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Fokus Nachhilfe

Rechengesetze: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

Die drei Rechengesetze sagen, wie du eine Rechnung umstellen darfst, ohne dass sich das Ergebnis ändert: vertauschen, anders zusammenfassen und verteilen. Damit machst du aus schweren Rechnungen leichte.

  • 3. Klasse - 1. Sek
  • Zyklus 2–3
  • Lehrplan 21: MA.1.A.4.f
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Das musst du wissen

Erklärung

Mit den Rechengesetzen darfst du eine Rechnung umstellen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Es gibt drei: vertauschen, anders zusammenfassen und verteilen. Du suchst damit den Weg, der im Kopf am einfachsten ist.

1 von 6

Kommutativgesetz: vertauschen

Bei und Mal darfst du die Zahlen vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.

8+5=5+8  3·4=4·3

Bei und geteilt geht das nicht: 9−4 ist nicht dasselbe wie 4−9.

MerkeVertauschen darfst du nur bei Plus und Mal.

Keks + +
3 Gruppen mit je 4 Keksen sind 12 Kekse. Nimmst du aus jeder Gruppe einen Keks, bekommst du 4 Gruppen mit je 3. Also ist 3 · 4 = 4 · 3.

2 von 6

Assoziativgesetz: anders zusammenfassen

Bei Plus und Mal darfst du wählen, welche zwei Zahlen du zuerst rechnest. Die zeigt, was zuerst kommt.

(17+3)+28=17+(3+28)

Links rechnest du 20+28, rechts 17+31. Beide Male kommt 48 heraus.

MerkeDie Klammer verschieben darfst du nur bei Plus und Mal.

010203040501732802048
Zahlenstrahl: 17 und 3 ergeben zuerst die runde Zahl 20. Dann kommen 28 dazu, und du landest bei 48.

3 von 6

Geschickt rechnen mit beiden Gesetzen

Suche zwei Zahlen, die zusammen einen runden oder geben. Stelle sie nebeneinander und rechne sie zuerst.

17+28+3=17+3+28=20+28=48

Beim Mal helfen Paare wie 2·5, 4·25 oder 8·125.

25·7·4=25·4·7=100·7=700

MerkeZuerst die Partner suchen, die eine runde Zahl ergeben.

4 von 6

Distributivgesetz: verteilen

Eine Zahl mal eine ist dasselbe wie jeder Teil einzeln mal die Zahl. Danach zählst du zusammen.

6·53=6·(50+3)=6·50+6·3=300+18=318

So du eine schwierige in zwei leichte.

MerkeJeder Teil in der Klammer wird mit der Zahl davor multipliziert.

01002003006 · 506 · 30300318
Zahlenstrahl: 6 · 50 führt bis 300, 6 · 3 noch 18 weiter. Zusammen ist 6 · 53 = 318.

5 von 6

Mit Minus und rückwärts: ausklammern

Das Distributivgesetz gilt auch mit Minus. Das hilft bei Zahlen knapp unter einem Hunderter.

7·98=7·(100−2)=700−14=686

Rückwärts klammerst du einen gemeinsamen aus:

13·7+13·3=13·(7+3)=13·10=130

Merke ist das Distributivgesetz rückwärts.

6 von 6

In der Sek: mit Buchstaben

In der Sek rechnest du dasselbe mit Buchstaben, die für Zahlen stehen. So multiplizierst du eine Klammer aus:

a·(b+c)=a·b+a·c

Beispiel: 3·(x+4)=3x+12. Auch die 4 wird mit 3 multipliziert.

Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz): Merkblatt mit Formel und Beispiel. a · (b + c) = a · b + a · c. Vertauschen darfst du nur bei Plus und Mal. Beispiel: 36 + 47 + 14 = 97.
Merkblatt Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz): Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

  • ✕​5·(20+3)=5·20+3=103, also nur den ersten Teil mal 5.

    ✓Auch die 3 gehört mal 5: 5·20+5·3=100+15=115.

  • ✕​12:4=4:12, weil man ja vertauschen darf.

    ✓Vertauschen gilt nur bei Plus und Mal. 12:4=3, aber 4:12 ist 1.

  • ✕​20−8−2=20−(8−2)=14, also die Klammer verschieben.

    ✓Bei Minus darfst du nicht anders zusammenfassen. Von links gerechnet: 20−8−2=10.

  • ✕​4·(5·3)=4·5·4·3, also verteilen wie bei einer Summe.

    ✓In der Klammer steht ein , keine Summe. Hier gilt das Assoziativgesetz: 4·5·3=60.

Begriffe zum Nachschlagen
Kommutativgesetz
Vertauschungsgesetz: Bei Plus und Mal darfst du die Zahlen vertauschen.
Assoziativgesetz
Verbindungsgesetz: Bei Plus und Mal darfst du die Klammer verschieben, also anders zusammenfassen.
Distributivgesetz
Verteilungsgesetz: Eine Zahl mal eine Summe ist jeder Teil einzeln mal die Zahl.
Summand
Eine Zahl, die bei einer Plusrechnung dazugezählt wird.
Faktor
Eine Zahl, die bei einer Malrechnung multipliziert wird.
Klammer
Sie fasst einen Teil der Rechnung zusammen. Was in der Klammer steht, rechnest du zuerst.
Ausmultiplizieren
Eine Klammer auflösen, indem du jeden Teil mit der Zahl davor multiplizierst.
Ausklammern
Einen Faktor, den alle Teile gemeinsam haben, vor eine Klammer schreiben.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Einmaleins (kleines 1×1)Kopfrechnen und eigene Rechenwege

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Plus geschickt rechnen

Berechne geschickt: 36+47+14.

02040608010036144705097
Zahlenstrahl: 36 und 14 führen zuerst zur runden Zahl 50, dann bringen dich 47 bis 97.
  1. Suche zwei Zahlen, die einen runden Zehner geben: 36 und 14 ergeben 50.
  2. Vertausche 47 und 14 (Kommutativgesetz):36+47+14=36+14+47
  3. Rechne das Paar zuerst (Assoziativgesetz):(36+14)+47=50+47
  4. Jetzt ist der Rest einfach:50+47=97

​36+47+14=97

Beispiel 2Mal geschickt rechnen

Berechne geschickt: 4·17·25.

  1. Suche ein Paar mit rundem Produkt: 4·25=100.
  2. Vertausche 17 und 25 und rechne das Paar zuerst:4·17·25=(4·25)·17
  3. Mal 100 ist leicht:100·17=1'700

​4·17·25=1'700

Beispiel 3Mietski fürs Skilager

Eine Schulklasse steht mit ihrer Lehrperson im Schnee vor einem Holzhaus, einige Kinder halten Ski.

Eine Schule in Chur mietet für das Skilager Ski. Ein Paar kostet 49 Franken. Wie viel kosten 8 Paare?

01002003004008 · 498 · 10392400
Zahlenstrahl: 8 · 49 und 8 · 1 sind zusammen 8 · 50 = 400. Darum ist 8 · 49 = 400 − 8 = 392.
  1. Gesucht ist das Produkt:8·49
  2. 49 liegt knapp unter 50. Schreibe 49 als 50−1:8·(50−1)
  3. Multipliziere beide Teile mit 8 (Distributivgesetz):8·50−8·1=400−8
  4. Ausrechnen:400−8=392

8 Paar Ski kosten 392 Franken.

Beispiel 4Gemeinsamen Faktor ausklammern

Berechne geschickt: 23·6+23·4.

  1. Beide Produkte haben den Faktor 23.
  2. Klammere 23 aus (Distributivgesetz rückwärts):23·6+23·4=23·(6+4)
  3. Die Klammer gibt 10, und mal 10 ist leicht:23·10=230

​23·6+23·4=230

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Rechne geschickt: 18+7+2

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    Ergebnis: ​27

    051015202530182702027
    Zahlenstrahl: Mit 18 und 2 bist du bei 20, mit den 7 dazu bei 27.
    1. 18 und 2 geben 20. Vertausche: 18+2+7
    2. ​20+7=27
  2. 2

    Rechne geschickt: 5·9·2

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    Ergebnis: ​90

    1. ​5·2=10 ist ein rundes Paar. Vertausche: 5·2·9
    2. ​10·9=90
  3. 3

    Rechne 6+9 und 9+6. Was fällt dir auf?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Beide ergeben 15. Beim Plus darfst du die Zahlen vertauschen.

    Erdbeere +
    6 Erdbeeren und 9 Erdbeeren sind 15 Erdbeeren, egal welche Gruppe du zuerst zählst.
    1. ​6+9=15
    2. ​9+6=15
    3. Das Ergebnis bleibt gleich, nur die Reihenfolge ist anders. Vertauschen ist beim Plus erlaubt.
  4. 4

    Rechne mit dem Distributivgesetz: 4·23

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    Ergebnis: ​92

    0204060801004 · 204 · 308092
    Zahlenstrahl: 4 · 20 führt bis 80, 4 · 3 noch 12 weiter bis 92.
    1. Zerlege 23 in 20+3: 4·(20+3)
    2. ​4·20+4·3=80+12
    3. ​80+12=92
  5. 5

    Rechne geschickt: 45+38+55

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    Ergebnis: ​138

    1. 45 und 55 geben 100. Vertausche: 45+55+38
    2. ​100+38=138
  1. 6

    Rechne geschickt: 25·13·4

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    Ergebnis: ​1'300

    1. ​25·4=100 ist das runde Paar.
    2. ​25·4·13=100·13
    3. ​100·13=1'300
  2. 7

    Rechne geschickt: 6·99

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    Ergebnis: ​594

    1. Schreibe 99 als 100−1: 6·(100−1)
    2. ​6·100−6·1=600−6
    3. ​600−6=594
  3. 8

    Rechne geschickt: 14·7+14·3

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    Ergebnis: ​140

    1. Beide Produkte haben den Faktor 14. Ausklammern: 14·(7+3)
    2. ​14·10=140
  4. 9

    Welches Rechengesetz zeigt (8·5)·3=8·(5·3)? Rechne auch aus.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Das Assoziativgesetz: Die Klammer ist verschoben. Beide Seiten ergeben 120.

    1. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt, nur die Klammer wandert.
    2. Das ist das Assoziativgesetz.
    3. Links 40·3=120, rechts 8·15=120.
  5. 10

    Noah geht mit zwei Freunden ins Hallenbad in Winterthur. Jeder zahlt 7 Franken Eintritt und 3 Franken für eine Glace. Wie viel bezahlen die drei zusammen?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 30 Franken

    1. Eintritte und Glaces: 3·7+3·3
    2. Ausklammern: 3·(7+3)=3·10
    3. ​3·10=30, also 30 Franken.
  1. 11

    Rechne geschickt: 125·17·8

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​17'000

    1. ​125·8=1'000 ist das runde Paar.
    2. ​1'000·17=17'000
  2. 12

    Rechne geschickt: 19·47−19·37

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    Ergebnis: ​190

    1. Beide Produkte haben den Faktor 19. Ausklammern: 19·(47−37)
    2. Die Klammer gibt 10: 19·10=190
  3. 13

    Rechne geschickt: 99·35

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​3'465

    1. Schreibe 99 als 100−1: (100−1)·35
    2. ​100·35−1·35=3'500−35
    3. ​3'500−35=3'465
  4. 14

    Multipliziere aus: 5·(x+7)

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​5x+35

    1. Jeder Teil der Klammer wird mal 5 gerechnet.
    2. ​5·x+5·7=5x+35
  5. 15

    Stimmt das? 48:(4·2)=48:4·2

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Nein. Links kommt 6 heraus, rechts 24.

    1. Links: 4·2=8, dann 48:8=6.
    2. Rechts von links nach rechts: 48:4=12, dann 12·2=24.
    3. Mit geteilt darfst du die Klammer nicht verschieben.

Rechnet dein Kind noch alles stur von links nach rechts, zeigt ihm eine Lehrperson, wann Vertauschen oder Verteilen die Rechnung leichter macht. Unterstützung in Mathematik von der 3. Klasse bis zur Sek

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Trainer: Rechengesetze

Unbegrenzt neue Aufgaben zum geschickten Rechnen, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt Plus, Stufe 2 Mal, Stufe 3 das Distributivgesetz und die Frage, welches Gesetz eine Rechnung zeigt.

53+18+47=

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Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaPunkt vor Strich und KlammerregelnStehen in einer Rechnung mehrere Rechenzeichen, rechnest du zuerst die Klammern, dann Mal und Geteilt, zum Schluss Plus und Minus. Rechenzeichen derselben Stufe rechnest du von links nach rechts.5. Klasse - 6. Klasse

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Klasse - 1. Sek
Zyklus
Zyklus 2–3
Fach
Mathematik

Vertauschen beim Plus kennen Kinder schon ab der 1. Klasse. Von der 3. bis zur 6. Klasse nutzt man die Gesetze bewusst, um geschickt im Kopf zu rechnen. In der 1. Sek kommt das Distributivgesetz mit Buchstaben dazu.

  • MA.1.A.4.fBei langen Summen und Produkten zuerst die Zahlen zusammenfassen, die eine runde Zahl ergeben, und so im Kopf geschickt rechnen.
  • MA.1.A.4.dWissen, dass beim Malrechnen die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt, und das beim Rechnen ausnutzen.
  • MA.1.A.4.iIn der Sek eine Zahl mit einer Klammer ausmultiplizieren und einen gemeinsamen Faktor ausklammern, auch mit Buchstaben.
  • MA.1.A.4.cSchon in den ersten Schuljahren Plusrechnungen vertauschen oder anders aufteilen, um auf einen runden Zehner zu kommen.
  • MA.1.A.4.eAus dem kleinen Einmaleins Rechnungen mit Zehnern ableiten, etwa 6 · 50 aus 6 · 5.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz?

Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von Zahlen, das Assoziativgesetz das Verschieben der Klammer. Beide gelten bei Plus und Mal. Das Distributivgesetz verbindet Mal mit Plus oder Minus: Eine Zahl mal eine Klammer ist jeder Teil einzeln mal die Zahl.

In welcher Klasse lernt man die Rechengesetze?

Vertauschen und Zusammenfassen beim Plus kommt schon ab der 1. Klasse. Von der 3. bis zur 6. Klasse nutzt man die Gesetze zum geschickten Rechnen, und in der 1. Sek kommt das Distributivgesetz mit Buchstaben dazu. Die Namen der Gesetze hört man meist erst in der 5. oder 6. Klasse.

Gelten die Rechengesetze auch für Minus und geteilt?

Vertauschen und Klammer verschieben gelten nur bei Plus und Mal. Bei 9−4 und 4−9 kommt nicht dasselbe heraus. Das Distributivgesetz gilt dagegen auch mit Minus in der Klammer, zum Beispiel 7·(100−2)=700−14.

Muss man die Namen der Gesetze auswendig wissen?

In der Primarschule ist wichtiger, dass du die Gesetze beim Rechnen nutzt. In der Sek fragen Prüfungen oft auch nach dem Namen. Eine Eselsbrücke: kommutieren heisst vertauschen, distribuieren heisst verteilen.

Stand 18.10.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?