Fokus Nachhilfe

Quadratische Gleichungen

In einer quadratischen Gleichung kommt x im Quadrat vor, zum Beispiel x² + 2x − 15 = 0. Sie hat zwei, eine oder keine Lösung, und du findest sie mit Wurzelziehen, Zerlegen in Faktoren oder der Lösungsformel.

3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.4.l

Jetzt üben Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

In einer quadratischen Gleichung kommt x² vor, zum Beispiel x²+2x−15=0. Sie hat zwei Lösungen, eine oder keine. Bring alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht, und löse dann mit , oder der Lösungsformel.

1 von 6

Die Normalform

Jede quadratische Gleichung lässt sich so schreiben:

ax²+bx+c=0 (a≠0)

Bei 3x²+12x=96 rechnest du zuerst −96 auf beiden Seiten: 3x²+12x−96=0. Also ist a=3, b=12 und c=−96. Das gehört immer zur Zahl.

MerkeZuerst alles auf eine Seite bringen, sodass rechts 0 steht.

2 von 6

Nur x²: Wurzel ziehen

Fehlt das mit x, stellst du nach x² um und ziehst die Wurzel.

x^{2} = 49 \Rightarrow x_{1} = 7, x_{2} = - 7

Auch (−7)² gibt 49. Bei x²=−4 gibt es keine Lösung, denn eine Zahl mal sich selbst ist nie negativ.

MerkeIst die Zahl rechts positiv, gibt es zwei Lösungen: eine positive und eine negative. Ist sie 0, gibt es eine, ist sie negativ, keine.

Die Parabel y = x² trifft die Gerade y = 49 zweimal: bei x = −7 und bei x = 7.

3 von 6

Der Nullproduktsatz

Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Darum du die , schreibst sie also als Produkt, und setzt jeden Faktor gleich 0.

(x−3)(x+5)=0 ⇒ x−3=0 oder x+5=0

Die Lösungen sind $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 5$ .

MerkeDer Nullproduktsatz gilt nur, wenn auf der anderen Seite 0 steht.

Die Parabel schneidet die x-Achse bei −5 und bei 3. Dort ist das Produkt 0.

4 von 6

Ohne Zahlglied: ausklammern

Fehlt das Zahlglied c, klammerst du x aus.

x²−5x=0 ⇒ x(x−5)=0

Jetzt hilft der Nullproduktsatz: $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 5$ .

MerkeNie durch x teilen: Dabei geht die Lösung x = 0 verloren.

5 von 6

Zerlegen in Faktoren

Ist a=1, suchst du zwei Zahlen: Ihr Produkt ist c, ihre Summe ist b.

Bei x²+2x−15=0 passen 5 und −3, denn 5·(−3)=−15 und 5+(−3)=2. Also gilt (x+5)(x−3)=0.

Auch die helfen: x²−6x+9=(x−3)².

6 von 6

Die Lösungsformel

Die Lösungsformel funktioniert immer:

x_{1; 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} D = b^{2} - 4 a c

Die Diskriminante D sagt dir, wie viele Lösungen es gibt: Ist D>0, gibt es zwei. Bei D=0 gibt es eine, bei D<0 keine.

MerkeZuerst D ausrechnen. D sagt dir, wie viele Lösungen du suchst.

Drei Parabeln: Die erste schneidet die x-Achse zweimal, die zweite berührt sie einmal, die dritte trifft sie nie.

Quadratische Gleichungen: Merkblatt mit Formel und Beispiel. ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Beispiel: x² = 36, also x_1 = 6 und x_2 = -6. — Merkblatt Quadratische Gleichungen: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕x²=49, also x=7.
✓Auch (−7)²=49. Es gibt zwei Lösungen: $x_{1} = 7$ und $x_{2} = - 7$ .
✕x²=5x durch x teilen, also x=5.
✓Alles nach links: x²−5x=0, dann ausklammern: x(x−5)=0. Die Lösungen sind $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 5$ .
✕(x−2)(x+4)=7, also x−2=7 oder x+4=7.
✓Der Nullproduktsatz gilt nur mit 0. Zuerst und alles nach links: x²+2x−15=0. Die Lösungen sind 3 und −5.
✕Bei x²−4x−5=0 mit b=4 und c=5 rechnen.
✓Das Vorzeichen gehört dazu: b=−4 und c=−5. Dann ist D=16+20=36, und die Lösungen sind 5 und −1.

Begriffe zum Nachschlagen

Quadratische Gleichung: Eine Gleichung, in der x² vorkommt, aber nicht x³ oder eine noch höhere Potenz.
Normalform: Die Schreibweise ax²+bx+c=0 mit allem auf der linken Seite.
Zahlglied: Die Zahl ohne x, in der Normalform das c.
Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Faktorisieren: Einen Term als Produkt schreiben, zum Beispiel x²−5x=x(x−5).
Lösungsformel: Die Formel, mit der du jede quadratische Gleichung lösen kannst. Manche nennen sie Mitternachtsformel.
Diskriminante: D=b²−4ac. Sie entscheidet, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt.
Lösungsmenge: Alle Lösungen zusammen, geschrieben als $L = {3; - 5}$ . Ohne Lösung ist sie leer.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Gleichungen lösen Quadratwurzel und Wurzeln Ausmultiplizieren und Ausklammern Binomische Formeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Nur x²: Wurzel ziehen

Löse 2x²−72=0.

Die beiden Lösungen −6 und 6 liegen gleich weit von 0 entfernt.

Bring die Zahl auf die rechte Seite:2x²=72
Teile beide Seiten durch 2:x²=36
Ziehe die Wurzel. Denk an die negative Lösung: $x_{1} = 6 x_{2} = - 6$
Probe mit der negativen Lösung:2·(−6)²−72=72−72=0

x²=36, also $x_{1} = 6$ und $x_{2} = - 6$ .

Beispiel 2Ausklammern und Nullprodukt

Löse 4x²=12x.

Die Parabel schneidet die x-Achse bei 0 und bei 3.

Bring alles auf die linke Seite. Teile nicht durch x!4x²−12x=0
Klammere 4x aus:4x(x−3)=0
Setze jeden Faktor gleich 0:4x=0 oder x−3=0
Daraus folgen die beiden Lösungen: $x_{1} = 0 x_{2} = 3$

$x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$

Beispiel 3Mit der Lösungsformel

Löse 3x²+12x=96.

Die Parabel schneidet die x-Achse bei −8 und bei 4.

Normalform: Rechne −96 auf beiden Seiten.3x²+12x−96=0
Lies ab und berechne die Diskriminante:a=3, b=12, c=−96 D=144+1152=1296
D ist positiv, also gibt es zwei Lösungen. $1296 = 36$ : $x_{1; 2} = \frac{- 12 \pm 36}{6}$
Rechne beide Fälle aus: $x_{1} = \frac{24}{6} = 4 x_{2} = \frac{- 48}{6} = - 8$
Schneller geht es, wenn du zuerst durch 3 teilst: x²+4x−32=0. Dann passen 8 und −4: (x+8)(x−4)=0.

$x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 8$

Beispiel 4Das Wandbild auf dem Pausenplatz

Jugendliche malen ein grosses, buntes Wandbild mit Bergen und einem See an die Mauer eines Schulhauses.

Eine Sek-Klasse in Aarau malt ein rechteckiges Wandbild an die Mauer beim Pausenplatz. Es soll 2 m länger als hoch sein und eine Fläche von 24 m² haben. Wie hoch und wie lang wird das Bild?

Die Höhe ist x Meter, die Länge x+2 Meter. Fläche ist Länge mal Höhe:x(x+2)=24
Ausmultiplizieren und alles nach links bringen:x²+2x−24=0
Zwei Zahlen mit Produkt −24 und Summe 2 sind 6 und −4:(x+6)(x−4)=0
Die Lösungen sind $x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 6$ . Eine Höhe kann nicht negativ sein, also passt nur x=4.
Probe: 4 m mal 6 m gibt 24 m².

Das Wandbild ist 4 m hoch und 6 m lang.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
x²=81
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 9$ , $x_{2} = - 9$ , denn auch (−9)²=81
Die Lösungen −9 und 9 liegen gleich weit links und rechts von 0.
1. Die Wurzel aus 81 ist 9.
2. Auch (−9)·(−9)=81.
3. Also $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 9$ .
2
x²−64=0
Lösung zeigen
Ergebnis: x²=64, also $x_{1} = 8$ , $x_{2} = - 8$
Die Parabel y = x² − 64 schneidet die x-Achse bei −8 und bei 8.
1. Rechne +64 auf beiden Seiten: x²=64.
2. Wurzel ziehen: $x_{1} = 8$ , $x_{2} = - 8$ .
3
5x²=45
Lösung zeigen
Ergebnis: x²=9, also $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 3$
Die Lösungen −3 und 3 auf dem Zahlenstrahl.
1. Teile durch 5: x²=9.
2. Wurzel ziehen: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 3$ .
4
(x−4)(x+7)=0
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 7$
Die Parabel schneidet die x-Achse bei −7 und bei 4.
1. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
2. x−4=0 gibt x=4.
3. x+7=0 gibt x=−7.
5
x²+11=47
Lösung zeigen
Ergebnis: x²=36, also $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 6$
1. Rechne −11: x²=36.
2. Wurzel ziehen: $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 6$ .

6
x²−7x=0
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 7$
1. Klammere x aus: x(x−7)=0.
2. x=0 oder x−7=0.
3. Also $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 7$ .
7
3x²+18x=0
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 6$
1. Klammere 3x aus: 3x(x+6)=0.
2. 3x=0 gibt x=0, x+6=0 gibt x=−6.
8
x²−3x−10=0
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 5$ , $x_{2} = - 2$
1. Gesucht: Produkt −10, Summe −3. Das sind −5 und 2.
2. (x−5)(x+2)=0
3. Also $x_{1} = 5$ und $x_{2} = - 2$ . Mit der Formel: D=9+40=49, x=3±72.
9
x²+8x+16=0
Lösung zeigen
Ergebnis: Nur eine Lösung: x=−4
1. Das ist eine binomische Formel: (x+4)²=0.
2. Also x+4=0 und x=−4.
3. Kontrolle: D=64−64=0, also genau eine Lösung.
10
x²+4x+7=0
Lösung zeigen
Ergebnis: D=−12, also keine Lösung
1. a=1, b=4, c=7.
2. D=16−28=−12.
3. D ist negativ, also hat die Gleichung keine Lösung.

11
2x²−3x−2=0
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$
1. a=2, b=−3, c=−2, also D=9+16=25.
2. $x_{1; 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$
3. $x_{1} = \frac{8}{4} = 2$ und $x_{2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$ .
12
(x+3)²=2x+14
Lösung zeigen
Ergebnis: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 5$
1. Links ausmultiplizieren: x²+6x+9=2x+14.
2. Alles nach links: x²+4x−5=0.
3. (x+5)(x−1)=0, also $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 5$ .
13
Ein quadratischer Sandkasten auf einem Spielplatz in Biel wird auf jeder Seite um 2 m länger gemacht. Danach ist er 49 m² gross. Wie lang war eine Seite vorher?
Lösung zeigen
Ergebnis: Eine Seite war 5 m lang.
1. Alte Seite x, neue Seite x+2: (x+2)²=49.
2. Wurzel ziehen: x+2=7 oder x+2=−7.
3. x=5 oder x=−9. Eine Länge ist nie negativ, also 5 m.
14
Für welche Zahl c hat x²+6x+c=0 genau eine Lösung?
Lösung zeigen
Ergebnis: Für c=9
1. Genau eine Lösung heisst D=0.
2. D=36−4c=0, also 4c=36 und c=9.
3. Probe: x²+6x+9=(x+3)², die einzige Lösung ist x=−3.

Weiss dein Kind bei einer quadratischen Gleichung noch nicht, welchen Weg es nehmen soll, übt eine Lehrperson mit ihm Wurzelziehen, Ausklammern und Lösungsformel. Mathematik-Nachhilfe für Gleichungen in der 3. Sek

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit Lösungsblatt · 3 SeitenLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle Lösungen · 13 SeitenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDF Theorieblatt Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite der Erklärung

Theorieblatt Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite der Erklärung

TheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige Fehler · 3 Seiten Beispiele Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite, Aufgaben Schritt für Schritt gelöst

Beispiele Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite, Aufgaben Schritt für Schritt gelöst

BeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnet · 2 Seiten Übungsblatt Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite der Übungen, Lösungen auf eigenem Blatt

Übungsblatt Quadratische Gleichungen zum Ausdrucken: erste Seite der Übungen, Lösungen auf eigenem Blatt

ÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum Rechnen · 3 Seiten Arbeitsblatt Quadratische Gleichungen zum Ausfüllen mit Name und Datum: erste Seite, mit Lösungsblatt

Arbeitsblatt Quadratische Gleichungen zum Ausfüllen mit Name und Datum: erste Seite, mit Lösungsblatt

ArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum · 2 Seiten

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss, je nach Auswahl bis 3 Seiten

PDF herunterladen · 3 SeitenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Üben ohne Ende

Trainer: Quadratische Gleichungen

Unbegrenzt neue Gleichungen, mit Rückmeldung und Rechenweg. Gib alle Lösungen mit Strichpunkt ein, zum Beispiel 3; −5, und «keine», wenn es keine Lösung gibt.

Löse (alle Lösungen):x²+4=13

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Mitternachtsformel-Rechner

Diskriminante und beide Lösungen

Lösungenx₁=52=2.5undx₂=−1

Rechenweg

Lies a, b und c ab.
a = 2, b = −3, c = −5
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. Sie sagt, wie viele Lösungen es gibt.
D = (−3)² − 4 · 2 · (−5)=49
D ist positiv: Es gibt zwei Lösungen. Setze in die Mitternachtsformel ein, √49 = 7.
x₁,₂ = (3 ± 7) : 4
Einmal mit Plus, einmal mit Minus gerechnet.
x₁=(3 + 7) : 4=52=2.5undx₂=(3 − 7) : 4=−1

Beispiele

Zum Mitternachtsformel-Rechner mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaBruchterme und BruchgleichungenEin Bruchterm hat eine Variable im Nenner, zum Beispiel 3 : (x − 2). Bei einer Bruchgleichung bestimmst du zuerst, welche Zahlen verboten sind, multiplizierst dann mit dem Hauptnenner und prüfst am Schluss, ob die Lösung erlaubt ist.3. Sek

Mehr zu Terme und Gleichungen

Textaufgaben mit Gleichungen1. Sek - 3. Sek
Terme mit Variablen vereinfachen1. Sek - 2. Sek
Lineare Gleichungssysteme3. Sek

Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, vor allem im Niveau mit erweiterten Anforderungen. Zuerst kommen x² = c und das Zerlegen in Faktoren, die Lösungsformel je nach Schule in der 3. Sek oder am Gymnasium.

MA.1.A.4.lQuadratische Gleichungen lösen, vor allem durch Zerlegen in Faktoren, und Terme dafür mit den binomischen Formeln umformen.
MA.1.A.4.jLineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen und Terme ausklammern. Das brauchst du bei jeder quadratischen Gleichung.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man quadratische Gleichungen?

Nach Lehrplan 21 gehören sie zum Zyklus 3, meist in die 3. Sek und vor allem ins Niveau mit erweiterten Anforderungen. Die Lösungsformel kommt je nach Schule in der 3. Sek oder erst am Gymnasium.

Muss ich immer die Lösungsformel nehmen?

Nein. Fehlt das Glied mit x, ziehst du einfach die Wurzel. Fehlt die Zahl ohne x, klammerst du x aus. Steht vor x² nur eine 1, findest du die Faktoren oft schneller im Kopf.

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Wenn die Diskriminante D = b² − 4ac negativ ist. Dann müsstest du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, und das geht nicht. Ein Beispiel ist x² + 4 = 0.

Was ist die Mitternachtsformel?

Ein anderer Name für die Lösungsformel. Man soll sie so gut können, dass man sie auch mitten in der Nacht aufsagen kann. In der Schweiz sagt man meist einfach Lösungsformel.