Gauss-Glockenkurve und Normalverteilung

Die Normalverteilung beschreibt Messgrössen, die sich symmetrisch um einen Mittelwert häufen. Ihr Graph ist die Gauss-Glockenkurve; Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter dieser Kurve.

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3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche schauen auf ein Galtonbrett aus Holz, in dem sich Kugeln unten zu einem glockenförmigen Haufen gesammelt haben. Im Hintergrund eine Lehrerin mit zwei Kindern.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Normalverteilung beschreibt Messgrössen, die sich um einen Mittelwert häufen. Ihr Graph ist die Gauss-Glockenkurve. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter der Kurve: z-Wert ausrechnen, Fläche in der Tabelle ablesen.

Die Glockenkurve

Eine normalverteilte Zufallsgrösse X hat die Dichtefunktion

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} \cdot e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Der Graph ist symmetrisch zur Geraden $x = μ$ , dort liegt das Maximum. Die liegen bei $x = μ - σ$ und $x = μ + σ$ .

Nach aussen nähert sich die Kurve der x-Achse, ohne sie zu berühren. Die ganze Fläche unter der Kurve ist 1. Kurz schreibt man $X \sim N (μ; σ^{2})$ .

MerkeMaximum bei $μ$ , Wendepunkte bei $μ \pm σ$ , Fläche insgesamt 1.

Glockenkurve der Standardnormalverteilung mit μ = 0 und σ = 1: Maximum in der Mitte, Wendepunkte bei −1 und 1.

Was μ und σ mit der Kurve machen

Der $μ$ legt die Mitte der Glocke fest. Ändert sich $μ$ , verschiebt sich die Kurve nach links oder rechts; ihre Form bleibt.

Die $σ$ legt die Breite fest. Grosses $σ$ gibt eine breite, flache Glocke, kleines $σ$ eine schmale, hohe. Die Fläche bleibt immer 1. Das Quadrat $σ^{2}$ heisst Varianz.

Drei Glockenkurven: Mit σ = 2 wird die Glocke breiter und flacher, mit μ = 3 rückt sie nach rechts.

Wahrscheinlichkeit ist Fläche

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen a und b liegt, ist die Fläche unter der Kurve zwischen a und b:

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Über einem einzelnen Punkt ist die Fläche null: P(X=a)=0. Darum ist < gleich gut wie ≤.

Für dieses gibt es keine einfache . Du nimmst den Taschenrechner oder die Tabelle von $Φ$ . Dabei ist $Φ (z)$ die Fläche links von z (mehr dazu unten).

MerkeP(X=a)=0. Nur Bereiche haben eine Wahrscheinlichkeit.

Die Sigma-Regeln

Für jede Normalverteilung, egal welche $μ$ und $σ$ , gilt ungefähr:

Im Bereich $μ \pm σ$ liegen rund 68.3 % der Werte.
Im Bereich $μ \pm 2 σ$ liegen rund 95.4 %.
Im Bereich $μ \pm 3 σ$ liegen rund 99.7 %.

Beispiel: Sind Körpergrössen normalverteilt mit $μ = 170$ cm und $σ = 8$ cm, liegen rund 95 % zwischen 154 cm und 186 cm. Ein Wert mehr als $3 σ$ vom Mittelwert entfernt ist sehr selten.

Merke68 – 95 – 99.7: so viel liegt innerhalb von 1, 2 und 3 Sigma.

Glockenkurve mit markierten Stellen μ ± σ und μ ± 2σ. Dazwischen liegen rund 68 % bzw. 95 % der Fläche.

Standardisieren und Tabelle

Jede Normalverteilung lässt sich auf die Standardnormalverteilung mit $μ = 0$ und $σ = 1$ zurückführen. Dazu rechnest du den z-Wert aus:

z = \frac{x - μ}{σ}

Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt ist. Dann gilt $P (X \leq x) = Φ (z)$ . Die Tabelle gibt $Φ (z)$ für positive z. Für negative z nutzt du die Symmetrie:

Φ (- z) = 1 - Φ (z)

Dazu die zwei Regeln: $P (X > x) = 1 - Φ (z)$ und $P (a \leq X \leq b) = Φ (z_{b}) - Φ (z_{a})$ .

MerkeErst $z = \frac{x - μ}{σ}$ , dann $Φ (z)$ . «Grösser als» heisst $1 - Φ (z)$ .

Binomialverteilung annähern

Bei vielen Versuchen sieht das einer aus wie eine Glocke. Dann darfst du sie durch eine Normalverteilung mit

μ = n \cdot p σ = n \cdot p \cdot (1 - p)

ersetzen. Als Faustregel gilt: n·p·(1−p)>9, also $σ > 3$ .

Weil die Binomialverteilung nur ganze Zahlen kennt, rechnest du genauer mit der Stetigkeitskorrektur: Für P(X≤k) setzt du k+0.5 ein.

Normalverteilung (gauss glockenkurve): Merkblatt mit Formel und Beispiel. P(a ≤ X ≤ b) = _a^b f(x) dx. Maximum bei , Wendepunkte bei , Fläche insgesamt 1. Beispiel: P(Z > 1.5) = 0.0668 und P(-1 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.7745, also 77.45 %. — Merkblatt Normalverteilung: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕P(X=100) ist der Funktionswert f(100) der Dichtefunktion.
✓Bei der Normalverteilung ist P(X=100)=0. Der Wert f(100) ist ein Wert der Dichtefunktion, keine Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen.
✕ $X \sim N (100; 1 5^{2})$ : $P (X > 130) = Φ (2) = 0.9772$
✓Der z-Wert stimmt: z=130−10015=2. Aber $Φ (z)$ ist die Fläche links von z. Für «grösser als» rechnest du $1 - Φ (2) = 0.0228$ .
✕Mit der Varianz standardisieren: $z = \frac{x - μ}{σ ^{2}}$ .
✓Geteilt wird durch die Standardabweichung $σ$ . Ist die Varianz $σ^{2} = 16$ gegeben, ist $σ = 4$ .
✕ $Φ (- 1) = - 0.8413$
✓Eine Wahrscheinlichkeit ist nie negativ. Mit der Symmetrie: $Φ (- 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Normalverteilung: Verteilung einer Zufallsgrösse, die jeden Wert in einem Bereich annehmen kann und deren Dichtefunktion die Gauss-Glockenkurve ist. Festgelegt durch $μ$ und $σ$ .
Erwartungswert: Der Wert $μ$ , um den sich die Ergebnisse auf lange Sicht im Mittel einpendeln. Bei der Normalverteilung liegt dort das Maximum.
Standardabweichung: Mass $σ$ für die Streuung um den Erwartungswert. Ihr Quadrat $σ^{2}$ ist die Varianz.
Dichtefunktion: Funktion f, deren Fläche unter dem Graphen über einem Bereich die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich angibt. Die ganze Fläche ist 1.
Standardnormalverteilung: Die Normalverteilung mit $μ = 0$ und $σ = 1$ . Ihre Verteilungsfunktion $Φ$ steht in der Tabelle.
z-Wert: $z = \frac{x - μ}{σ}$ : wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Erwartungswert entfernt liegt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Histogramm Binomialverteilung

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Fläche aus der Tabelle

Z ist standardnormalverteilt. Berechne P(Z>1.5) und P(−1≤Z≤1.5). Tabellenwerte: $Φ (1.5) = 0.9332$ , $Φ (1) = 0.8413$ .

Standardnormalverteilung mit den Grenzen z = −1 und z = 1.5. Die Fläche dazwischen ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Lösung Schritt für Schritt

$Φ (1.5)$ ist die Fläche links von 1.5. Für «grösser als» nimmst du den Rest:P(Z>1.5)=1−0.9332=0.0668
Für die negative Grenze nutzt du die Symmetrie: $Φ (- 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$
Fläche zwischen den Grenzen: rechte Grenze minus linke Grenze.P(−1≤Z≤1.5)=0.9332−0.1587=0.7745

P(Z>1.5)=0.0668 und P(−1≤Z≤1.5)=0.7745, also 77.45 %

Beispiel 2Zu wenig Süssmost in der Flasche

In einer kleinen Mosterei laufen Glasflaschen mit Apfelsaft über ein Förderband, eine Mitarbeiterin prüft eine Flasche.

Eine Mosterei im Thurgau füllt Süssmost in Literflaschen ab. Die Füllmenge ist normalverteilt mit $μ = 1000$ ml und $σ = 4$ ml. Wie viel Prozent der Flaschen enthalten weniger als 994 ml? Tabellenwert: $Φ (1.5) = 0.9332$ .

Lösung Schritt für Schritt

Gesucht ist P(X<994). Standardisieren:z=994−10004=−1.5
Die Fläche links von z=−1.5 ist wegen der Symmetrie gleich gross wie die Fläche rechts von 1.5: $Φ (- 1.5) = 1 - Φ (1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$
In Prozent umrechnen: 0.0668=6.68 %.

P(X<994)=0.0668: Rund 6.68 % der Flaschen enthalten weniger als 994 ml.

Beispiel 3Körpergrössen in einem Bereich

Eine Gymnasialklasse stellt sich auf dem Pausenplatz für ein Klassenfoto auf, im Hintergrund ein See und Berge.

In einem Gymnasium in Luzern sind die Körpergrössen der Schülerinnen und Schüler im 3. Jahr normalverteilt mit $μ = 172$ cm und $σ = 8$ cm (Modellannahme). Wie gross ist der Anteil zwischen 160 cm und 188 cm? Tabellenwerte: $Φ (1.5) = 0.9332$ , $Φ (2) = 0.9772$ .

Lösung Schritt für Schritt

Beide Grenzen standardisieren: $z_{1} = \frac{160 - 172}{8} = - 1.5 z_{2} = \frac{188 - 172}{8} = 2$
Fläche zwischen den Grenzen: $P (160 \leq X \leq 188) = Φ (2) - Φ (- 1.5)$
$Φ (- 1.5)$ über die Symmetrie: $Φ (- 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$
Einsetzen:0.9772−0.0668=0.9104

Mit $z_{1} = - 1.5$ und $z_{2} = 2$ ist P(160≤X≤188)=0.9104: Rund 91.04 % der Schülerinnen und Schüler sind zwischen 160 cm und 188 cm gross.

Beispiel 4Rückwärts: welches Gewicht?

Ein Bäcker holt in einer Dorfbäckerei frisch gebackene runde Brote aus dem Ofen, Kinder schauen zu und halten Brote.

Eine Dorfbäckerei in Appenzell backt Brote, deren Gewicht normalverteilt ist mit $μ = 500$ g und $σ = 8$ g. Welches Gewicht unterschreiten nur 5 % der Brote? Tabellenwert: $Φ (1.645) = 0.95$ .

Lösung Schritt für Schritt

Gesucht ist x mit P(X≤x)=0.05. Das Gewicht liegt links vom Mittelwert, der z-Wert ist also negativ. $Φ (z) = 0.05 \Rightarrow z = - 1.645$
Die Formel für den z-Wert nach x auflösen: $x = μ + z \cdot σ$
Einsetzen:x=500−1.645·8=486.84

Nur 5 % der Brote wiegen weniger als rund 486.84 g, also knapp 487 g.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse5

1
Z ist standardnormalverteilt. Berechne P(Z>1) mit $Φ (1) = 0.8413$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: P(Z>1)=0.1587, also 15.87 %
Standardnormalverteilung mit der Grenze z = 1. Gesucht ist die Fläche rechts davon.
1. $Φ (1)$ ist die Fläche links von 1.
2. Rechts davon: 1−0.8413=0.1587
2
X ist normalverteilt mit $μ = 50$ und $σ = 4$ . Berechne den z-Wert von x=58.
Lösung zeigen
Ergebnis: z=2
Glockenkurve mit μ = 50 und σ = 4. Der Wert 58 liegt zwei Sigma rechts vom Maximum.
1. $z = \frac{x - μ}{σ}$
2. z=58−504=84=2
3. 58 liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
3
Körpergrössen sind normalverteilt mit $μ = 165$ cm und $σ = 7$ cm. In welchem Bereich um den Mittelwert liegen rund 95 % der Werte?
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwischen 151 cm und 179 cm
Glockenkurve mit μ = 165 cm und σ = 7 cm. Zwischen den markierten Stellen μ − 2σ und μ + 2σ liegen rund 95 % der Fläche.
1. Rund 95 % liegen im Bereich $μ \pm 2 σ$ .
2. 165−2·7=151
3. 165+2·7=179
4
Z ist standardnormalverteilt. Berechne P(Z≤−2) mit $Φ (2) = 0.9772$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: P(Z≤−2)=0.0228, also 2.28 %
Standardnormalverteilung mit z = −2 und z = 2. Die Fläche links von −2 ist gleich gross wie die rechts von 2.
1. Symmetrie: $Φ (- 2) = 1 - Φ (2)$
2. 1−0.9772=0.0228

5
Leonie fährt mit dem Velo zur Kantonsschule. Ihre Fahrzeit ist normalverteilt mit $μ = 18$ min und $σ = 3$ min. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie länger als 24 min braucht? ( $Φ (2) = 0.9772$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: z=2, also P(X>24)=0.0228, rund 2.3 %
1. z=24−183=2
2. $P (X > 24) = 1 - Φ (2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$
6
Z ist standardnormalverteilt. Berechne P(−1.5≤Z≤0.5). ( $Φ (1.5) = 0.9332$ , $Φ (0.5) = 0.6915$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.6247, also 62.47 %
1. $Φ (- 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$
2. $P = Φ (0.5) - Φ (- 1.5) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247$
7
Eier eines Hofs im Emmental wiegen normalverteilt im Mittel 60 g bei $σ = 5$ g. Welcher Anteil wiegt zwischen 55 g und 65 g? ( $Φ (1) = 0.8413$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.6826, also 68.26 %
1. $z_{1} = \frac{55 - 60}{5} = - 1$ , $z_{2} = \frac{65 - 60}{5} = 1$
2. $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$
3. Das passt zur Sigma-Regel: rund 68 % in $μ \pm σ$ .
8
X ist normalverteilt mit $μ = 40$ und $σ = 6$ . Für welches x gilt P(X≤x)=0.9772? ( $Φ (2) = 0.9772$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: x=52
1. Aus der Tabelle: z=2
2. $x = μ + z \cdot σ = 40 + 2 \cdot 6 = 52$
9
X ist normalverteilt mit $μ = 20$ und Varianz $σ^{2} = 16$ . Berechne P(X≤26). ( $Φ (1.5) = 0.9332$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: z=1.5, also P(X≤26)=0.9332
1. Aus der Varianz: $σ = 16 = 4$
2. z=26−204=1.5
3. $P (X \leq 26) = Φ (1.5) = 0.9332$

10
Eine Maschine schneidet Holzlatten mit dem Mittelwert $μ = 500$ mm. Genau 2.28 % der Latten sind länger als 520 mm. Wie gross ist $σ$ ? ( $Φ (2) = 0.9772$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: $σ = 10$ mm
1. P(X>520)=0.0228, also $Φ (z) = 0.9772$ und z=2.
2. $\frac{520 - 500}{σ} = 2$
3. $σ = \frac{20}{2} = 10$ mm
11
X ist normalverteilt mit $σ = 3$ . Es gilt P(X≤50)=0.8413. Berechne $μ$ . ( $Φ (1) = 0.8413$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: $μ = 47$
1. Aus der Tabelle: z=1
2. $\frac{50 - μ}{3} = 1$ , also $50 - μ = 3$
3. $μ = 47$
12
Eine faire Münze wird 400-mal geworfen. X zählt die Würfe mit Kopf. Nähere P(X≤215) mit der Normalverteilung und der Stetigkeitskorrektur an. ( $Φ (1.55) = 0.9394$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: z=1.55, also P(X≤215)≈0.9394
1. $μ = 400 \cdot 0.5 = 200$ , $σ = 400 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 100 = 10$
2. Faustregel: $σ^{2} = 100 > 9$ , die Näherung ist erlaubt.
3. Stetigkeitskorrektur: z=215.5−20010=1.55
4. $P (X \leq 215) \approx Φ (1.55) = 0.9394$
13
X ist normalverteilt mit $μ = 72$ und $σ = 4$ . In welchem symmetrischen Bereich um $μ$ liegen 90 % der Werte? ( $Φ (1.645) = 0.95$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwischen 65.42 und 78.58
1. Ausserhalb liegen 10 %, also je 5 % links und rechts. Darum gilt $Φ (z) = 0.95$ und z=1.645.
2. 72−1.645·4=65.42
3. 72+1.645·4=78.58
14
Schrauben aus einer Fabrik im Jura sind normalverteilt lang mit $μ = 40$ mm und $σ = 0.2$ mm. Eine Schraube ist Ausschuss, wenn sie kürzer als 39.6 mm oder länger als 40.4 mm ist. Wie viele von 5'000 Schrauben sind etwa Ausschuss? ( $Φ (2) = 0.9772$ )
Lösung zeigen
Ergebnis: Etwa 228 Schrauben
1. Grenzen: z=39.6−400.2=−2 und z=40.4−400.2=2
2. Gut: $Φ (2) - Φ (- 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$
3. Ausschuss: 1−0.9544=0.0456
4. 5000·0.0456=228

Verwechselst du noch $Φ (z)$ und $1 - Φ (z)$ oder weisst du nicht, wann du standardisieren musst, übt eine Lehrperson mit dir an Aufgaben aus deinem Unterricht. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Normalverteilung

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zur Glockenkurve mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Form, Sigma-Regeln und z-Werte, Stufe 2 Flächen aus der Tabelle, Stufe 3 Rückwärtsaufgaben und die Näherung der Binomialverteilung.

μ = 50, σ = 5. Berechne den z-Wert von x = 60.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Diagramme lesen und erstellen3. Klasse - 6. Klasse
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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 3. Jahr Gymnasium - 4. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Im 3. oder 4. Jahr am Gymnasium nach der Binomialverteilung, oft zusammen mit dem Integral; Wahrscheinlichkeiten liest du aus der Tabelle der Formelsammlung oder rechnest sie mit dem Taschenrechner.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Warum heisst die Glockenkurve Gauss-Kurve?

Sie ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss benannt, der die Normalverteilung bei der Untersuchung von Messfehlern verwendete. Die Form erinnert an eine Glocke, daher der zweite Name.

Was bedeuten die Sigma-Regeln?

Bei jeder Normalverteilung liegen rund 68.3 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, rund 95.4 % innerhalb von zwei und rund 99.7 % innerhalb von drei. Damit schätzt du Bereiche ohne Tabelle ab.

Warum ist P(X = a) bei der Normalverteilung null?

Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glockenkurve. Über einem einzelnen Punkt hat die Fläche die Breite null, also auch den Inhalt null. Darum fragt man immer nach Bereichen.

In welcher Klasse kommt die Normalverteilung dran?

Am Gymnasium, meist im 3. oder 4. Jahr nach der Binomialverteilung. In der Volksschule kommt sie nicht vor.