Fokus Nachhilfe

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die Quadrate der zwei kurzen Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite: a² + b² = c². Damit berechnest du eine fehlende Seite, wenn du die beiden anderen kennst.

2. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.h

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Satz des Pythagoras gilt in jedem . Die zwei kurzen Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten Seite: a²+b²=c². Am Schluss ziehst du die Wurzel und hast die Seite selbst.

1 von 6

Katheten und Hypotenuse

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heisst Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die zwei Seiten, die den rechten Winkel bilden, heissen Katheten.

Liegt der rechte Winkel bei C, ist c die Hypotenuse. Die Katheten sind a und b.

MerkeDie Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist die längste Seite.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Die Hypotenuse c verbindet A und B, die Katheten a und b treffen sich bei C.

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Die Hypotenuse berechnen

Kennst du beide Katheten, zählst du ihre Quadrate zusammen und .

c²=a²+b²

Mit a=3 cm und b=4 cm: c²=9+16=25, also $c = 25 = 5$ cm.

MerkeKathete² plus Kathete² gleich Hypotenuse².

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Eine Kathete berechnen

Fehlt eine Kathete, rechnest du Hypotenuse² minus die bekannte Kathete².

a²=c²−b²

Mit c=13 cm und b=12 cm: a²=169−144=25, also a=5 cm.

MerkeHypotenuse gesucht: plus. Kathete gesucht: minus.

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Wo liegt der rechte Winkel?

Die Buchstaben hängen von der Lage ab. Liegt der rechte Winkel bei A, ist a die Hypotenuse. Dann gilt a²=b²+c².

Suche darum immer zuerst den rechten Winkel. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse, egal wie sie heisst.

MerkeNicht immer ist c die Hypotenuse. Es ist die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

Hier liegt der rechte Winkel bei A. Gegenüber liegt die Seite a von B nach C: Sie ist die Hypotenuse.

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Warum der Satz stimmt

Zeichne über jede Seite ein Quadrat. Beim Dreieck mit 3 cm, 4 cm und 5 cm haben die Quadrate 9 cm², 16 cm² und 25 cm².

Die zwei kleinen Quadrate sind zusammen genau so gross wie das grosse: 9+16=25. Das klappt bei jedem rechtwinkligen Dreieck und bei keinem anderen.

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Runden und kontrollieren

Oft geht die Wurzel nicht auf. Dann rundest du erst am Schluss, meist auf : $50 \approx 7.1$ .

Kontrolle: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete, aber kürzer als beide zusammen.

MerkeErst am Schluss runden, nie die Zwischenergebnisse.

Satz des Pythagoras: Merkblatt mit Formel und Beispiel. c² = a² + b². a² = c² - b². Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist die längste Seite. Beispiel: c² = 100, also ist die Hypotenuse c = 10 cm lang. — Merkblatt Satz des Pythagoras: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Immer c als Hypotenuse nehmen, auch wenn der rechte Winkel bei A liegt.
✓Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel. Liegt er bei A, gilt a²=b²+c².
✕Für eine Kathete plus rechnen: 13²+5²=194, also etwa 13.9.
✓Für eine Kathete rechnest du minus: 13²−5²=144, also 12. Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse.
✕Die Wurzel einzeln ziehen: $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ .
✓Zuerst zusammenzählen, dann die Wurzel ziehen: $9 + 16 = 25 = 5$ .
✕Bei c²=25 aufhören und c=25 cm schreiben.
✓25 ist erst das Quadrat. Die Seite ist $c = 25 = 5$ cm.

Begriffe zum Nachschlagen

Rechtwinkliges Dreieck: Ein Dreieck mit einem Winkel von 90°.
Hypotenuse: Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.
Kathete: Eine der beiden kürzeren Seiten. Die zwei Katheten bilden den rechten Winkel.
Quadratzahl: Eine Zahl mal sich selbst, zum Beispiel 5²=25.
Quadratwurzel: Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt: $25 = 5$ .
Diagonale: Die Strecke von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke, zum Beispiel im Rechteck.
Raumdiagonale: Die Strecke im Quader von einer Ecke unten zur gegenüberliegenden Ecke oben, quer durch den Körper.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze Quadratwurzel und Wurzeln Dreiecke und Vierecke: Arten und Eigenschaften

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die Hypotenuse berechnen

Ein Dreieck hat den rechten Winkel bei C. Die Katheten sind a=6 cm und b=8 cm lang. Berechne die Hypotenuse c.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C: Katheten a = 6 cm und b = 8 cm, gesucht ist die Hypotenuse c von A nach B.

Der rechte Winkel liegt bei C, also ist c die Hypotenuse.c²=a²+b²
Setze die Katheten ein und rechne die Quadrate aus:c²=6²+8²=36+64=100
Ziehe die Wurzel: $c = 100 = 10$
Kontrolle: 10 cm ist länger als jede Kathete und kürzer als 6 cm + 8 cm.

c²=100, also ist die Hypotenuse c=10 cm lang.

Beispiel 2Eine Kathete berechnen, rechter Winkel bei B

Ein Dreieck hat den rechten Winkel bei B. Bekannt sind b=15 cm und a=9 cm. Wie lang ist c?

Rechter Winkel bei B: Gegenüber liegt b von A nach C, die Hypotenuse. Bekannt sind b = 15 cm und a = 9 cm, gesucht ist die Kathete c.

Der rechte Winkel liegt bei B. Gegenüber liegt b, also ist hier b die Hypotenuse, nicht c.
Gesucht ist die Kathete c. Rechne Hypotenuse² minus die bekannte Kathete²:c²=b²−a²=15²−9²=225−81=144
Ziehe die Wurzel: $c = 144 = 12$
Kontrolle: Die Kathete c = 12 cm ist kürzer als die Hypotenuse b = 15 cm.

c²=144, also ist c=12 cm lang.

Beispiel 3Leiter an der Hauswand

Ein Vater steigt eine Holzleiter an einem Bauernhaus hoch, seine Tochter hält die Leiter unten fest.

Familie Gerber im Emmental stellt eine 5 m lange Leiter an die Hauswand. Der Fuss der Leiter steht 1.4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?

Wand und Boden bilden einen rechten Winkel. Die Leiter liegt ihm gegenüber, sie ist die Hypotenuse.
Gesucht ist die Höhe h an der Wand, eine Kathete. Also rechnest du minus:h²=5²−1.4²=25−1.96=23.04
Ziehe die Wurzel: $h = 23.04 = 4.8$
Kontrolle: 4.8 m ist weniger als die Leiter lang ist. Das passt.

h²=23.04, also reicht die Leiter h=4.8 m hoch.

Beispiel 4Die Raumdiagonale im Quader

Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Wie lang ist seine Raumdiagonale d? Runde auf Zehntel.

Zuerst die Diagonale e der Grundfläche. Länge und Breite sind die Katheten:e²=6²+4²=36+16=52
Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse aus e und der Höhe. Die Wurzel aus 52 brauchst du nicht, du rechnest mit e² weiter:d²=e²+3²=52+9=61
Ziehe die Wurzel und runde erst jetzt: $d = 61 \approx 7.8$

d²=61, also ist die Raumdiagonale d≈7.8 cm lang.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Rechter Winkel bei C, a=20 cm, b=21 cm. Berechne die Hypotenuse c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=841, also c=29 cm
Rechter Winkel bei C mit den Katheten a = 20 cm und b = 21 cm. Die Hypotenuse c von A nach B ist 29 cm lang.
1. c²=a²+b²=400+441=841
2. $c = 841 = 29$ cm
2
Rechter Winkel bei C, a=15 cm, b=8 cm. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=289, also c=17 cm
1. c²=15²+8²=225+64=289
2. $c = 289 = 17$ cm
3
Rechter Winkel bei C, a=9 cm, b=12 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=225, also c=15 cm
Rechter Winkel bei C mit den Katheten a = 9 cm und b = 12 cm. Die Hypotenuse c ist 15 cm lang.
1. c²=81+144=225
2. $c = 225 = 15$ cm
4
Rechter Winkel bei C, a=1.5 m, b=2 m. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=6.25, also c=2.5 m
Rechter Winkel bei C mit den Katheten a = 1.5 m und b = 2 m. Die Hypotenuse c ist 2.5 m lang.
1. c²=1.5²+2²=2.25+4=6.25
2. $c = 6.25 = 2.5$ m
5
Ein Dreieck hat die Seiten 7 cm, 24 cm und 25 cm. Ist es rechtwinklig?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, denn 7²+24²=625=25².
1. Die längste Seite ist 25 cm, sie wäre die Hypotenuse.
2. 7²+24²=49+576=625
3. 25²=625. Beide Seiten sind gleich, also ist das Dreieck rechtwinklig.

6
Rechter Winkel bei C, c=10 cm, a=6 cm. Berechne die Kathete b.
Lösung zeigen
Ergebnis: b²=64, also b=8 cm
1. Gesucht ist eine Kathete, also minus.
2. b²=c²−a²=100−36=64
3. $b = 64 = 8$ cm
7
Rechter Winkel bei A, b=5 cm, c=7 cm. Berechne die Hypotenuse. Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: a²=74, also a≈8.6 cm
1. Der rechte Winkel liegt bei A, also ist a die Hypotenuse.
2. a²=b²+c²=25+49=74
3. $a = 74 \approx 8.6$ cm
8
Rechter Winkel bei B, b=9 cm, a=4 cm. Berechne c. Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=65, also c≈8.1 cm
1. Der rechte Winkel liegt bei B, also ist b die Hypotenuse.
2. c ist eine Kathete: c²=b²−a²=81−16=65
3. $c = 65 \approx 8.1$ cm
9
Der Bildschirm von Noras Handy ist 15 cm hoch und 7 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: d²=274, also d≈16.6 cm
1. Höhe und Breite bilden einen rechten Winkel, die Diagonale ist die Hypotenuse.
2. d²=15²+7²=225+49=274
3. $d = 274 \approx 16.6$ cm
10
Rechter Winkel bei A, a=12 cm, c=8 cm. Berechne b. Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: b²=80, also b≈8.9 cm
1. Rechter Winkel bei A: a ist die Hypotenuse, b ist eine Kathete.
2. b²=a²−c²=144−64=80
3. $b = 80 \approx 8.9$ cm

11
Eine 6 m lange Leiter soll an einer Hauswand in Chur 5.5 m hoch reichen. Wie weit muss ihr Fuss von der Wand weg stehen? Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: w²=5.75, also w≈2.4 m
1. Die Leiter ist die Hypotenuse, der Abstand w ist eine Kathete.
2. w²=6²−5.5²=36−30.25=5.75
3. $w = 5.75 \approx 2.4$ m
12
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 10 cm und zwei von je 13 cm. Wie hoch ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis: h²=144, also h=12 cm
1. Die Höhe teilt die Basis in zwei Hälften von 5 cm. So entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.
2. Der Schenkel ist die Hypotenuse: h²=13²−5²=169−25=144
3. $h = 144 = 12$ cm
13
Ein Würfel hat Kanten von 4 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale? Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: d²=48, also d≈6.9 cm
1. Diagonale der Grundfläche: e²=4²+4²=32
2. Raumdiagonale: d²=e²+4²=32+16=48
3. $d = 48 \approx 6.9$ cm
14
Ein Rechteck hat eine Diagonale von 26 cm. Eine Seite ist 10 cm lang. Wie gross ist seine Fläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die andere Seite: b²=576, b=24 cm. Die Fläche ist 240 cm².
1. Die Diagonale ist die Hypotenuse: b²=26²−10²=676−100=576
2. $b = 576 = 24$ cm
3. Fläche: 10·24=240 cm²
15
Die Diagonale eines Quadrats ist 10 cm lang. Wie lang ist eine Seite? Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: s²=50, also s≈7.1 cm
1. Beide Katheten sind gleich lang: s²+s²=10²
2. 2·s²=100, also s²=50
3. $s = 50 \approx 7.1$ cm

Findet dein Kind die Hypotenuse noch nicht sicher oder rechnet es plus statt minus, übt eine Lehrperson mit ihm genau diese Fälle an Skizzen. Nachhilfe in Geometrie für die 2. Sek

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Rechtwinkliges Dreieck, rechter Winkel bei C: a = 6 cm, b = 8 cm. Berechne c.c in cm=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaÄhnlichkeit, Kongruenz und Satz des ThalesÄhnliche Figuren haben die gleiche Form in anderer Grösse: Jede Seite wird mit dem Streckfaktor k multipliziert, kongruente Figuren sind sogar deckungsgleich. Der Satz des Thales sagt, dass ein Dreieck im Halbkreis über dem Durchmesser einen rechten Winkel hat.3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 2. Sek, nach den Quadratzahlen und Wurzeln. Zuerst rechnest du im Dreieck, danach mit Diagonalen, Höhen und Körpern.

MA.2.A.3.hFehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen und damit Längen und Flächen in Figuren und Körpern bestimmen.
MA.2.B.2.gDen Satz des Pythagoras an Zahlenbeispielen prüfen und mit den Quadraten über den drei Seiten begründen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man den Satz des Pythagoras?

Meist in der 2. Sek, im Zyklus 3 des Lehrplans 21. Vorher brauchst du Quadratzahlen und Wurzeln. Je nach Kanton und Lehrmittel kommt er schon Ende der 1. Sek.

Gilt der Satz des Pythagoras in jedem Dreieck?

Nein, nur im rechtwinkligen Dreieck. Umgekehrt kannst du damit prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist: Ergeben die zwei kurzen Seiten im Quadrat zusammen genau das Quadrat der längsten Seite, hat es einen rechten Winkel.

Wie finde ich die Hypotenuse?

Suche den rechten Winkel. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse, und sie ist immer die längste Seite. Sie heisst nur dann c, wenn der rechte Winkel bei C liegt.

Wann rechne ich plus und wann minus?

Suchst du die Hypotenuse, zählst du die Quadrate der beiden Katheten zusammen. Suchst du eine Kathete, ziehst du vom Quadrat der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete ab. In beiden Fällen ziehst du am Schluss die Wurzel.