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Fokus Nachhilfe

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Die Lösung ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt, in der Zeichnung der Schnittpunkt der beiden Geraden.

  • 3. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.3.A.3.j
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Zwei Jugendliche wandern auf zwei Wegen, die sich auf einer Alpwiese kreuzen, und winken sich zu.

Das musst du wissen

Erklärung

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei mit den x und y. Gesucht ist das Zahlenpaar, das beide erfüllt. Du machst daraus eine Gleichung mit nur einer Variablen, löst sie und rechnest dann die zweite aus.

1 von 6

Die Lösung ist ein Zahlenpaar

Zu x+y=7 passen viele Paare: 1 und 6, 2 und 5, 4 und 3. Kommt eine zweite Gleichung dazu, bleibt meist nur ein Paar übrig.

Nur x=4 und y=3 passen in beide. Du schreibst .

MerkeDie Lösung muss beide Gleichungen erfüllen. Prüfe sie mit der Probe in beiden Gleichungen.

2 von 6

Grafisch: der Schnittpunkt

Jede Gleichung ist eine Gerade im Koordinatensystem. Aus x+y=7 wird y=−x+7, aus x−y=1 wird y=x−1.

Die Lösung ist der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden: S(4|3). Zeichnen ist anschaulich, aber oft ungenau. Darum rechnest du.

MerkeLösung des Gleichungssystems = der beiden Geraden.

02468-22468xyy = −x + 7y = x − 1S(4 | 3)
Die Geraden y = −x + 7 und y = x − 1 schneiden sich im Punkt S(4 | 3). Das ist die Lösung des Systems.

3 von 6

Einsetzungsverfahren

Steht eine Gleichung schon nach y aufgelöst da, setzt du ihren in die andere Gleichung ein.

In II wird y zu (2x−1): 3x+(2x−1)=14, also 5x=15 und x=3. Aus I folgt y=2·3−1=5.

MerkeSetze den eingesetzten Term immer in Klammern.

4 von 6

Gleichsetzungsverfahren

Sind beide Gleichungen nach y aufgelöst, setzt du die rechten Seiten gleich.

Aus 3x−2=−x+6 wird 4x=8, also x=2. Dann ist y=3·2−2=4.

-1012345-22468xyy = 3x − 2y = −x + 6S(2 | 4)
Die steigende Gerade y = 3x − 2 und die fallende Gerade y = −x + 6 schneiden sich in S(2 | 4).

5 von 6

Additionsverfahren

Stehen vor y wie +2y und −2y, addierst du die beiden Gleichungen. Dann fällt y weg.

I + II gibt 8x=24, also x=3. In I eingesetzt: 9+2y=19, also y=5.

MerkeGegenzahlen: addieren. Dieselbe Zahl mit demselben : subtrahieren.

6 von 6

Zuerst multiplizieren

Fällt keine Variable direkt weg, multiplizierst du eine Gleichung, bis vor y Gegenzahlen stehen. Multipliziere dabei beide Seiten.

II mal 3 gibt 9x−3y=21. Plus I: 11x=33, also x=3. In I: 6+3y=12, also y=2.

Lineare Gleichungssysteme: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Die Lösung muss beide Gleichungen erfüllen. Prüfe sie mit der Probe in beiden Gleichungen. Lösung des Gleichungssystems = Schnittpunkt der beiden Geraden. Beispiel: x = 3 und y = 7, also L = (3 | 7).
Merkblatt Lineare Gleichungssysteme: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕Beim Einsetzen die Klammer weglassen: Aus y=x+4 und 2x−y=1 wird 2x−x+4=1.

    ✓Mit Klammer: 2x−(x+4)=1, also x−4=1 und x=5. Das Minus gilt für den ganzen Term.

  • ✕Nach x=5 aufhören.

    ✓Die Lösung ist ein Paar. Setze x in eine Gleichung ein und rechne auch y aus, hier y=9.

  • ✕Beim Multiplizieren nur die linke Seite verändern: 3x−y=7 mal 3 gibt 9x−3y=7.

    ✓Beide Seiten mal 3: 9x−3y=21.

  • ✕​2x+3y=13 und 4x+3y=17 addieren, damit y wegfällt.

    ✓Gleiche Zahl, gleiches Vorzeichen: subtrahieren. II − I gibt 2x=4, also x=2 und y=3.

Begriffe zum Nachschlagen
Gleichungssystem
Zwei (oder mehr) Gleichungen, die gleichzeitig gelten sollen. Man nummeriert sie mit I und II.
Variable
Ein Buchstabe wie x oder y, der für eine noch unbekannte Zahl steht.
Lösungsmenge
Alle Zahlenpaare, die beide Gleichungen erfüllen, geschrieben als .
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und den Term in die andere Gleichung einsetzen.
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die anderen Seiten gleichsetzen.
Additionsverfahren
Die Gleichungen addieren oder subtrahieren, sodass eine Variable wegfällt.
Schnittpunkt
Der Punkt, den zwei Geraden gemeinsam haben. Er zeigt die Lösung des Systems.
Probe
Die Lösung in beide Gleichungen einsetzen und prüfen, ob beide stimmen.
addieren (Gleichungen)
Linke Seite plus linke Seite, rechte Seite plus rechte Seite. Das Ergebnis ist wieder eine Gleichung.
subtrahieren (Gleichungen)
Wie addieren, nur ziehst du links und rechts die andere Gleichung ab.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Gleichungen lösenLineare Funktionen und Steigung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Einsetzungsverfahren

Löse das Gleichungssystem I: y=3x−2, II: 2x+y=13.

0246510xyy = 3x − 2y = −2x + 13S(3 | 7)
Die Geraden y = 3x − 2 und y = −2x + 13 (aus Gleichung II) schneiden sich in S(3 | 7).
  1. Gleichung I sagt, was y ist. Setze den Term in Klammern in II ein:2x+(3x−2)=13
  2. Klammer weglassen und zusammenfassen:5x−2=13
  3. Auf beiden Seiten 2 addieren und durch 5 teilen:5x=15  ⇒  x=3
  4. ​x=3 in I einsetzen:y=3·3−2=7
  5. Probe in II: 2·3+7=13. Stimmt.

​x=3 und y=7, also

Beispiel 2Additionsverfahren

Löse das Gleichungssystem I: 4x+3y=25, II: 2x−3y=−1.

  1. Vor y stehen +3 und −3, also Gegenzahlen. Addiere die beiden Gleichungen:(4x+2x)+(3y−3y)=25+(−1)
  2. ​y fällt weg:6x=24  ⇒  x=4
  3. ​x=4 in I einsetzen:16+3y=25  ⇒  3y=9  ⇒  y=3
  4. Probe in II: 2·4−3·3=8−9=−1. Stimmt.

​x=4 und y=3, also

Beispiel 3Zuerst beide Gleichungen multiplizieren

Löse das Gleichungssystem I: 3x+2y=7, II: 5x−3y=18.

0246-6-4-224xy3x + 2y = 75x − 3y = 18S(3 | −1)
Die beiden Geraden schneiden sich unterhalb der x-Achse, im Punkt S(3 | −1).
  1. Vor y stehen 2 und −3. Das ist 6. Multipliziere I mit 3 und II mit 2:
  2. Jetzt stehen Gegenzahlen vor y. Addieren:19x=57  ⇒  x=3
  3. ​x=3 in die ursprüngliche Gleichung I einsetzen:9+2y=7  ⇒  2y=−2  ⇒  y=−1
  4. Probe in II: 5·3−3·(−1)=15+3=18. Stimmt.

​x=3 und y=−1, also

Beispiel 4Eintritt im Hallenbad

Eine Familie mit drei Kindern betritt mit Badetüchern ein helles Hallenbad.

Im Hallenbad in Winterthur zahlen 2 Erwachsene und 3 Kinder zusammen 34 Franken. Ein Erwachsener und 4 Kinder zahlen 27 Franken. Wie viel kostet ein Eintritt für Erwachsene und wie viel für Kinder?

  1. Wähle Variablen: e ist der Preis für Erwachsene, k der Preis für Kinder, beide in Franken. Dann gilt:
  2. Löse II nach e auf:e=27−4k
  3. Setze den Term in Klammern in I ein:2(27−4k)+3k=34  ⇒  54−5k=34
  4. Löse nach k auf:5k=20  ⇒  k=4
  5. Rechne e aus und mach die Probe in I: 2·11+3·4=34. Stimmt.e=27−4·4=11

Ein Eintritt kostet 11 Franken für Erwachsene und 4 Franken für Kinder.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Löse: I: y=x+1, II: x+y=9

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=4, y=5

    02468246810xyy = x + 1y = −x + 9S(4 | 5)
    Die Geraden y = x + 1 und y = −x + 9 schneiden sich in S(4 | 5).
    1. ​y aus I in II einsetzen: x+(x+1)=9
    2. ​2x+1=9, also 2x=8 und x=4
    3. In I: y=4+1=5
  2. 2

    Löse: I: y=2x, II: x+y=12

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=4, y=8

    02468510xyy = 2xy = −x + 12S(4 | 8)
    Die Geraden y = 2x und y = −x + 12 schneiden sich in S(4 | 8).
    1. Einsetzen: x+2x=12
    2. ​3x=12, also x=4
    3. In I: y=2·4=8
  3. 3

    Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: y=3x−4, II: y=x+2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=3, y=5

    0246-55xyy = 3x − 4y = x + 2S(3 | 5)
    Die Geraden y = 3x − 4 und y = x + 2 schneiden sich in S(3 | 5).
    1. Gleichsetzen: 3x−4=x+2
    2. ​2x=6, also x=3
    3. In II: y=3+2=5
  4. 4

    Löse: I: y=2x−3, II: 3x+2y=8

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=2, y=1

    1. Einsetzen: 3x+2(2x−3)=8
    2. ​3x+4x−6=8, also 7x=14 und x=2
    3. In I: y=2·2−3=1
  5. 5

    Ist x=3, y=2 die Lösung von I: 2x+y=8, II: x−y=2?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Nein, II ergibt 1 statt 2.

    1. Probe in I: 2·3+2=8. Stimmt.
    2. Probe in II: 3−2=1, nicht 2.
    3. Das Paar erfüllt nur eine Gleichung, also ist es keine Lösung.
  1. 6

    Löse mit dem Additionsverfahren: I: x+y=10, II: x−y=4

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=7, y=3

    1. I + II: 2x=14, also x=7
    2. In I: 7+y=10, also y=3
  2. 7

    Löse: I: 3x+2y=16, II: x−2y=0

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=4, y=2

    1. I + II: 4x=16, also x=4
    2. In II: 4−2y=0, also y=2
  3. 8

    Löse: I: 5x+3y=29, II: 2x+3y=17

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=4, y=3

    1. Vor y steht beide Male +3. Darum I − II: 3x=12, also x=4
    2. In II: 8+3y=17, also 3y=9 und y=3
  4. 9

    Löse: I: 2x+y=3, II: 4x−y=9

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=2, y=−1

    1. I + II: 6x=12, also x=2
    2. In I: 4+y=3, also y=−1
    3. Probe in II: 8−(−1)=9. Stimmt.
  5. 10

    Lia und Noah aus Thun haben zusammen 45 Franken. Lia hat 11 Franken mehr als Noah. Wie viel hat jedes Kind?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Lia hat 28 Franken, Noah 17 Franken.

    1. ​l für Lia, n für Noah: I: l+n=45, II: l−n=11
    2. I + II: 2l=56, also l=28
    3. In I: 28+n=45, also n=17
  1. 11

    Löse: I: 2x+3y=13, II: 4x−y=5

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=2, y=3

    1. II mal 3: 12x−3y=15
    2. Plus I: 14x=28, also x=2
    3. In II: 8−y=5, also y=3
  2. 12

    Löse: I: 3x+4y=10, II: 2x−3y=−16

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=−2, y=4

    1. I mal 3: 9x+12y=30. II mal 4: 8x−12y=−64
    2. Addieren: 17x=−34, also x=−2
    3. In I: −6+4y=10, also 4y=16 und y=4
  3. 13

    Löse: I: −4x=5y+26, II: 3x+2y=−16

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=−4, y=−2

    1. I ordnen: −4x−5y=26
    2. I mal 3: −12x−15y=78. II mal 4: 12x+8y=−64. Addieren: −7y=14, also y=−2
    3. In II: 3x−4=−16, also 3x=−12 und x=−4
  4. 14

    Im Hofladen kosten 2 kg Äpfel und 3 kg Birnen zusammen 18 Franken. 3 kg Äpfel und 2 kg Birnen kosten 17 Franken. Was kostet je ein Kilogramm?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Äpfel kosten 3 Franken pro kg, Birnen 4 Franken pro kg.

    1. ​a und b sind die Preise pro kg: I: 2a+3b=18, II: 3a+2b=17
    2. I mal 3: 6a+9b=54. II mal 2: 6a+4b=34. Subtrahieren: 5b=20, also b=4
    3. In I: 2a+12=18, also a=3
  5. 15

    Ein Rechteck hat einen Umfang von 30 cm. Seine Länge misst 3 cm mehr als das Doppelte der Breite. Wie lang und wie breit ist es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Die Breite ist 4 cm, die Länge 11 cm.

    1. ​b für die Breite, l für die Länge: I: l=2b+3, II: 2l+2b=30
    2. Einsetzen: 2(2b+3)+2b=30, also 6b+6=30 und b=4
    3. In I: l=2·4+3=11. Probe: 2·11+2·4=30.

Weiss dein Kind nicht, welches Verfahren passt, oder geht beim Einsetzen ein Minus verloren, rechnet eine Lehrperson mit ihm genau solche Systeme durch. Mathe-Unterstützung von einer Lehrperson für die 3. Sek

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Trainer: Lineare Gleichungssysteme

Unbegrenzt neue Gleichungssysteme, mit Rückmeldung und dem ganzen Rechenweg samt Probe. Gib beide Werte so ein: x = 2; y = 5 (kurz auch 2; 5).

Iy=4x+5II4x+y=13

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Gleichungssystem-Rechner

Zwei Gleichungen, Additions- und Einsetzungsverfahren

Lösungx=3undy=2

Rechenweg

  1. Ordne beide Gleichungen: x und y links, die Zahl rechts.

    I2x+3y=12IIx−y=1

  2. Multipliziere Gleichung II mit 2. Dann steht vor x in beiden Gleichungen dieselbe Zahl.

    I2x+3y=12II2x−2y=2

  3. Vor x steht dasselbe Vorzeichen. Subtrahiere Gleichung II von Gleichung I: x fällt weg.

    5y=10

  4. Teile durch 5.

    y=2

  5. Setze y = 2 in eine der beiden Gleichungen ein und löse nach x auf.

    x=3

  6. Die Lösung ist ein Zahlenpaar: Dort schneiden sich die beiden Geraden.

    x=3undy=2L = {(3 | 2)}

Beispiele

Zum Gleichungssystem-Rechner mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaTextaufgaben mit GleichungenBei einer Textaufgabe mit Gleichung übersetzt du eine Geschichte in eine Gleichung mit x. Du löst sie, prüfst die Lösung am Text und schreibst einen Antwortsatz.1. Sek - 3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

In der 3. Sek, meist direkt nach den linearen Funktionen: Zuerst wird der Schnittpunkt zweier Geraden gezeichnet, dann rechnest du ihn mit Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren aus. Je nach Niveau kommen Textaufgaben dazu, in denen du das System selbst aufstellst.

  • MA.3.A.3.jDen Punkt, in dem sich zwei Geraden kreuzen, mit einer Rechnung und mit einer Zeichnung finden.
  • MA.1.A.4.jEine lineare Gleichung mit einer Variablen lösen, indem man auf beiden Seiten dasselbe rechnet. Jedes Verfahren führt am Ende auf so eine Gleichung.
  • MA.3.A.3.iZu einer Geradengleichung Punkte ausrechnen und die Gerade ins Koordinatensystem zeichnen.
  • MA.3.C.3.gEine Situation aus dem Alltag mit Variablen und Gleichungen beschreiben, zum Beispiel Eintrittspreise für Kinder und Erwachsene.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Gleichungssysteme?

Nach Lehrplan 21 gehören sie in den Zyklus 3, meist in die 3. Sek. Sie kommen nach den linearen Gleichungen und den linearen Funktionen. Je nach Kanton und Niveau kann es auch schon Ende der 2. Sek sein.

Welches Verfahren ist das beste?

Alle drei führen zur selben Lösung. Steht eine Gleichung schon nach y aufgelöst da, ist das Einsetzungsverfahren am schnellsten. Stehen x und y geordnet links, nimm das Additionsverfahren.

Hat jedes Gleichungssystem eine Lösung?

Nein. Sind die beiden Geraden parallel, schneiden sie sich nie, und es gibt keine Lösung. Beim Rechnen erkennst du das an einer falschen Aussage wie 0=5. Liegen beide Geraden aufeinander, gibt es unendlich viele Lösungen, und es bleibt 0=0.

Wie schreibt man die Lösung auf?

Als Zahlenpaar, zuerst x, dann y: . Mach vorher die Probe in beiden Gleichungen. Stimmt nur eine, steckt irgendwo ein Rechenfehler.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?