Logarithmusfunktion und ln

Die Logarithmusfunktion $f(x) = \log_b(x)$ gibt zu jeder positiven Zahl x den Exponenten an, mit dem du die Basis b potenzieren musst, um x zu erhalten. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, und ln ist der Logarithmus zur Basis e.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche lernen in einem hellen Schulzimmer am Gymnasium zusammen, einer tippt auf einem Taschenrechner, die andere schreibt in ein Heft.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Logarithmusfunktion $f (x) = lo g_{b} (x)$ gibt an, mit welchem du b potenzieren musst, um x zu erhalten. Sie ist die von $y = b^{x}$ . Am Schluss liest du , und ab und löst mit $ln$ .

Was die Logarithmusfunktion ausrechnet

Für eine Basis b>0 mit b≠1 gilt:

lo g_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x

Bei $f (x) = lo g_{2} (x)$ fragst du also: «2 hoch wie viel gibt x?» Eine Wertetabelle findest du, indem du Zweierpotenzen nimmst:

x	14	12	1	2	4	8
$lo g_{2} (x)$	−2	−1	0	1	2	3

Wird x verdoppelt, steigt der nur um 1. Darum wächst die Kurve immer langsamer.

MerkeDer ist ein Exponent: $lo g_{b} (x)$ ist die Hochzahl, die aus b die Zahl x macht.

Graph von f(x) = log₂(x) mit den Punkten aus der Wertetabelle: Von x = 1 bis x = 2 steigt er um 1, von x = 4 bis x = 8 ebenfalls nur um 1.

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die $y = 2^{x}$ macht aus dem Exponenten das Ergebnis, die Logarithmusfunktion $y = lo g_{2} (x)$ macht aus dem Ergebnis wieder den Exponenten. Die beiden heben sich auf:

lo g_{2} (2^{x}) = x 2^{l o g_{2} (x)} = x

Aus dem Punkt (3|8) auf $y = 2^{x}$ wird der Punkt (8|3) auf $y = lo g_{2} (x)$ : Die Koordinaten tauschen die Plätze. Im Bild heisst das: Spiegelung an der Geraden y=x.

MerkeZur Umkehrfunktion tauschst du x und y. Der wird an der Geraden y = x gespiegelt.

Die Kurven y = 2^x und y = log₂(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x. Der Punkt (2 | 4) der einen gehört zum Punkt (4 | 2) der anderen.

Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote

Logarithmen gibt es nur von , denn $b^{y}$ ist immer positiv. Die Definitionsmenge von $f (x) = lo g_{b} (x)$ ist darum x>0.

Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote: Der Graph nähert sich ihr, berührt sie aber nie. Dort geht er beliebig tief (b>1) oder hoch (0<b<1).

Die sind alle : Nach rechts steigt (b>1) oder fällt (0<b<1) er ohne Ende.

MerkeIm Logarithmus darf nur eine positive Zahl stehen.

Nullstelle, Steigen und Fallen

Jeder Graph $y = lo g_{b} (x)$ hat die Nullstelle x=1, denn b⁰=1. Ausserdem geht er durch den Punkt (b|1), denn b¹=b.

Für b>1 steigt der Graph, für 0<b<1 fällt er.

MerkeJeder Graph $y = lo g_{b} (x)$ geht durch (1|0) und (b|1) und liegt ganz rechts von der y-Achse.

y = log₃(x) steigt, y = log₀.₅(x) fällt. Beide gehen durch (1 | 0) und nähern sich links der y-Achse.

Der natürliche Logarithmus ln

Der natürliche Logarithmus hat die Basis e≈2.718, die :

ln (x) = lo g_{e} (x)

Er ist die Umkehrfunktion der $y = e^{x}$ . Darum gilt $ln (e^{x}) = x$ und $e^{l n (x)} = x$ , ausserdem $ln (1) = 0$ und $ln (e) = 1$ .

Auf dem Taschenrechner gibt es zwei Tasten: ln rechnet zur Basis e, log zur Basis 10. Zum Beispiel ist $ln (10) \approx 2.303$ , aber $lo g (10) = 1$ .

Merkeln ist log zur Basis e, log auf dem Taschenrechner ist log zur Basis 10.

y = ln(x) erreicht den Wert 1 schon bei x = e, die Kurve y = log(x) zur Basis 10 erst bei x = 10. Beide haben die Nullstelle x = 1.

Verschieben und strecken

Die $g (x) = a \cdot lo g_{b} (x - c) + d$ entsteht aus $y = lo g_{b} (x)$ :

c verschiebt nach rechts (c>0) oder links (c<0). Die Asymptote wandert nach x=c.
d verschiebt nach oben oder unten.
a streckt in y-Richtung, ein negatives a spiegelt an der x-Achse.

Bei $g (x) = ln (x - 2)$ muss x−2>0 sein, also x>2. Die Nullstelle liegt bei x−2=1, also bei x=3.

MerkeWas im Logarithmus steht, muss grösser als 0 sein. Daraus folgen Definitionsmenge und Asymptote.

Andere Basen und Exponentialgleichungen

Der Taschenrechner kennt oft nur ln und log. Mit dem rechnest du jede Basis aus:

lo g_{b} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( b )}

So löst du auch Gleichungen, bei denen x im Exponenten steht. Bei $e^{x} = 20$ wendest du auf beiden Seiten ln an: $x = ln (20) \approx 2.996$ . Bei $2^{x} = 10$ ist $x = lo g_{2} (10) = \frac{ln ( 10 )}{ln ( 2 )} \approx 3.322$ .

MerkeSteht x im Exponenten, holst du es mit dem Logarithmus herunter.

Logarithmusfunktion und ln: Übersicht mit Tabelle Was die Logarithmusfunktion ausrechnet; Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote. — Logarithmusfunktion und ln auf einen Blick: Was die Logarithmusfunktion ausrechnet als Tabelle und die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Die Taste log auf dem Taschenrechner ist der natürliche Logarithmus.
✓log rechnet zur Basis 10, ln zur Basis e. $lo g (100) = 2$ , aber $ln (100) \approx 4.605$ .
✕ $ln (0) = 0$ und $lo g_{2} (- 8) = - 3$ .
✓Für x≤0 gibt es keinen Logarithmus, denn $b^{y}$ ist nie 0 und nie negativ. Den Wert 0 hat der Logarithmus bei x=1: $ln (1) = 0$ .
✕ $ln (x + 3) = ln (x) + ln (3)$ .
✓Eine Summe darfst du nicht auseinandernehmen. Es gilt nur $ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)$ , also für ein Produkt.
✕Der Graph von $y = ln (x)$ schneidet die y-Achse irgendwo weit unten.
✓Er schneidet sie nie. Die y-Achse ist eine Asymptote, weil x=0 nicht in der Definitionsmenge liegt.

Begriffe zum Nachschlagen

Logarithmus: Der Exponent, mit dem du die Basis potenzieren musst, um eine Zahl zu erhalten: $lo g_{2} (8) = 3$ , weil 2³=8.
Logarithmusfunktion: Die Funktion $f (x) = lo g_{b} (x)$ mit b>0 und b≠1. Sie ist nur für x>0 definiert.
Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis e, geschrieben $ln (x)$ . Auf dem Taschenrechner die Taste ln.
Eulersche Zahl: Die Zahl e≈2.718, die Basis der e-Funktion und des natürlichen Logarithmus. Sie ist irrational.
Exponentialfunktion: Eine Funktion $y = b^{x}$ , bei der x im Exponenten steht. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion.
Umkehrfunktion: Die Funktion, die eine andere rückgängig macht: x und y tauschen die Rollen. Ihr Graph ist an der Geraden y=x gespiegelt.
Asymptote: Eine Gerade, der sich ein Graph beliebig nähert, ohne sie zu erreichen. Bei $y = lo g_{b} (x)$ ist es die y-Achse.
Wertemenge: Alle y-Werte, die eine Funktion annimmt. Bei der Logarithmusfunktion sind das alle reellen Zahlen.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Logarithmus Logarithmusgesetze Exponentialfunktion und e-Funktion Umkehrfunktion

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Funktionswerte ohne Taschenrechner

Gegeben ist $f (x) = lo g_{3} (x)$ . Berechne f(27), f(1) und $f (\frac{1}{9})$ .

Graph von f(x) = log₃(x) mit den Punkten (1 | 0) und (27 | 3). Der Punkt zu x = 1/9 liegt bei y = −2, ganz nah an der y-Achse.

Lösung Schritt für Schritt

Frage dich bei f(27): 3 hoch wie viel gibt 27? Es ist 3³=27. $lo g_{3} (27) = 3$
Jede Zahl hoch 0 gibt 1, also ist f(1)=0. $lo g_{3} (1) = 0$
Ein gibt einen negativen Exponenten: $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . $lo g_{3} (\frac{1}{9}) = - 2$

f(27)=3, f(1)=0 und $f (\frac{1}{9}) = - 2$ . Probe für den letzten Wert: $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ .

Beispiel 2Verschobener Graph: Definitionsmenge, Asymptote, Nullstelle

Bestimme für $g (x) = ln (x - 2) + 1$ die Definitionsmenge, die Asymptote und die Nullstelle.

Der Graph von g ist der Graph von y = ln(x), um 2 nach rechts und um 1 nach oben verschoben. Er nähert sich der senkrechten Geraden x = 2.

Lösung Schritt für Schritt

Was im ln steht, muss positiv sein.x−2>0 ⇒ x>2
Die Asymptote liegt am Rand der Definitionsmenge, also bei x=2.
Für die Nullstelle setzt du g(x)=0 und stellst nach ln um. $ln (x - 2) = - 1$
Wende auf beiden Seiten die e-Funktion an. $x - 2 = e^{- 1} \approx 0.37$
Zähle 2 dazu. $x = 2 + e^{- 1} \approx 2.37$

Definitionsmenge x>2, senkrechte Asymptote x=2, Nullstelle $x = 2 + e^{- 1} \approx 2.37$ .

Beispiel 3Lautstärke in Dezibel

Jugendliche tanzen an einer Party in einer Turnhalle, vorne steht eine grosse Lautsprecherbox.

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \cdot lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$ , dabei ist I die Schallintensität und $I_{0}$ ein fester Vergleichswert. Im Schulzimmer einer Kantonsschule in Aarau misst eine Klasse 50 dB. An der Maturaparty ist die Schallintensität 1000-mal so gross. Wie laut ist es dort in dB?

Lösung Schritt für Schritt

Wird I mit 1000 multipliziert, kommt im Logarithmus der Faktor 1000 dazu. Ein Produkt im Logarithmus wird zu einer Summe. $lo g_{10} (1000 \cdot \frac{I}{I _{0}}) = lo g_{10} (1000) + lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$
Es ist $lo g_{10} (1000) = 3$ , weil 10³=1000. Der Pegel steigt also um 10·3=30 dB. $Δ L = 10 \cdot 3 = 30$
Zähle die 30 dB zu den 50 dB im Schulzimmer.L=50+30=80

An der Party sind es 80 dB. Jedes Mal, wenn sich die Intensität verzehnfacht, kommen 10 dB dazu.

Beispiel 4Wann ist der Roller nur noch wenig wert?

Eine junge Frau steht mit ihrem Roller vor einer Garage in einem Schweizer Dorf und schaut ihn prüfend an.

Ein neuer Roller kostet 3'200 Fr. Sein Wert halbiert sich alle 2 Jahre. Die Zeit in Jahren, bis er nur noch W Franken wert ist, ist $t (W) = 2 \cdot lo g_{0.5} (\frac{W}{3200})$ . Nach wie vielen Jahren ist der Roller noch 400 Fr. wert?

Lösung Schritt für Schritt

Setze W=400 ein und kürze den Bruch.4003200=18
Frage: 0.5 hoch wie viel gibt 18? Es ist 0.5³=18. $lo g_{0.5} (\frac{1}{8}) = 3$
Multipliziere mit 2 Jahren pro Halbierung.t=2·3=6

Nach 6 Jahren ist der Roller noch 400 Fr. wert. Er hat sich dreimal halbiert: 3'200, 1'600, 800, 400.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne $lo g_{2} (16)$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: 4, denn 2⁴=16.
Graph von y = log₂(x): Bei x = 16 hat er den Wert 4.
1. Frage: 2 hoch wie viel gibt 16?
2. 2·2·2·2=16, also 2⁴=16.
3. $lo g_{2} (16) = 4$
2
Berechne $lo g_{10} (0.01)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −2, denn $1 0^{- 2} = 0.01$ .
Graph von y = log(x) zur Basis 10: Ganz nah an der y-Achse, bei x = 0.01, liegt er schon bei −2.
1. Schreibe 0.01 als Bruch: 1100.
2. 100=10², also ist $\frac{1}{100} = 1 0^{- 2}$ .
3. $lo g_{10} (0.01) = - 2$
3
Für welches x gilt $lo g_{3} (x) = 4$ ?
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Ergebnis: x=81
Graph von y = log₃(x): Den Wert 4 erreicht er erst bei x = 81.
1. Schreibe die Gleichung als Potenz: x=3⁴.
2. 3⁴=3·3·3·3=81
4
Gib die Definitionsmenge und die Asymptote von $f (x) = ln (x - 4)$ an.
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Ergebnis: Definitionsmenge x>4, senkrechte Asymptote x=4, denn dort wird das Argument 4−4=0.
1. Was im ln steht, muss positiv sein: x−4>0.
2. Also x>4.
3. Am Rand der Definitionsmenge liegt die Asymptote: x=4.
5
Wo schneidet der Graph von $f (x) = ln (x + 2)$ die x-Achse?
Lösung zeigen
Ergebnis: Bei x=−1, also im Punkt (−1|0).
Graph von f(x) = ln(x + 2): Er schneidet die x-Achse bei x = −1 und nähert sich links der Geraden x = −2.
1. Ein Logarithmus ist 0, wenn das Argument 1 ist.
2. x+2=1
3. x=−1

6
Berechne $lo g_{4} (8)$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: 32, denn $4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 8$ .
1. Schreibe beide Zahlen als Zweierpotenz: 4=2² und 8=2³.
2. Gesucht ist y mit $(2^{2})^{y} = 2^{3}$ , also 2y=3.
3. y=32
7
Gib die Umkehrfunktion von $f (x) = lo g_{2} (x)$ an und berechne damit $f^{- 1} (5)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = 2^{x}$ und $f^{- 1} (5) = 32$ .
1. Die Umkehrfunktion des Logarithmus zur Basis 2 ist die Exponentialfunktion zur Basis 2.
2. $f^{- 1} (5) = 2^{5} = 32$
3. Probe: $lo g_{2} (32) = 5$ .
8
Löse die Gleichung $lo g_{10} (2 x) = 2$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x=50
1. Schreibe als Potenz: 2x=10²=100.
2. Teile durch 2: x=50.
3. Probe: $lo g_{10} (100) = 2$ , und x=50 liegt in der Definitionsmenge.
9
Der Graph von $y = ln (x)$ wird um 3 nach rechts und um 2 nach oben verschoben. Gib die neue Funktion g, ihre Definitionsmenge und ihre Asymptote an.
Lösung zeigen
Ergebnis: $g (x) = ln (x - 3) + 2$ , Definitionsmenge x>3, Asymptote x=3, denn dort wird das Argument 3−3=0.
1. Nach rechts um 3 heisst: x durch x−3 ersetzen.
2. Nach oben um 2 heisst: +2 anhängen.
3. Aus x−3>0 folgt x>3, die Asymptote ist x=3.
10
Der Graph von $f (x) = lo g_{b} (x)$ geht durch den Punkt (9|2). Bestimme die Basis b.
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Ergebnis: b=3
1. Einsetzen: $lo g_{b} (9) = 2$ , also b²=9.
2. Die Basis ist positiv: b=3.

11
Löse $lo g_{3} (x) + lo g_{3} (x - 8) = 2$ .
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Ergebnis: x=9. Die zweite Lösung x=−1 fällt weg, weil sie nicht in der Definitionsmenge liegt.
1. Definitionsmenge: x>0 und x−8>0, also x>8.
2. Summe von Logarithmen wird zum Logarithmus des Produkts: $lo g_{3} (x (x - 8)) = 2$ , also x²−8x=9.
3. x²−8x−9=0 gibt (x−9)(x+1)=0, also x=9 oder x=−1.
4. Nur x=9 ist grösser als 8.
12
Der Graph von $f (x) = a \cdot lo g_{2} (x) + c$ geht durch (2|5) und (8|11). Bestimme a und c.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=3 und c=2, also $f (x) = 3 \cdot lo g_{2} (x) + 2$ .
1. Einsetzen mit $lo g_{2} (2) = 1$ und $lo g_{2} (8) = 3$ : a+c=5 und 3a+c=11.
2. Zweite minus erste Gleichung: 2a=6, also a=3.
3. Aus a+c=5 folgt c=2.
4. Probe: f(8)=3·3+2=11.
13
Löse $e^{\frac{x}{2}} = 5$ . Verwende $ln (5) \approx 1.61$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $x = 2 \cdot ln (5) \approx 3.22$
1. Wende auf beiden Seiten ln an: $\frac{x}{2} = ln (5)$ .
2. Multipliziere mit 2: $x = 2 \cdot ln (5)$ .
3. x≈2·1.61=3.22
14
Ein Konzert in Bern hat 90 dB, ein Gespräch 60 dB. Wie viel mal so gross ist die Schallintensität am Konzert? Es gilt $L = 10 \cdot lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 1000-mal so gross.
1. Der Unterschied ist 90−60=30 dB.
2. 10 dB mehr heisst: Intensität mal 10. 30 dB mehr heisst also mal 10³.
3. 10³=1000
15
Ein Bestand wächst nach $N (t) = 200 \cdot e^{0.05 t}$ , t in Jahren. Nach wie vielen Jahren hat er sich verdoppelt? Verwende $ln (2) \approx 0.693$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: Nach etwa 13.86 Jahren.
1. Verdoppelt heisst: $200 \cdot e^{0.05 t} = 400$ , also $e^{0.05 t} = 2$ .
2. ln auf beiden Seiten: $0.05 t = ln (2)$ .
3. $t = \frac{ln ( 2 )}{0.05} \approx 0.693 : 0.05 = 13.86$

Verwechselst du log und ln oder bleibst du bei Definitionsmenge und Asymptote hängen? Eine Lehrperson geht die Logarithmusfunktion mit dir an deinen eigenen Aufgaben durch. Mathematik-Nachhilfe am Gymnasium

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Berechne log₅(125).

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Nächstes ThemaAbleitung und AbleitungsregelnDie Ableitung gibt an jeder Stelle an, wie steil der Graph einer Funktion ist. Mit den Ableitungsregeln leitest du Funktionen ab, ohne jedes Mal einen Grenzwert zu rechnen: Potenz-, Faktor- und Summenregel für Polynome, dazu Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.2. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 1. oder 2. Jahr, direkt nach der Exponentialfunktion und den Logarithmusgesetzen. Der natürliche Logarithmus ln kommt spätestens mit der Analysis dazu.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie unterscheiden sich die Graphen der ln- und der log-Funktion?

Beide Graphen haben dieselbe Form und gehen durch (1 | 0). Die ln-Funktion hat die Basis e ≈ 2.718 und geht durch (e | 1), die log-Funktion auf dem Taschenrechner hat die Basis 10 und erreicht den Wert 1 erst bei (10 | 1). Weil ln(x) = ln(10) · log(x) ≈ 2.303 · log(x) gilt, ist der ln-Graph der log-Graph, in y-Richtung um den Faktor 2.303 gestreckt.

Warum gibt es keinen Logarithmus von 0 oder von negativen Zahlen?

Der Logarithmus fragt nach einem Exponenten y mit b hoch y gleich x. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist aber immer positiv. Für x = 0 oder ein negatives x gibt es also kein passendes y.

In welcher Klasse kommt die Logarithmusfunktion dran?

Am Gymnasium, meist im 1. oder 2. Jahr, nach der Exponentialfunktion. In der Analysis braucht man den natürlichen Logarithmus später beim Ableiten und Integrieren wieder.

Was ist die Ableitung von ln(x)?

Die Ableitung von ln(x) ist 1/x, für x > 0. Das lernst du, wenn das Ableiten drankommt. Es zeigt auch, warum der Graph immer flacher wird: Die Steigung 1/x wird mit wachsendem x immer kleiner.

Logarithmusfunktion und ln

Erklärung

Was die Logarithmusfunktion ausrechnet

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote

Nullstelle, Steigen und Fallen

Der natürliche Logarithmus ln

Verschieben und strecken

Andere Basen und Exponentialgleichungen

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Funktionswerte ohne Taschenrechner

Beispiel 2Verschobener Graph: Definitionsmenge, Asymptote, Nullstelle

Beispiel 3Lautstärke in Dezibel

Beispiel 4Wann ist der Roller nur noch wenig wert?

Übungen mit Lösungen

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Einordnung

Häufige Fragen

Definitionsmenge

Umkehrfunktion

Gleichung

Nullstelle

Asymptote

Hochzahl

Funktionswert

Logarithmus

Exponentialfunktion

Graph

Positive Zahl

Reelle Zahlen

Wertemenge

Eulersche Zahl

e-Funktion

Funktion

Basiswechsel

Kehrwert