Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient «n über k» zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Dinge aus n auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Im pascalschen Dreieck stehen alle diese Zahlen geordnet in Zeilen.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Jugendliche stapeln im Schulzimmer gleich grosse Holzklötze zu einer Pyramide, die nach oben schmaler wird.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Binomialkoeffizient $(k n)$ , gelesen «n über k», zählt die Möglichkeiten, k Dinge aus n auszuwählen, ohne Reihenfolge. Du rechnest ihn mit $(k n) = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k )!}$ oder liest ihn im pascalschen Dreieck ab. Prüf am Schluss: Zählt die Reihenfolge wirklich nicht?

Was «n über k» zählt

Lea, Noah, Mia und Luca wollen Kanu fahren. Ins Kanu passen zwei. Wie viele verschiedene Zweierteams gibt es?

Lea–Noah, Lea–Mia, Lea–Luca, Noah–Mia, Noah–Luca, Mia–Luca. Das sind 6 Teams. «Lea–Noah» und «Noah–Lea» ist dasselbe Team, darum zählt es nur einmal.

Kurz schreibst du $(2 4) = 6$ : aus 4 Personen 2 auswählen, ohne Reihenfolge.

Merke $(k n)$ = Anzahl Möglichkeiten, k aus n auszuwählen, ohne Reihenfolge und .

Die Formel und der Kurzweg

Mit Reihenfolge gäbe es für das Kanu 4·3=12 Möglichkeiten. Jedes Team kommt darin 2!=2-mal vor. Also teilst du: 12:2=6.

Allgemein gilt:

(k n) = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k )!}

Zum Rechnen von Hand ist der Kurzweg bequemer: oben k Faktoren absteigend ab n, unten k!.

(3 7) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35

MerkeOben k Faktoren ab n abwärts, unten k .

Randwerte und Symmetrie

Es gibt genau eine Art, nichts auszuwählen, und genau eine, alles zu nehmen: $(0 n) = (n n) = 1$ . Dafür legt man 0!=1 fest.

Wählst du 2 von 6 aus, legst du gleichzeitig 4 beiseite. Darum gilt $(k n) = (n - k n)$ , zum Beispiel $(4 6) = (2 6) = 15$ . Das spart Arbeit: $(18 20)$ rechnest du als $(2 20) = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ .

Säulen für 6 über k, k = 0 bis 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Links und rechts der Mitte stehen dieselben Werte.

Das pascalsche Dreieck

Schreib oben eine 1. Jede Zeile beginnt und endet mit 1. Jede Zahl dazwischen ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber.

111615141513101262013101415151611

Die oberste Zeile ist Zeile 0. In Zeile n stehen der Reihe nach $(0 n), (1 n), \dots, (n n)$ . In Zeile 6 an der Stelle k=2 steht also $(2 6) = 15$ . Das Dreieck ist nach Blaise Pascal benannt, bekannt war es aber schon Jahrhunderte vor ihm, etwa in China.

Merke $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ : zwei Nachbarn ergeben die Zahl darunter.

Der binomische Lehrsatz

Die Zahlen einer Zeile sind die , wenn du $(a + b)^{n}$ . Zeile 2 kennst du schon aus der ersten : (a+b)²=1a²+2ab+1b².

Mit Zeile 4 geht es genauso:

(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

Die von a sinkt von n auf 0, die von b steigt von 0 auf n. Allgemein: $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k}$ .

Säulen für die Koeffizienten von (a + b)⁴: 1, 4, 6, 4, 1, also Zeile 4 des pascalschen Dreiecks.

Die Zeilensumme

Addierst du eine ganze Zeile, erhältst du eine Zweierpotenz: 1+4+6+4+1=16=2⁴. Allgemein ist die Summe von Zeile n gleich $2^{n}$ .

Der Grund: Bei n Dingen kannst du jedes nehmen oder weglassen. Das sind $2^{n}$ Auswahlen, und jede hat irgendeine Grösse k von 0 bis n.

Binomialkoeffizient und pascalsches Dreieck: Merkblatt mit Formel und Beispiel. nk = n!/k! · (n-k)! Beispiel: 83 = 56. — Merkblatt Binomialkoeffizient und pascalsches Dreieck: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $(2 6) = \frac{6}{2} = 3$
✓ $(2 6)$ ist kein Bruch, es steht kein Bruchstrich: $(2 6) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$ .
✕Zeile 4 des pascalschen Dreiecks ist 1, 3, 3, 1.
✓Gezählt wird ab Zeile 0. Zeile 4 ist 1, 4, 6, 4, 1; ab Zeile 1 ist die zweite Zahl immer die Zeilennummer.
✕Gold, Silber und Bronze unter 8 Läuferinnen: $(3 8) = 56$ Möglichkeiten.
✓Beim Podest zählt die Reihenfolge, also 8·7·6=336. «n über k» nur, wenn die Reihenfolge egal ist.
✕(a+b)³=a³+b³
✓Die Koeffizienten stehen in Zeile 3: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Begriffe zum Nachschlagen

Binomialkoeffizient: Die Zahl $(k n)$ , gelesen «n über k»: so viele Möglichkeiten gibt es, k Dinge aus n auszuwählen, ohne Reihenfolge.
pascalsches Dreieck: Zahlendreieck mit 1 am Rand; jede innere Zahl ist die Summe der beiden darüber. In Zeile n stehen die Binomialkoeffizienten n über 0 bis n über n.
Fakultät: n!=n·(n−1)·…·2·1, zum Beispiel 4!=24. Festgelegt ist 0!=1.
binomischer Lehrsatz: Regel zum Ausmultiplizieren von $(a + b)^{n}$ : Die Koeffizienten sind die Zahlen aus Zeile n des pascalschen Dreiecks.
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen oder einem Produkt von Variablen, etwa die 6 in 6a²b².

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kombinatorik Binomische Formeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1n über k mit dem Kurzweg

Berechne $(3 8)$ .

Lösung Schritt für Schritt

Oben schreibst du 3 Faktoren, absteigend ab 8:8·7·6=336
Unten steht 3!:3·2·1=6
Teilen: $(3 8) = \frac{336}{6} = 56$

$(3 8) = 56$

Beispiel 2Eine neue Zeile im pascalschen Dreieck

Zeile 5 lautet 1, 5, 10, 10, 5, 1. Bilde Zeile 6 und lies $(3 6)$ ab.

Zeile 6 als Säulen für k = 0 bis 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Die höchste Säule ist 6 über 3 = 20.

Lösung Schritt für Schritt

Die neue Zeile beginnt und endet mit 1.
Dazwischen addierst du je zwei Nachbarn aus Zeile 5:1+5=6, 5+10=15, 10+10=20, 10+5=15, 5+1=6
Zeile 6 heisst also 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Gezählt wird ab k=0. An der Stelle k=3 steht die Mitte: $(3 6) = 20$

Zeile 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1; also $(3 6) = 20$

Beispiel 3Startaufstellung im Unihockey

Eine Trainerin bespricht in einer Turnhalle mit einer Gruppe Unihockeyspielerinnen die Aufstellung.

Die Trainerin des Unihockeyclubs in Chur hat 9 Spielerinnen. Für den ersten Block stellt sie 5 davon auf, die Positionen verteilt sie erst danach. Wie viele verschiedene Fünferblöcke sind möglich?

Lösung Schritt für Schritt

Es zählt nur, wer im Block steht, nicht die Reihenfolge. Also suchst du $(5 9)$ .
Mit der Symmetrie wird es kürzer: 5 aufstellen heisst 4 auf der Bank lassen. $(5 9) = (4 9)$
Kurzweg mit 4 Faktoren: $(4 9) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126$

Es gibt 126 verschiedene Fünferblöcke.

Beispiel 4Ausmultiplizieren mit dem Lehrsatz

Multipliziere (x+2)⁴ aus.

Zeile 4 des pascalschen Dreiecks als Säulen für k = 0 bis 4: 1, 4, 6, 4, 1. Das sind die Koeffizienten vor den Potenzen von 2.

Lösung Schritt für Schritt

Die Koeffizienten stehen in Zeile 4: 1, 4, 6, 4, 1.
Die Hochzahl von x sinkt von 4 auf 0, die von 2 steigt von 0 auf 4:1·x⁴+4·x³·2+6·x²·2²+4·x·2³+1·2⁴
Ausrechnen, zum Beispiel beim mittleren :6·4=24
Alles zusammen:x⁴+8x³+24x²+32x+16

(x+2)⁴=x⁴+8x³+24x²+32x+16

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Berechne $(2 5)$ .
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Ergebnis: 10
Zeile 5 als Säulen für k = 0 bis 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. An der Stelle k = 2 steht 10.
1. Oben 2 Faktoren ab 5: 5·4=20
2. Unten 2!=2
3. 20:2=10
2
Berechne $(8 8)$ .
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Ergebnis: 1
1. Alle 8 nehmen geht nur auf eine Art.
2. Mit der Formel: 8!8!·0!=8!8!·1=1
3
Schreib Zeile 4 des pascalschen Dreiecks auf und addiere ihre Zahlen.
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Ergebnis: 1, 4, 6, 4, 1; Summe 16
Zeile 4 als Säulen für k = 0 bis 4: 1, 4, 6, 4, 1. Zusammen ergeben sie 16.
1. Zeile 3 ist 1, 3, 3, 1.
2. Nachbarn addieren: 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, am Rand je 1.
3. 1+4+6+4+1=16=2⁴
4
Sara wählt aus 8 Büchern 2 für die Ferien aus. Wie viele Möglichkeiten hat sie?
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Ergebnis: 28 Möglichkeiten
1. Die Reihenfolge der Bücher spielt keine Rolle: $(2 8)$ .
2. 8·72·1=562=28
5
Berechne $(5 6)$ mit der Symmetrie.
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Ergebnis: 6
Zeile 6 als Säulen für k = 0 bis 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Bei k = 1 und k = 5 steht beide Male 6.
1. $(5 6) = (1 6)$
2. Eins aus sechs auswählen geht auf 6 Arten.

6
Berechne $(3 10)$ .
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Ergebnis: 120
1. Oben: 10·9·8=720
2. Unten: 3!=6
3. 720:6=120
7
Berechne $(10 12)$ .
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Ergebnis: 66
1. Symmetrie: $(10 12) = (2 12)$
2. 12·112=66
8
Zeile 6 lautet 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Bilde Zeile 7 und gib $(3 7)$ an.
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Ergebnis: Zeile 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1; $(3 7) = 35$
1. Am Rand je 1.
2. Nachbarn addieren: 1+6=7, 6+15=21, 15+20=35, 20+15=35, 15+6=21, 6+1=7.
3. Ab k=0 gezählt steht an der Stelle 3 die Zahl 35.
9
In einer Gelateria in Lugano gibt es 9 Sorten. Gian nimmt einen Becher mit 3 verschiedenen Sorten. Wie viele verschiedene Becher sind möglich?
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Ergebnis: 84 Becher
1. Im Becher zählt die Reihenfolge nicht: $(3 9)$ .
2. 9·8·73·2·1=5046=84
10
Welcher Koeffizient steht vor a³b², wenn du (a+b)⁵ ausmultiplizierst?
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Ergebnis: 10
1. Zu b² gehört k=2.
2. $(2 5) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$
3. Kontrolle in Zeile 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

11
Beim Lotto kreuzt du 6 von 42 Zahlen an. Wie viele verschiedene Tipps gibt es?
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Ergebnis: 5'245'786 Tipps
1. Die Reihenfolge der Kreuze zählt nicht: $(6 42)$ .
2. Oben: 42·41·40·39·38·37=3'776'965'920
3. Unten: 6!=720
4. 3'776'965'920:720=5'245'786
12
In eine Projektgruppe kommen aus 6 Mädchen 2 und aus 5 Knaben 2. Wie viele verschiedene Gruppen sind möglich?
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Ergebnis: 150 Gruppen
1. Mädchen: $(2 6) = 15$
2. Knaben: $(2 5) = 10$
3. Jede Mädchenwahl passt zu jeder Knabenwahl (Zählprinzip): 15·10=150
13
Multipliziere (2x+1)⁴ aus.
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Ergebnis: 16x⁴+32x³+24x²+8x+1
1. Koeffizienten aus Zeile 4: 1, 4, 6, 4, 1.
2. Setze a=2x und b=1: (2x)⁴=16x⁴, 4·(2x)³=4·8x³=32x³.
3. 6·(2x)²=24x², 4·2x=8x, dazu 1.
14
Eine Pizzeria in Winterthur bietet 8 Zutaten an. Du darfst beliebig viele davon wählen, auch keine. Wie viele verschiedene Pizzas sind möglich?
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Ergebnis: 256 Pizzas
1. Du addierst $(0 8) + (1 8) + \dots + (8 8)$ , also die ganze Zeile 8.
2. Die Zeilensumme ist 2⁸.
3. 2⁸=256

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Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium in der Kombinatorik, als Grundlage für die Binomialverteilung. Das pascalsche Dreieck taucht manchmal schon in der Sek bei den binomischen Formeln auf.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was bedeutet «n über k»?

Das ist die Sprechweise für den Binomialkoeffizienten $(k n)$ . Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Dinge aus n auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Mit einem Bruch hat er nichts zu tun.

Wie rechnet man n über k mit dem Taschenrechner?

Die meisten Schulrechner haben dafür die Funktion nCr. Du tippst n, dann nCr, dann k. Für $(6 42)$ also 42 nCr 6, das gibt 5'245'786.

Warum beginnt das pascalsche Dreieck mit Zeile 0?

So passt die Zeilennummer zu n und die Stelle in der Zeile zu k. Die oberste 1 ist $(0 0)$ . Zählst du ab 1, liest du jeden Wert eine Zeile zu tief ab.

In welcher Klasse lernt man den Binomialkoeffizienten?

Meist im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium, in der Kombinatorik und vor der Binomialverteilung. Das pascalsche Dreieck kennen manche schon aus der Sek, als Hilfe bei den binomischen Formeln.

Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizient

Erklärung

Was «n über k» zählt

Die Formel und der Kurzweg

Randwerte und Symmetrie

Das pascalsche Dreieck

Der binomische Lehrsatz

Die Zeilensumme

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1n über k mit dem Kurzweg

Beispiel 2Eine neue Zeile im pascalschen Dreieck

Beispiel 3Startaufstellung im Unihockey

Beispiel 4Ausmultiplizieren mit dem Lehrsatz

Übungen mit Lösungen

Trainer: Binomialkoeffizient

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Häufige Fragen

ohne Wiederholung

Fakultät

binomische Formel

ausmultiplizieren

Koeffizient

Hochzahl

Glied