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Fokus Nachhilfe

Räumliches Vorstellungsvermögen: Kopfgeometrie

In der Kopfgeometrie veränderst du Körper nur in Gedanken: Du kippst einen Spielwürfel oder malst einen Würfel aus kleinen Würfeln an und überlegst, was dann passiert. Zwei Werkzeuge helfen dabei: Gegenseiten ergeben 7, und jede Kante verliert ihre zwei Eckwürfel.

  • 3. Klasse - 1. Sek
  • Zyklus 2–3
  • Lehrplan 21: MA.2.C.3.d
Jetzt übenZum Ausdrucken
Zwei Kinder betrachten am Schultisch einen grossen Würfel aus vielen kleinen Holzwürfeln und überlegen.

Das musst du wissen

Erklärung

In der Kopfgeometrie veränderst du einen nur in Gedanken. Beim Spielwürfel hilft dir eine Regel: Gegenseiten ergeben zusammen 7. Am Schluss kannst du einen mehrmals kippen und angemalte Würfel zählen, ohne etwas zu bauen.

1 von 6

Der Spielwürfel und die 7

Auf einem Spielwürfel ergeben zwei Gegenseiten zusammen immer 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4.

Siehst du drei Seiten, kennst du also alle sechs. Liegt oben die 2, liegt unten die 5.

MerkeGegenseiten ergeben zusammen 7.

2 von 6

Die vier Kipprichtungen

Der Würfel liegt vor dir auf dem Tisch. Nach vorne heisst: zu dir hin. Nach hinten heisst: von dir weg. Nach rechts und nach links kippst du zur Seite.

Beim Kippen rollt der Würfel über eine Kante, die auf dem Tisch liegt.

MerkeNach vorne heisst zu dir hin, nach hinten heisst von dir weg.

3 von 6

Was beim Kippen passiert

Die obere rollt in die Kipprichtung. Nach oben kommt die Fläche, die auf der anderen Seite liegt: Kippst du nach rechts, kommt die linke Fläche nach oben.

Die untere Fläche kommt nie mit einem einzigen Kippen nach oben. Kippst du nach vorne, geht oben nach vorne, vorne nach unten, unten nach hinten und hinten nach oben.

MerkeNach vorne oder hinten bleiben rechts und links stehen. Nach rechts oder links bleiben vorne und hinten stehen.

4 von 6

Mehrmals kippen

Kipp Schritt für Schritt. Schreib nach jedem Kippen auf: oben, vorne, rechts. So behältst du den Überblick.

Zweimal in dieselbe Richtung bringt die Gegenseite nach oben. Nach viermal in dieselbe Richtung liegt der Würfel wieder wie am Anfang.

5 von 6

Angemalte Würfel: vier Sorten

Ein grosser Würfel aus kleinen Würfeln wird aussen rot angemalt, auch unten. Dann gibt es vier Sorten kleiner Würfel.

Eckwürfel haben 3 rote Flächen, Kantenwürfel 2, Flächenwürfel 1 und Innenwürfel keine.

Eckwürfel8Kantenwürfel12Flächenwürfel6Innenwürfel1
Würfel aus 3 mal 3 mal 3 = 27 kleinen Würfeln: 8 Eckwürfel, 12 Kantenwürfel, 6 Flächenwürfel und 1 Innenwürfel.

6 von 6

So zählst du die Sorten

Eckwürfel gibt es immer 8, einen an jeder Ecke. Für die anderen nimmst du jede Länge 2, weil an beiden Enden ein Eckwürfel sitzt. Bei einem Würfel mit n kleinen Würfeln pro Kante:

Kanten: 12·(n−2)  Flächen: 6·(n−2)·(n−2)  innen: (n−2)·(n−2)·(n−2)

Zur ergeben alle vier Sorten zusammen alle Würfel.

MerkeAn jeder Kante fallen die zwei Eckwürfel weg, also immer minus 2.

Kopfgeometrie und räumliches Vorstellen (räumliches vorstellungsvermögen): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Gegenseiten ergeben zusammen 7. Nach vorne heisst zu dir hin, nach hinten heisst von dir weg. Beispiel: Unten liegt die 6, hinten die 5 und links die 4.
Merkblatt Kopfgeometrie und räumliches Vorstellen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

  • ✕Nach vorne kippen heisst: Die vordere Fläche kommt nach oben.

    ✓Nach vorne heisst zu dir hin. Die obere Fläche geht nach vorne, und die hintere kommt nach oben.

  • ✕Beim Würfel aus 3 mal 3 mal 3 haben 12·3=36 kleine Würfel zwei rote Flächen.

    ✓Die Eckwürfel gehören nicht dazu. Pro Kante bleibt 3−2=1 Würfel, also sind es 12·1=12.

  • ✕Beim Würfel aus 5 mal 5 mal 5 liegen innen 4·4·4=64 Würfel ohne Farbe.

    ✓Auf beiden Seiten fällt eine Schicht weg, in jeder Richtung also 2: 3·3·3=27.

  • ✕Drei oder vier Kippzüge auf einmal im Kopf machen, ohne Zwischenstand.

    ✓Nach jedem Kippen kurz notieren: oben, vorne, rechts. Dann findest du einen Fehler sofort.

Begriffe zum Nachschlagen
Kopfgeometrie
Geometrie in Gedanken: Körper drehen, kippen oder verändern, ohne sie in die Hand zu nehmen.
Gegenseite
Die Fläche, die auf der anderen Seite des Würfels liegt, zum Beispiel unten gegenüber von oben.
Kippen
Den Würfel über eine Kante auf die nächste Fläche rollen.
Eckwürfel
Ein kleiner Würfel an einer Ecke. Er hat 3 Aussenflächen.
Kantenwürfel
Ein kleiner Würfel an einer Kante, aber nicht an einer Ecke. Er hat 2 Aussenflächen.
Flächenwürfel
Ein kleiner Würfel mitten in einer Aussenfläche. Er hat 1 Aussenfläche.
Innenwürfel
Ein kleiner Würfel ganz innen. Er hat keine Aussenfläche und bleibt beim Anmalen ohne Farbe.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Geometrische Körper: Würfel, Quader, Zylinder, PyramideRaumlage: links, rechts, oben, unten

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Gegenseiten finden

Ein Spielwürfel liegt so: oben 1, vorne 2, rechts 3. Welche Zahlen liegen unten, hinten und links?

  1. Unten liegt gegenüber von oben:7−1=6
  2. Hinten liegt gegenüber von vorne:7−2=5
  3. Links liegt gegenüber von rechts:7−3=4

Unten liegt die 6, hinten die 5 und links die 4.

Beispiel 2Zweimal kippen

Ein Spielwürfel liegt so: oben 1, vorne 2, rechts 3. Du kippst ihn zuerst nach rechts, dann nach vorne, also zu dir hin. Welche Zahl liegt jetzt oben?

  1. Ergänze die versteckten Seiten: unten 6, hinten 5, links 4.
  2. Nach rechts kippen: Die 1 geht nach rechts, die linke 4 kommt nach oben. Vorne 2 und hinten 5 bleiben. Jetzt liegt oben 4, vorne 2, rechts 1.
  3. Nach vorne kippen: Die 4 geht nach vorne, die hintere Fläche kommt nach oben. Hinten liegt gegenüber der 2:7−2=5
  4. Jetzt liegt oben 5, vorne 4, rechts 1.

Oben liegt jetzt die 5.

Beispiel 3Ein Holzwürfel wird angemalt

Ein Mädchen malt im Werkraum einen grossen Würfel aus kleinen Holzwürfeln mit dem Pinsel rot an.

Im Werken in Winterthur leimt Mia kleine Holzwürfel zu einem grossen Würfel zusammen: 4 lang, 4 breit und 4 hoch. Dann malt sie ihn aussen rundherum rot an, auch unten. Wie viele kleine Würfel haben genau zwei rote Flächen?

Eckwürfel (3 Farbflächen)8Kantenwürfel (2 Farbflächen)24Flächenwürfel (1 Farbfläche)24Innenwürfel (keine Farbe)8
Würfel aus 4 mal 4 mal 4 = 64 kleinen Würfeln: 8 Eckwürfel, 24 Kantenwürfel, 24 Flächenwürfel und 8 Innenwürfel.
  1. Genau zwei rote Flächen haben die Kantenwürfel. Die Eckwürfel zählen nicht, sie haben drei.
  2. Auf jeder Kante liegen 4 Würfel. Ohne die zwei Eckwürfel bleiben:4−2=2
  3. Ein Würfel hat 12 :12·2=24
  4. Probe mit allen Sorten: 8 Eckwürfel, 24 Kantenwürfel, 6·2·2=24 Flächenwürfel und 2·2·2=8 Innenwürfel ergeben zusammen 64=4·4·4.

24 kleine Würfel haben genau zwei rote Flächen.

Beispiel 4Ein Quader mit allen vier Sorten

Ein aus kleinen Würfeln ist 5 lang, 4 breit und 3 hoch. Er wird aussen rundherum rot angemalt, auch unten. Wie viele kleine Würfel haben genau eine rote Fläche?

Eckwürfel8Kantenwürfel24Flächenwürfel22Innenwürfel6
Quader aus 5 mal 4 mal 3 = 60 kleinen Würfeln: 8 Eckwürfel, 24 Kantenwürfel, 22 Flächenwürfel und 6 Innenwürfel.
  1. Genau eine rote Fläche haben die Würfel mitten in einer Aussenfläche. Ohne Rand wird jede Länge um 2 kleiner:5−2=3  4−2=2  3−2=1
  2. Ohne Rand bleiben bei den drei Arten von Aussenflächen:3·2=6  2·1=2  3·1=3
  3. Jede Aussenfläche gibt es zweimal: oben und unten, vorne und hinten, links und rechts.2·(6+2+3)=22
  4. Probe: 8 Eckwürfel, 4·(3+2+1)=24 Kantenwürfel, 22 Flächenwürfel und 3·2·1=6 Innenwürfel ergeben 60=5·4·3.

22 kleine Würfel haben genau eine rote Fläche.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Auf einem Spielwürfel liegt oben die 3. Welche Zahl liegt unten?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 4

    1. Oben und unten sind Gegenseiten.
    2. Gegenseiten ergeben zusammen 7: 7−3=4.
  2. 2

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 2, vorne 3, rechts 1. Du kippst ihn einmal nach rechts. Welche Zahl liegt jetzt oben?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 6

    1. Links liegt gegenüber der 1: 7−1=6.
    2. Nach rechts kippen: Die obere Fläche geht nach rechts, die linke kommt nach oben.
    3. Oben liegt jetzt die 6.
  3. 3

    Ein Quader ist aus kleinen Würfeln gebaut: 4 lang, 3 breit und 2 hoch. Wie viele kleine Würfel sind es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 24 Würfel

    Untere Schicht (4 mal 3)12Obere Schicht (4 mal 3)12
    Zwei Schichten zu je 4 mal 3 = 12 Würfeln, zusammen 24 Würfel.
    1. Eine Schicht: 4·3=12 Würfel.
    2. Zwei Schichten: 12·2=24 Würfel.
  4. 4

    Ein Würfel aus 5 mal 5 mal 5 kleinen Würfeln wird aussen rundherum rot angemalt. Wie viele kleine Würfel haben drei rote Flächen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 8 Würfel

    Eckwürfel8Kantenwürfel36Flächenwürfel54Innenwürfel27
    Würfel aus 5 mal 5 mal 5 = 125 kleinen Würfeln: nur die 8 Eckwürfel haben drei rote Flächen.
    1. Drei rote Flächen hat nur ein Eckwürfel.
    2. Ein Würfel hat 8 Ecken, egal wie gross er ist.
  5. 5

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 6, vorne 4, rechts 5. Du kippst ihn einmal nach vorne, also zu dir hin. Welche Zahl liegt jetzt oben?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 3

    1. Hinten liegt gegenüber der 4: 7−4=3.
    2. Nach vorne kippen: Die obere Fläche geht nach vorne, die hintere kommt nach oben.
    3. Oben liegt jetzt die 3.
  1. 6

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 3, vorne 2, rechts 6. Du kippst ihn zuerst nach rechts, dann nach hinten. Welche Zahl liegt jetzt oben?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 2

    1. Nach rechts: Die linke Fläche 7−6=1 kommt nach oben, die 3 geht nach rechts. Vorne bleibt die 2.
    2. Jetzt: oben 1, vorne 2, rechts 3.
    3. Nach hinten, also von dir weg: Die vordere Fläche kommt nach oben. Oben liegt die 2.
  2. 7

    Ein Würfel aus 3 mal 3 mal 3 kleinen Würfeln wird aussen rundherum rot angemalt. Wie viele kleine Würfel haben genau zwei rote Flächen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 12 Würfel

    1. Zwei rote Flächen haben die Kantenwürfel ohne die Ecken.
    2. Pro Kante bleibt 3−2=1 Würfel.
    3. Ein Würfel hat 12 Kanten: 12·1=12.
  3. 8

    Ein Würfel aus 4 mal 4 mal 4 kleinen Würfeln wird aussen rundherum rot angemalt. Wie viele kleine Würfel haben genau eine rote Fläche?

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    Ergebnis: 24 Würfel

    1. Eine rote Fläche haben die Würfel mitten in einer Aussenfläche, ohne Rand.
    2. Pro Fläche: (4−2)·(4−2)=4 Würfel.
    3. Ein Würfel hat 6 Flächen: 6·4=24.
  4. 9

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 5, vorne 1, rechts 3. Du kippst ihn zweimal nach vorne. Welche Zahl liegt jetzt oben?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 2

    1. Zweimal in dieselbe Richtung: Die Seite, die unten lag, kommt nach oben.
    2. Unten lag 7−5=2.
    3. Kontrolle Schritt für Schritt: Nach dem ersten Kippen liegt oben die 6, nach dem zweiten die 2.
  5. 10

    Im Werken in Chur baut Luca aus kleinen Holzwürfeln einen grossen Würfel: 5 lang, 5 breit und 5 hoch. Er malt ihn aussen rundherum an, auch unten. Wie viele Holzwürfel bleiben ganz ohne Farbe?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 27 Holzwürfel

    1. Ohne Farbe bleiben nur die Innenwürfel.
    2. In jeder Richtung fällt auf beiden Seiten eine Schicht weg: 5−2=3.
    3. ​3·3·3=27 Holzwürfel.
  1. 11

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 4, vorne 2, rechts 1. Du kippst ihn nach rechts, dann nach vorne, dann wieder nach rechts. Welche Zahl liegt jetzt vorne?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 6

    1. Nach rechts: Die linke Fläche 7−1=6 kommt nach oben. Jetzt: oben 6, vorne 2, rechts 4.
    2. Nach vorne: Die 6 geht nach vorne, hinten 7−2=5 kommt nach oben. Jetzt: oben 5, vorne 6, rechts 4.
    3. Nach rechts bleiben vorne und hinten stehen. Vorne liegt die 6.
  2. 12

    Ein Quader aus kleinen Würfeln ist 6 lang, 4 breit und 3 hoch. Er wird aussen rundherum rot angemalt. Wie viele kleine Würfel haben genau zwei rote Flächen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 28 Würfel

    1. Jede Kantenlänge ohne die Eckwürfel: 6−2=4, 4−2=2, 3−2=1.
    2. Jede Länge kommt an 4 Kanten vor: 4·4+4·2+4·1.
    3. ​16+8+4=28 Würfel.
  3. 13

    Ein grosser Würfel aus kleinen Würfeln wurde aussen angemalt. Genau 27 kleine Würfel sind ohne Farbe geblieben. Aus wie vielen kleinen Würfeln besteht der grosse Würfel?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 125 Würfel

    1. Die Würfel ohne Farbe bilden einen Würfel: 3·3·3=27, also 3 lang.
    2. Der grosse Würfel ist in jeder Richtung 2 länger: 3+2=5.
    3. ​5·5·5=125 Würfel.
  4. 14

    Ein Spielwürfel liegt so: oben 2, vorne 4, rechts 6. Du kippst ihn nach rechts, nach vorne, nach links und nach hinten. Welche Zahl liegt jetzt oben? Liegt er wieder wie am Anfang?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Oben liegt die 1, der Würfel liegt also nicht wie am Anfang.

    1. Nach rechts: oben 1, vorne 4, rechts 2.
    2. Nach vorne: oben 3, vorne 1, rechts 2.
    3. Nach links: oben 2, vorne 1, rechts 4.
    4. Nach hinten: oben 1, vorne 5, rechts 4. Vier Züge im Kreis bringen ihn nicht zurück.

Verliert dein Kind beim Kippen im Kopf schnell den Überblick, übt eine Lehrperson mit ihm Zug für Zug, zuerst mit einem echten Würfel und dann ohne. Nachhilfe in Mathematik für Primarschule und Sek

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Trainer: Kopfgeometrie und räumliches Vorstellen

Unbegrenzt neue Aufgaben zum Kippen eines Spielwürfels und zu angemalten Würfeln, mit Rückmeldung und Lösungsweg. Stufe 1 fragt nach Gegenseiten, einmal Kippen und wie viele kleine Würfel ein Quader hat oder wie viele Eckwürfel, Stufe 2 nach zweimal Kippen und angemalten Würfeln, Stufe 3 nach drei bis vier Kippzügen und angemalten Quadern.

Ein Quader ist aus kleinen Würfeln gebaut: 3 lang, 5 breit, 4 hoch. Wie viele kleine Würfel braucht es?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Klasse - 1. Sek
Zyklus
Zyklus 2–3
Fach
Mathematik

Kopfgeometrie zieht sich von der 3. Klasse bis in die Sek: Ab der 3. Klasse kippt und dreht man Würfel im Kopf, ab der 5. Klasse kommen angemalte Würfelgebäude dazu. In der 1. Sek werden daraus Formeln und grössere Quader.

  • MA.2.C.3.dEinen Würfel, einen Quader oder eine Figur in Gedanken drehen oder kippen und sagen, wie er danach liegt.
  • MA.2.C.3.eWürfelgebäude im Kopf zerlegen und zusammensetzen und vorhersagen, was eine Veränderung am Modell bewirkt, zum Beispiel das Anmalen von aussen.
  • MA.2.C.3.fIn der Sek Körper aus mehreren Würfeln im Kopf drehen und verschieben und sie von verschiedenen Seiten betrachten.
  • MA.2.C.3.gEinen Körper im Kopf verändern, etwa Teile wegnehmen, und das Ergebnis genau beschreiben und begründen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse kommt Kopfgeometrie?

Kopfgeometrie kommt im Lehrplan 21 in allen drei Zyklen vor, einfache Formen schon im Kindergarten und in der 1. und 2. Klasse. Würfel kippen und drehen kommt meist ab der 3. oder 4. Klasse, angemalte Würfelgebäude in der 5. und 6. Klasse und in der 1. Sek. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es ein Jahr früher oder später sein.

Wie kann man das räumliche Vorstellungsvermögen trainieren?

Am besten mit kurzen, regelmässigen Übungen: einen Würfel im Kopf kippen, ein Würfelgebäude von einer anderen Seite vorstellen, ein Netz im Kopf falten. Prüf deine Lösung danach mit einem echten Würfel oder mit Bauklötzen. So merkst du, wo du dich vertust.

Warum ergeben die Gegenseiten eines Spielwürfels immer 7?

So werden Spielwürfel gebaut: Die 1 liegt gegenüber der 6, die 2 gegenüber der 5 und die 3 gegenüber der 4. Für dich ist das praktisch. Kennst du eine Seite, kennst du auch ihre Gegenseite.

Muss man die Formeln für angemalte Würfel auswendig lernen?

Nein. Wenn du weisst, warum an jeder Kante zwei Eckwürfel wegfallen, findest du jede Zahl selbst. Die Formeln sind nur die Kurzform davon.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?