Fokus Nachhilfe

Brüche kürzen und erweitern

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl. Der Bruch sieht danach anders aus, sein Wert bleibt aber gleich.

5. Klasse - 6. Klasse
Zyklus 2
Lehrplan 21: MA.1.A.3.f

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Das musst du wissen

Erklärung

Erweitern und Kürzen schreibt denselben mit anderen Zahlen. Beim Erweitern du und mit derselben Zahl, beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl. Am Schluss kürzt du so lange, bis es nicht mehr geht.

1 von 6

Gleicher Wert, andere Zahlen

Schneide eine Pizza in 4 Stücke und nimm 2. Oder schneide sie in 8 Stücke und nimm 4. Du hast beide Male gleich viel: die Hälfte.

12=24=48

Solche Brüche heissen gleichwertig.

Pizza in 8 Stücken, 4 sind markiert: genau die Hälfte der Pizza.

2 von 6

Erweitern

Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Die Stücke werden kleiner, dafür hast du mehr davon.

23=2·43·4=812

MerkeErweitern: oben und unten mal dieselbe Zahl.

Streifen in 12 Teilen, 8 sind gefärbt. Das ist gleich viel wie 2 von 3 Teilen.

3 von 6

Auf einen Nenner erweitern

Oft ist der neue Nenner vorgegeben, zum Beispiel 20. Frag dich: Mit welcher Zahl wird aus 4 die 20? Mit 5. Dann multiplizierst du auch den Zähler mit 5.

34=3·54·5=1520

MerkeNeuer Nenner alten Nenner gibt die Zahl, mit der du erweiterst.

4 von 6

Kürzen

Teile Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Die Stücke werden grösser, dafür hast du weniger davon.

68=6:28:2=34

MerkeKürzen: oben und unten durch dieselbe Zahl.

Pizza in 8 Stücken, 6 sind markiert: das sind genau drei Viertel der Pizza.

5 von 6

Vollständig kürzen

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen mehr haben ausser 1.

Am schnellsten kürzt du durch den (ggT). Bei 1824 ist das 6: 1824=34. Du darfst auch in Schritten kürzen, zuerst durch 2, dann durch 3.

MerkeKürze so lange, bis es nicht mehr geht.

6 von 6

Teilbarkeitsregeln helfen

Gerade Zahlen sind durch 2 . Endet eine Zahl auf 0 oder 5, ist sie durch 5 teilbar. Ist die durch 3 teilbar, ist es auch die Zahl.

Bei 4560 enden beide auf 0 oder 5: 912. Die Quersummen 9 und 3 zeigen: Es geht noch durch 3, also 34.

Brüche kürzen und erweitern: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Erweitern: oben und unten mal dieselbe Zahl. Beispiel: 3/5 = 12/20. — Merkblatt Brüche kürzen und erweitern: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕23 mit 4 erweitern ergibt 67, also oben und unten 4 dazuzählen.
✓Erweitern heisst multiplizieren: 2·43·4=812.
✕Nur den Nenner ändern: 34=320.
✓Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl: 34=1520.
✕1218 durch 2 kürzen und 69 als Ergebnis stehen lassen.
✓6 und 9 sind noch durch 3 teilbar. Vollständig gekürzt ist es 23.
✕Nach dem Kürzen ist der Bruch kleiner geworden.
✓Der Wert bleibt gleich. Nur die Zahlen werden kleiner, die Stücke dafür grösser.

Begriffe zum Nachschlagen

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Der Wert bleibt gleich.
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Der Wert bleibt gleich.
Erweiterungszahl: Die Zahl, mit der du Zähler und Nenner multiplizierst. Beim Kürzen heisst sie Kürzungszahl.
Gleichwertige Brüche: Brüche mit verschiedenen Zahlen, aber demselben Wert, zum Beispiel 12 und 36.
ggT: Der grösste gemeinsame Teiler von zwei Zahlen. Durch ihn kürzt du in einem Schritt vollständig.
Vollständig gekürzt: Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler mehr ausser 1.
Prozent: Heisst «von hundert». 35 von 100 sind 35 %.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Brüche verstehen und darstellen Teilbarkeitsregeln, Teiler und Vielfache

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Mit einer Zahl erweitern

Erweitere 35 mit 4.

Streifen in 20 Teilen, 12 sind gefärbt. Das ist gleich viel wie 3 von 5 Teilen.

Multipliziere den Zähler mit 4:3·4=12
Multipliziere auch den Nenner mit 4:5·4=20
Der neue Bruch hat kleinere Stücke, aber gleich viel Wert.35=3·45·4=1220

35=1220

Beispiel 2Vollständig kürzen

Kürze 2436 vollständig.

Beide Zahlen sind gerade. Kürze durch 2:2436=1218
Wieder beide gerade. Noch einmal durch 2:1218=69
6 und 9 sind durch 3 teilbar:69=23
Schneller geht es mit dem ggT: Der ggT von 24 und 36 ist 12, und 24:12=2, 36:12=3.

2436=23

Beispiel 3Zwei Klassen vergleichen

Kinder stellen am Morgen ihre Velos im Veloständer vor einem Schweizer Schulhaus ab.

In einer 6. Klasse in Winterthur kommen 20 von 24 Kindern mit dem Velo zur Schule. In der Parallelklasse sind es 15 von 18 Kindern. In welcher Klasse ist der grösser?

Schreibe beide Anteile als Bruch:2024 1518
Kürze den ersten Bruch durch 4:2024=56
Kürze den zweiten Bruch durch 3:1518=56
Beide Brüche sind gleichwertig. Gekürzt sieht man es sofort.

Der Anteil ist gleich gross: In beiden Klassen kommen 56 der Kinder mit dem Velo.

Beispiel 4Die fehlende Zahl ohne direkten Weg

Welche Zahl fehlt? $\frac{6}{8} = \frac{?}{20}$

Streifen in 20 Teilen, 15 sind gefärbt. Das sind drei Viertel, genau wie 6 von 8.

Von 8 kommst du mit mal nicht genau auf 20, denn 20:8=2.5. Kürze darum zuerst:68=34
Jetzt geht es: Aus 4 wird mit 5 die 20.4·5=20
Erweitere auch den Zähler mit 5:34=3·54·5=1520

68=1520, die fehlende Zahl ist 15.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Erweitere 12 mit 3.
Lösung zeigen
Ergebnis: 36
Pizza in 6 Stücken, 3 sind markiert: wieder die Hälfte.
1. Zähler: 1·3=3
2. Nenner: 2·3=6
3. 12=36
2
Erweitere 25 mit 2.
Lösung zeigen
Ergebnis: 410
Streifen in 10 Teilen, 4 sind gefärbt: gleich viel wie 2 von 5 Teilen.
1. Zähler: 2·2=4
2. Nenner: 5·2=10
3. 25=410
3
Kürze 48 vollständig.
Lösung zeigen
Ergebnis: 12
Pizza in 8 Stücken, 4 sind markiert: das ist die Hälfte.
1. 4 und 8 sind beide durch 4 teilbar.
2. 4:48:4=12
4
Kürze 69 vollständig.
Lösung zeigen
Ergebnis: 23
Kreis in 9 Teilen, 6 sind gefärbt: das sind zwei Drittel des Kreises.
1. 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar.
2. 6:39:3=23
5
Welche Zahl fehlt? $\frac{1}{3} = \frac{?}{12}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 4
1. Aus 3 wird mit 4 die 12.
2. Also auch den Zähler mal 4: 1·4=4
3. 13=412

6
Erweitere 34 auf den Nenner 28.
Lösung zeigen
Ergebnis: 2128
1. Aus 4 wird mit 7 die 28, denn 28:4=7.
2. Zähler: 3·7=21
3. 34=2128
7
Welche Zahl fehlt? $\frac{5}{6} = \frac{?}{42}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 35
1. Aus 6 wird mit 7 die 42.
2. Zähler: 5·7=35
3. 56=3542
8
Welche Zahl fehlt? $\frac{27}{36} = \frac{3}{?}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 4
1. Aus 27 wird die 3, wenn du durch 9 teilst.
2. Teile auch den Nenner durch 9: 36:9=4
3. 2736=34
9
Kürze 3556 vollständig.
Lösung zeigen
Ergebnis: 58
1. 35 und 56 sind beide in der Siebnerreihe: 35=5·7, 56=8·7.
2. 35:756:7=58
3. 5 und 8 haben keinen gemeinsamen Teiler mehr.
10
Mia aus Chur hat 45 Minuten für ihre Hausaufgaben eingeplant. Nach 30 Minuten ist sie fertig. Welchen Bruchteil der geplanten Zeit hat sie gebraucht? Kürze vollständig.
Lösung zeigen
Ergebnis: 23 der geplanten Zeit
1. Als Bruch: 3045
2. Der ggT von 30 und 45 ist 15.
3. 30:1545:15=23

11
Welche Zahl fehlt? $\frac{10}{15} = \frac{?}{12}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 8
1. Von 15 kommst du mit mal nicht auf 12. Kürze zuerst durch 5: 1015=23
2. Aus 3 wird mit 4 die 12.
3. 2·43·4=812, die fehlende Zahl ist 8.
12
Erweitere 720 auf den Nenner 100. Wie viel sind das?
Lösung zeigen
Ergebnis: 35100, also 35 %
1. Aus 20 wird mit 5 die 100.
2. Zähler: 7·5=35
3. Hundertstel sind Prozent: 35100=35 %
13
Kürze 7296 vollständig.
Lösung zeigen
Ergebnis: 34
1. Beide sind in der Achterreihe: 72:896:8=912
2. 9 und 12 sind noch durch 3 teilbar: 912=34
3. In einem Schritt: Der ggT von 72 und 96 ist 24.
14
Welcher Bruch passt nicht zu den anderen? 46, 1015, 1216, 1421
Lösung zeigen
Ergebnis: 1216, denn gekürzt ist es 34. Die anderen sind alle 23.
1. Kürze jeden Bruch vollständig.
2. 46=23, 1015=23, 1421=23
3. Nur 1216=34 ist anders.
15
Zwei Klassen aus Aarau stimmen über die Schulreise ab. In der einen wollen 15 von 25 Kindern ins Verkehrshaus, in der anderen 12 von 20. Ist der Anteil gleich gross?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, beide Male 35.
1. Erste Klasse: 1525, gekürzt durch 5 gibt 35.
2. Zweite Klasse: 1220, gekürzt durch 4 gibt 35.
3. Die Brüche sind gleichwertig, der Anteil ist gleich gross.

Hängt es beim Kürzen noch oder fehlt beim Erweitern der Blick für die passende Zahl, übt eine Lehrperson mit deinem Kind genau diese Schritte. Nachhilfe in Mathematik für die 5. und 6. Klasse

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Erweitere mit 5:14=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaBrüche vergleichen und ordnenZwei Brüche mit gleichem Nenner vergleichst du an den Zählern: Mehr gleich grosse Teile sind mehr. Haben sie verschiedene Nenner, erweiterst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.5. Klasse - 6. Klasse

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 5. Klasse - 6. Klasse
Zyklus: Zyklus 2
Fach: Mathematik

Meist in der 5. Klasse am Streifen- oder Rechteckbild, in der 6. Klasse ohne Bild und mit grösseren Zahlen. Danach brauchst du Kürzen und Erweitern bei jeder Bruchrechnung.

MA.1.A.3.fEinen Bruch erweitern oder kürzen, ohne seinen Wert zu ändern, und das an einem Streifen- oder Rechteckbild zeigen.
MA.1.A.1.gDie Wörter Bruch, Zähler, Nenner, Teiler und Vielfaches kennen und richtig brauchen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern?

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl. In beiden Fällen bleibt der Wert des Bruchs gleich. Nur die Zahlen und die Grösse der Stücke ändern sich.

In welcher Klasse lernt man Brüche kürzen und erweitern?

Nach Lehrplan 21 gehört das Thema in den Zyklus 2, meist in die 5. Klasse. In der 6. Klasse kommen grössere Zahlen und das Erweitern auf 100 dazu. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt?

Wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben ausser 1. 69 ist noch nicht fertig, weil beide durch 3 teilbar sind. 23 ist vollständig gekürzt.

Wozu braucht man das Erweitern?

Zum Addieren und Subtrahieren brauchst du Brüche mit demselben Nenner, und die bekommst du durch Erweitern. Auch beim Vergleichen hilft es. Erweitern auf 100 zeigt dir ausserdem, wie viel Prozent ein Bruch ist.