Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion macht eine Funktion rückgängig: Sie ordnet jedem y-Wert wieder den x-Wert zu, aus dem er entstanden ist. Du berechnest sie, indem du nach x auflöst und x und y tauschst; ihr Graph ist an der Geraden y = x gespiegelt.

Jetzt üben Zum Ausdrucken

1. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche am Gymnasium sitzen an einem Pult; eine hält einen kleinen Handspiegel neben ein Heft, der andere schaut neugierig zu.

Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

Die Umkehrfunktion $f^{- 1}$ macht rückgängig, was f tut: Aus f(4)=11 wird $f^{- 1} (11) = 4$ . Vorher prüfst du, ob f umkehrbar ist. Dann löst du y=f(x) nach x auf und tauschst x und y. Am Schluss gibst du und Wertemenge an.

Was die Umkehrfunktion macht

f(x)=2x+3 rechnet: mal 2, dann plus 3. Aus 4 wird f(4)=11.

Die Umkehrfunktion geht den Weg zurück, in umgekehrter Reihenfolge: minus 3, dann geteilt durch 2. Aus 11 wird (11−3):2=4.

Man schreibt $f^{- 1}$ und liest «f invers». Die −1 ist kein : $f^{- 1} (x)$ ist nicht 1f(x).

MerkeDie Umkehrfunktion hebt die auf: $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

In drei Schritten berechnen

So findest du die Umkehrfunktion von f(x)=2x+3:

Schreibe y=2x+3.
Löse nach x auf: x=y−32.
Tausche x und y: y=x−32.

Also ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ . Probe: $f^{- 1} (11) = 4$ .

Hat eine Gerade die m≠0, hat ihre Umkehrfunktion die Steigung 1m.

MerkeErst nach x auflösen, dann x und y tauschen. Die Reihenfolge darfst du auch umdrehen: erst tauschen, dann nach y auflösen.

Die Gerade f(x) = 2x + 3 geht durch (4 | 11), ihre Umkehrfunktion durch (11 | 4). Beide liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

Der Graph: Spiegelung an y = x

Weil x und y tauschen, wird aus jedem Punkt (a|b) von f der Punkt (b|a) von $f^{- 1}$ .

Das ist eine Spiegelung an der Geraden y=x. Du kannst $f^{- 1}$ darum zeichnen, ohne die zu kennen: Punkte von f nehmen, Koordinaten tauschen, verbinden.

MerkeDer der Umkehrfunktion ist der Graph von f, gespiegelt an der Geraden y = x.

Die Kurve y = 2^x und ihre Umkehrfunktion y = log₂(x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x. Aus (2 | 4) wird (4 | 2).

Wann gibt es eine Umkehrfunktion?

Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn jeder y-Wert zu genau einem x-Wert gehört.

Bei f(x)=x² ist f(3)=9 und f(−3)=9. Zu y=9 gehören zwei x-Werte, also ist x² auf allen nicht umkehrbar.

Test am Graphen: Jede waagrechte Gerade schneidet ihn höchstens einmal. Das gilt sicher, wenn der Graph überall steigt oder überall fällt.

MerkeUmkehrbar ist eine Funktion, wenn jede waagrechte Gerade ihren Graphen höchstens einmal schneidet.

Die waagrechte Gerade y = 9 schneidet die Parabel f(x) = x² zweimal, bei x = −3 und x = 3. Darum ist x² auf allen reellen Zahlen nicht umkehrbar.

Definitionsmenge einschränken

Ist f nicht umkehrbar, nimmst du einen Teil, auf dem es geht. Bei x² ist das der rechte Ast mit x≥0:

f (x) = x^{2}, x \geq 0 f^{- 1} (x) = x

Dabei tauschen Definitionsmenge und Wertemenge die Plätze. Hier haben beide $D = {x \geq 0}$ und $W = {y \geq 0}$ .

MerkeDie Definitionsmenge von f ist die Wertemenge von f⁻¹, und die Wertemenge von f ist die Definitionsmenge von f⁻¹.

Nur der rechte Ast der Parabel y = x² (x ≥ 0) ist das Spiegelbild der Wurzelkurve y = √x an der Geraden y = x. Aus (2 | 4) wird (4 | 2).

Bekannte Paare

Diese Funktionen heben sich gegenseitig auf:

f	$f^{- 1}$
x+a	x−a
ax, a≠0	xa
x², x≥0	$x$
x³	$3 x$
$2^{x}$	$lo g_{2} (x)$ , x>0
$e^{x}$	$ln (x)$ , x>0

y=1x ist ihre eigene Umkehrfunktion, ebenso y=−x+c.

MerkeWurzel und Quadrat, und zur gleichen Basis heben sich gegenseitig auf.

Umkehrfunktion: Übersicht mit Tabelle Bekannte Paare. — Umkehrfunktion auf einen Blick: Bekannte Paare als Tabelle.

Häufige Fehler

✕ $f^{- 1} (x) = \frac{1}{f ( x )}$ , also ist zu f(x)=2x die Umkehrfunktion 12x.
✓ $f^{- 1}$ macht f rückgängig. Zu f(x)=2x gehört $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ . Probe: $f^{- 1} (f (3)) = f^{- 1} (6) = 3$ .
✕Zu f(x)=2x+3 ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - 3$ .
✓Rückwärts geht es in umgekehrter Reihenfolge: zuerst minus 3, dann geteilt durch 2. Also $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$ . Probe: $f^{- 1} (11) = 4$ , denn f(4)=11.
✕Nach dem Auflösen x=y−32 ist die Umkehrfunktion fertig.
✓Zum Schluss tauschst du x und y, damit wieder x die Eingabe ist: $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$ .
✕Die Umkehrfunktion von y=x² ist $y = x$ , für alle x.
✓x² ist nur umkehrbar, wenn du die Definitionsmenge einschränkst, zum Beispiel auf x≥0. Dann ist $f^{- 1} (x) = x$ mit x≥0. Schränkst du auf x≤0 ein, ist $f^{- 1} (x) = - x$ (für x≥0).

Begriffe zum Nachschlagen

Umkehrfunktion: Die Funktion $f^{- 1}$ , die f rückgängig macht: Aus f(a)=b wird $f^{- 1} (b) = a$ . Ihr Graph ist an der Geraden y=x gespiegelt.
umkehrbar: Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder y-Wert zu genau einem x-Wert gehört. Fachwort dafür: injektiv.
Definitionsmenge: Alle x-Werte, die du in die Funktion einsetzen darfst.
Wertemenge: Alle y-Werte, die die Funktion annimmt. Bei der Umkehrfunktion wird sie zur Definitionsmenge.
streng monoton: Der Graph steigt überall (streng monoton steigend) oder fällt überall (streng monoton fallend). Solche Funktionen sind immer umkehrbar.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Funktionen, Wertetabellen und Graphen Lineare Funktionen und Steigung Quadratische Funktionen und Parabeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Umkehrfunktion einer Geraden

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x−6 und mache die Probe mit x=5.

Die Gerade f(x) = 3x − 6 geht durch (5 | 9), die Umkehrfunktion durch (9 | 5). Beide spiegeln sich an y = x.

Lösung Schritt für Schritt

Schreibe die Funktion mit y.y=3x−6
Zähle auf beiden Seiten 6 dazu.y+6=3x
Teile durch 3.x=y+63=13y+2
Tausche x und y. $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x + 2$
Probe: f(5)=15−6=9, und die Umkehrfunktion bringt 9 wieder zu 5. $f^{- 1} (9) = \frac{9}{3} + 2 = 5$

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x + 2$ . Die Probe stimmt: f(5)=9 und $f^{- 1} (9) = 5$ .

Beispiel 2Grad Fahrenheit zurück in Grad Celsius

Eine Jugendliche packt in ihrem Zimmer einen Koffer mit Jacke und Sonnenbrille, auf dem Fenstersims steht ein Thermometer ohne Skala.

Lena aus Winterthur fliegt nach New York. Die Wetter-App dort zeigt Fahrenheit. Die Umrechnung von Celsius in Fahrenheit ist F(c)=1.8c+32. Bestimme die Umkehrfunktion und rechne aus, wie warm 68 °F in Grad Celsius sind.

Lösung Schritt für Schritt

Schreibe F=1.8c+32 und löse nach c auf. Zuerst 32 abziehen.F−32=1.8c
Dann durch 1.8 teilen.c=F−321.8
Das ist die Umkehrfunktion: Sie macht aus Fahrenheit wieder Celsius. Hier lässt du die Namen c und F stehen, weil sie eine Bedeutung haben.c(F)=F−321.8
Setze 68 ein.c(68)=68−321.8=361.8=20
Probe: F(20)=1.8·20+32=68.

Die Umkehrfunktion ist c(F)=F−321.8. 68 °F sind 20 °C, also angenehm warm.

Beispiel 3Parabel mit eingeschränkter Definitionsmenge

Gegeben ist f(x)=(x−1)²+2 für x≥1. Bestimme $f^{- 1}$ mit Definitionsmenge und Wertemenge und berechne $f^{- 1} (11)$ .

Der rechte Ast der Parabel mit Scheitel (1 | 2) und die Umkehrfunktion mit Startpunkt (2 | 1) liegen spiegelbildlich zu y = x. Für x < 1 gehört die Parabel nicht zu f.

Lösung Schritt für Schritt

Für x≥1 steigt die überall, also ist f dort umkehrbar. Der kleinste Wert ist der Scheitel: $W = {y \geq 2}$ .
Schreibe y=(x−1)²+2 und ziehe 2 ab.y−2=(x−1)²
. Weil x≥1 ist, ist x−1≥0, und du nimmst nur die positive Wurzel. $x - 1 = y - 2$
Zähle 1 dazu und tausche x und y. $f^{- 1} (x) = 1 + x - 2$
Definitionsmenge und Wertemenge tauschen die Plätze: $D = {x \geq 2}$ , $W = {y \geq 1}$ .
Setze 11 ein. $f^{- 1} (11) = 1 + 9 = 1 + 3 = 4$

$f^{- 1} (x) = 1 + x - 2$ mit $D = {x \geq 2}$ und $W = {y \geq 1}$ . Es ist $f^{- 1} (11) = 4$ ; Probe: f(4)=3²+2=11.

Beispiel 4Umkehrfunktion eines Bruchterms

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=1x−2 mit x≠2 und gib ihre Definitionsmenge an.

Die Hyperbel f(x) = 1/(x − 2) hat die senkrechte Asymptote x = 2, ihre Umkehrfunktion die waagrechte Asymptote y = 2. Aus (3 | 1) wird (1 | 3).

Lösung Schritt für Schritt

Schreibe y=1x−2. Der Bruch wird nie 0, also ist $W = {y \neq = 0}$ .
Nimm auf beiden Seiten den .x−2=1y
Zähle 2 dazu.x=1y+2
Tausche x und y. $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} + 2$
Die Definitionsmenge von $f^{- 1}$ ist die Wertemenge von f: x≠0. Probe: f(3)=1 und $f^{- 1} (1) = 1 + 2 = 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} + 2$ mit $D = {x \neq = 0}$ . Probe: $f^{- 1} (1) = 3$ , denn f(3)=1.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=x+5 und berechne $f^{- 1} (12)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = x - 5$ , also $f^{- 1} (12) = 7$ .
Die Gerade f(x) = x + 5 geht durch (7 | 12), die Umkehrfunktion durch (12 | 7).
1. y=x+5 nach x auflösen: x=y−5.
2. x und y tauschen: $f^{- 1} (x) = x - 5$ .
3. $f^{- 1} (12) = 12 - 5 = 7$ .
2
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=4x.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} = \frac{1}{4} x$
Die steile Gerade f(x) = 4x geht durch (2 | 8), die flache Umkehrfunktion durch (8 | 2).
1. y=4x durch 4 teilen: x=y4.
2. x und y tauschen: $f^{- 1} (x) = \frac{1}{4} x$ .
3. Die Steigung 14 ist der Kehrwert von 4.
3
Der Punkt (2|7) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt sicher auf dem Graphen von $f^{- 1}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: (7|2)
Die Punkte (2 | 7) und (7 | 2) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.
1. Aus f(2)=7 folgt $f^{- 1} (7) = 2$ .
2. Die Koordinaten tauschen die Plätze: (7|2).
4
Gegeben ist f(x)=2x−8. Berechne $f^{- 1} (4)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (4) = 6$
Die Gerade f(x) = 2x − 8 erreicht den Wert 4 bei x = 6.
1. Gesucht ist das x mit f(x)=4: 2x−8=4.
2. 8 dazu: 2x=12, durch 2: x=6.
3. Probe: f(6)=12−8=4.
5
Ist f(x)=x² auf allen reellen Zahlen umkehrbar? Begründe mit einem Beispiel.
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein. Es gilt f(−3)=f(3)=9: Zum y-Wert 9 gehören zwei x-Werte.
1. Rechne f(3)=9 und f(−3)=(−3)²=9.
2. Zu y=9 gehören also x=3 und x=−3.
3. Eine Umkehrfunktion müsste 9 auf zwei Zahlen zurückführen. Das geht nicht.

6
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=−2x+6.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2} x + 3$
1. y=−2x+6, also 2x=6−y.
2. Durch 2 teilen: x=3−12y.
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ .
7
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=23x+4.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = \frac{3}{2} x - 6$
1. y−4=23x.
2. Mit 32 multiplizieren: x=32(y−4)=32y−6.
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = \frac{3}{2} x - 6$ .
8
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=x³−1 und berechne $f^{- 1} (7)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = 3 x + 1$ , also $f^{- 1} (7) = 38 = 2$ . Probe: 2³−1=7.
1. y+1=x³.
2. Dritte Wurzel ziehen: $x = 3 y + 1$ . Das geht für alle reellen Zahlen, weil x³ überall steigt.
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = 3 x + 1$ , dann $f^{- 1} (7) = 38 = 2$ .
9
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=x²+1 für x≥0, mit Definitionsmenge und Wertemenge. Berechne $f^{- 1} (5)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = x - 1$ mit $D = {x \geq 1}$ und $W = {y \geq 0}$ . $f^{- 1} (5) = 4 = 2$ .
1. f hat $D = {x \geq 0}$ und $W = {y \geq 1}$ .
2. y−1=x², und wegen x≥0 nur die positive Wurzel: $x = y - 1$ .
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = x - 1$ ; D und W tauschen die Plätze.
4. $f^{- 1} (5) = 5 - 1 = 4 = 2$ .
10
Gegeben ist $f (x) = x - 3$ für x≥3. Bestimme $f^{- 1}$ mit Definitionsmenge und Wertemenge.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ mit $D = {x \geq 0}$ und $W = {y \geq 3}$ .
1. f hat $D = {x \geq 3}$ und $W = {y \geq 0}$ , denn eine Wurzel ist nie negativ.
2. $y = x - 3$ quadrieren: y²=x−3, also x=y²+3.
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ , aber nur für x≥0. Der kleinste Wert ist 0²+3=3.

11
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x+1 mit x≠−1 und ihre Definitionsmenge. Mach die Probe mit x=2.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ mit $D = {x \neq = 0}$ . Probe: f(2)=1 und $f^{- 1} (1) = 2$ .
1. y=3x+1, also x+1=3y.
2. x=3y−1, tauschen: $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ .
3. f nimmt den Wert 0 nie an, darum ist x≠0 die Definitionsmenge von $f^{- 1}$ .
4. f(2)=33=1 und $f^{- 1} (1) = 3 - 1 = 2$ .
12
Bestimme die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x - 2}$ mit Definitionsmenge und berechne $f^{- 1} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f^{- 1} (x) = ln (x) + 2$ mit $D = {x > 0}$ , und $f^{- 1} (1) = 2$ .
1. $y = e^{x - 2}$ , ln auf beiden Seiten: $ln (y) = x - 2$ .
2. $x = ln (y) + 2$ , tauschen: $f^{- 1} (x) = ln (x) + 2$ .
3. f nimmt nur positive Werte an, also $D = {x > 0}$ .
4. $f^{- 1} (1) = ln (1) + 2 = 0 + 2 = 2$ .
13
Die Funktion f(x)=(x+2)²−5 soll umkehrbar werden. Schränke sie auf den rechten Ast ein, bestimme $f^{- 1}$ mit Definitionsmenge und berechne $f^{- 1} (4)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: Für x≥−2 ist $f^{- 1} (x) = - 2 + x + 5$ mit $D = {x \geq - 5}$ , und $f^{- 1} (4) = 1$ .
1. Der Scheitel liegt bei (−2|−5), der rechte Ast ist x≥−2 mit $W = {y \geq - 5}$ .
2. y+5=(x+2)², und wegen x+2≥0: $x = - 2 + y + 5$ .
3. Tauschen: $f^{- 1} (x) = - 2 + x + 5$ mit $D = {x \geq - 5}$ .
4. $f^{- 1} (4) = - 2 + 9 = - 2 + 3 = 1$ . Probe: f(1)=9−5=4.
14
Zeige, dass f(x)=−x+4 ihre eigene Umkehrfunktion ist, und prüfe f(f(1)).
Lösung zeigen
Ergebnis: Aus y=−x+4 folgt x=−y+4, nach dem Tauschen $f^{- 1} (x) = - x + 4 = f (x)$ . Es ist f(f(1))=f(3)=1.
1. y=−x+4 nach x auflösen: x=4−y.
2. Tauschen: $f^{- 1} (x) = - x + 4$ , das ist wieder f.
3. f(1)=3 und f(3)=1: Zweimal f führt zurück zum Start.
4. Am Graphen: Die Gerade steht senkrecht auf y=x und ist darum zu ihr symmetrisch.
15
Wo schneiden sich die Graphen von f(x)=2x−3 und ihrer Umkehrfunktion?
Lösung zeigen
Ergebnis: Im Punkt (3|3).
1. $f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2}$ .
2. Gleichsetzen: 2x−3=x+32, also 4x−6=x+3 und x=3.
3. f(3)=3: Der Schnittpunkt liegt auf der Geraden y=x.

Bleibst du beim Auflösen nach x hängen oder weisst du nicht, wo du eine Parabel einschränken musst? Eine Lehrperson übt Umkehrfunktionen mit dir an deinen eigenen Aufgaben. Nachhilfe in Mathematik fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Umkehrfunktion

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben zur Umkehrfunktion mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt Werte und Punkte, Stufe 2 das Berechnen, Stufe 3 Umkehrbarkeit, Definitionsmenge und Wertemenge.

f(x) = x + 9. Berechne f⁻¹(15).

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit LösungsblattLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle LösungenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDFTheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige FehlerBeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnetÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum RechnenArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss

PDF herunterladenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaLogarithmusfunktion und lnDie Logarithmusfunktion $f(x) = \log_b(x)$ gibt zu jeder positiven Zahl x den Exponenten an, mit dem du die Basis b potenzieren musst, um x zu erhalten. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, und ln ist der Logarithmus zur Basis e.1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

Mehr zu Proportionalität und Funktionen

Proportionalität und Dreisatz5. Klasse - 1. Sek
Umgekehrte Proportionalität1. Sek
Quadratische Ergänzung und Scheitelform3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zins, Rabatt, Brutto und Netto2. Sek - 3. Sek

Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

Jetzt üben

Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium im Kapitel Funktionen, meist im 1. Jahr und vor der Exponential- und Logarithmusfunktion. Die Idee kennst du schon aus der Sek: Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie berechnet man eine Umkehrfunktion?

Schreibe y = f(x) und löse die Gleichung nach x auf. Danach tauschst du x und y. Mit einem Wert machst du die Probe: f(a) = b muss f⁻¹(b) = a ergeben.

Ist f⁻¹(x) dasselbe wie 1/f(x)?

Nein. Die −1 bei f⁻¹ ist kein Exponent, sondern steht für «umgekehrt». Zu f(x) = 2x ist f⁻¹(x) = x/2, aber 1/f(x) = 1/(2x).

Hat jede Funktion eine Umkehrfunktion?

Nein, nur Funktionen, bei denen jeder y-Wert zu genau einem x-Wert gehört. Bei x² ist das nicht so, weil f(−3) = f(3) = 9. Schränkst du die Definitionsmenge ein, zum Beispiel auf x ≥ 0, wird sie umkehrbar.

In welcher Klasse lernt man Umkehrfunktionen?

Am Gymnasium, meist im 1. Jahr im Kapitel Funktionen. Gebraucht wird die Idee danach bei der Logarithmusfunktion, die die Exponentialfunktion umkehrt.

Umkehrfunktion

Erklärung

Was die Umkehrfunktion macht

In drei Schritten berechnen

Der Graph: Spiegelung an y = x

Wann gibt es eine Umkehrfunktion?

Definitionsmenge einschränken

Bekannte Paare

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Umkehrfunktion einer Geraden

Beispiel 2Grad Fahrenheit zurück in Grad Celsius

Beispiel 3Parabel mit eingeschränkter Definitionsmenge

Beispiel 4Umkehrfunktion eines Bruchterms

Übungen mit Lösungen

Trainer: Umkehrfunktion

Zum Ausdrucken

Weiter lernen

Einordnung

Häufige Fragen

Definitionsmenge

Hochzahl

Funktion

Steigung

Gleichung

Graph

Reelle Zahlen

Logarithmus

Potenz

Parabel

Wurzel ziehen

Kehrwert