben 5x + 3: 5x reicht bis 15, dazu kommt 3. Unten 2x + 12: 2x reicht bis 6, dazu kommt 12.

4 von 6

Negative Zahlen

Die Lösung kann auch negativ sein. Bei 4x+11=3 rechnest du |−11 und erhältst 4x=−8, also x=−2.

Das Minus vor x gehört zur Zahl: Bei −3x=12 teilst du durch −3 und erhältst x=−4.

MerkeTeilst du durch eine , kehrt das .

Die Lösungen x = −2 und x = −4 sind negativ. Sie liegen links von 0 auf dem Zahlenstrahl.

5 von 6

Klammern zuerst auflösen

Stehen in der Gleichung, löst du sie zuerst auf und fasst jede Seite zusammen. Steht ein Minus vor der Klammer, kehren alle Vorzeichen darin: −(x−4)=−x+4.

3 (x + 2) 3 x + 6 6105 = 5 x - 4 = 5 x - 4 = 2 x - 4 = 2 x = x ∣ - 3 x ∣ + 4 ∣ : 2

MerkeMinus vor der Klammer: Jedes Vorzeichen in der Klammer kehrt.

6 von 6

Die Probe

Setze die Lösung in die Gleichung vom Anfang ein und rechne beide Seiten getrennt aus. Sind sie gleich, stimmt die Lösung.

Probe für x=5 bei 3(x+2)=5x−4: links 3·7=21, rechts 25−4=21. Es stimmt.

MerkeDie Probe machst du immer mit der Gleichung vom Anfang.

Lineare Gleichungen lösen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Was du links rechnest, rechnest du auch rechts. Beispiel: x = 6. — Merkblatt Lineare Gleichungen lösen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕x+7=12 wird zu x=12+7=19.
✓Die 7 wird abgezogen, auf beiden Seiten: |−7 gibt x=12−7=5.
✕Bei 3x+4=19 nur 3x durch 3 teilen: x+4=193.
✓Teilst du, dann jedes auf beiden Seiten. Einfacher: zuerst |−4, dann |:3, also x=5.
✕−(x−4)=−x−4
✓Das Minus kehrt jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x−4)=−x+4.
✕−3x=12 gibt x=4.
✓Du teilst durch −3, nicht durch 3: x=12:(−3)=−4.

Begriffe zum Nachschlagen

Gleichung: Zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen dazwischen, zum Beispiel 3x+4=19.
Variable: Ein Buchstabe wie x, der für eine gesuchte Zahl steht. Man sagt auch Unbekannte.
Lösung: Die Zahl für x, mit der beide Seiten gleich gross sind.
Äquivalenzumformung: Eine Rechnung, die du auf beiden Seiten gleich machst. Die Lösung bleibt dabei dieselbe.
Probe: Die Kontrolle: Lösung einsetzen und prüfen, ob links und rechts dasselbe herauskommt.
Lineare Gleichung: Eine Gleichung ohne x² und ohne x im Nenner, zum Beispiel 3x+4=19.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Terme mit Variablen vereinfachen Ausmultiplizieren und Ausklammern Negative Zahlen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Gleichung in zwei Schritten

Löse 4x+7=31.

Vier gleich lange Stücke x und ein Stück 7 sind zusammen 31. Ohne die 7 bleiben 24, jedes x ist 6.

Die 7 soll weg. Ziehe auf beiden Seiten 7 ab:4x+7=31 |−7
Jetzt steht nur noch 4x links. Teile beide Seiten durch 4:4x=24 |:4
Die Lösung:x=6
Probe: Links 4·6+7=31, rechts 31. Es stimmt.

x=6

Beispiel 2x auf beiden Seiten

Löse 9x−2=6x+19.

Rechts stehen weniger x. Bringe sie nach links:9x−2=6x+19 |−6x
Die −2 soll weg. Addiere auf beiden Seiten 2:3x−2=19 |+2
Teile beide Seiten durch 3:3x=21 |:3
Die Lösung:x=7
Probe: Links 9·7−2=61, rechts 6·7+19=61. Es stimmt.

x=7

Beispiel 3Textaufgabe: die Schulreise

Eine Schulklasse steigt mit Rucksäcken aus einem Reisecar, im Hintergrund ein See und Berge.

Eine 2. Sek aus Zug fährt auf die Schulreise nach Luzern. Der Car kostet 360 Franken, dazu kommen pro Person 14 Franken Eintritt ins Museum. Zusammen kostet die Reise 668 Franken. Wie viele Personen fahren mit?

Die Anzahl Personen ist gesucht, nenne sie x. Car plus Eintritte ergibt die Gleichung. Ziehe dann auf beiden Seiten 360 ab:360+14x=668 |−360
Teile beide Seiten durch 14:14x=308 |:14
Die Lösung:x=22
Probe: 360+14·22=360+308=668. Es stimmt.

Es fahren 22 Personen mit.

Beispiel 4Klammern mit Minus davor

Löse 5−2(x−3)=3(x+2)−10.

Klammern auflösen. Das −2 kehrt die Vorzeichen in der ersten Klammer:5−2x+6=3x+6−10
Jede Seite zusammenfassen:11−2x=3x−4 |+2x
Alle x stehen jetzt rechts. Bringe die −4 nach links:11=5x−4 |+4
Teile durch 5:15=5x |:5
Die Lösung:x=3
Probe mit der Gleichung vom Anfang: Links 5−2·0=5, rechts 3·5−10=5. Es stimmt.

x=3

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
x+9=23
Lösung zeigen
Ergebnis: x=14
Das Stück x und das Stück 9 sind zusammen 23 lang. x ist 14.
1. |−9 auf beiden Seiten
2. x=23−9=14
3. Probe: 14+9=23
2
6x=42
Lösung zeigen
Ergebnis: x=7
Sechs gleich lange Stücke x sind zusammen 42 lang. Jedes ist 7.
1. |:6 auf beiden Seiten
2. x=42:6=7
3. Probe: 6·7=42
3
2x+5=17
Lösung zeigen
Ergebnis: x=6
Zwei Stücke x und ein Stück 5 sind zusammen 17. Ohne die 5 bleiben 12, jedes x ist 6.
1. |−5: 2x=12
2. |:2: x=6
3. Probe: 2·6+5=17
4
x−8=15
Lösung zeigen
Ergebnis: x=23
1. |+8 auf beiden Seiten
2. x=15+8=23
3. Probe: 23−8=15
5
5x−3=22
Lösung zeigen
Ergebnis: x=5
1. |+3: 5x=25
2. |:5: x=5
3. Probe: 5·5−3=22

6
7x−4=3x+20
Lösung zeigen
Ergebnis: x=6
1. |−3x: 4x−4=20
2. |+4: 4x=24
3. |:4: x=6
4. Probe: links 42−4=38, rechts 18+20=38
7
5x+13=−2
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−3
1. |−13: 5x=−15
2. |:5: x=−3
3. Probe: 5·(−3)+13=−15+13=−2
8
2x−9=5x+6
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−5
1. Rechts stehen mehr x: |−2x gibt −9=3x+6
2. |−6: −15=3x
3. |:3: x=−5
4. Probe: links −10−9=−19, rechts −25+6=−19
9
3(x−2)=15
Lösung zeigen
Ergebnis: x=7
1. Klammer auflösen: 3x−6=15
2. |+6: 3x=21
3. |:3: x=7
10
Jonas hat 48 Franken. Er kauft im Ausverkauf 3 gleiche T-Shirts und hat danach noch 9 Franken. Wie viel kostet ein T-Shirt?
Lösung zeigen
Ergebnis: 13 Franken
1. Preis eines T-Shirts =x: 3x+9=48
2. |−9: 3x=39
3. |:3: x=13. Ein T-Shirt kostet 13 Franken.

11
4−(x+3)=2x−8
Lösung zeigen
Ergebnis: x=3
1. Minus vor der Klammer: 4−x−3=2x−8, also 1−x=2x−8
2. |+x: 1=3x−8
3. |+8: 9=3x, also x=3
4. Probe: links 4−6=−2, rechts 6−8=−2
12
2(3x−1)−(x+4)=3(x−4)
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−3
1. Klammern auflösen: 6x−2−x−4=3x−12
2. Zusammenfassen: 5x−6=3x−12
3. |−3x und |+6: 2x=−6, also x=−3
4. Probe: links 2·(−10)−1=−21, rechts 3·(−7)=−21
13
Im Hallenbad in Chur kostet ein Eintritt 7 Franken. Mit einer Saisonkarte für 30 Franken zahlst du pro Eintritt nur noch 4 Franken. Bei wie vielen Eintritten kostet beides gleich viel?
Lösung zeigen
Ergebnis: Bei 10 Eintritten
1. Anzahl Eintritte =x: 7x=30+4x
2. |−4x: 3x=30
3. |:3: x=10. Beides kostet dann 70 Franken.
14
Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 7, ist gleich gross wie das Doppelte der Zahl, vermehrt um 5. Wie heisst die Zahl?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Zahl ist 12.
1. Gleichung aufstellen: 3x−7=2x+5
2. |−2x: x−7=5
3. |+7: x=12
4. Probe: 36−7=29 und 24+5=29

Verliert dein Kind beim Umformen noch den Überblick oder ein Vorzeichen, übt eine Lehrperson mit ihm jeden Schritt auf beiden Seiten. Nachhilfe in Mathematik für die 1. und 2. Sek

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Trainer: Lineare Gleichungen lösen

Unbegrenzt neue Gleichungen, mit Rückmeldung und dem Rechenweg in Tafelschreibweise samt Probe. Gib die Lösung ein, zum Beispiel 5, x = 5 oder −2.

Löse nach x auf:3x+6=18

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaTextaufgaben mit GleichungenBei einer Textaufgabe mit Gleichung übersetzt du eine Geschichte in eine Gleichung mit x. Du löst sie, prüfst die Lösung am Text und schreibst einen Antwortsatz.1. Sek - 3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

In der 1. Sek löst du Gleichungen wie 3x + 4 = 19, zuerst mit Umkehrrechnen, dann mit Äquivalenzumformungen. In der 2. Sek kommen x auf beiden Seiten, negative Lösungen und Klammern dazu.

MA.1.A.4.jEine lineare Gleichung mit einer Unbekannten Schritt für Schritt umformen, bis die Unbekannte allein auf einer Seite steht.
MA.1.B.2.iDie gefundene Lösung mit einer Probe kontrollieren: einsetzen und beide Seiten getrennt ausrechnen.
MA.1.A.4.hEinfache Gleichungen durch Ausprobieren oder mit der Umkehrrechnung lösen, wie schon gegen Ende der Primarschule.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Gleichungen lösen?

Nach Lehrplan 21 im Zyklus 3, also in der Sek. Gleichungen wie 3x+4=19 kommen meist in der 1. Sek, Gleichungen mit Klammern und x auf beiden Seiten in der 2. Sek. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Eine Rechnung, die du auf beiden Seiten der Gleichung gleich machst, zum Beispiel minus 4 oder geteilt durch 3. Die Gleichung sieht danach anders aus, hat aber dieselbe Lösung. Nicht erlaubt sind mal 0 und geteilt durch 0.

Muss man immer eine Probe machen?

In Prüfungen wird sie oft verlangt, und sie lohnt sich immer. Mit der Probe findest du Vorzeichenfehler, bevor sie dich Punkte kosten. Setze die Lösung dafür in die Gleichung vom Anfang ein.

Warum heisst die Gleichung linear?

Weil x nur hoch 1 vorkommt, also kein x² und kein x im Nenner. Eine lineare Gleichung hat darum meist genau eine Lösung. Gleichungen mit x² heissen quadratisch und haben oft zwei Lösungen.