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Fokus Nachhilfe

Polynomdivision

Bei der Polynomdivision teilst du ein Polynom durch ein anderes, Schritt für Schritt wie bei der schriftlichen Division. So spaltest du Linearfaktoren ab und löst Gleichungen dritten Grades.

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  • 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
  • Gymnasium
Zwei Jugendliche lernen an einem Holztisch in einer hellen Schulbibliothek, vor ihnen liegen offene Hefte.
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Das musst du wissen

Erklärung

Bei der Polynomdivision teilst du ein durch ein anderes, wie bei der schriftlichen Division. Höchstes durch höchstes Glied, zurückmultiplizieren, abziehen. Am Schluss notierst du den Rest und machst die Probe.

Die Idee: wie schriftlich dividieren

Bei 156:12 fragst du: Wie oft passt 12 in 15? Einmal. Du rechnest 1·12=12, ziehst ab, holst die 6 herunter und teilst 36:12=3. Ergebnis 13.

Bei Polynomen fragst du dasselbe mit dem höchsten Glied. Bei (x2+5x+6):(x+2): Womit musst du x malnehmen, damit x2 entsteht? Mit x. Dann geht es weiter mit 3x+6, und 3x:x=3. Ergebnis x+3.

Setzt du x=10 ein, wird daraus genau 156:12=13.

MerkePolynomdivision ist schriftliche Division mit von x statt mit Ziffern.

Das Verfahren in vier Schritten

Ordne Dividend und Divisor nach fallenden . Dann wiederholst du vier Schritte:

  1. Teilen: höchstes Glied durch höchstes Glied.

  2. Multiplizieren: das Ergebnis mal den ganzen Divisor.

  3. Subtrahieren: mit Klammer abziehen.

  4. Herunterholen: das nächste Glied dazuschreiben.

So sieht (2x3−3x2−11x+6):(x−3)=2x2+3x−2 aus:

MerkeTeilen, multiplizieren, subtrahieren, herunterholen. Wiederholen, bis nichts mehr geht.

Fehlende Potenzen mit 0 auffüllen

Fehlt im Dividenden eine Potenz, schreibst du sie mit 0 davor hin. Sonst stehen beim Subtrahieren verschiedene Potenzen untereinander.

x3−8=x3+0x2+0x−8

Damit rechnest du (x3+0x2+0x−8):(x−2)=x2+2x+4.

MerkeJede Potenz bekommt ihre Spalte, auch wenn eine 0 davorsteht.

Division mit Rest

Nicht jede Division geht auf. Du hörst auf, sobald der Grad des Rests kleiner ist als der Grad des Divisors. Bei (x2+x−1):(x−1) bleibt nach x+2 der Rest 1:

(x2+x−1):(x−1)=x+2+1x−1

Die Probe: Quotient mal Divisor plus Rest gibt den Dividenden. (x+2)(x−1)+1=x2+x−2+1=x2+x−1.

MerkeDividend = Quotient · Divisor + Rest.

Der Restsatz: Rest ohne Rechnen

Teilst du ein Polynom P(x) durch (x−a), ist der Rest genau P(a). Du kannst den Rest also durch Einsetzen bestimmen.

Bei P(x)=x2+x−1 und (x−1) ist P(1)=1+1−1=1, wie oben.

Ist P(a)=0, geht die Division auf. Dann ist a eine und (x−a) ein von P. Achtung beim : Zu (x+2) gehört a=−2.

MerkeRest bei Division durch (x − a) = P(a). Ist P(a) = 0, geht sie auf.

-3-2-10123-2246xyP(x) = x² + x − 1(1 | 1)
Graph von P(x) = x² + x − 1 mit dem Punkt (1 | 1): P(1) = 1 ist der Rest bei der Division durch (x − 1).

Wozu: Nullstellen finden

Für dritten Grades gibt es keine einfache Formel. Darum rätst du eine Lösung a.

Sind alle ganz, ist jede ganzzahlige Lösung ein Teiler des Absolutglieds, also der Zahl ohne x.

Dann teilst du durch (x−a) und löst die , die übrig bleibt.

Bei x3−2x2−5x+6=0 passt x=1. Die Division gibt x2−x−6=(x−3)(x+2), also die Lösungen −2, 1 und 3.

MerkeRaten, dividieren, quadratisch lösen.

-2024-10-5510xyf(x) = x³ − 2x² − 5x + 6(−2 | 0)(1 | 0)(3 | 0)
Graph von f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 mit den drei Nullstellen (−2 | 0), (1 | 0) und (3 | 0).
Polynomdivision: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Polynomdivision ist schriftliche Division mit Potenzen von x statt mit Ziffern. Teilen, multiplizieren, subtrahieren, herunterholen. Wiederholen, bis nichts mehr geht.
Merkblatt Polynomdivision: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕Beim Subtrahieren nur das erste Glied abziehen: (x2+5x)−(x2+2x)=7x.

    ✓Die ganze Klammer abziehen, also jedes Vorzeichen umdrehen: x2+5x−x2−2x=3x.

  • ✕Fehlende Potenzen weglassen und bei x3−8 die −8 direkt unter x2 schreiben.

    ✓Zuerst auffüllen: x3+0x2+0x−8. So steht jede Potenz in ihrer Spalte.

  • ✕Den Rest einfach dazuzählen: (x2+x−1):(x−1)=x+2+1.

    ✓Der Rest wird noch durch den Divisor geteilt: x+2+1x−1, kurz «x+2 Rest 1».

  • ✕Beim Restsatz für (x+2) den Wert P(2) ausrechnen.

    ✓​(x+2)=(x−(−2)), also a=−2. Du rechnest P(−2).

Begriffe zum Nachschlagen
Polynomdivision
Ein Polynom durch ein anderes teilen, Schritt für Schritt wie bei der schriftlichen Division. Was nicht aufgeht, bleibt als Rest.
Dividend
Das Polynom, das geteilt wird. Es steht vor dem Geteiltzeichen.
Divisor
Das Polynom, durch das du teilst, zum Beispiel (x−3).
Grad (eines Polynoms)
Die höchste Hochzahl von x im Polynom. 2x3−x+4 hat den Grad 3.
Linearfaktor
Ein Faktor der Form (x−a). Geht die Division durch ihn auf, ist a eine Nullstelle.
Restsatz
Der Rest bei der Division von P(x) durch (x−a) ist P(a).

Noch unsicher? Zuerst lernen:PolynomfunktionenSchriftlich dividierenAusmultiplizieren und Ausklammern

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Division ohne Rest

Berechne (x2+7x+12):(x+3).

-6-4-20246xyy = x² + 7x + 12(−4 | 0)(−3 | 0)
Graph von y = x² + 7x + 12: Er schneidet die x-Achse bei −4 und −3, passend zu den Linearfaktoren (x + 4) und (x + 3).
Lösung Schritt für Schritt
  1. Teilen: höchstes Glied durch höchstes Glied.x2:x=x
  2. Zurückmultiplizieren und abziehen:(x2+7x)−(x2+3x)=4x
  3. Die 12 herunterholen und wieder teilen:4x:x=4
  4. Zurückmultiplizieren und abziehen:(4x+12)−(4x+12)=0
  5. Probe: (x+4)(x+3)=x2+3x+4x+12=x2+7x+12.

​(x2+7x+12):(x+3)=x+4. Die Division geht auf, also ist (x+3) ein Linearfaktor. Probe mit x=2: 6·5=30, Dividend 4+14+12=30.

Beispiel 2Division mit Rest und Restsatz

Berechne (2x3+x2−4x+5):(x+2) und prüfe den Rest mit dem Restsatz.

-3-2-1012-5510xyP(x) = 2x³ + x² − 4x + 5(−2 | 1)
Graph von P(x) = 2x³ + x² − 4x + 5 mit dem Punkt (−2 | 1): P(−2) = 1 ist der Rest bei der Division durch (x + 2).
Lösung Schritt für Schritt
  1. Teilen, zurückmultiplizieren, abziehen:2x3:x=2x2  (2x3+x2)−(2x3+4x2)=−3x2
  2. ​−4x herunterholen und weiter:−3x2:x=−3x  (−3x2−4x)−(−3x2−6x)=2x
  3. ​5 herunterholen und weiter:2x:x=2  (2x+5)−(2x+4)=1
  4. ​1 hat einen kleineren Grad als x+2. Das ist der Rest.
  5. Restsatz mit a=−2:P(−2)=2·(−8)+4+8+5=1

​(2x3+x2−4x+5):(x+2)=2x2−3x+2 Rest 1, also 2x2−3x+2+1x+2.

Beispiel 3Gleichung dritten Grades lösen

Löse x3+2x2−5x−6=0.

-4-202-10-55xyf(x) = x³ + 2x² − 5x − 6(−3 | 0)(−1 | 0)(2 | 0)
Graph von f(x) = x³ + 2x² − 5x − 6 mit den drei Nullstellen (−3 | 0), (−1 | 0) und (2 | 0).
Lösung Schritt für Schritt
  1. Kandidaten sind die Teiler von −6: ±1, ±2, ±3, ±6. Probieren:P(1)=1+2−5−6=−8  P(−1)=−1+2+5−6=0
  2. ​x=−1 ist eine Nullstelle. Teile durch (x+1):(x3+2x2−5x−6):(x+1)=x2+x−6
  3. Den quadratischen Rest zerlegen: zwei Zahlen mit Produkt −6 und Summe 1.x2+x−6=(x+3)(x−2)
  4. Nach dem ist ein Faktor 0:x+1=0  x+3=0  x−2=0

Die Lösungen sind , und . Probe mit x=2: 8+8−10−6=0.

Beispiel 4Höhe einer Holzkiste

Eine junge Schreinerin und ein Lernender messen in einer Holzwerkstatt mehrere Holzkisten in verschiedenen Grössen aus.

Eine Schreinerei in Thun baut Holzkisten in verschiedenen Grössen. Für die Grösse x (in dm) hat die Kiste das Volumen V(x)=x3+6x2+11x+6 in dm³. Die Grundfläche ist (x+1) dm lang und (x+2) dm breit. Wie hoch ist die Kiste? Wie hoch ist sie für x=4?

Lösung Schritt für Schritt
  1. Volumen = Grundfläche mal Höhe. Also ist die Höhe das Volumen geteilt durch die Grundfläche.G(x)=(x+1)(x+2)=x2+3x+2
  2. Teilen: x3:x2=x. Zurückmultiplizieren und abziehen:(x3+6x2+11x+6)−(x3+3x2+2x)=3x2+9x+6
  3. Teilen: 3x2:x2=3. Zurückmultiplizieren und abziehen:(3x2+9x+6)−(3x2+9x+6)=0
  4. Die Höhe ist also h(x)=x+3. Für x=4:h(4)=4+3=7
  5. Kontrolle: V(4)=64+96+44+6=210 und G(4)=5·6=30. 210:30=7.

Die Kiste ist (x+3) dm hoch. Für x=4 sind das 7 dm.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Berechne (x2+8x+15):(x+3).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x+5. Probe mit x=2: 7·5=35, Dividend 4+16+15=35.

    -6-4-20-2246xyy = x² + 8x + 15(−5 | 0)(−3 | 0)
    Graph von y = x² + 8x + 15: Nullstellen bei −5 und −3, also die Linearfaktoren (x + 5) und (x + 3).
    1. ​x2:x=x, dann (x2+8x)−(x2+3x)=5x.
    2. ​15 herunterholen: 5x:x=5, dann (5x+15)−(5x+15)=0.
    3. Probe: (x+5)(x+3)=x2+8x+15.
  2. 2

    Berechne (x2−x−12):(x+3).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x−4. Probe mit x=6: 2·9=18, Dividend 36−6−12=18.

    -4-20246-10-55xyy = x² − x − 12(−3 | 0)(4 | 0)
    Graph von y = x² − x − 12: Nullstellen bei −3 und 4, also die Linearfaktoren (x + 3) und (x − 4).
    1. ​x2:x=x, dann (x2−x)−(x2+3x)=−4x.
    2. ​−12 herunterholen: −4x:x=−4, dann (−4x−12)−(−4x−12)=0.
    3. Probe: (x−4)(x+3)=x2−x−12.
  3. 3

    Berechne (x2+2x−15):(x+5).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x−3. Probe mit x=5: 2·10=20, Dividend 25+10−15=20.

    -6-4-2024-15-10-5510xyy = x² + 2x − 15(−5 | 0)(3 | 0)
    Graph von y = x² + 2x − 15: Nullstellen bei −5 und 3, also die Linearfaktoren (x + 5) und (x − 3).
    1. ​x2:x=x, dann (x2+2x)−(x2+5x)=−3x.
    2. ​−15 herunterholen: −3x:x=−3, dann (−3x−15)−(−3x−15)=0.
  4. 4

    Berechne (2x2+7x+3):(x+3).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​2x+1. Probe mit x=2: 5·5=25, Dividend 8+14+3=25.

    -4-3-2-101-4-2246xyy = 2x² + 7x + 3(−3 | 0)(−0.5 | 0)
    Graph von y = 2x² + 7x + 3: Nullstellen bei −3 und −0.5, passend zu den Faktoren (x + 3) und (2x + 1).
    1. ​2x2:x=2x, dann (2x2+7x)−(2x2+6x)=x.
    2. ​3 herunterholen: x:x=1, dann (x+3)−(x+3)=0.
    3. Probe: (2x+1)(x+3)=2x2+7x+3.
  1. 5

    Berechne (x3+3x2−x−3):(x+3).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2−1. Probe mit x=2: 3·5=15, Dividend 8+12−2−3=15.

    1. ​x3:x=x2, dann (x3+3x2)−(x3+3x2)=0.
    2. ​−x herunterholen: −x:x=−1, dann (−x−3)−(−x−3)=0.
    3. Im Ergebnis fehlt das Glied mit x: x2+0x−1=x2−1.
  2. 6

    Berechne (x3−27):(x−3).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x2+3x+9. Probe mit x=5: 49·2=98, Dividend 125−27=98.

    1. Auffüllen: x3+0x2+0x−27.
    2. ​x2: (x3+0x2)−(x3−3x2)=3x2. Dann 3x: (3x2+0x)−(3x2−9x)=9x.
    3. Dann 9: (9x−27)−(9x−27)=0.
  3. 7

    Berechne (x2+4x+7):(x+1).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x+3 Rest 4, also x+3+4x+1. Probe mit x=2: 5·3+4=19, Dividend 4+8+7=19.

    1. ​x2:x=x, dann (x2+4x)−(x2+x)=3x.
    2. ​3x:x=3, dann (3x+7)−(3x+3)=4.
    3. Kontrolle mit dem Restsatz: P(−1)=1−4+7=4.
  4. 8

    Berechne (6x2+x−2):(2x−1).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​3x+2. Probe mit x=2: 8·3=24, Dividend 24+2−2=24.

    1. ​6x2:2x=3x, dann (6x2+x)−(6x2−3x)=4x.
    2. ​4x:2x=2, dann (4x−2)−(4x−2)=0.
    3. Probe: (3x+2)(2x−1)=6x2+x−2.
  5. 9

    Bestimme ohne Division den Rest von (x3−2x2+3x−5):(x−2).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Rest 1

    1. Restsatz mit a=2.
    2. ​P(2)=8−8+6−5=1.
  1. 10

    Berechne (x4−16):(x−2).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x3+2x2+4x+8. Probe mit x=4: 120·2=240, Dividend 256−16=240.

    1. Auffüllen: x4+0x3+0x2+0x−16.
    2. Viermal teilen: x3, 2x2, 4x, 8. Nach jedem Abziehen bleibt das Doppelte des neuen Ergebnis-Glieds übrig: 2x3, 4x2, 8x.
    3. Zum Schluss (8x−16)−(8x−16)=0.
  2. 11

    Löse x3−4x2−3x+18=0.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​ und , wobei 3 doppelt vorkommt. Probe: P(3)=27−36−9+18=0.

    1. Teiler von 18 probieren: P(1)=12, P(−1)=16, P(2)=4, aber P(−2)=−8−16+6+18=0.
    2. ​(x3−4x2−3x+18):(x+2)=x2−6x+9.
    3. ​x2−6x+9=(x−3)2. Das gibt nur noch x=3, und zwar zweimal.
  3. 12

    Für welche Zahl k ist (x−2) ein Teiler von x3+kx2+x−6?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​k=−1

    1. ​(x−2) ist Teiler, wenn P(2)=0.
    2. ​P(2)=8+4k+2−6=4+4k.
    3. ​4+4k=0 ergibt k=−1.
  4. 13

    Berechne (x3+2x2−x+3):(x2+1).

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x+2 Rest −2x+1. Probe mit x=2: 4·5−3=17, Dividend 8+8−2+3=17.

    1. Divisor auffüllen: x2+0x+1. Dann x3:x2=x und (x3+2x2−x)−(x3+0x2+x)=2x2−2x.
    2. ​3 herunterholen: 2x2:x2=2, dann (2x2−2x+3)−(2x2+0x+2)=−2x+1.
    3. ​−2x+1 hat Grad 1, der Divisor Grad 2: Das ist der Rest.

Verlierst du bei der Polynomdivision den Überblick über die Vorzeichen, rechnet eine Lehrperson die Schritte mit dir an deinen eigenen Aufgaben durch. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Polynomdivision

So funktioniert der Trainer

Aufgaben zur Polynomdivision mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt die einzelnen Schritte, Stufe 2 ganze Divisionen mit und ohne Rest, Stufe 3 Restsatz, Nullstellen und Parameter.

Wie schreibst du x³ − 8 vor der Division?

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse
1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe
Gymnasium
Fach
Mathematik

Meist im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium, zusammen mit den Polynomfunktionen. Danach brauchst du sie beim Lösen von Gleichungen dritten Grades und in der Kurvendiskussion.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann lernt man die Polynomdivision?

Meist im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium, zusammen mit den Polynomfunktionen. Je nach Schule und Profil kann es etwas früher oder später sein.

Was mache ich, wenn die Polynomdivision nicht aufgeht?

Dann bleibt ein Rest. Du schreibst ihn als Bruch hinter das Ergebnis, zum Beispiel x+2+1x−1. Prüfe vorher mit dem Restsatz, ob du richtig gerechnet hast.

Wie finde ich die Nullstelle, durch die ich teilen soll?

Probiere die Teiler des Absolutglieds (der Zahl ohne x), zuerst ±1 und ±2. Das gilt, wenn alle Koeffizienten ganze Zahlen sind. Ergibt das Einsetzen 0, hast du eine Nullstelle a und teilst durch (x−a).

Gibt es einen kürzeren Weg als die Polynomdivision?

Für die Division durch (x−a) gibt es das Horner-Schema. Es rechnet nur mit den Koeffizienten und kommt auf dasselbe Ergebnis. Die Polynomdivision funktioniert aber auch bei Divisoren wie x2+1.

Stand 08.11.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?