Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180°, die eines Vierecks 360° und die eines Vielecks mit n Ecken (n − 2) · 180°. Damit berechnest du fehlende Winkel, ohne zu messen.
Das musst du wissen
Die Winkelsumme ist die Summe aller Innenwinkel einer Figur. Im Dreieck sind es immer , im Viereck immer . Fehlt ein , ziehst du die bekannten Winkel von der Summe ab.
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Schneide ein Dreieck aus Papier aus und reiss die drei Ecken ab. Leg sie mit den Spitzen aneinander. Zusammen bilden sie einen , also .
Das gilt für jedes Dreieck, egal wie es aussieht.
MerkeIm Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.
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Zeichne in ein Viereck eine Diagonale. Sie teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Jedes Dreieck hat , zusammen sind das .
MerkeIm Viereck ergeben die vier Winkel zusammen 360°.
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Ein Vieleck mit n Ecken heisst n-Eck. Hat es keine einspringende Ecke (keine Ecke zeigt nach innen), ziehst du von einer Ecke aus alle Diagonalen. So zerfällt es in n−2 Dreiecke.
Das Fünfeck gibt 3 Dreiecke, also . Das Sechseck gibt 4 Dreiecke, also .
Die Formel gilt auch für Vielecke mit einspringender Ecke.
MerkeWinkelsumme im n-Eck: (n − 2) · 180°.
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Im gleichschenkligen Dreieck sind die zwei gleich gross. Ist der Winkel an der Spitze , bleiben für die Basiswinkel , also je .
Im rechtwinkligen Dreieck hat der rechte Winkel schon . Die zwei ergeben zusammen .
Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel .
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Verlängerst du eine Seite über die Ecke hinaus, entsteht ein Aussenwinkel. Er ergänzt den Innenwinkel zu .
Im Dreieck ist ein Aussenwinkel so gross wie die zwei Innenwinkel, die nicht an ihm liegen. Bei und ist der Aussenwinkel an der dritten Ecke .
MerkeBei einem Vieleck ohne einspringende Ecke ergeben die Aussenwinkel zusammen immer 360°.
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In einem regelmässigen Vieleck sind alle Seiten und alle Winkel gleich. Teile die Winkelsumme durch die Anzahl Ecken.
Regelmässiges Sechseck: . Jeder Aussenwinkel ist .
✕Im Viereck ergeben die Winkel auch .
✓Nur im Dreieck sind es . Ein Viereck besteht aus zwei Dreiecken, also .
✕Winkelsumme im Sechseck: .
✓Das Sechseck zerfällt in 6−2=4 Dreiecke: .
✕Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze : Jeder Basiswinkel ist .
✓Die teilen sich auf zwei Basiswinkel: .
✕Aussenwinkel im regelmässigen Sechseck: .
✓ ist der Innenwinkel. Der Aussenwinkel ist , also .
Noch unsicher? Zuerst lernen:Winkel messen, zeichnen und WinkelartenDreiecke und Vierecke: Arten und Eigenschaften
So geht's
Im Dreieck ABC ist und . Berechne γ.
Mia baut in Thun mit ihrem Grossvater einen Drachen. Er ist ein Viereck: Die Ecke oben hat , die Ecke unten . Die Ecken links und rechts sind gleich gross. Wie gross ist jede davon?
Die Ecken links und rechts haben je 80°.
Ein Fünfeck hat die Winkel , , und . Wie gross ist der fünfte Winkel?
Der fünfte Winkel ist .
Wie gross ist ein Innenwinkel im regelmässigen Achteck? Und wie gross ist ein Aussenwinkel?
Innenwinkel , Aussenwinkel .
Jetzt du
Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.
Im Dreieck ist und . Wie gross ist γ?
Ergebnis:
Ein Viereck hat die Winkel , und . Wie gross ist der vierte Winkel?
Ergebnis:
Wie gross ist die Winkelsumme in einem Sechseck?
Ergebnis:
Ein Dreieck hat einen von und einen Winkel von . Wie gross ist der dritte Winkel?
Ergebnis:
Ein Fünfeck hat die Winkel , , und . Wie gross ist der fünfte Winkel?
Ergebnis:
In einem gleichschenkligen Dreieck ist jeder Basiswinkel . Wie gross ist der Winkel an der Spitze?
Ergebnis:
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze . Wie gross ist jeder Basiswinkel?
Ergebnis: je
Ein hat einen spitzen Winkel von . Wie gross ist der andere spitze Winkel?
Ergebnis:
Wie gross ist ein Innenwinkel in einem regelmässigen Zehneck?
Ergebnis:
In einem Viereck sind zwei Winkel und gross. Die beiden anderen Winkel sind gleich gross. Wie gross ist jeder?
Ergebnis: je
Im Dreieck ABC ist und . Wie gross ist der Aussenwinkel bei C?
Ergebnis:
Im Dreieck gilt α:β:γ=3:4:5. Wie gross ist der grösste Winkel?
Ergebnis:
Im Dreieck ist . Der Winkel β ist grösser als α. Wie gross ist β?
Ergebnis:
Die Winkel eines Vielecks ergeben zusammen . Wie viele Ecken hat es?
Ergebnis: 9 Ecken
In einem regelmässigen Vieleck ist jeder Innenwinkel . Wie viele Ecken hat es?
Ergebnis: 12 Ecken
Weiss dein Kind beim Vieleck noch nicht, mit welcher Winkelsumme es rechnen soll, zerlegt eine Lehrperson die Figuren mit ihm in Dreiecke, bis die Regel sitzt. Nachhilfe in Geometrie für die Sek
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Üben ohne Ende
Unbegrenzt neue Aufgaben zu fehlenden Winkeln in Dreieck, Viereck und Vieleck, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt die Winkelsumme, Stufe 2 besondere Dreiecke und regelmässige Vielecke, Stufe 3 Aussenwinkel, Verhältnisse und das Rückwärtsrechnen.
Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).
Geschafft? So geht es weiter
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Meist in der 1. Sek: Winkelsumme im Dreieck und Viereck, oft entdeckt durch Abreissen der Ecken. In der 2. Sek kommen Vielecke, Aussenwinkel und Aufgaben mit Gleichungen dazu.
MA.2.A.3.jFehlende Winkel in Dreiecken, Vierecken und Vielecken mit der Winkelsumme berechnen.MA.2.B.2.fBegründen, warum die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben und warum sich die zwei spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck zu 90° ergänzen.MA.2.B.1.jWinkel in Vielecken verändern und dabei herausfinden, was gleich bleibt, zum Beispiel die Summe aller Innenwinkel.Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.
Gut zu wissen
Reiss die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und leg sie aneinander. Sie bilden zusammen eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel von 180°. Das klappt bei jedem Dreieck, egal ob spitz, stumpf oder rechtwinklig.
Nach Lehrplan 21 gehört das Thema in den Zyklus 3. Die Winkelsumme im Dreieck und Viereck kommt meist in der 1. Sek, Vielecke und Aussenwinkel oft in der 2. Sek. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.
Rechne Anzahl Ecken minus 2 und nimm das mal 180°. Ein Sechseck hat also (6 − 2) · 180° = 720°. Der Grund: Ein Vieleck ohne einspringende Ecke lässt sich von einer Ecke aus in so viele Dreiecke zerlegen.
Nein. Zwei rechte Winkel sind zusammen schon 180°. Für den dritten Winkel bliebe nichts mehr übrig, und die Seiten würden sich nie treffen.
Begriff
Wie weit zwei Linien auseinandergehen, die sich in einem Punkt treffen. Man misst ihn in Grad (°).
BeispielEine ganze Drehung hat 360°, ein rechter Winkel 90°.
Begriff
Ein Winkel von genau 180°. Die beiden Schenkel bilden zusammen eine gerade Linie.
Begriff
Ein Winkel, der kleiner ist als ein rechter Winkel, also kleiner als 90°.
Begriff
Die zwei Winkel an der Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks. Sie sind immer gleich gross.
BeispielIst der Winkel an der Spitze 40°, hat jeder Basiswinkel 70°.
Begriff
Ein Winkel zwischen 90° und 180°.
Begriff
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also einem Winkel von 90 Grad.
BeispielEin Geodreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Themen in Mathematik