Fokus Nachhilfe

Volumen von Kugel, Pyramide und Kegel

Pyramide und Kegel fassen genau einen Drittel des Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Für die Kugel gibt es eigene Formeln mit π, und eine fehlende Höhe findest du mit dem Satz des Pythagoras.

3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.j

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Das musst du wissen

Erklärung

Pyramide und Kegel laufen oben spitz zu, die Kugel ist ganz rund. Pyramide und Kegel fassen einen Drittel des Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Am Schluss gibst du die Einheit an: cm³ oder Liter, cm² für Flächen.

1 von 6

Pyramide: ein Drittel vom Prisma

Eine Pyramide hat eine Grundfläche G und eine Spitze. Die Körperhöhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundfläche.

V=G·h3

Ein Würfel lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerschneiden, darum der Drittel.

Bei diesen drei Pyramiden steht die Spitze über einer Ecke. Steht sie über der Mitte, ist die Pyramide gerade. Die Formel gilt für beide.

MerkePyramide und Kegel: Grundfläche mal Höhe, geteilt durch 3.

Schnitt durch die Spitze einer geraden Pyramide: Gestrichelt ist die Körperhöhe h, unten die Seite a der Grundfläche.

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Kegel: ein Drittel vom Zylinder

Der Kegel hat einen Kreis als Grundfläche: G=π·r². Sonst rechnest du wie bei der Pyramide.

V=π·r²·h3

Füllst du einen Kegel dreimal mit Wasser und leerst ihn in einen Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe, ist der Zylinder genau voll.

Schnitt durch die Spitze eines geraden Kegels: Unten liegt der Durchmesser, also zweimal der Radius r. Gestrichelt ist die Höhe h, die schrägen Seiten sind die Mantellinien s.

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Kugel: Volumen und Oberfläche

Bei der Kugel brauchst du nur den Radius r. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.

V=4·π·r³3 O=4·π·r²

Die ist genau viermal so gross wie ein Kreis mit demselben Radius.

MerkeKugel: Radius hoch 3 fürs Volumen, Radius hoch 2 für die Oberfläche.

Schnitt durch die Mitte einer Kugel: Der Radius r geht vom Mittelpunkt M bis zum Rand.

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Oberfläche: Grundfläche plus Mantel

Die Oberfläche ist die Grundfläche plus der Mantel. Der Mantel der geraden quadratischen Pyramide sind vier gleiche Dreiecke mit der Seitenhöhe $h_{s}$ , die Grundfläche ist G=a²:

O = a^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot h _{s}}{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{s}

Der Mantel des geraden Kegels hängt von der Mantellinie s ab:

O=π·r²+π·r·s

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Welche Höhe gehört wohin?

Fürs Volumen brauchst du die Körperhöhe h. Bei geraden Körpern trifft sie die Mitte der Grundfläche, bei den Würfel-Pyramiden eine Ecke.

Für den Mantel brauchst du die schräge Länge: $h_{s}$ bei der Pyramide, s beim Kegel. Bei geraden Körpern ist sie länger als h. Auf dieser Seite sind Pyramiden und Kegel gerade, wenn nichts anderes steht.

MerkeVolumen mit h, Mantel mit der schrägen Länge.

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Fehlende Höhe mit Pythagoras

Bei der geraden Pyramide und beim geraden Kegel bilden Körperhöhe, schräge Länge und ein Stück der Grundfläche ein . Die schräge Länge ist die .

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} s^{2} = h^{2} + r^{2}

Bei der Pyramide nimmst du die halbe Seite, beim Kegel den Radius.

Rechtwinkliges Dreieck in der geraden Pyramide: Gestrichelt ist die Körperhöhe h. Sie und die halbe Seite a : 2 (unten, von der Mitte zur Kantenmitte) sind die Katheten. Die schräge Seite von der Kantenmitte zur Spitze ist die Seitenhöhe hₛ, die Hypotenuse.

Pyramide, Kegel und Kugel (volumen kugel): Merkblatt mit Formel und Beispiel. V = G · h/3. Pyramide und Kegel: Grundfläche mal Höhe, geteilt durch 3. Beispiel: V = 120 cm³. — Merkblatt Pyramide, Kegel und Kugel: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Pyramide: V=a²·h, ohne durch 3 zu teilen.
✓Das wäre das Prisma. Die Pyramide fasst nur einen Drittel davon: V=a²·h3.
✕Fürs Volumen die Seitenhöhe $h_{s}$ oder die Mantellinie s einsetzen.
✓Ins Volumen gehört die Körperhöhe h. Die schrägen Längen brauchst du nur für den Mantel.
✕Bei der Kugel mit dem Durchmesser rechnen: Für d = 10 cm also 10³.
✓Zuerst halbieren: r = 5 cm, dann 5³=125.
✕ $h_{s}^{2} = h^{2} + a^{2}$ , also mit der ganzen Seite a.
✓Bei der geraden Pyramide endet die Seitenhöhe in der Mitte der Kante. Nimm die halbe Seite: $h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Grundfläche: Die Fläche gegenüber der Spitze: bei der Pyramide ein Vieleck, beim Kegel ein Kreis. Die Kugel hat keine.
Spitze: Der Punkt gegenüber der Grundfläche. Meist zeigt sie nach oben, beim Trichter nach unten.
Körperhöhe: Der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche. Du brauchst sie fürs Volumen.
gerade Pyramide: Ihre Spitze steht genau über der Mitte der Grundfläche. Steht sie anderswo, etwa über einer Ecke, ist die Pyramide schief. Beim Kegel gilt dasselbe.
Seitenhöhe: Die Höhe eines Seitendreiecks der Pyramide, von der Spitze senkrecht auf eine Grundkante. Bei der geraden Pyramide trifft sie die Mitte der Kante. Kurz $h_{s}$ .
Mantellinie: Eine Strecke von der Spitze des Kegels zum Rand der Grundfläche. Kurz s.
Mantel: Alle Aussenflächen ausser der Grundfläche.
Oberfläche: Grundfläche und Mantel zusammen, also alle Aussenflächen.
Radius: Die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand, kurz r.
Durchmesser: Die Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand, kurz d. Er ist doppelt so lang wie der Radius.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen Satz des Pythagoras Kreis: Umfang und Fläche

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit a=6 cm und die Höhe h=10 cm. Berechne ihr Volumen.

Schnitt durch die Spitze: Gestrichelt ist die Körperhöhe h = 10 cm, unten die Seite a = 6 cm. Skizze, nicht massstabsgetreu.

Zuerst die Grundfläche in cm²:G=6·6=36
Grundfläche mal Höhe, geteilt durch 3:V=36·103=3603=120
Ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe hätte 360 cm³. Die Pyramide fasst einen Drittel davon.

V=120 cm³

Beispiel 2Wie viel Luft im Handball?

Ein Mädchen hält in einer Turnhalle einen Handball mit beiden Händen.

Lina aus Aarau spielt Handball. Ihr Ball hat etwa 18 cm Durchmesser. Wie viel Luft ist im Ball? Gib das Ergebnis auch in Litern an.

Schnitt durch die Mitte des Balls: Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also 9 cm.

Zuerst den Radius: den Durchmesser halbieren.r=18:2=9
In die Formel für das Kugelvolumen einsetzen:V=4·π·9³3=4·π·7293=972·π
Mit der π-Taste ausrechnen und auf eine Dezimale runden:V≈3053.6
1000 cm³ sind 1 Liter. Also passen gut 3 Liter Luft in den Ball.

V=972·π≈3053.6 cm³, also gut 3 Liter.

Beispiel 3Kupferblech für ein Turmdach

Ein Dachdecker arbeitet am spitzen Kupferdach eines Kirchturms, ein Junge und seine Grossmutter schauen zu.

Eine Dorfkirche im Emmental hat ein Turmdach in Form einer quadratischen Pyramide: Seite a=10 m, Höhe h=12 m. Das Dach wird mit Kupferblech neu gedeckt. Wie viel m² Blech braucht es ohne Abfall?

Im Innern des Dachs: Gestrichelt ist die Höhe h = 12 m, unten die halbe Seite 5 m. Das sind die Katheten. Die schräge Seite zur Spitze ist die Seitenhöhe hₛ, die Hypotenuse. Skizze, nicht massstabsgetreu.

Gedeckt wird nur der Mantel, also die vier Dreiecke. Dafür brauchst du die Seitenhöhe $h_{s}$ . Sie fehlt.
Die Höhe h und die halbe Seite bilden mit $h_{s}$ ein rechtwinkliges Dreieck: $h_{s}^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$
: $h_{s} = 169 = 13$
Vier Dreiecke mit der 10 m und der Höhe 13 m:M=4·10·132=260

Für das Dach braucht es 260 m² Kupferblech.

Beispiel 4Kegel: Volumen und Oberfläche

Ein Kegel hat den Radius r=5 cm und die Höhe h=12 cm. Berechne das Volumen und die Oberfläche.

Rechtwinkliges Dreieck im Kegel: Gestrichelt ist die Höhe h = 12 cm, unten der Radius r = 5 cm vom Mittelpunkt M zum Rand. Das sind die Katheten. Die schräge Seite zur Spitze ist die Mantellinie s, die Hypotenuse. Skizze, nicht massstabsgetreu.

Das Volumen rechnest du mit der Höhe h:V=π·5²·123=100·π≈314.2
Für die Oberfläche brauchst du die Mantellinie s. Sie fehlt, also Pythagoras:s²=12²+5²=169 s=13
Grundfläche plus Mantel:O=π·5²+π·5·13=25·π+65·π=90·π
Mit der π-Taste ausrechnen:O≈282.7

V=100·π≈314.2 cm³ und O=90·π≈282.7 cm².

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse5

1
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit a=5 cm und die Höhe h=9 cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=75 cm³
Schnitt durch die Spitze: Körperhöhe h = 9 cm, unten die Seite a = 5 cm. Skizze, nicht massstabsgetreu.
1. Grundfläche: G=5·5=25 cm²
2. V=25·93=2253=75 cm³
2
Eine Kugel hat den Radius r=3 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=36·π≈113.1 cm³
Schnitt durch die Mitte der Kugel mit dem Radius r = 3 cm.
1. r³=3·3·3=27
2. V=4·π·273=36·π
3. Mit der π-Taste: V≈113.1 cm³
3
Ein Kegel hat den Radius r=2 cm und die Höhe h=6 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=8·π≈25.1 cm³
Schnitt durch die Spitze des Kegels: unten der Durchmesser 4 cm, gestrichelt die Höhe h = 6 cm. Skizze, nicht massstabsgetreu.
1. Grundfläche: G=π·2²=4·π
2. V=4·π·63=8·π
3. Mit der π-Taste: V≈25.1 cm³
4
Eine Kugel hat den Radius r=5 cm. Wie gross ist ihre Oberfläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: O=100·π≈314.2 cm²
Schnitt durch die Mitte der Kugel mit dem Radius r = 5 cm.
1. r²=5·5=25
2. O=4·π·25=100·π
3. Mit der π-Taste: O≈314.2 cm²

5
Eine quadratische Pyramide hat a=16 cm, die Körperhöhe h=6 cm und die Seitenhöhe $h_{s} = 10$ cm. Berechne das Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=512 cm³
1. Fürs Volumen zählt die Körperhöhe h = 6 cm, nicht $h_{s}$ .
2. Grundfläche: G=16·16=256 cm²
3. V=256·63=512 cm³
6
Dieselbe Pyramide: a=16 cm, h=6 cm, $h_{s} = 10$ cm. Berechne jetzt die Oberfläche.
Lösung zeigen
Ergebnis: O=576 cm²
1. Für den Mantel zählt die Seitenhöhe $h_{s} = 10$ cm.
2. Mantel: 2·16·10=320 cm²
3. O=256+320=576 cm²
7
Eine Kugel hat den Durchmesser d=12 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=288·π≈904.8 cm³
1. Radius: r=12:2=6 cm
2. V=4·π·2163=288·π
3. Mit der π-Taste: V≈904.8 cm³
8
Ein Kegel hat r=6 cm, h=8 cm und die Mantellinie s=10 cm. Berechne die Oberfläche.
Lösung zeigen
Ergebnis: O=96·π≈301.6 cm²
1. Für den Mantel zählt s, nicht h.
2. Grundfläche π·6²=36·π, Mantel π·6·10=60·π
3. O=96·π≈301.6 cm²
9
Auf einer Baustelle in Chur liegt ein Kieshaufen in Form eines Kegels: Radius 3 m, Höhe 2 m. Wie viel Kies ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis: V=6·π≈18.8 m³
1. Grundfläche: π·3²=9·π m²
2. V=9·π·23=6·π
3. Mit der π-Taste: etwa 18.8 m³ Kies

10
Eine quadratische Pyramide hat a=12 cm und h=8 cm. Berechne die Oberfläche.
Lösung zeigen
Ergebnis: O=384 cm²
1. Seitenhöhe mit Pythagoras: $h_{s}^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ , also $h_{s} = 10$ cm
2. Mantel: 2·12·10=240 cm²
3. O=144+240=384 cm²
11
Ein Kegel hat r=9 cm und h=12 cm. Berechne die Oberfläche.
Lösung zeigen
Ergebnis: O=216·π≈678.6 cm²
1. Mantellinie mit Pythagoras: s²=12²+9²=225, also s=15 cm
2. Grundfläche 81·π, Mantel π·9·15=135·π
3. O=216·π≈678.6 cm²
12
Eine Kugel hat das Volumen V=2304·π cm³. Wie gross ist ihr Radius?
Lösung zeigen
Ergebnis: r³=1728, also r=12 cm
1. Formel aufstellen: 4·π·r³3=2304·π
2. Durch π teilen, mal 3, durch 4: r³=2304·3:4=1728
3. Dritte Wurzel: r=12 cm, denn 12·12·12=1728.
13
Ein Sandtrichter auf einem Spielplatz in Wil hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Spitze nach unten: a=30 cm, h=50 cm. Wie viele Liter Sand passen hinein?
Lösung zeigen
Ergebnis: 15 Liter
1. Grundfläche: G=30·30=900 cm²
2. V=900·503 = 15'000 cm³
3. 1000 cm³ sind 1 Liter, also passen 15 Liter hinein.
14
Eine Salatschüssel hat die Form einer Halbkugel mit dem Radius r=15 cm. Wie viele Liter fasst sie?
Lösung zeigen
Ergebnis: V=2250·π≈7068.6 cm³, also gut 7 Liter
1. Eine Halbkugel ist die Hälfte der Kugel: V=4·π·r³3:2
2. r³=3375, also V=4·π·33753:2=2250·π
3. Mit der π-Taste: V≈7068.6 cm³, das sind gut 7 Liter.

Verwechselt dein Kind noch Körperhöhe und Seitenhöhe oder vergisst es das Teilen durch 3, rechnet eine Lehrperson mit ihm Pyramide, Kegel und Kugel Schritt für Schritt. Mathematik-Nachhilfe für die 3. Sek

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Üben ohne Ende

Trainer: Pyramide, Kegel und Kugel

Unbegrenzt neue Aufgaben zu Volumen und Oberfläche, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 hat ganze Masse, in Stufe 2 wählst du die passende Höhe, Stufe 3 braucht Pythagoras, Liter und den Kugelradius aus dem Volumen.

Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Kante a), Seitenhöhe hs: a = 16 cm, hs = 17 cm. Berechne die Oberfläche O.O in cm²=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Kugel berechnen

Volumen und Oberfläche der Kugel, auch rückwärts

Volumen≈904.7787 cm³

In Liter≈0.9048 l

Oberfläche≈452.3893 cm²

Rechenweg

Das Volumen der Kugel ist vier Drittel mal π mal r hoch 3.
V=4·π·r³:3=4·π·6³:3≈904.7787 cm³
1'000 cm³ sind 1 Liter: Teile durch 1'000.
904.7787 cm³:1'000≈0.9048 l
Die Kugeloberfläche ist so gross wie vier Kreise mit demselben Radius.
O=4·π·r²=4·π·6²≈452.3893 cm²

Beispiele

Zum Kugel berechnen mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaÄhnlichkeit, Kongruenz und Satz des ThalesÄhnliche Figuren haben die gleiche Form in anderer Grösse: Jede Seite wird mit dem Streckfaktor k multipliziert, kongruente Figuren sind sogar deckungsgleich. Der Satz des Thales sagt, dass ein Dreieck im Halbkreis über dem Durchmesser einen rechten Winkel hat.3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, nach Prisma, Zylinder und dem Satz des Pythagoras. Neu sind die spitzen Körper und die Kugel, oft zusammen mit Pythagoras für eine fehlende Höhe.

MA.2.A.3.jVolumen und Oberfläche von Pyramiden, Kegeln und Kugeln ausrechnen, auch wenn eine Höhe erst mit Pythagoras gefunden werden muss.
MA.2.B.2.gDie Volumenformel der Pyramide begründen: Drei gleiche Pyramiden ergeben zusammen einen Würfel.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel?

Nach Lehrplan 21 gehört das Thema in den Zyklus 3, meist in die 3. Sek. Vorher kommen Prisma, Zylinder und der Satz des Pythagoras. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kann es auch schon Ende der 2. Sek kommen.

Warum teilt man bei Pyramide und Kegel durch 3?

Eine Pyramide fasst genau einen Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Das sieht man, wenn man einen Würfel in drei gleiche Pyramiden zerschneidet. Beim Kegel ist es gleich: Dreimal einen Kegel voll Wasser, und der passende Zylinder ist voll.

Was ist der Unterschied zwischen Körperhöhe und Seitenhöhe?

Die Körperhöhe ist der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche, du brauchst sie fürs Volumen. Die Seitenhöhe läuft schräg über ein Seitendreieck von der Spitze zu einer Kante, du brauchst sie für den Mantel. Bei einer geraden Pyramide trifft die Körperhöhe die Mitte der Grundfläche und die Seitenhöhe die Mitte der Kante.

Wie rechne ich cm³ in Liter um?

1 Liter ist 1 dm³, also 1000 cm³. Teile das Volumen in cm³ durch 1000, dann hast du Liter. 1 cm³ ist 1 Milliliter.