Boxplot lesen und zeichnen

Ein Boxplot fasst eine Datenreihe in fünf Werten zusammen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. So siehst du auf einen Blick, wo die mittlere Hälfte der Werte liegt und wie stark sie streuen.

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2. Sek - 3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.3.C.2.h

Jugendliche stoppen sich gegenseitig auf dem Sportplatz und schreiben die Zeiten auf ein Klemmbrett.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Boxplot fasst eine Datenreihe mit fünf Werten zusammen: , unteres , , oberes Quartil und . Die Box enthält die mittlere Hälfte der Werte. Am Schluss liest du ab, wie die Werte streuen, und vergleichst Gruppen.

Was ein Boxplot zeigt

Ein Boxplot steht über einem Zahlenstrahl. Er besteht aus einer Box und je einer Linie links und rechts, den Antennen.

Linke Antenne ab dem Minimum
Box ab dem unteren Quartil $Q_{1}$
Strich in der Box beim Median
Box bis zum oberen Quartil $Q_{3}$
Rechte Antenne bis zum Maximum

MerkeMinimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, Maximum: Diese fünf Werte bestimmen den Boxplot.

Boxplot der Schulwege: Minimum 4, unteres Quartil 7, Median 12, oberes Quartil 18 und Maximum 25 Minuten. Die Box geht von 7 bis 18.

Der Median

Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Ordne die Werte also zuerst.

Bei ungerader Anzahl gibt es einen mittleren Wert: Bei 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12 ist der Median 8.

Bei gerader Anzahl liegt er zwischen den zwei mittleren Werten: Bei 4, 6, 7, 10 ist er (6+7):2=6.5.

MerkeZuerst ordnen, dann die Mitte suchen. Bei zwei mittleren Werten nimmst du ihren .

Die Quartile

Der Median teilt die geordnete Liste in zwei Hälften. Bei ungerader Anzahl gehört er zu keiner Hälfte. $Q_{1}$ ist der Median der unteren Hälfte, $Q_{3}$ der Median der oberen Hälfte.

Beispiel: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 20, 25. Der Median ist 12. Aus 4, 6, 7, 8, 10 folgt $Q_{1} = 7$ , aus 13, 15, 18, 20, 25 folgt $Q_{3} = 18$ .

MerkeUnteres Quartil = Median der unteren Hälfte, oberes Quartil = Median der oberen Hälfte.

Die 11 Schulwege auf dem Zahlenstrahl. Median 12, unteres Quartil 7, oberes Quartil 18. Zwischen 7 und 18 liegt die mittlere Hälfte der Werte.

Einen Boxplot zeichnen

Bestimme die fünf Werte.
Zeichne einen passend eingeteilten Zahlenstrahl.
Zeichne darüber eine Box von $Q_{1}$ bis $Q_{3}$ .
Ziehe in der Box einen Strich beim Median.
Ziehe Linien von der Box zum Minimum und Maximum.

MerkeDie Höhe der Box hat keine Bedeutung. Nur die Lage auf dem Zahlenstrahl zählt.

Einen Boxplot lesen

Die vier Teile (zwei Antennen, zwei Teile der Box) enthalten je etwa ein Viertel der Werte. Ein langer Teil heisst nicht «mehr Werte», sondern: Die Werte liegen dort weiter auseinander.

Die ist Maximum minus Minimum. Der Interquartilsabstand $Q_{3} - Q_{1}$ ist die Länge der Box. Beim Schulweg: 25−4=21 und 18−7=11 Minuten.

MerkeJeder der vier Teile enthält etwa ein Viertel der Werte. Kurz heisst dicht, lang heisst gestreut.

Boxplot der Schulwege mit Box von 7 bis 18: Der Interquartilsabstand ist 11 Minuten, die Spannweite 21 Minuten.

Boxplots vergleichen und Ausreisser

Zwei Boxplots über demselben Zahlenstrahl vergleichst du so: Welcher Median liegt höher? Welche Box ist kürzer, welche Gruppe also einheitlicher?

Manche Programme zeichnen sehr weit entfernte Werte als einzeln als Punkt. Meist ist das ein Wert, der mehr als das 1.5-Fache des Interquartilsabstands unter $Q_{1}$ oder über $Q_{3}$ liegt.

Boxplot lesen und zeichnen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, Maximum: Diese fünf Werte bestimmen den Boxplot. — Merkblatt Boxplot lesen und zeichnen: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Den Median der ungeordneten Liste 9, 2, 7, 4, 5 ablesen: Die Mitte ist 7.
✓Zuerst ordnen: 2, 4, 5, 7, 9. Der Median ist 5.
✕Bei 3, 6, 8, 11 ist der Median 6 oder 8.
✓Bei einer geraden Anzahl liegt der Median zwischen den beiden mittleren Werten: (6+8):2=7.
✕Die rechte Antenne ist viel länger als die linke, also liegen rechts mehr Werte.
✓In jeder Antenne liegt etwa ein Viertel der Werte. Die lange Antenne zeigt nur, dass diese Werte weiter auseinanderliegen.
✕Interquartilsabstand = Maximum minus Minimum.
✓Das ist die Spannweite. Der Interquartilsabstand ist die Länge der Box: $Q_{3} - Q_{1}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Boxplot: Diagramm mit Box und zwei Antennen, das eine Datenreihe mit fünf Werten zusammenfasst.
Median: Der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Höchstens die Hälfte der Werte liegt darunter, höchstens die Hälfte darüber.
Quartil: Das untere Quartil Q1 ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil Q3 der Median der oberen Hälfte.
Interquartilsabstand: Oberes minus unteres Quartil, also die Länge der Box. Darin liegt die mittlere Hälfte der Werte.
Antenne: Die Linie links oder rechts der Box, bis zum Minimum oder Maximum. Auf Englisch heisst sie Whisker.
Spannweite: Maximum minus Minimum: wie weit alle Werte auseinanderliegen.
Minimum: Der kleinste Wert der Datenreihe.
Maximum: Der grösste Wert der Datenreihe.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Median, Modus und Quartile Mittelwert, Minimum und Maximum

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Median und Quartile bestimmen

In einem Test erreichen 9 Lernende diese Punkte: 12, 15, 9, 18, 14, 20, 11, 16, 13. Bestimme die fünf Werte für den Boxplot und den Interquartilsabstand.

Boxplot der Testpunkte: Minimum 9, unteres Quartil 11.5, Median 14, oberes Quartil 17, Maximum 20.

Lösung Schritt für Schritt

Ordne die Werte der Grösse nach.9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20
Es sind 9 Werte, der 5. steht in der Mitte. Der Median ist 14.
Die untere Hälfte ist 9, 11, 12, 13. Ihr Median liegt zwischen 11 und 12. $Q_{1} = (11 + 12) : 2 = 11.5$
Die obere Hälfte ist 15, 16, 18, 20. Ihr Median liegt zwischen 16 und 18. $Q_{3} = (16 + 18) : 2 = 17$
Der Interquartilsabstand ist die Länge der Box.17−11.5=5.5

Minimum 9, unteres Quartil 11.5, Median 14, oberes Quartil 17, Maximum 20. Der Interquartilsabstand ist 5.5 Punkte.

Beispiel 2Boxplot zum Schulweg zeichnen

Jugendliche gehen und fahren am Morgen mit Rucksack und Velo durch eine Schweizer Stadt zur Schule.

In einer Sek-Klasse in Winterthur schreiben 12 Lernende auf, wie viele Minuten ihr Schulweg dauert: 15, 8, 22, 5, 14, 10, 30, 8, 18, 12, 20, 15. Zeichne einen Boxplot.

Boxplot der Schulwege: Box von 9 bis 19 Minuten, Median 14.5, Antennen bis 5 und bis 30 Minuten.

Lösung Schritt für Schritt

Ordne die Werte.5, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 15, 18, 20, 22, 30
Es sind 12 Werte, also zwei mittlere: der 6. (14) und der 7. (15).Median=(14+15):2=14.5
Untere Hälfte: 5, 8, 8, 10, 12, 14. Die beiden mittleren Werte sind 8 und 10. $Q_{1} = (8 + 10) : 2 = 9$
Obere Hälfte: 15, 15, 18, 20, 22, 30. Die beiden mittleren Werte sind 18 und 20. $Q_{3} = (18 + 20) : 2 = 19$
Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 32, die Box von 9 bis 19 mit dem Strich bei 14.5, die Antennen bis 5 und bis 30.

Minimum 5, unteres Quartil 9, Median 14.5, oberes Quartil 19, Maximum 30 Minuten.

Beispiel 3Einen Boxplot lesen

Ein Boxplot zeigt die Körpergrösse von 80 Lernenden einer Schule: Minimum 148 cm, unteres Quartil 156 cm, Median 162 cm, oberes Quartil 168 cm, Maximum 181 cm. Wie gross sind Spannweite und Interquartilsabstand? Wie viele Lernende sind ungefähr grösser als 156 cm?

Boxplot der Körpergrössen: Box von 156 bis 168 cm, Median 162 cm, Antennen bis 148 und bis 181 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Spannweite: Maximum minus Minimum.181−148=33
Interquartilsabstand: oberes minus unteres Quartil.168−156=12
Unter dem unteren Quartil liegt etwa ein Viertel der Lernenden, darüber also etwa drei Viertel.80:4·3=60

Die Spannweite ist 33 cm, der Interquartilsabstand 12 cm. Etwa 60 Lernende sind grösser als 156 cm.

Beispiel 4Zwei Klassen am Sporttag vergleichen

Ein Mädchen wirft am Sporttag einen kleinen Ball, Mitschülerinnen und Mitschüler schauen zu.

Am Sporttag in Luzern werfen zwei Klassen den Ball. Klasse A: Minimum 18 m, $Q_{1}$ 24 m, Median 29 m, $Q_{3}$ 33 m, Maximum 41 m. Klasse B: Minimum 15 m, $Q_{1}$ 27 m, Median 31 m, $Q_{3}$ 34 m, Maximum 38 m. Vergleiche die beiden Klassen.

Lösung Schritt für Schritt

Mediane vergleichen: Klasse B liegt mit 31 m höher als Klasse A mit 29 m.
Spannweiten: Beide sind gleich gross.41−18=23 38−15=23
Interquartilsabstände: Die Box von Klasse B ist kürzer.33−24=9 34−27=7
Die mittlere Hälfte von Klasse B wirft also einheitlicher, obwohl die Spannweite gleich ist.

Klasse B wirft im Median weiter (31 m statt 29 m) und einheitlicher: Interquartilsabstand 7 m statt 9 m. Die Spannweite ist bei beiden 23 m.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme den Median von 3, 7, 4, 9, 6.
Lösung zeigen
Ergebnis: 6
Die geordneten Werte 3, 4, 6, 7, 9 auf dem Zahlenstrahl. Die 6 steht in der Mitte.
1. Ordnen: 3, 4, 6, 7, 9
2. 5 Werte, der 3. steht in der Mitte: 6
2
Bestimme den Median von 2, 5, 7, 11, 12, 15.
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
Die Werte 2, 5, 7, 11, 12, 15. Der Median 9 liegt genau zwischen 7 und 11.
1. Die Liste ist schon geordnet und hat 6 Werte.
2. Die beiden mittleren Werte sind 7 und 11.
3. (7+11):2=9
3
Ein Boxplot hat das Minimum 12, das untere Quartil 20, den Median 25, das obere Quartil 31 und das Maximum 40. Wie gross ist die Spannweite?
Lösung zeigen
Ergebnis: 28
Boxplot mit Minimum 12 und Maximum 40: Die Spannweite ist 28.
1. Spannweite = Maximum − Minimum
2. 40−12=28
4
In einem Boxplot ist das untere Quartil 14 und das obere Quartil 23. Wie gross ist der Interquartilsabstand?
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
Die Box reicht vom unteren Quartil 14 zum oberen Quartil 23. Ihre Länge ist 9.
1. Interquartilsabstand = $Q_{3} - Q_{1}$
2. 23−14=9
5
Wie viel der Werte liegen ungefähr in der Box eines Boxplots?
Lösung zeigen
Ergebnis: etwa 50 %
1. Die Box reicht vom unteren zum oberen Quartil.
2. Unter $Q_{1}$ liegt etwa ein Viertel, über $Q_{3}$ auch.
3. Für die Box bleibt die Hälfte: etwa 50 %.

6
Bestimme den Interquartilsabstand von 4, 6, 9, 10, 13, 15, 17.
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
1. 7 Werte, Median ist der 4. Wert: 10.
2. Untere Hälfte 4, 6, 9: $Q_{1} = 6$ . Obere Hälfte 13, 15, 17: $Q_{3} = 15$ .
3. 15−6=9
7
Zehn Lernende erreichen diese Punkte: 14, 9, 17, 12, 20, 11, 15, 8, 18, 16. Bestimme die fünf Werte für den Boxplot.
Lösung zeigen
Ergebnis: Minimum 8, $Q_{1} = 11$ , Median 14.5, $Q_{3} = 17$ , Maximum 20
1. Ordnen: 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20
2. Median: (14+15):2=14.5
3. Untere Hälfte 8, 9, 11, 12, 14: $Q_{1} = 11$ . Obere Hälfte 15, 16, 17, 18, 20: $Q_{3} = 17$ .
8
Ein Boxplot zeigt die Wartezeit von 40 Fahrgästen an einer Bushaltestelle in Chur: Minimum 2, $Q_{1}$ 4, Median 7, $Q_{3}$ 9, Maximum 15 Minuten. Wie viele Fahrgäste haben ungefähr höchstens 4 Minuten gewartet?
Lösung zeigen
Ergebnis: etwa 10 Fahrgäste
1. Bis zum unteren Quartil liegt etwa ein Viertel der Werte.
2. 40:4=10
9
Bei einem Boxplot reicht die linke Antenne von 10 bis 14 und die rechte von 22 bis 40. Wie lang ist die rechte Antenne? Liegen in der rechten Antenne mehr Werte als in der linken?
Lösung zeigen
Ergebnis: 18; nein, in jeder Antenne liegt etwa ein Viertel der Werte.
1. Länge der rechten Antenne: 40−22=18
2. Jede Antenne enthält etwa ein Viertel der Werte.
3. Rechts liegen die Werte nur weiter auseinander.
10
Klasse A: $Q_{1} = 4$ km, $Q_{3} = 10$ km Veloweg. Klasse B: $Q_{1} = 7$ km, $Q_{3} = 11$ km. Um wie viele km ist der Interquartilsabstand von Klasse A grösser?
Lösung zeigen
Ergebnis: um 2 km
1. Klasse A: 10−4=6 km
2. Klasse B: 11−7=4 km
3. 6−4=2 km

11
Die Werte 3, 5, 6, 9 und x mit x>9 haben den Interquartilsabstand 6. Wie gross ist x?
Lösung zeigen
Ergebnis: x=11
1. Median ist 6. Untere Hälfte 3, 5: $Q_{1} = 4$ .
2. Obere Hälfte 9, x: $Q_{3} = (9 + x) : 2$
3. $Q_{3} = 4 + 6 = 10$ , also 9+x=20 und x=11.
12
Ein Programm zeichnet Werte als Ausreisser, die mehr als das 1.5-Fache des Interquartilsabstands über $Q_{3}$ liegen. Es ist $Q_{1} = 20$ und $Q_{3} = 28$ . Ist der Wert 43 ein Ausreisser?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, die Grenze liegt bei 40.
1. Interquartilsabstand: 28−20=8
2. 1.5·8=12
3. Grenze: 28+12=40. 43 liegt darüber, also Ausreisser.
13
Die Liste 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14 hat den Median 8. Nun kommt der Wert 20 dazu. Wie gross ist der neue Median?
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
1. Jetzt sind es 10 Werte: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 20.
2. Die beiden mittleren Werte sind 8 und 10.
3. (8+10):2=9
14
Die Werte 4, 7, 9, 12, 15, 18, 30 enthalten einen Tippfehler: Statt 30 müsste 60 stehen. Wie gross ist die Spannweite mit 60? Ändern sich Median und Quartile?
Lösung zeigen
Ergebnis: Spannweite 56; Median 12, $Q_{1} = 7$ und $Q_{3} = 18$ bleiben gleich.
1. Spannweite neu: 60−4=56 (vorher 26)
2. Die Reihenfolge bleibt gleich: Median 12, $Q_{1} = 7$ , $Q_{3} = 18$ .
3. Nur die rechte Antenne wird länger.
15
Zwei Klassen mit je 24 Kindern. In Klasse A ist das obere Quartil des Schulwegs 25 Minuten, in Klasse B der Median 25 Minuten. Wie viele Kinder brauchen in jeder Klasse ungefähr mehr als 25 Minuten?
Lösung zeigen
Ergebnis: Klasse A etwa 6 Kinder, Klasse B etwa 12 Kinder
1. Über dem oberen Quartil liegt etwa ein Viertel: 24:4=6
2. Über dem Median liegt etwa die Hälfte: 24:2=12

Verwechselst du noch Quartile, Spannweite und Interquartilsabstand, übt eine Lehrperson mit dir Boxplots an den Aufgaben aus deinem Unterricht. Mathematik-Nachhilfe für die 2. und 3. Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Boxplot lesen und zeichnen

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zu Median, Quartilen und Boxplots, mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt die Teile des Boxplots, Stufe 2 das Berechnen der Quartile, Stufe 3 Ausreisser, fehlende Werte und Vergleiche.

Aus wie vielen Kennwerten besteht ein Boxplot?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaHistogrammEin Histogramm zeigt, wie sich viele Messwerte verteilen: Die Werte werden in Klassen wie «150 bis unter 160 cm» eingeteilt, und über jeder Klasse steht eine Säule. Die Säulen stehen lückenlos nebeneinander auf einer Zahlenachse.3. Sek - 1. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Oft in der 2. oder 3. Sek, nachdem Mittelwert und Median eingeführt sind; am Gymnasium kommt der Boxplot in der Statistik oft wieder, dann auch mit Ausreissern.

MA.3.C.2.hDaten aus dem Alltag statistisch auswerten, passende Darstellungen wie den Boxplot wählen und daraus begründete Aussagen ableiten.
MA.3.C.1.gMesswerte wie Zeiten, Längen oder Punkte in Diagrammen darstellen und die Darstellung deuten.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man den Boxplot?

Oft in der 2. oder 3. Sek, nach Mittelwert und Median. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel auch etwas früher oder erst am Gymnasium.

Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?

Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Ein einzelner sehr grosser Wert verschiebt den Mittelwert stark, den Median kaum.

Warum bekomme ich mit dem Taschenrechner andere Quartile?

Für die Quartile gibt es mehrere Regeln, und Taschenrechner oder Tabellenprogramme nutzen nicht alle dieselbe. Die Werte unterscheiden sich meist nur wenig. In Prüfungen rechnest du mit der Regel aus dem Unterricht.

Was bedeutet eine lange Box?

Die mittlere Hälfte der Werte liegt weit auseinander, die Daten streuen stark. Eine kurze Box heisst: Die mittlere Hälfte liegt nahe beieinander.